Grundbegriffe der Informatik - Tutorium 1 - 14. Sitzung
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Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1 - 14. Sitzung Dennis Felsing [email protected] http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/ 2011-02-07 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelation von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen 2 Kongruenzrelationen 3 Halbordnungen Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 2/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelationen Definitionen Sei R≡ ⊆ M × M. Reflexiv : ∀x ∈ M : x ≡ x Symmetrisch : ∀x, y ∈ M : x ≡ y ⇒ y ≡ x Transitiv : ∀x, y , z ∈ M : x ≡ y ∧ y ≡ z ⇒ x ≡ z Äquivalenzrelation : reflexive, transitive und symmetrische Relation Beispiele Gleichheitsrelation R= ⊆ R × R ist eine Äquivalenzrelation. {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, c)} ⊆ {a, b, c} × {a, b, c} ist reflexiv, nicht symmetrisch und nicht transitiv. R≤ ⊆ R × R ist reflexiv, transitiv und nicht symmetrisch. R< ⊆ R × R ist transitiv, nicht symmetrisch und nicht reflexiv. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 3/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelationen Definitionen Sei R ⊆ M × M. Reflexiv : ∀x ∈ M : (x, x) ∈ R Symmetrisch : ∀x, y ∈ M : (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R Transitiv : ∀x, y , z ∈ M : xRy ∧ yRz ⇒ xRz Äquivalenzrelation : reflexive, transitive und symmetrische Relation Beispiele xVy ⇔ x ist Vorfahre von y. V ist transitiv, nicht symmetrisch und nicht reflexiv. x♥y ⇔ x liebt y. ♥ ist nicht symmetrisch, nicht transitiv und nicht reflexiv. R ⊆ {} × {} ist eine Äquivalenzrelation. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 4/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelationen Definitionen Reflexiv : ∀x ∈ M : (x, x) ∈ R Symmetrisch : ∀x, y ∈ M : (x, y ) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ R Transitiv : ∀x, y , z ∈ M : xRy ∧ yRz ⇒ xRz Äquivalenzrelation : reflexiv, transitiv und symmetrisch Übertragung auf Graphen Reflexiv : Schlingen an allen Knoten Symmetrisch : Zu jedem Pfeil hin auch der zurück Transitiv : Wenn ein Pfad von x nach y existiert, dann auch eine direkte Kante Äquivalenzrelation: Klumpen, die alle miteinander verbunden sind, aber nach außen keine Verbindungen haben Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 5/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelationen Kongruenz modulo n Sei n ∈ N+ . Zwei Zahlen x, y ∈ Z heißen kongruent modulo n, wenn x − y durch n teilbar, also ganzzahliges Vielfaches von n ist. Dann schreibt man x ≡ y (mod n). Reflexivität : x − x = 0 Vielfaches von n X Symmetrie : Sei x − y Vielfaches von n. Dann ist auch y − x = −(x − y ) Vielfaches von n. X Transitivität : Seien x − y = k1 n und y − z = k2 n mit k1 , k2 ∈ Z. Dann ist x − z = (x − y ) + (y − z) = (k1 + k2 )n Vielfaches von n. X ⇒ Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 6/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzrelation von Nerode Definition Für alle w1 , w2 ∈ A∗ ist w1 ≡L w2 ⇔ ∀w ∈ A∗ : w1 w ∈ L ⇔ w2 w ∈ L Was bedeutet das, wenn w1 ≡L w2 ? Für alle Wörter die man an w1 und w2 anhängen kann sind entweder beide entstehenden Wörter in der Sprache L oder beide nicht. Wenn für ein Suffix w gelten würde, dass w1 w ∈ L, aber w2 w 6∈ L (oder umgekehrt), so sind w1 ,w2 nicht Nerode-äquivalent. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 7/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzklassen und Faktormengen Defintionen Äquivalenzklasse von x: [x]≡ = {y ∈ M | x ≡ y } Faktormenge oder Faserung von M nach ≡: M/≡ = {[x]≡ | x ∈ M} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 8/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzklassen Behauptung x ≡ y ⇒ [x] = [y ] Beweis ⊆“: Sei z ∈ [x]. Es gilt also x ≡ z. Aufgrund der ” Symmetrie gilt auch z ≡ x. Mit x ≡ y und Transitivität folgt z ≡ y . Also y ≡ z und somit z ∈ [y ]. ⇒ [x] ⊆ [y ] ⊇“: Analog mit x und y vertauscht. ” Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 9/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Äquivalenzklassen Behauptung Wenn z ∈ [x] und z ∈ [y ], dann [x] = [y ]. Beweis Wenn z ∈ [x] und z ∈ [y ], dann x ≡ z und y ≡ z. Aufgrund der Symmetrie folgt x ≡ z und z ≡ y . Aus der Transitivität folgt x ≡ y . Wie wir eben bewiesen haben, gilt nun [x] = [y ]. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 10/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Faktormengen Wir wollen die Faktormenge von Z für Kongruenz modulo 5 bestimmen. Es gibt nur diese fünf Äquivalenzklassen: Z/≡5 = Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 11/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Faktormengen Bestimme die Faktormenge der Nerode-Relation zur Sprache L =< aba∗ >. {[ε], [a], [ab], [b]} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 12/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Kongruenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen 2 Kongruenzrelationen Definitionen Arithmetik modulo n 3 Halbordnungen Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 13/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Verträglichkeit von Relationen mit Operatoren Definition Seien ≡ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M, f : M → M eine Funktion und eine binäre Operation. ≡ und f sind verträglich :⇔ ∀x1 , x2 ∈ M : x1 ≡ x2 ⇔ f (x1 ) ≡ f (x2 ) ≡ und sind verträglich :⇔ ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ M : x1 ≡ x2 ∧ y1 ≡ y2 ⇔ x1 y1 ≡ x2 y2 Äquivalenzrelation, die mit allen interessierenden Funktionen und Operationen verträglich ist, nennt man Kongruenzrelationen. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 14/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Modulo und Addition Behauptung ≡ mod n ist mit + auf den ganzen Zahlen Z verträglich Beweis Seien x1 ≡ x2 mod n und y1 ≡ y2 mod n, also ∃k ∈ Z : x1 − x2 = k · n und ∃m ∈ Z : y1 − y2 = m · n. Somit folgt (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) = n · (k + m). Also (x1 + y1 ) ≡ (x2 + y2 ) mod n. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 15/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Modulo und Multiplikation Behauptung ≡ modn ist mit · auf den ganzen Zahlen Z verträglich Beweis x1 · y1 = (x2 + k · n) · (y2 + m · n) = x2 · y2 + (x2 m + ky2 + km) · n x1 · y1 − x2 · y2 ist somit ganzzahliges Vielfaches von n Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 16/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Rechnen mit Äquivalenzklassen Wir betrachten Kongruenz modulo 5: [3] + [4] =[3 + 4] = [7] = [2] [2] + [3] =[2 + 3] = [5] = [0] [2] + [3] =[7] + [−12] = [−5] = [0] [2] · [3] =[2 · 3] = [6] = [1] Wann ist [x] · [y ] = [0]?Wenn bereits [x] = [0] oder [y ] = [0], da 5 eine Primzahl ist. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 17/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Rechnen mit Äquivalenzklassen Es ergeben + [0] [0] [0] [1] [1] [2] [2] [3] [3] [4] [4] sich [1] [1] [2] [3] [4] [0] die folgenden Ergebnisse für [2] [3] [4] · [0] [2] [3] [4] [0] [0] [3] [4] [0] [1] [0] [4] [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] Dennis Felsing Z/5Z: [1] [2] [0] [0] [1] [2] [2] [4] [3] [1] [4] [3] Grundbegriffe der Informatik [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] 18/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Halbordnungen 1 Äquivalenzrelationen 2 Kongruenzrelationen 3 Halbordnungen Definition Beispiele Hasse-Diagramm Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 19/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Halbordnungen Definitionen Antisymmetrisch: ∀x, y ∈ M : x v y ∧ y v x ⇒ x = y Halbordnung: reflexive, transitive, antisymmetrische Relation Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 20/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Halbordnung auf Alphabeten Behauptung Die Relation vp auf A∗ mit v vp w ⇔ ∃u : vu = w ist eine Halbordnung. Beweis Reflexivität :Für alle w ∈ A∗ gilt w ε = w Transitivität :Seien w1 vp w2 und w2 vp w3 . Dann ex. u1 , u2 mit w1 u1 = w2 und w2 u2 = w3 . Also w1 (u1 u2 ) = (w1 u1 )u2 = w2 u2 = w3 ⇒ w1 vp w3 Antisymmetrie :Seien w1 vp w2 und w2 vp w1 . Dann ex. u1 und u2 mit w1 u1 = w2 und w2 u2 = w1 . Also w1 u1 u2 = w2 u2 = w1 . Somit muss | u1 |=| u2 |= 0 ⇒ u1 = u2 = ε ⇒ w1 = w2 Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 21/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Weitere Relation Frage Ist v mit w1 v w2 ⇔| w1 |≤| w2 | eine Halbordnung? Lösung Nein, Antisymmetrie ist verletzt. Zum Beispiel gilt über {a, b} dass aaa v bbb und bbb v aaa, aber aaa 6= bbb. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 22/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Inklusion Frage Ist ⊆ auf der Potenzmenge 2M der Menge M eine Halbordnung? Definition Die Potenzmenge 2M einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 23/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Inklusion Lösung Reflexivität :Für jede Teilmenge T der Menge M gilt: T ⊆ T , denn jede Menge ist ihre eigene Teilmenge Transitivität :Sind alle Elemente von T1 in T2 und alle Elemente von T2 in T3 , so sind auch alle Elemente von T1 in T3 . Also gilt T1 ⊆ T2 ∧ T2 ⊆ T3 ⇒ T1 ⊆ T3 . Antisymmetrie :Gilt für zwei Teilmengen T1 , T2 , dass T1 ⊆ T2 und T2 ⊆ T1 , so ist T1 = T2 , denn beide Mengen enthalten die Elemente der jeweils anderen Menge. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 24/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Hasse-Diagramm Jede Relation ist als Graph darstellbar. Bei Halbordnungen wird das aber ziemlich unübersichtlich. Beim Hasse-Diagramm HR zur Relation R werden alle reflexiven und transitiven Kanten weggelassen. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 25/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Überblick 1 Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelation von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen 2 Kongruenzrelationen Definitionen Arithmetik modulo n 3 Halbordnungen Definition Beispiele Hasse-Diagramm Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 26/28 Kongruenzrelationen Äquivalenzrelationen Halbordnungen Klausur Wichtig Die Klausur findet am 1. März um 17:00 statt. Was ist vor der Klausur sinnvoll? Anmeldung im Studienportal überprüfen! Skript aktiv lesen (Markieren, Notizen, Zusammenfassung, ...) Übungsblätter wiederholen, insbesondere rot angestrichenes Alte Klausuren lösen Bei Problemen Tutor E-Mail schreiben Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 27/28 Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik Halbordnungen 28/28
