Infos und¨Ubungen zur Zahlentheorie

J. Wolfart
SoSe 2012
Infos und Übungen zur Zahlentheorie
Literatur zur Vorlesung
G.H. Hardy, E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon
K. Ireland, M. Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer
P. Bundschuh: Zahlentheorie, Springer
M. Leutbecher: Zahlentheorie, Springer
R. Schulze–Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie, Springer
J. Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg+Teubner
G. Frey: Elementare Zahlentheorie, Vieweg
G.A. und J.M. Jones: Elementary Number Theory, Springer
Einige technische Informationen
Vorlesung ab sofort immer 8.10 bis 9.50 Uhr.
Die Abschlussklausur zur Vorlesung wird stattfinden am Dienstag, 10. Juli 2012, von
8.15 bis 9.45 Uhr, die Nachklausur dann am Mittwoch, 10.10.2012 von 10.15 bis
11.45 Uhr, beide im H II.
Die Übungen beginnen in der 2. Semesterwoche. Es gibt drei Übungsgruppen:
Montag 12–14 Uhr, Raum 308 der Robert–Mayer–Str. 6 (Behdju)
Dienstag 12–14 Uhr, Raum 901 der Robert–Mayer–Str. 10 (Behdju)
Mittwoch 8.30–10 Uhr, Raum 902 der Robert–Mayer–Str. 10 (Fr. Sikorski)
Die Teilnahme an den Übungen ist nicht verpflichtend, aber dringend zu empfehlen. Aktive
Teilnahme (mit Vorrechnen der eigenen Lösungen) wird honoriert: Jede komplett richtige
und selbständig formulierte Aufgabe bringt 4 Hausaufgaben–Punkte, 20 Hausaufgaben–
Punkte bringen einen Klausurpunkt, und mit 46 Klausurpunkten haben Sie die Klausur
bestanden.
1
Inhaltsverzeichnis der Vorlesung
Die Nummern in Klammern beziehen sich auf die einschägigen Kapitel meines Buchs.
I. Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit, Kongruenzen
1. Der euklidische Algorithmus (1.2, 3.4)
2. Eindeutige Primfaktorzerlegung (1.3, 3.4)
3. Kongruenzen und Reste (1.5)
4. Der kleine Satz von Fermat und seine Anwendungen (2.3, 5.1)
5. Pythagoräische Tripel, abc–Vermutung (3.5)
II. Die prime Restklassengruppe
6. Multiplikative zahlentheoretische Funktionen (4.1)
7. Die Struktur der primen Restklassengruppe (4.2)
8. Quadratische Reste (4.3, 7.4, 7.5)
9. Das quadratische Reziprozitätsgesetz (4.4)
10. Das Jacobisymbol (4.5)
11. Primzahltests und Primfaktorzerlegung (5.2, 5.3, 5.4)
12. Gaußsche Primzahlen und der Zwei–Quadrate–Satz (4.6)
III. Primzahlverteilung – ein kleiner Einblick
13. Wieviele Primzahlen? (1.4)
14. Elementare Spezialfälle des Satzes von Dirichlet (4.3)
15. Charaktere
16. L–Reihen
17. Der Beweis des Dirichletschen Satzes
Am Ende dieses files findet sich ein Mini–Skriptum für die Abschnitte 15 bis 17.
2
Übungsaufgaben
1. Mit Fn seien die Zahlen der Fibonaccifolge bezeichnet. Beweisen Sie
( √
!n
√ !n )
1
5+1
1− 5
Fn = √
.
−
2
2
5
2. Seien a, b ∈ Z mit dem größten gemeinsamen Teiler d . Wieviele Lösungen hat die
diophantische Gleichung xa + yb = d , und wie kann man alle Lösungen aus einer festen
Lösung gewinnen?
3. p(x), q(x) ∈ K[x] seien Polynome über einem Körper K von den Graden n und m . Finden Sie eine obere Abschätzung für die Anzahl der Divisionen mit Rest, die man benötigt,
um den größten gemeinsamen Teiler von p und q zu bestimmen!
4. Zerlegen Sie die Zahlen 12 + 3i und 13 − 13i ∈ Z[i] in Primzahlen des Gaußschen
Zahlrings.
Die Lösungen sind abzugeben am Freitag, 20. April, vor der Vorlesung – im Hörsaal oder
im Tutorenfach 44, 3.OG der Robert–Mayer–Str. 6.
5. Für alle m ∈ N wird die Folge der Fibonaccizahlen – eventuell nach endlich vielen
Anfangsgliedern – periodisch mod m . Warum?
6.
jedes a ∈ N ist nach dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung a =
Q Für
νp (a)
, wobei das Produkt formal über alle Primzahlen läuft. Beweisen Sie, dass für alle
pp
n∈N
n
n
n
νp (n!) =
+ 2 + 3 + ...
p
p
p
gilt. (Mit [ ] sind die Gaußklammern gemeint.)
7. Zeigen Sie: Die diophantischen Gleichungen y 2 = 8x3 + 3 und u2 = v 6 − 7v 5 + 5
besitzen keine ganzzahligen Lösungen. (Tipp: in Z/8Z bzw. Z/7Z rechnen!)
8. Lösen Sie die Kongruenzen
18x ≡ 3 mod 101 ,
24x ≡ 15 mod 291 ,
49x ≡ 35 mod 154 ,
33x ≡ 11 mod 163 .
Die Lösungen der Aufgaben 5 bis 8 sind am Freitag, 27. April, vor 11 Uhr abzugeben.
Achtung, Änderung: Montag–Übung in Raum 308
3
9. Mit wievielen Nullen endet die Zahl 1000 ! (geschrieben im Dezimalsystem)?
10. Welche natürlichen Zahlen n erfüllen ϕ(n) = n/3 ?
11. Für jede rationale Zahl r sei mit {r} := r − [r] der gebrochene Anteil von r bezeichnet,
also z.B. { 47 } = 43 , {3, 2} = 0, 2 , {− 57 } = 27 . Nun sei n ∈ N , n > 1 , und a ∈ Z zu n
teilerfremd, x durchlaufe die primen Restklassen mod n . Beweisen Sie
X n xa o
ϕ(n)
=
.
n
2
x
12. 17 chinesische Piraten erbeuten eine Truhe voller Goldstücke. Beim Versuch, diese
gleichmäßig zu verteilen, bleiben 7 Goldstücke übrig. Um diese entbrennt ein heftiger Streit,
bei dem einer der Piraten das Leben lässt. Die verbleibenden 16 versuchen erneut, die
Goldstücke gerecht zu verteilen und behalten 11 Münzen übrig. Bei der Auseinandersetzung um diese geht erneut einer der Streitenden über Bord. Den 15 Überlebenden gelingt
dann die Teilung. Wieviele Goldstücke müssen es mindestens gewesen sein?
Die Lösungen der Aufgaben 9 bis 12 sind am Freitag, 4. Mai, vor 11 Uhr abzugeben.
Einige Infos für L3–Studierende: Im aktuell gültigen Studienplan können Sie die Zahlentheorie für das Modul L3M–ME (Mathematische Ergänzungen) verwenden, dann können
Sie die nachfolgenden Absätze ignorieren, Sie brauchen nur die Klausur bzw. die Nachklausur zu bestehen. Zum Modul gehört noch ein L3–Seminar, dieses muss aber nichts mit
Zahlentheorie zu tun haben.
Wenn Sie die Zahlentheorie als Bestandteil des Moduls L3M–HM (,,Höhere Mathematik”)
studieren, gehört dazu noch eine 2–stündige Vorlesung und ein Seminar (zusammen 6 CP);
diese können entweder so erworben werden, dass Sie
- an der Vorlesung mit Übungen (1–stündig) teilnehmen, die Klausur dazu bestehen und
eine kleine Semesterarbeit dazu schreiben (ca. 3–4 Seiten; kein Seminar),
- oder an der Vorlesung ohne Übungen teilnehmen, aber die Klausur bestehen und im
Seminar einen brauchbaren Vortrag halten.
Ich plane, im Winter 12/13 als Fortsetzung der Zahlentheorie eine 2–stündige Vorlesung
über Diophantische Approximationen mit Übungen zu halten, dazu ein Seminar, das
auf der Zahlentheorie aufbaut. Wahrscheinlich wird auch Frau Werner geeignete Fortsetzungen anbieten, außerdem vielleicht Herr Bieri ein Blockseminar im März 2013, welches
ebenfalls in das Modul passen würde oder als L3–Seminar genutzt werden kann.
Aller Voraussicht nach wird in diesem Semester eine Änderung der L3–Studienordnung beschlossen. Neben ein paar Änderungen in der Reihenfolge der Veranstaltungen und einigen
Vereinfachungen der Prüfungsmodalitäten wird vor allem
- Elementarmathe I ersetzt werden durch ,,Grundlagen der Algebra” (2+1, im Anschluss
an die Lineare Algebra zu hören),
- Analysis II im Modul L3M–ME verbindlich vorgeschrieben,
4
- die kleine Vorlesung und das Seminar aus dem Modul L3M–HM entfallen; stattdessen
wird die Teilnahme an der ,,Einführung in die Computerorientierte Mathematik” (bisher
nur für Bachelor 1. Sem.) verbindlich vorgeschrieben.
Wie immer in solchen Fällen üblich, können Sie Ihr Studium nach der bisherigen Ordnung
abschließen. Es wird aber auch Übergangsregelungen geben, die eventuell attraktiv sind.
Wenn Ihnen z.B. nur noch die 6 CP aus dem Modul L3M-HM fehlen, dürften Sie stattdessen einfach die ,,Computerorientierte Mathematik” mitmachen und die 2+1–Vorlesung
bzw. das Seminar aus L3M–HM weglassen.
Optionen für die Bachelor–Studierenden im Anschluss: Die 4+2–Veranstaltung Zahlentheorie ist mit den Diophantischen Approximationen oder einer anderen 2+1–Veranstaltung
und/oder einem Seminar aus dem Bereich Algebra/Zahlentheorie nach der alten wie nach
der neuen Ordnung kombinierbar zu einem Wahlpflicht– oder einem Spezialisierungsmodul.
Einziges Problem dabei: In das Seminar werde ich nur 15 Leute aufnehmen, ziehen Sie also
auch Alternativen dazu in Erwägung – siehe oben. Ich bin auch bereit, im Anschluss an
das Seminar eine einstellige Anzahl von Bachelor–Arbeiten und Zulassungsarbeiten zum
Staatsexamen zu vergeben und zu betreuen.
Stundenplan: Die ,,Diophantischen Approximationen” habe ich für Mittwoch 8–10 Uhr angekündigt, aber bei früh vorgebrachten und schwerwiegenden Einwänden kann ich den Termin noch ändern. Eine Seminarvorbesprechung mit Vergabe der Vorträge werde ich noch
für den letzten Semestertag oder die ersten Ferienwochen ansetzen. Vorab–Reservierungen
werde ich nicht vornehmen.
13. Ermitteln Sie die Umkehrabbildung von (Z/1363Z)∗ → (Z/1363Z)∗ : x 7→ x11 .
Tipp: 1363 = 29 · 47
14. Man beweise: Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
15. Verifizieren Sie, dass für reelle s > 1 folgende Produktentwicklung gilt (P bezeichnet
die Menge aller Primzahlen):
ζ(s) =
X 1
Y
1
=
s
n
1 − p−s
N
P
16. Ein Analogon zu den Mersenne–(Prim)zahlen sind die Fermatzahlen 2k + 1 , k ∈ N .
Beweisen Sie: Wenn 2k + 1 Primzahl ist, dann ist k = 2n eine Zweierpotenz.
Die Lösungen der Aufgaben 13 bis 16 sind am Freitag, 11. Mai, vor 11 Uhr abzugeben.
Achtung: Den Termin der Nachklausur habe ich auf Mittwoch, 10.10. verlegt, um
Kollisionen mit Nachklausuren in El. Stochastik und Diskreter Mathematik zu vermeiden.
5
Q
17. n := kj=1 pj bestehe aus k verschiedenen Primfaktoren pj > 2 . Beweisen Sie, dass
die Kongruenz x2 ≡ 1 mod n genau 2k verschiedene Lösungen in (Z/nZ)∗ besitzt.
18. Folgern Sie aus Aufgabe 15, dass für s > 1 bzw. s > 2
ζ −1 (s) =
X µ(n)
ns
N
,
19. Für alle Primzahlen p ist
ζ 2 (s) =
X σ0 (n)
ns
N
,
(p − 1)! ≡ −1 mod p .
ζ(s) ζ(s − 1) =
X σ1 (n)
.
s
n
N
Warum?
20. Beweisen Sie n561 ≡ n mod 561 für alle n ∈ Z . Vorsicht: Eine direkte Anwendung
des kleinen Fermatschen Satzes ist nicht möglich, denn 561 ist keine Primzahl.
Die Lösungen der Aufgaben 17 bis 20 sind ausnahmsweise am Dienstag, 22. Mai, vor
der Vorlesung abzugeben.
21. a) Zeigen Sie, dass 2 eine Primitivwurzel für F29 ist.
b) Bestimmen Sie alle sieben Lösungen von x7 = 1 in F29 .
22. a) Sei p ≡ 2 mod 3 eine Primzahl. Zeigen Sie, dass jede Gleichung x3 = b in Fp genau
eine Lösung besitzt.
b) Sei p ≡ 1 mod 3 Primzahl. Zeigen Sie, dass es in F∗p zwei Elemente a der Ordnung 3
gibt, und dass diese die Gleichung a2 + a + 1 = 0 erfüllen.
c) Sei ord a = 3 für ein a ∈ Fp wie in Teil b). Beweisen Sie: ord (1 + a) = 6
23. Sei p > 2 prim.
a) Man beweise: Ein quadratischer Rest a mod p kann keine Primitivwurzel mod p sein.
b) Unter welcher notwendigen und hinreichenden Bedingung an p bilden die quadratischen
Nichtreste mod p gerade die Menge aller Primitivwurzeln?
24. Sei Qp ⊂ Fp die Menge der quadratischen Reste modulo der Primzahl p > 3 . Beweisen
Sie
X
a ≡ 0 mod p .
a∈Qp
Die Lösungen der Aufgaben 21 bis 24 sind am Freitag, 25. Mai, vor 11 Uhr abzugeben.
6
25. Beweisen Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse über Gaußsche Summen
√
2π
5−1
2 cos
=
.
5
2
26. Seien q > 2 und p = 4q + 1 beide prim (z.B. 3 und 13 bzw. 7 und 29). Beweisen Sie,
dass 2 dann eine Primitivwurzel mod p ist.
27. Berechnen Sie die Legendre–Symbole
29
311
,
,
97
313
233
541
,
−47
101
.
28. Sei p ≡ 3 mod 4 Primzahl. Beweisen Sie
p−1
! ≡ ±1 mod p .
2
n
29. Mit Fn := 22 + 1 seien jetzt die Fermatzahlen im engeren Sinne bezeichnet (also nicht
die Fibonacci–Zahlen, und nicht einfach alle 2k + 1 wie in Aufgabe 16). Beweisen Sie, dass
für je zwei n 6= m ∈ N0 die Zahlen Fn und Fm teilerfremd sind.
30. Man beweise:
−7
p
=1
3
=1
p
⇐⇒
p ≡ 1 , 2 oder 4 mod 7
⇐⇒
p ≡ ±1 mod 12
Verschnaufpause: Die Lösungen der Aufgaben 25 bis 30 sind am Freitag, 8. Juni, vor
11 Uhr abzugeben.
n
31. Fortsetzung von Aufgabe 23 b): Sei Fn := 22 + 1 , n ∈ N , eine Primzahl – stimmt
mindestens für 1 ≤ n ≤ 4 . Zeigen Sie, dass 3 dann Primitivwurzel mod Fn ist.
32. Beweisen Sie, dass Carmichael–Zahlen quadratfrei sind.
33. Warum sollte man für Pollards Rho–Methode besser kein lineares Polynom nehmen?
Die Lösungen der Aufgaben 31 bis 33 sind am Freitag, 15. Juni, vor 11 Uhr abzugeben.
Wer an Klausur oder Nachklausur teilnehmen möchte, möge sich bitte bis zum 15.6.
anmelden unter http://anmeldung.math.uni-frankfurt.de/
7
2πi
Lösung zu 25.) Sei ζ := e 5 , also 2 cos 2π
= ζ + ζ = ζ + ζ −1 = ζ + ζ 4 . Aus dem
5
Paragraphen über Gaußsche Summen wissen wir
X 2
√
ζ t = 1 + ζ + ζ 4 + ζ 9 + ζ 16 = 1 + 2(ζ + ζ 4 ) = 5
,
t mod 5
denn 5 ≡ 1 mod 4 ; dass die Wurzel das positive Vorzeichen hat, haben wir zwar nicht
allgemein bewiesen, ist hier aber klar, weil 1 und die Realteile von ζ und ζ 4 alle > 0 sind.
Die Behauptung der Aufgabe folgt durch Auflösen der letzten Gleichung nach ζ + ζ 4 .
Lösung zu 26.) ord 2 ist ein Teiler von p − 1 = 4q . Wäre 2 keine Primitivwurzel
mod p , dann müsste ord 2 sogar ein echter Teiler von 4q sein, also eine der beiden Kongruenzen
p−1
24 = 16 ≡ 1 mod p
oder
22q = 2 2 ≡ 1 mod p
gelten. Die erste Kongruenz ist offenbar falsch für p = 13 ; alle anderen fraglichen p sind
> 16 , dann wäre sie also erst recht falsch. Die zweite Kongruenz würde bedeuten, dass 2
quadratischer Rest mod p ist (Euler). Das würde dem zweiten Ergänzungsgesetz widersprechen, denn p ≡ 5 mod 8 .
n
Lösung zu 29.) Sei n < m . Wegen 22 ≡ −1 mod Fn ist
m
22 = 22
n ·2m−n
= 22
n
2m−n
≡ +1 mod Fn
⇒
m
Fm = 22 + 1 ≡ 2 mod Fn
,
somit teilerfremd zu Fn .
34. (Fortsetzung von 32.) Beweisen Sie, dass Carmichael–Zahlen mindestens drei Primfaktoren haben.
35. Finden Sie die kleinste natürliche Zahl, die sich auf zwei wesentlich verschiedene Weisen
als Summe zweier Quadrate ∈ N schreiben lässt, also als
n = a2 + b2 = c2 + d2 ,
{a, b} =
6 {c, d}
.
√
36. Beweisen Sie, dass in Z[ −2] ein euklidischer Algorithmus existiert.
37. Formulieren und beweisen Sie einen Satz darüber, welche natürlichen Zahlen sich in
der Form a2 + 2b2 , a, b ∈ Z , schreiben lassen.
Die Lösungen der Aufgaben 34 bis 37 sind am Freitag, 22. Juni, vor 11 Uhr abzugeben.
8
38. P bezeichne die Menge aller Primzahlen. Zeigen Sie, dass eine Konstante c > 0 existiert, so dass
X 1
≥ c log log x
.
p
p∈P , p≤x
39. f und g seien zwei multiplikative zahlentheoretische Funktionen, deren Wachstum
durch |f (n)| , |g(n)| < cnr beschränkt ist ( c, r > 0 reell). Zeigen Sie, dass ihre Dirichletreihen
X f (n)
X g(n)
und
ns
ns
n≥1
n≥1
beide für s > r + 1 absolut konvergieren, ebenso wie die Dirichletreihe für das Faltungsprodukt f ∗ g . Beweisen Sie
!
!
X f (n)
X g(n)
X f ∗ g(n)
=
·
.
ns
ns
ns
n≥1
n≥1
n≥1
40. a) Zeigen Sie, dass N = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 die einzigen natürlichen Zahlen sind, deren
Zahlcharaktere mod N außer 0 nur die Werte ±1 annehmen.
b) Zeigen Sie, dass (Z/8Z)∗ außer dem Hauptcharakter χ0 nur die drei Charaktere χ−1 , χ2 , χ−2
besitzt, welche definiert sind durch
−1
2
−2
∗
,
bzw.
.
(Z/8Z) → {±1} : n 7→
n
n
n
Die Lösungen der Aufgaben 38 bis 40 sind am Freitag, 29. Juni, vor 11 Uhr abzugeben.
Was Sie schon immer über die Klausur wissen wollten, ohne dass
Sie es zu fragen wagten:
Zeit und Ort: Die Klausur wird geschrieben am Dienstag, 10. Juli 2012, von 8.15
bis 9.45 Uhr im Hörsaal II, die Nachklausur dann am Mittwoch, 10.10.2012 von
10.15 bis 11.45 Uhr, ebenfalls im H II.
Sie dürfen die Nachklausur als Erstversuch nutzen, ich werde allerdings keine Nach–Nach–
Klausur schreiben, und in der Nachklausur kann es Aufgaben aus den letzten beiden Vorlesungen geben, die ich in der Klausur aussparen werde.
9
Ich hoffe, die Ergebnisse der Korrektur am Abend des Mittwoch, 11.7., bekanntgeben zu
können (Zimmertür Raum 205 der Robert–Mayer–Str. 6–8 und Homepage, natürlich anonymisiert per Matrikelnummern). Klausureinsicht gibt es dann im letzten Vorlesungstermin
am Freitag, 13.7., 8–10 Uhr im H 12. Dort kann ich auch Modulzettel unterschreiben und
stempeln; Vordrucke mitbringen!
Sitzordnung und Spielregeln: (Gelten entsprechend auch für die Nachklausur) Jede
zweite Reihe bleibt frei, zwischen Ihnen und Ihren nächsten Nachbarn sind mindestens
drei Plätze frei zu halten.
Verboten ist die Verwendung von Mobiltelefonen, Taschenrechnern, Laptops, Büchern
und Skripten. Am besten gar nicht erst mitbringen! Wenn Sie den Tag nicht ohne Ihr
Handy verbringen können, dann dieses ausschalten und tief in eine verschlossene Tasche
versenken. Jeder Betrugsversuch hat Ausschluss aus der Klausur und Note 6 zur Folge. Jeder Teilnehmer muss bis zum Ende der Klausur auf seinem Platz bleiben, die Klausur wird
um 9.45 Uhr am Platz eingesammelt. Toilettenbesuch nur einzeln und unter Zurücklassung
allen Materials.
Erlaubt ist ein eigenhändig handschriftlich hergestellter DIN A4 –Spickzettel, beidseitig
beschrieben (keine Kopie!).
Mitzubringen sind mindestens zwei funktionsfähige Stifte als Schreibzeug sowie ausreichend Papier, ebenso Personalausweis oder Goethecard. Diese sichtbar auf den Tisch legen!
Klausurstil und Bewertung: Die Klausur wird aus sechs Aufgaben bestehen, die zusammen bei komplett richtiger Lösung 100 Punkte bringen. In den ersten zwei Aufgaben sind
nur die Ergebnisse anzugeben, und nur diese zählen, Rechenweg egal. Also einfach Resultat
auf das Blatt eintragen, fertig. Für die Aufgaben 3 bis 5 ist eine kurze Begründung gefragt,
zwei bis höchstens fünf Zeilen genügen völlig. Nur die letzte Aufgabe erfordert etwas mehr
Beweis. Alles zu den Aufgaben 3 bis 6 bitte auf ein Extrablatt schreiben; auf alle Blätter
Ihren Namen!!
Notenpunkte und Noten ergeben sich aus den erreichte Klausurpunkten wie folgt (Übungen–
Bonus von bis zu 8 Klausurpunkten wird eingerechnet): Nicht bestanden ist die Klausur
mit
Klausurpunkten
Notenpunkten
Noten
0–24 25–30 31–35 36–40 41–45
0
1
2
3
4
6
5
5
5
5
Bestanden ist sie mit (Zeilen geben wieder Klausurpunkte, Notenpunkte, Note an)
46–50 51–55 56–60 61–65 66–70 71–75 76–80 81–85
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
3
3
3
2
2
2
10
86–90 91–95 > 95
13
14
15
1
1
1
Mini–Skriptum
Nachtrag zu 14. Es gibt unendlich viele Primzahlen p ≡ 1 mod 6 .
Zum Beweis nehmen wir an, p1 , . . . , pm seien die einzigen Primzahlen ≡ 1 mod 6 und
definieren
M := (2 · p1 · . . . · pm )2 + 3 .
Die einzigen Primteiler q von M erfüllen dann q ≡ −1 mod 6 , insbesondere q ≡ 2 mod 3 ,
somit ( 3q ) = −1 .
Da M − 3 ein Quadrat ist, folgt aus dem chinesischen Restsatz, dass −3 quadratischer
Rest modulo jedem Primteiler q von M ist. Dazu erhalten wir den Widerspruch
q −1
3
−3
=
=
= −1 ,
q
q
q
3
denn
−1
3
q
, wenn q ≡ 1 mod 4 und
= 1 und
=
q
q
3
q −1
3
= −1 und
=−
, wenn q ≡ 3 mod 4 . 2
q
q
3
15. Charaktere
Sei A eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). χ : A → C∗ heißt ein
Charakter der Gruppe A wenn χ ein Gruppenhomomorphismus ist, d.h.
für alle a, b ∈ A
χ(ab) = χ(a) χ(b)
erfüllt. Aus der Homomorphie folgt sofort
χ(1) = 1
und
χ(a−1 ) = χ(a)−1
für alle a ∈ A ,
wenn wir in beiden Gruppen das neutrale Element mit 1 bezeichnen. In additiv geschriebenen Gruppen A lauten die entsprechenden Eigenschaften natürlich
χ(a + b) = χ(a) χ(b) ,
χ(0) = 1 ,
χ(−a) = χ(a)−1 .
Da unsere Gruppe multiplikativ und endlich sein soll, gibt es zu jedem a ∈ A eine endliche
Ordnung ord a , den kleinsten natürlichen Exponenten n mit an = 1 . Für jeden Charakter
folgt daraus χ(a)n = 1 , die Werte müssen also n–te Einheitswurzeln sein. Da ord a stets
ein Teiler der Gruppenordnung N = |A| ist, gilt
11
Lemma 1 Die Charaktere einer abelschen Gruppe A der Ordnung N sind Homomorphismen von A in die Gruppe der N –ten Einheitswurzeln.
Die Menge aller Charaktere von A sei mit  bezeichnet. Da das Bild eine multiplikative
Gruppe ist, lassen sich Charaktere von A multiplizieren: Für alle χ, ψ ∈ Â sei
χ · ψ : A → C∗ : a 7→ χ(a) ψ(a) ∈ C∗
definiert. Es ist leicht zu sehen, dass χψ wieder ein Charakter ist, und dass mit dieser
Multiplikation  sogar eine Gruppe wird, die Charaktergruppe von A : Das Einselement
von  ist der Hauptcharakter χ0 , der jedes a ∈ A auf 1 abbildet, und der zu χ inverse
Charakter ist durch die dazu komplex konjugierte Abbildung χ gegeben; man beachte, dass
alle χ(a) Einheitswurzeln sind und darum χ(a)χ(a) = 1 für alle a erfüllt ist.
Satz 2 In einer endlichen abelschen Gruppe gilt
raktere χ 6= χ0 ist
X
χ(a) = 0
P
A
χ0 (a) = ord A , aber für alle Cha-
,
a∈A
denn wenn χ(b) 6= 1 , gilt
X
X
X
χ(a) =
χ(ba) = χ(b) ·
χ(a)
a∈A
a∈A
a∈A
⇒
X
χ(a) = 0 .
2
a∈A
Auf zyklischen Gruppen A = hgi sind alle Charaktere durch ihren Wert auf dem erzeugenden Element g eindeutig festgelegt wegen
χ(g) = ζNk := e
2πik
N
⇒
χ(g m ) = ζNkm ;
Wenn wir diesen Charakter also mit χk bezeichnen, hängt er nur von der Restklasse k mod
N ab. Andererseits definiert jedes k ∈ Z/N Z ein solches χk , und für zwei k, l ∈ Z/N Z
ist χk · χl = χk+l . Es existieren also die folgenden Gruppenisomorphismen (Erinnerung:
Das sind Bijektionen, die mit den Gruppenoperationen verträglich sind und insbesondere
das neutrale Element auf das neutrale Element, inverse auf inverse abbilden), kurz in der
Form ,,∼
=” geschrieben:
A ∼
= (Z/N Z, +) ∼
= Â
Die erste Isomorphie kennen wir bereits aus dem Kapitel über den kleinen Fermat’schen
Satz. Dass  isomorph zu A ist, gilt nicht nur für zyklische Gruppen:
Satz 3 Für alle endlichen abelschen Gruppen ist A ∼
= Â .
Allerdings erfordert der Beweis ein Hilfsmittel, das wir in dieser Allgemeinheit hier nicht
beweisen werden, den Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen:
12
Satz 4 Jede endliche abelsche Gruppe ist ein direktes Produkt zyklischer Untergruppen.
Erinnerung: Ein direktes Produkt von Gruppen A1 × . . . × Am ist zunächst ein direktes
Produkt von Mengen, in dem die Gruppenverknüpfung komponentenweise definiert wird,
also bei multiplikativ geschriebenen Gruppen
(a1 , . . . , am ) · (b1 , . . . , bm ) := (a1 b1 , . . . , am bm )
.
Wir kennen diese Zerlegung abelscher Gruppen in zyklische Faktoren bereits von der primen Restklassengruppe modulo Zweierpotenzen oder allgemeiner bei der Zerlegung von
(Z/N Z)∗ vermöge des chinesischen Restsatzes in prime Restklassengruppen modulo Primpotenzen. Natürlich lassen sich auch die additiven Restklassengruppen in solche Faktoren
modulo Primpotenzen zerlegen; dort ist es allerdings weniger wichtig, weil (Z/N Z, +)
sowieso zyklisch ist, erzeugt von jedem [a]N , (a, N ) = 1 .
Beweis von Satz 3. Sei A = A1 × . . . × Am , dabei alle Aj zyklisch von der Ordnung nj ,
und seien g1 , . . . , gm Erzeugende der Untergruppen A1 , . . . , Am , also alle ord gj = nj .
Wir definieren für alle j = 1, . . . , m
km
χj : A → C∗ : (g1k1 , . . . , gm
) 7→ ζnkjj
;
Dieser Charakter hängt also nur von der j–ten Komponente im direkten Produkt ab. Jeder
beliebige Charakter χ ∈ Â lässt sich nun als Potenzprodukt der χj schreiben: Sei nämlich
b
χ(gj ) = ζnjj für alle j (warum muss der Wert von χ auf diesem Element so aussehen?),
dann ist
χ = χ1b1 · . . . · χbmm
mit eindeutig bestimmten Exponenten bj ∈ Z/nj Z ,
und daraus folgt sofort
 ∼
= A .
= Z/n1 Z × . . . × Z/nm Z ∼
= A1 × . . . × A m ∼
2
Satz 3 hat eine für unsere Zwecke äußerst nützliche Folgerung, gewissermaßen eine Dualisierung von Satz 2 :
Folgerung 1 Sei A eine endliche
(multiplikativ geschriebene) abelsche Gruppe mit ChaP
raktergruppe  . Dann gilt
χ(1)
= ord A , aber für jedes feste a ∈ A , a 6= 1 ist
Â
X
χ(a) = 0
.
χ∈Â
Zum Beweis kann man den gleichen Trick wie zum Beweis von Satz 2 anwenden: Man
P wähle
einen Charakter ψ von A mit ψ(a) 6= 1 und überlege sich, dass die Summe
(ψχ)(a)
einerseits das gleiche Ergebnis haben muss, andererseits das Ergebnis mit dem Faktor ψ(a)
13
multipliziert. Die einzige Hürde dabei ist: Warum existiert ein solches ψ ? Wegen a 6= 1
gibt es in der Produktzerlegung von Satz 3 mindestens eine Komponente aj 6= 1 von a .
Dann tut’s das im Beweis von Satz 3 benutzte χj =: ψ .
2
Es sei angemerkt, dass für die Zwecke unserer Vorlesung Satz 4 nicht wirklich verwendet
wird, weil wir Satz 3 und die Folgerung 1 auf prime Restklassengruppen anwenden werden,
und für diese folgt die Aussage von Satz 4 aus dem chinesischen Restsatz bzw. unseren
Sätzen über die Struktur der primen Restklassengruppe für Primpotenzmoduln.
Allerdings modifizieren wir jetzt den Begriff des Charakters, um ihn für die Zwecke der
Zahlentheorie besser anzupassen. Wir bezeichnen χ : N → C als Zahlcharakter mod N ,
wenn es auf den a ∈ N mit (a, N ) = 1 mit einem Charakter auf der Restklassengruppe
(Z/N Z)∗ übereinstimmt (den wir dann – etwas schlampig – genauso bezeichnen) und der
auf den anderen Zahlen ergänzt wird durch die Definition
χ(a) := 0 ,
wenn (a, N ) 6= 1 .
Folgerung 1 lässt sich also unter diesen Bedingungen formulieren als
Folgerung 2 Bei Summation über alle Zahlcharaktere mod N ergibt sich für a ∈ N
X
ϕ(N ) für a ≡ 1 mod N
χ(a) =
.
0
sonst
χ
16. L–Reihen
Klar, dass mit dieser erweiterten Definition χ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion wird. Ihre Dirichletreihe
∞
X
χ(n)
L(s, χ) :=
ns
n=1
wird L–Reihe genannt und konvergiert absolut für reelle s > 1 , denn wegen |χ(n)| ≤ 1
bildet die Riemann’sche Zetafunktion ζ(s) offensichtlich eine Majorante. Ebenso wie die
Zetafunktion lassen sich die L–Reihen für s > 1 in Eulerprodukte
L(s, χ) =
Y
p/|N
1
1 − χ(p)p−s
entwickeln. Man beachte, dass für den Hauptcharakter ,,fast” die Zetafunktion entsteht;
es fehlen einzig die (endlich vielen) Eulerfaktoren für die Primteiler p | N , die sogar für
s > 0 absolut konvergieren:
Y
L(s, χ0 ) = ζ(s)
(1 − p−s )
p|N
14
Zur Konvergenz des Eulerprodukts und seine Umrechnung in die Dirichletreihe sei zunächst
an den Cauchyschen Doppelreihensatz erinnert: Produkte endlich vieler Reihen darf man
gliedweise multiplizieren, wenn alle endlichen Teilsummen von Absolutwerten durch eine
gemeinsame Konstante nach oben beschränkt sind; damit ist die Produktbildung
von endQ
lich vielen Eulerfaktoren für s > 0 P
gerechtfertigt. Unendliche Produkte
cp komplexer
Zahlen cp 6= 0 konvergieren, wenn
log |cp | konvergiert, und in unserem Fall kann man
die Abschätzung
1
log |
= log |1 − χ(p)p−s | ≤ log(1 + p−s ) ≤ p−s
|
1 − χ(p)p−s
P −s
benutzen: Da die Reihe
n jedenfalls für s > 1 konvergiert, gilt dasselbe erst recht bei
Summation über die Primzahlen. Für die Charaktere χ 6= χ0 brauchen wir allerdings ein
besseres Konvergenzresultat. (Alles, was hier über Konvergenz gesagt wird, gilt übrigens
auch für komplexe s mit Re s > 0 bzw. 1 , und im Limes erhält man sogar holomorphe
Funktionen, aber das wird nur für feinere Versionen des Dirichlet’schen Satzes benötigt.)
Satz 5 Für Zahlcharaktere χ 6= χ0 modulo N konvergiert die L–Reihe L(s, χ) für s > 0
gegen eine differenzierbare Funktion.
P
Beweis. Sei S(n) := nk=1 χ(k) . Aus Satz 2 folgt S(N ) = 0 und ebenso, dass S(n) nur
von der Restklasse n mod N abhängt; da alle |χ(k)| = 1 sind und nicht alle χ(k) gleich
sind, gilt für alle n die Abschätzung
|S(n)| < ϕ(N ) < N
.
Wir schreiben Partialsummen von L(χ, s) folgendermaßen um:
m
X
χ(k)
k=1
ks
= 1+
m
X
S(k) − S(k − 1)
k=2
ks
= 1+
m
X
S(k)
k=2
ks
−
m
X
S(k − 1)
k=2
ks
m−1
X
S(m)
1
1
=
+
S(k)
−
ms
k s (k + 1)s
k=1
Mit Hilfe unserer Abschätzung für alle |S(k)| und des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gewinnen wir daraus die Abschätzung
!
m
m−1
X
X
χ(k)
1
1
+s
,
≤ N
s s
s+1
k
m
k
k=1
k=1
deren rechte Seite für m → ∞ wegen s > 0 konvergiert. Die Differenzierbarkeit der
Grenzfunktion könnte man einfacher mit funktionentheoretischen Argumenten beweisen,
aber reell ist es auch nicht schwer: Es ist noch die normale Konvergenz der Ableitungen der
15
Partialsummen nach s zu zeigen. Dazu wähle man sich ein festes abgeschlossenes Intervall
auf der positiven reellen Zahlengeraden und betrachtet dort die Ableitung
!0
m
m
X
X
χ(k)
− log k · χ(k)
=
s
k
ks
k=1
k=1
und führt genau die gleichen Abschätzungen wie vorhin durch. Am Ende ist nur zu beachten, dass für alle ε > 0
1
log k
< s+1−ε
s+1
k
k
für fast alle k ist; man wähle ε so klein, dass für alle s ∈ I immer noch s + 1 − ε > 1 gilt,
dann bleibt die Abschätzung erhalten.
2
Als besonders wichtig wird sich das Verhalten im Punkt s = 1 herausstellen, wir notieren
darum
Folgerung 3 Für alle Charaktere χ 6= χ0 konvergieren
lim L(s, χ) =
s→1
X χ(k)
n≥1
k
=
Y
p/|N
(1 −
χ(p) −1
)
p
.
Für χ0 wird noch eine genauere Aussage benötigt, und dazu schicken wir eine Integraldarstellung für die Partialsummen der Zetafunktion voraus. ([ ] bezeichne die Gaußklammer.)
Lemma 6
Z n
Z n
n
X
1
1
1
(x − [x]) · s+1 dx
= 1+
dx − s
s
s
k
x
1 x
1
k=1
für alle s > 1 .
Der Beweis folgt aus
Z n
n−1 Z k+1
n−1 X
X
1
dx
1
1
[x] · s+1 dx = s
k · s+1 =
k
−
s
s
x
x
k
(k + 1)s
k
1
1
1
= 1+
1
1
n−1
+
.
.
.
+
−
2s
(n − 1)s
ns
2
und elementaren Integrationsregeln.
Folgerung 4 Wenn s von oben gegen 1 geht, konvergieren
lim(s − 1)ζ(s) = 1
s→1
und
lim(s − 1)L(s, χ0 ) =
s→1
Y
1
(1 − ) .
p
p|N
Wenn man die Werte von (s − 1)ζ(s) und (s − 1)L(s, χ0 ) in s = 1 durch diese Limites
stetig ergänzt, werden beide Funktionen differenzierbar in s > 0 .
16
Aus Lemma 6 folgt nämlich via Limesbildung n → ∞ zunächst für s > 1
Z ∞
1
1
ζ(s) = 1 +
(x − [x]) · s+1 dx
−s
s−1
x
1
mit einem Integral, welches sogar für s > 0 konvergiert. Damit ist klar, dass in s = 1
nur ein Pol der Ordnung 1 vorliegt, der durch Multiplikation mitQs − 1 beseitigt wird. Die
Behauptung für L(s, χ0 ) folgt daraus durch Multiplikation mit p|N (1 − p−s ) .
2
Da wir im Beweis des Dirichletschen Satzes mit Logarithmen von L–Reihen arbeiten werden, brauchen wir außerdem, dass alle anderen L–Reihen in s = 1 nicht verschwinden.
Satz 7 Für alle χ 6= χ0 ist L(1, χ) 6= 0 .
Q
für s → 1 gegen einen endlichen Wert konBeweis. Andernfalls würde
χ L(s, χ)
vergieren, wenn das Produkt über alle Zahlcharaktere mod N läuft, und mit stetiger
Ergänzung durch diesen Limes wäre das Produkt auf der Halbgeraden s > 0 differenzierbar. Sei zunächst s > 1 . Dann sind alle Eulerfaktoren der L–Reihen, also auch die Werte
der L–Reihen 6= 0 , wir dürfen also logarithmieren und anstelle des Produkts die Funktion
Q(s) := log
Y
L(χ, s) = log
χ
YY
(1 −
χ p/|N
XX
χ(p)
χ(p) −1
)
=
log(1 − s )−1
s
p
p
χ
p/|N
untersuchen. Nun ist aber
log(1 −
X χ(pj )
χ(p) −1
)
=
ps
jpsj
j≥1
,
und Folgerung 2 sorgt wegen der Summation über alle χ dafür, dass in der Reihe für Q
nur noch die Glieder pj ≡ 1 mod N übrigbleiben:
X
Q(s) = ϕ(N )
pj ≡1 mod N
1
jpjs
Alle Glieder der Summe sind > 0 für alle s > 1 , dort können also keine Nullstellen der
L–Reihen liegen, und es gilt dort sogar
Y
L(s, χ) = eQ(s) > 1
.
χ
Es sei gleich erwähnt, dass die Reihe für Q im Punkt
Satz sind nämlich alle pϕ(N ) ≡ 1 mod N , also ist
Q(
1
ϕ(N )
divergiert: Nach dem Fermatschen
X 1
1
) ≥ ϕ(N )
ϕ(N )
ϕ(N )p
p/|N
17
,
wenn man die Summation nur auf j = ϕ(N ) einschränkt. Die Summe aller p−1 divergiert
aber, wie wir aus Aufgabe 38 wissen; daran ändern die endlich vielen p|N natürlich nichts.
Wir machen nun eine vereinfachende Annahme, dass L(1, χ1 ) = 0 ist für einen komplexen
Charakter χ1 , der also nicht nur die Werte ±1 annimmt. Dann ist χ2 := χ1 6= χ1 ein
weiterer Charakter, für den ebenfalls L(1, χ2 ) = 0 ist, denn alle Partialsummen sind
komplex konjugiert zu den Partialsummen von L(1, χ1 ) . Beide sind differenzierbar in s =
1 , also existieren die Limites
lim
s→1
L(s, χ1 )
s−1
und
lim
s→1
L(s, χ2 )
s−1
.
Weil der Hauptcharakter der einzige ist, für den L(1, χ0 ) singulär ist, wäre dann nach
Folgerung 4
lim
s→1
Y
χ
L(s, χ) = lim (s − 1)L(s, χ0 ) ·
s→1
Y
L(s, χ1 )
· L(s, χ2 ) ·
L(s, χ) = 0
s−1
χ6=χ ,χ ,χ
0
1
2
im Widerspruch dazu, dass alle Funktionswerte > 1 sein müssten für s > 1 .
Es bleibt also nur der Fall zu betrachten, dass L(1, χ) = 0 ist für einen reellen Charakter
6= χ0 , und zwar nur für einen einzigen, denn andernfalls könnte man genau wie eben
argumentieren. Dieser Fall ist leider viel aufwändiger, und darum setzen
wir nochmal ganz
Q
neu an. Wir dürfen dann annehmen (Folgerung 4), dass dann
L(s,
χ) auf s > 0
χ
differenzierbar ist. Das heißt nicht automatisch, dass das Produkt dieser Dirichletreihen
für alle s > 0 gegen diese FunktionQkonvergiert, jedenfalls wäre aber Q(s) konvergent auch
in s = 1 , darum ebenso f (s) := χ L(s, χ) = eQ(s) . Die Dirichletreihe für Q(s) hat nur
Koeffizienten ≥ 0 ; Einsetzen in die Exponentialreihe ergibt wieder eine Dirichletreihe
Y
χ
L(s, χ) =
∞
X
bk
ks
k=1
mit
bk ≥ 0
,
konvergent für alle s , für welche auch Q(s) konvergiert. Wichtig: Da alle Koeffizienten ≥ 0
sind, darf diese Reihe – wenn sie konvergiert – sogar beliebig umgeordnet werden.
Sei nun
∞
X
bk
s0 := inf{s | Q(s) konvergent } = inf{s |
ks
k=1
konvergent } .
1
Wir wissen bereits, dass s0 ≥ ϕ(N
> 0 ist (tatwsächlich wird sich durch den Dirichletschen
)
Satz herausstellen, dass s0 = 1 ist, aber das dürfen wir hier nicht verwenden), und wir
wollen beweisen, dass die Reihe in s0 selbst divergiert. Daraus würde
lim f (s) = ∞
s→s0
18
folgen im Widerspruch zur Differenzierbarkeit von f . In allen s > s0 ist f (s) :=
P∞ bk
k=1 ks gliedweise beliebig oft differenzierbar mit
f
(n)
∞
X
bk (− log k)n
(s) =
ks
k=1
Q
χ
L(s, χ) =
.
Mit einer Restglied–Abschätzung zeigt man, dass f für s > s1 > s0 sogar durch seine
Taylorreihe dargestellt wird, nämlich
!
!
∞
∞
∞
∞
X
X
(s1 − s)n X (log k)n
(s − s1 )n X (− log k)n
=
.
f (s) =
bk
bk
n!
k s1
n!
k s1
n=0
n=0
k=1
k=1
Angenommen, f wäre auch in s0 differenzierbar, dann müsste diese Reihe sogar für s < s0
konvergieren. Für s < s1 sind aber alle Glieder der Doppelreihe positiv, man darf also
beliebig umordnen:
!
∞
∞
∞
∞
X
X
X
bk (s1 −s) log k
bk X (s1 − s)n
bk
n
(log
k)
=
< ∞
e
=
s
s
s
1
1
k
n!
k
k
n=0
k=1
k=1
k=1
im Widerspruch zur Definition von s0 . Somit können f und Q in s0 keinen endlichen Wert
haben.
2
17. Der Beweis des Dirichletschen Satzes
Satz 8 Sei N > 1 eine natürliche Zahl. In jeder primen Restklasse modulo N liegen
unendlich viele Primzahlen.
Genau genommen wird weit mehr gezeigt, dass nämlich für jedes a ∈ Z mit (a, N ) = 1
die Reihe über die Primzahlen
X
1
p
p∈P, p≡a mod N
divergiert; in einem ziemlich präzisen Sinn gibt es also weit mehr Primzahlen p ≡ a mod N
als Qadratzahlen in N .
Zum Beweis gehen wir zunächst ähnlich wie im Beweis von Satz 7 vor und untersuchen für
reelle s > 1 die Logarithmen der L–Reihen (Erinnerung: Diese sind dort 6= 0 .)
log L(s, χ) = log
Y
p/|N
(1 −
X
X X χ(pj )
χ(p) −1
χ(p) −1
)
=
log(1
−
)
=
ps
ps
jpsj
j≥1
p/|N
19
p/|N
,
spalten die rechte Seite auf in
X χ(p)
p/|N
ps
+ g(s, χ)
mit
g(s, χ) :=
X X χ(pj )
p/|N j≥2
jpsj
.
j
Da alle |χ(pP
)| = 1 sind, werden selbst die Reihen der Absolutglieder von g(s, χ) nach
oben durch N n−2s abgeschätzt, konvergieren also für s > 12 absolut und spielen deshalb
für die Konvergenz in s = 1 keine Rolle.
Nun sei b ∈ Z so gewählt, dass ab ≡ 1 mod N . Bei der Summation über alle Zahlcharaktere modulo N erhalten wir aus Folgerung 2
X
χ(bp) = 0
außer für
p ≡ a mod N
,
χ
darum also
X
p∈P, p≡a mod N
X χ(p)
1 X X χ(bp)
1 X
1
=
=
χ(b)
=
ps
ϕ(N ) χ p∈P ps
ϕ(N ) χ
ps
p∈P
=
1 X
χ(b) (log L(s, χ) − g(s, χ))
ϕ(N ) χ
.
Diese Funktionen haben für s → 1 alle einen wohldefinierten Limes mit Ausnahme von
log L(s, χ0 ) , das dort wie − log(s − 1) gegen ∞ geht. Damit ist die fragliche Divergenz
gezeigt.
2
20
Trainingsaufgaben für die Nachklausur
41. Finden Sie (ohne Taschenrechner) jeweils alle Lösungen von
x2 ≡ 1 mod 143
und von
y 2 ≡ 1 mod 144 .
Tipp: Weder 143 noch 144 sind Primzahlen. Lösen Sie die Aufgabe für deren Primpotenzfaktoren und wenden dann den chinesischen Restsatz an.
42. Zeigen Sie, dass es keine pythagoräischen Zahlentripel a, b, p ∈ N gibt mit
a2 + b 2 = p 2 ,
≡ 3 mod 4 ist.
wenn p Primzahl
Tipp: Nutzen Sie Ihre Kenntnisse über die Zahlentheorie in Z[i] .
43. Warum gibt es keine nichtkonstanten Polynome P (x), Q(x) ∈ C[x] mit
P 6 − Q5 = 1
?
Tipp: Der abc–Satz für Polynome.
44. Beweisen Sie für s > 1 die folgende Gleichung:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
log 1 − s + s − s + s − s ± . . .
1 + s + s + s + s + s + ...
=
2
4
5
7
8
2
4
5
7
8
X
1
1
1
1
1
1
= 2· 1+
+
+
+
+
+
.
.
.
=
2
·
s
s
s
s
s
2·4
7
13
4 · 16
19
jpjs
j
p∈P , j∈N , p ≡1 mod 3
Tipp: Mini–Skriptum, Beweis von Satz 7 .
45. Beweisen Sie, dass für s > 1 die Gleichung
(1 − 31−s )ζ(s)
=
1+
2
1
1
2
1
1
− s + s + s − s + s ± ...
s
2
3
4
5
6
7
,
richtig ist und dass diese Reihe sogar für s > 0 konvergiert.
Tipp: Mini–Skriptum, Beweis von Satz 5 .
Für alle, die sich mit diesen Aufgaben beschäftigt haben, gibt es zwei zusätzliche Übungs–
und Fragestunden am Freitag, 28.9., und Dienstag, 2.10., jeweils von 14 bis 16 Uhr
im großen Hörsaal 308 der Robert–Mayer–Str. 6 . Nachklausur am Mittwoch, 10.10.,
10–12 Uhr im H II .
21