Grundbegriffe der Informatik
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Grundbegriffe der Informatik Tutorium 24 - 13. Sitzung Marcus Georgi [email protected] 05.02.2010 Kongruenzrelationen Halbordnungen 1 Kongruenzrelationen Definition Modulo 2 Halbordnungen Eigenschaften Halbordnung auf Alphabeten Potenzmengen 3 Hasse-Diagramme Definition Extreme Elemente Vollständige Halbordnungen Marcus Georgi Hasse-Diagramme Grundbegriffe der Informatik Ende 2 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Kongruenzrelationen Definition Gegeben sei eine Äquivalenzrelation ≡ auf einer Menge M, sowie eine Funktion f : M → M und eine binäre Operation . Man sagt, ≡ und f sind verträglich, wenn: ∀x1 , x2 ∈ M : x1 ≡ x2 ⇒ f (x1 ) ≡ f (x2 ). Man nennt ≡ und verträglich, wenn: ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ M : x1 ≡ x2 ∧ y1 ≡ y2 ⇒ x1 y1 ≡ x2 y2 . Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Operationen/Funktionen verträglich ist, nennt man auch Kongruenzrelation. Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 4 / 23 Ende Modulo und Addition Man betrachte die Menge der ganzen Zahlen Z, die Äquivalenzrelation ≡ mod n, sowie die Operation +. Dann ist aus Vorlesung bekannt: Die Äquivalenzrelation ≡ mod n ist verträglich mit +. Beweis? Sei x1 ≡ x2 und y1 ≡ y2 , was gleichbedeutend ist mit ∃k ∈ Z : x1 − x2 = k · n und ∃m ∈ Z : y1 − y2 = m · n. Damit gilt (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) = n · (k + m) . Das ist gleichbedeutend mit (x1 + y1 ) ≡ (x2 + y2 ) mod n Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 5 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Die Multiplikation Aufgabe Zeige, dass ≡ mod n verträglich mit ·, also der Multiplikation, ist. x1 · y1 = (x2 + k · n) · (y2 + m · n) = x2 · y2 + (x2 m + ky2 + km) · n Also ist x1 · y1 − x2 · y2 ein Vielfaches von n. Marcus Georgi Kongruenzrelationen Grundbegriffe der Informatik Halbordnungen Hasse-Diagramme 6 / 23 Ende Rechnen mit Äquivalenzklassen Statt mit einzelnen Elementen, kann man nun auch auf Äquivalenzklassen Operationen anwenden, indem man repräsentantenweise“ rechnet. ” So ist etwa für n = 5: [3] + [4] = [3 + 4] = [7] = [2] [2] + [3] = [2 + 3] = [5] = [0] [2] + [3] = [7] + [−12] = [7 − 12] = [−5] = [0] [2] · [3] = [2 · 3] = [6] = [1] Wann ist [x ] · [y ] = [0] im Fall n = 5? Wenn bereits gilt [x ] = [0] oder [y ] = [0], denn 5 ist prim und somit Z5 nullteilerfrei. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 7 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Rechnen mit Äquivalenzklassen Es ergeben sich folgende Ergebnisse für die Verknüpfung der Elemente von Z/5Z. [0] [0] [1] [2] [3] [4] + [0] [1] [2] [3] [4] [ 1] [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [ 3] [ 3] [ 4] [ 0] [ 1] [ 2] [ 4] [ 4] [ 0] [ 1] [ 2] [ 3] Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen · [0] [1] [2] [3] [4] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 1] [ 0] [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 2] [ 0] [ 2] [ 4] [ 1] [ 3] [ 3] [ 0] [ 3] [ 1] [ 4] [ 2] Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme [ 4] [ 0] [ 4] [ 3] [ 2] [ 1] 8 / 23 Ende Halbordnungen Definition Halbordnungen sind Relationen mit folgenden Eigenschaften: reflexiv transitiv antisymmetrisch Definition Eine Relation v auf einer Menge M heißt antisymmetrisch, falls ∀x1 , x2 ∈ M gilt: x1 v x2 ∧ x2 v x1 ⇒ x1 = x2 Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 10 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Eine Halbordnung auf Alphabeten Sei die Relation vp auf A∗ folgendermaßen definiert: v v w ⇔ ∃u : vu = w Zeige, dass es sich um eine Halbordnung handelt. Für alle w ∈ A∗ gilt w ε = w → Reflexivität Wenn w1 vp w2 und w2 vp w1 , dann gibt es u1 und u2 , so dass w1 u1 = w2 und w2 u2 = w1 . Damit ist also w1 u1 u2 = w2 u2 = w1 , also muss |u1 | = |u2 | = 0 ⇒ u1 = u2 = ε ⇒ w1 = w2 → Antisymmetrie Wenn w1 vp w2 und w2 vp w3 , dann existieren u1 , u2 , so dass w1 u1 = w2 und w2 u2 = w3 , also w1 (u1 u2 ) = (w1 u1 )u2 = w2 u2 = w3 → w1 vp w3 ⇒ Transitivität Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 11 / 23 Ende Noch eine Relation für Wörter Gegeben sei folgende Relation: w1 v w2 ⇔ |w1 | ≤ |w2 | Handelt es sich hierbei um eine Halbordnung? Nein, denn die Antisymmetrie-Bedingung ist verletzt. So gilt etwa über dem Alphabet {a, b} dass aaa v bbb und bbb v aaa, aber trotzdem aaa 6= bbb. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 12 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Die Inklusion Ist ⊆ auf der Potenzmenge 2M der Menge M eine Halbordnung? Potenzmenge Die Potenzmenge 2M einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge. Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 13 / 23 Ende Die Inklusion Reflexivität Für jede Teilmenge T der Menge M gilt: T ⊆ T , denn jede Menge ist ihre eigene Teilmenge Transitivität Sind alle Elemente von T1 in T2 und alle Elemente von T2 in T3 , so sind auch alle Elemente von T1 in T3 , also gilt T1 ⊆ T2 ∧ T2 ⊆ T3 ⇒ T1 ⊆ T3 Antisymmetrie Gilt für zwei Teilmengen T1 , T2 , dass T1 ⊆ T2 und T2 ⊆ T1 , so ist T1 = T2 , denn beide Mengen enthalten die Elemente der jeweils anderen Menge. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 14 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Hasse-Diagramme Jede Relation R ist als Graph darstellbar. So ist etwa der Graph zu (2{a,b,c } , ⊆) folgender: Diese werden jedoch für Halbordnungen schnell unübersichtlich. Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 16 / 23 Ende Minimierung Minimierung → Weglassen der transitiven und reflexiven Kanten. Formal stellt das den Graphen der Relation HR = (R \ I ) \ (R \ I )2 dar. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 17 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Extreme Elemente In der Darstellung der Relation als Hasse-Diagramm lassen sich relativ einfach extreme Elemente“ auffinden. ” Sei (M , v) eine halbgeordnete Menge und T eine beliebige Teilmenge. Ein Element x ∈ T heißt: minimales Element Es gibt kein T 3 y 6= x: y v x maximales Element Es gibt kein T 3 y 6= x: x v y kleinstes Element Für alle y ∈ T : x v y größtes Element Für alle y ∈ T : y v x Ein Element x ∈ M heißt: untere Schranke von T Für alle y ∈ T gilt: x v y obere Schranke von T Für alle y ∈ T gilt: y v x Infimum von T x ist eine größte untere Schranke Supremum von T x ist eine kleinste obere Schranke Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 18 / 23 Ende Aufsteigende Ketten und vollständige Halbordnungen Eine aufsteigende Kette ist eine abzählbar unendliche Folge von Elementen einer Halbordnung mit der Eigenschaft ∀iinN0 : xi v xi +1 Eine vollständige Halbordnung hat ein kleinstes Element und jede aufsteigende Kette hat ein Supremum. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 19 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Aufgabe ∗ Gegeben sei ein Alphabet Σ, sowie eine halbgeordnete Menge 2Σ mit der Relation ⊆ als Halbordnungsrelation. Ist diese Halbordnung vollständig? ∗ Ja, denn: Es existiert das kleinste Element 0/ ∈ 2Σ . Zusätzlich besitzt jede aufsteigende Kette L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ . . . ein F S Supremum i Li = Li Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 20 / 23 Ende Die natürlichen Zahlen Bilden die natürlichen Zahlen mit der Halbordnungsrelation ≤ eine vollständige Halbordnung? Nein, denn, eine unbeschränkt wachsende folge wie 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ . . . hat kein Supremum. Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 21 / 23 Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramme Ende Inhalt des Tutoriums Was ist eine Kongruenzrelation? Wie rechne ich im Restklassenring und was hat das mit Relationen zu tun? Was sind Halbordnungen? Wie stellen sie sich als Hasse-Diagramme dar? Welche besonderen Elemente kann eine Halbordnung haben? Marcus Georgi Kongruenzrelationen Halbordnungen Grundbegriffe der Informatik Hasse-Diagramme 22 / 23 Ende Danke für die Aufmerksamkeit Marcus Georgi Grundbegriffe der Informatik 23 / 23
