Formelsammlung für das Modul „Theoretische Grundlagen der
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TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Geowissenschaften, Geotechnik und Bergbau Institut für Geotechnik Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau Formelsammlung für das Modul „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand: Mai 2014) Prof. Dr.-Ing. habil. H. Konietzky Dr.-Ing. A. Hausdorf Dr. rer. nat. M. Herbst Richtigkeitsvorbehalt: Trotz gründlicher Überarbeitung können inhaltliche Fehler nicht völlig ausgeschlossen werden. Deshalb erfolgt die Freigabe dieser Formelsammlung unter Ausschluss jeglicher Gewährleistung durch die Autoren und durch das Institut für Geotechnik. Hinweise auf Fehler und Anregungen für inhaltliche und formale Verbesserungen nehmen die Autoren gern entgegen. Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ Inhaltsverzeichnis: Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau ......................................................... 1 1 Ebene Deformation und Deformationsfelder ................................................................. 4 1.1 Verschiebungen ......................................................................................................... 4 1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung) ............................................. 4 1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation ................................................................ 8 1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen ...................................................... 9 1.5 Deformationstensor ............................................................................................ 10 1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung) ............................................. 11 2 Ebene Spannungsfelder .............................................................................................. 12 2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht ............................................................................. 12 2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen ............................................................................... 12 2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors ................................... 13 2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz .................................................................. 14 2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen ................................................ 16 2.6 Der Mohrsche Spannungskreis ................................................................................ 19 2.7 Invarianten des Spannungstensors .......................................................................... 21 2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen ............................................... 22 2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten ............................................................................... 23 3 Ebene Elastizitätstheorie ............................................................................................. 25 3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz ........................................................... 25 3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie ....................................................... 28 3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme ............................................................ 28 3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion ............................................................... 28 3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie ..................... 29 3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip ................ 29 3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten ..................... 30 4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität ............................................................. 33 4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen .................................... 33 4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes ............................. 33 5 Rheologisches Materialverhalten ................................................................................ 35 5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens ....................................................... 35 1/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften ................................................................. 36 5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke ................................................................ 40 6 Sickerströmung in Böden und Fels ............................................................................. 41 6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy ................................................................. 41 6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar ............................................. 42 7. Bruch- und Schädigungsmechanik............................................................................. 43 2/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Literaturempfehlungen Grundlagen Mechanik Backhaus, G.: „Deformationsgesetze”, Akademie-Verlag Berlin, 1983 Betten, J.: “Kontinuumsmechanik”, Springer-Verlag, 1993 Becker, W.; Gross, D.: „Mechanik elastischer Körper und Strukturen“ Springer-Verlag, 2002 Gross, D.; u. a.: “Technische Mechanik 4”, Springer-Verlag, 2002 Kreißig, R.; Benedix, U.: „Höhere technische Mechanik“, Springer-Verlag, 2002 Chandrasekharaiah, D.S.; Debnath, L.: „Continuum Mechanics“ Academic Press, 1994 Ottosen, N.S., Ristinmaa, M. “The Mechanics of Constitutive Modeling”, Elsevier, 2005 Grundlagen Geomechanik Obert, L.; Duvall, W. I.: Rock Mechanics and the Design of Structures in Rock“ John Wiley & Sons, 1967 Jaeger, J.C.; Cook, N.G.W. Zimmermann, R.W. “Fundamentals of Rock Mechanics” Blackwell Publishing, Fourth Edition, 2007 Bell, F. G. (Editor): “Engineering in Rock Masses”, Butterworth – Heinemann, 1992 Ramsay, J.G.; Lisle, R.J.: “The techniques of modern structural geology, Vol. 3: Applications of continuum mechanics in structural geology”, Academic Press, 2000 Hudson, J. A. (Editor) “Comprehensive Rock Engineering” Pergamon Press, 1993, Vol. I – V Brady, B.H.G.; Braun, E.T.: “Rock Mechanics for underground mining”, George Allen & Unwin, 1985 Charlez, Ph. A.: "Rock Mechanics”, Vol. I: Theoretical Fundamentals Editions Technip, 1991 Pariseau, W.G.: “Design Analysis in Rock Mechanics”, Taylor & Francis, 2007 Hudson, J.A.: “Engineering Rock Mechanics”, Pergamon Press, 1997 Mandl, G. “Faulting in brittle Rocks”, Springer-Verlag, 2000 Atkinson, B.K. (Ed.) “Fracture Mechanics of Rocks”, Academic Press, 1987 Singh, R.N. Ghose, A,K. “Engineered Rock Structures in Mining and Civil Constructions”, Taylor & Francis, 2006 Zeitschriften 1. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science 2. Rock Mechanics and Rock Engineering 3. Geotechnik 4. Felsbau 5. Bautechnik 3/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 1 Ebene Deformation und Deformationsfelder 1.1 Verschiebungen y K K y (x, y) y (x, y) uy u ux x x x x x u = (ux, uy) = x x Differenz der Ortsvektoren u = ( x - x, y - y) Koordinatendifferenzen 1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung) y dl P x dl P x x - Punkt P und infinitesimale Kreisumgebung - Punkt P und infinitesimale elliptische Umgebung K Verformung K Verzerrung des Koordinatennetzes: Die Lage benachbarter Punkte wird verändert! Ein Linienelement in K hat vor der Deformation die Länge dl und den Orientierungswinkel (dl,x) = (: Winkel zwischen dem Linienelement und der positiven x - Achse). 4/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Nach der Deformation gilt: dl d l und Winkel (dl, x) Winkel ( d l , x) und D. h., es sind eine absolute Längenänderung dl - d l und eine absolute Winkeländerung - möglich. Allgemein: Jedes Linienelement kann bei einer ebenen Deformation Längenänderungen und Winkeländerungen erfahren. Definition relative Längenänderung: Die dimensionslose Größe d l dl 0 dl 0 2 = (x,y,) heißt infinitesimale Dehnung (oder Zusammendrückung) eines beliebig gelegenen Linienelementes. [Einheit (): dimensionslos, % oder ‰] Es gilt: () = 0 d l = dl (keine Längenänderung) () > 0 d l > dl (Dehnung) () < 0 d l < dl (Zusammendrückung oder Stauchung) Spezielle Linienelemente (Sonderfälle ohne Winkeländerung) a) dl = dx: d l = dx (dx: infinitesimal kleines Linienelement II zur x-Achse) y 0 x dx dx ux dx x dx dx x x x (relative Längenänderung in x-Richtung) : partielle Ableitung, da ux = f(x, y) gilt 5/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) b) dl = dy: d l = dy (dy: infinitesimal kleines Linienelement II zur y-Achse) dy dy uy y 2 dy y dy y dy x x x (relative Längenänderung in y-Richtung) Relative Winkeländerung (ohne Längenänderung) Im Punkt werden 2 im unverformten Zustand senkrecht aufeinander stehende Linienelemente betrachtet und die bei der Verformung entstehenden Winkeländerungen beobachtet. y 2 dl 2 dl 2 dl 1 1 dl 1 Winkel (d l1, dl1 ) = 1 x x Winkel (d l2 , dl 2 ) = 2 Winkel (dl1, dl2) = / 2 12 = 1 + 2 (relative Winkeländerung) Spezialfall: dl1 = dx; dl2 = dy dx y dy y du x y + dy 2 dy 1 dy y dx x 1 = x und 2 = y x 12 = x + y 6/50 duy dx x + dx x Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Vereinfachung: Längs dx treten nur Verschiebungen in y-Richtung auf; längs dy nur in x-Richtung Allgemein: u x u x dx dy x y u y u y du y dx dy x y du x tan 1 1 duy uy dx x du u tan 2 2 x x dy y 12 1 2 ux uy y x Satz: Zusammenhang zwischen Verschiebungen und Deformationsgrößen Gegeben sei das Verschiebungsfeld ux = ux (x, y) uy = uy (x, y). Dann lauten die zugehörigen Deformationsgrößen: ux ( x x ) x x uy ( y y) y y y uy ( x x ) ( y y) u xy x y x y x x Begriff: Gradienten des Verschiebungsfeldes sind die Deformationen x, y und xy. 7/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation Zusammenhang zwischen den Längen- und Winkeländerungen von Linienelementen beliebiger Lage mit den Längen- und Winkeländerungen der Linienelemente parallel zu den Koordinatenrichtungen (x, y) in einem festen Körperpunkt Gegeben sind die Deformationsgrößen x, y und xy in einem Körperpunkt x . Dann gilt für die relativen Längenänderungen () eines beliebig orientierten Linienelementes dl in diesem Punkt: x cos 2 xy cos sin y sin 2 sowie x sin2 xy cos sin y cos2 2 Die Winkeländerungen zwischen zwei beliebigen Linienelementen (dl1 dl2) in diesem Punkt berechnen sich zu: () y x sin 2 xy cos 2 wobei = Winkel (dl1, dx) y dl 2: y dy : y dl 1: Deformationstensor dx : x x xx 1 yx 2 1 xy x 2 1 yy xy 2 8/50 1 xy 2 y x Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Fundamentalsatz zeigt: () + ( + /2) = x + y = + = const. = spur (1. Invariante des Deformationstensors) 1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen d() 2 x sin cos xy cos2 sin2 2 y sin cos d d() ( y x ) sin 2 xy cos 2 0 d Hauptdehnungsrichtungen: Richtungen, in denen 1 und 2 auftreten: tan 21/ 2 xy x y Diese Gleichung ist für 2 Winkel erfüllt: 1 = * und 2 = * + /2, d. h., die beiden Richtungen 1 und 2 liefern die Extremwerte für ()! Hauptdehnungen: Wie groß sind 1 und 2? 1 1 2 2 x y x y xy 2 2 1 1 2 2 min () 2 x y x y xy 2 2 max () 1 1 = max () und 2 = min () existieren, falls () nicht in allen Richtungen gleich groß ist Extremwerte der Längenänderungen treten in den Hauptdehnungsrichtungen 1 und 2 auf (1 und 2) Aus d () ( y x ) sin 2 xy cos 2 0 () folgt: d Die Hauptdehnungsrichtungen 1 und 2 sind winkeländerungsfrei, d. h., es treten nur Längenänderungen ein. 9/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) y dl 1 dl 2 dl 1 dl 2 x Dies bedeutet, es gibt im Kreis 2 Richtungen dl1 und dl2 (mit dl1 dl2 vor der Deformation), die nach der Deformation den Richtungen d l1 und d l2 entsprechen und wiederum senkrecht aufeinander stehen. 1.5 Deformationstensor Die Kenntnis der 3 Größen x, y und xy ist notwendig und hinreichend für die allgemeine Untersuchung des Deformationszustandes in einem Punkt. Man fasst deshalb diese Größen in der symmetrischen Matrix x 1 xy 2 1 xy xx 2 y xy xy ; yy 0 1 0 2 zusammen, die Deformationstensor genannt wird. 10/50 (Hauptachsendarstellung) Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung) u = (ux, uy) 2 Verschiebungsgrößen xx 1 yx 2 1 xy 2 yy 3 Deformationsgrößen im ebenen Fall - gleiche Indizes Längenänderungen Erläuterungen: - gemischte Indizes Winkeländerungen - ist eine auch im räumlichen Fall symmetrische Matrix - vereinfachend: x = xx und y = yy Zusammenhänge: x u x ; x y u y y xy ; u x u y y x Wir bilden: 2 x 3u x ; y 2 xy 2 2 y x 2 3u y x 2 y Verträglichkeitsbedingung: 2 2 xy 2 x y y 2 x 2 xy 2 Verschiebungsgrößen 3 Deformationsgrößen ux, uy x, y und xy und Verträglichkeitsbedingung = 2 Größen = 3 - 1 = 2 Größen Verschiebungsfeld Deformationsfeld ux (x, y) x (x, y), y (x, y), xy (x, y) uy (x, y) und eine zu erfüllende Zusatzbedingung (Kompatibilitätsbedingung) 11/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 2 Ebene Spannungsfelder 2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht - bisher: Körper (Koordinatensystem, Rand, Wertevorrat im Inneren) - neu: Rand wird belastet y P3 P 2 P1 = (Px1 , Py1 ) x Ebene Gleichgewichtsbedingungen: n m Px R x 0 - : Px = 0: n m Py R y 0 - : Py = 0: - Rx: Resultierende Kraft in x-Richtung m 1 Ry: Resultierende Kraft in y-Richtung m 1 n n m 1 m 1 m : M = 0: Mm x m Py y m Px m 0 Moment = Kraft * Abstand 2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen - innere Kräfte sind die Folge einer äußeren Belastung (äußere Kraft als Ursache) - innere Kräfte werden zur Definition der Spannung genutzt T K1 T K2 2 Schnittufer - belasteter Körper K befindet sich im Gleichgewicht - nach der Schnittführung (Zerlegung in die beiden Teilkörper K1 und K2) sollen sich beide Teilkörper ebenfalls im Gleichgewicht befinden, - auf den Schnittufern existieren die Schnittkräfte T (resultierende Kraft, die notwendig ist, um beide Körperhälften wieder zusammenzufügen). 12/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) K1 ds ds ds ds T t = (tx, ty) - T: Resultierende Schnittkraft (Aufsummation der einzelnen Spannungsvektoren) - t: Spannungsvektoren (wirken an jedem Linienelement) dT t (t x , t y ) ds - Innere Flächenkraft = Spannung 2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors y m ty t ds n tx x - t: Spannungsvektor (zerlegbar in tx und ty) - : Winkel (n, x) - n = (nx, ny) = (cos , sin ) Normalenrichtung - m = (mx, my) = (- sin , cos ) Tangentenrichtung Projektion von t (Zerlegung in Normalen- und Tangentenrichtung) = t n = tx nx + ty ny = t m = tx mx + ty my = tx cos + ty sin = - tx sin + ty cos : Normalkomponente des Spannungsvektors : Tangentialkomponente des Spannungsvektors 13/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) = | |: Normalspannung (z. B. Druck- bzw. Zugfestigkeit einer Probe als Maximalwerte aufnehmbarer Normalspannungen beim Bruch) = | |: Schubspannung (z. B. Scherfestigkeit einer Probe als Maximalwert der aufnehmbaren Schubspannung beim Bruch) Sonderfälle für die Lage des Linienelementes y ty ty tx ds = dy tx ds = dx = 0: ds = dy x = tx x (Normalspannung am Linienelement = 0) = ty xy (Schubspannung am Linienelement = 0) = /2: ds = dx = ty y (Normalspannung am Linienelement = /2) = tx xy (Schubspannung am Linienelement = /2) y x yx xy y x 2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz Für 2 senkrecht aufeinander stehende und parallel zu den x-y-Koordinaten liegende Linienelemente sind die Spannungsvektoren gegeben: - Vektorpaar: = (t,x, t,y) = x, y - der ebene Spannungstensor hat dann die Form x yx xy y spur = x + y 14/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Geometrische Interpretation y x t x yx xy y t y x Fundamentalsatz der Spannungstheorie: y n t ty x tx ds yx xy y x Aus dem Kräftegleichgewicht resultiert folgende Beziehung: tx = x cos + xy sin ty = y sin + xy cos Vektoriell: t = n n = (nx, ny) = (cos , sin ) cos dy ds sin dx ds Weitere Schreibweise: Matrizenschreibweise Spannungsvektor = Spannungstensor tx ty x xy xy y 15/50 Einheitsvektor (Skalarprodukt) cos sin Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Aufgabe: Für eine gegebene Normalenrichtung ist der Spannungsvektor in der Form (, ) zu ermitteln, wenn gegeben ist y = tx cos + ty sin | tx und ty mit Hilfe des Fundamentalsatzes = - tx sin + ty cos | substituieren! x yx xy y x = x cos2 + 2 xy sin cos + y sin2 = ½ (x + y) + ½ (x - y) cos 2 + xy sin 2 = - ½ (x - y) sin 2 + xy cos 2 2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen ( ) = x cos2 + xy sin 2 + y sin2 ( ) = - ½ (x - y) sin 2 + xy cos 2 Aufgabe: Gesucht sind die Richtungen, in denen oder Extremwerte annehmen A. Extremwerte für d - 2 x sin cos + 2 xy cos 2 + 2 y sin cos d d (y - x) sin 2 + 2 xy cos 2 = 0 = 2 () siehe oben d tan 2 * 2 xy x y 1* und 2* sind die in jedem Punkt des Spannungsfeldes senkrecht aufeinander stehenden Hauptnormalspannungsrichtungen, die schubspannungsfrei (frei von Winkeländerungen) sind. Es gilt: 2* = 1* + 2 16/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Lage der Winkel 1* (zu 1) und 2* (zu 2) in Abhängigkeit vom Spannungstensor a) b) xy 0 x y 1 * 0 x y 1 * x y xy 0 1 * (1 2 ) 2 * 1 x y 2 1 2 x y 2 1 2 1 2 2 * 4 3 4 x y 1 * 0, 4 3 2 * , x y 1 * , 4 2 2 * , x y 2 4 xy 2 max x y 2 4 xy 2 min y x xy 2 2 * 0 2 2 4 3 4 Für die Hauptnormalspannungen 1 und 2 gilt: 1 xy y x yx xy y y 0 1 0 2 Hauptnormalspannungsrichtungen sind 1 schubspannungsfrei 17/50 2 1 2 x x Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Extremwerte für B. d - (x - y) cos 2 - 2 xy sin 2 = 0 d tan 2 1 und 2 1 x y 2 xy sind die Hauptschubspannungsrichtungen. 2 Einsetzen von 1 und 2 in () ergibt die Hauptschubspannungen max 1 2 x y 2 4 xy 2 max = ½ (1 - 2) Aus dem Vergleich: tan 2 * 2 max x y tan 2 und folgt die Orthogonalitätsbedingung: weil tan x cot x = 1, gilt: tan 2 * tan 2 1 bzw. 2 * 4 2 2 * y max max 1 2 x 18/50 x y 2 max Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 2.6 Der Mohrsche Spannungskreis y Wir drehen unser Koordinatensystem so, dass die Koordinatenachsen mit den x2 Hauptnormalspannungsrichtungen zu- x1 1 sammenfallen. 2 1 x2 Die Linienelemente dx1 und dx2 sind jetzt 1 dx 2 ds 2 schubspannungsfrei. Nach dem Funda mentalsatz lässt sich jetzt auch für jedes 90- dx 1 beliebige Linienelement ds der Spannungsvektor angeben. Mit cos x x1 dx 2 dx und sin 1 ergeben sich folgende Zusammenhänge für die Kräfteds ds gleichgewichte in Normalen- und Tangentialenrichtung: Fn = 0: ds - 1 cos dx2 - 2 sin dx1 = 0 = 1 cos2 + 2 sin2 Ft = 0: ds - 1 sin dx2 - 2 cos dx1 = 0 = (1 - 2) sin cos Daraus folgt für die Spannungen: = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2) cos 2 = ½ (1 - 2) sin 2 = Winkel (n, x1) Beide Gleichungen für die Komponenten des Spannungsvektors und lassen sich wie folgt verknüpfen: [ - ½ (1 + 2)]2 + 2 = ¼ (1 - 2)2 19/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Die Kreisgleichung lautet: allgemein: x2 + y2 = r2 oder mit verschobenen Mittelpunkt x x 0 y 2 r 2 speziell: [ - 0]2 + 2 = max2 2 Kreismittelpunkt: 0 = ½ (1 + 2) Kreisradius: max = ½ (1 - 2) P max 2 1 M 0 = 0 - max cos 2 = 0 + max cos 2 weil: cos 2 = - cos 2 und + = 90 ° = max sin 2 = max sin 2 weil: sin x = sin (180° - x) 1 > 2 = 0: Normale und 1 - Richtung sind identisch = : 2 Normale und 2 - Richtung sind identisch m 1 2 n 1 20/50 2 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Zugeordnete rechtwinklige Schnitte: P1 xy 2 y 0 x 1 xy P2 P1: = y = 0 - max cos 2 = xy = max sin 2 P2: = x = 0 + max cos 2 = xy = max sin 2 x = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2) cos 2 y = ½ (1 + 2) - ½ (1 - 2) cos 2 = ½ (1 - 2) sin 2 = 0: x = 1 ; y = 2 ; xy = 0 = /2 : x = 2 ; y = 1 ; xy = 0 Zusammenhang allgemeiner Fall: a) x y : 1* b) x y : 1 * 2 2.7 Invarianten des Spannungstensors x xy xy y Drehung des Koordinate nsystems 21/50 'x ' ' 'x ' y ' 'x ' y ' 'y' Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Erste Invariante (Spur der Matrix): I1 = (x + y) = (’x’ + ’y’) = (1 + 2) Zweite Invariante (Determinante der Matrix): I2 = det = det x xy xy y I2 = x y - xy2 = x’’ ’y’ - ’x’y’2 = 1 2 2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen y y y y dy yx y dy y dy xy x dy xy y yx x x dx yx xy dx x dx x y x dx x x yx x dx dy dx dy 0 x y : Xi = 0: y : Yi = 0: y dx dy xy x dx dy 0 Die ebenen Gleichgewichtsbedingungen (Feldgleichungen) lauten: (1) (2) (3) x xy 0 x y y y xy x 0 xy = yx 22/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten y y y = const. r = const. (Kreise) x r = const. (Strahlen) x x = const. Polarkoordinaten: x = r cos y = r sin Flächenelement und Spannungstensor: y r r r rd dr d x orthogonale Linienelemente: dl1 = dr dr: Zuwachs an Radius dl2 = r d d: Zuwachs an Winkel dl1 dl2 r ' r r Normalspannungen: r, Schubspannungen: r Berechnung der Spannungen in Polarkoordinaten aus den entsprechenden Größen in kartesischen Koordinaten: r = ½ (x + y) + ½ (x - y) cos 2 + xy sin 2 = ½ (x + y) - ½ (x - y) cos 2 + xy sin 2 r = - ½ (x - y) sin 2 + xy cos 2 23/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Beachte: Auch die Invarianten müssen in Polarkoordinaten gelten. I1 = (r + ) = (x + y) = (1 + 2) = spur I2 = (r - r2) = (x y - xy2) = 1 2 = det Folglich gilt auch für die Hauptspannungen 1 und 2: 1/2 = ½ (r + ) ½ r 2 4 r 2 0 = ½ (r + ) max = ½ r 2 4r2 Hauptrichtungen 1 und 2: = ½ (1 - 2) tan 21/ 2 2r r Verschiebungen und Verformungen in Polarkoordinaten ur u y r r r x 2 Komponenten des Verschiebungsvektors: u = (ur, u) ur: radiale Verschiebung u: tangentiale Verschiebung 3 Komponenten des Deformationstensors: r 1 r 2 1 r 2 Zusammenhang Verschiebungen - Deformationen: (geometrische Ableitungen) r = ur r u 1 ur r r 24/50 u 1 ur u r r Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Drehsymmetrie: Spezialfall, bei dem alle Ableitungen nach = 0 werden sowie u = 0 ist: r = ur r ur r r 0 Verträglichkeitsbedingung: 2 r r 2 r r 2 r r r r r r r2 r 2 r Fundamentalsatz der Deformationen: (sind die Komponenten des Deformationstensors bekannt, so ist für jede andere Richtung bestimmbar; Analogie zum x-y-System) () = r cos2 + r sin cos + sin2 Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungskomponenten (in Analogie zum x-y-System): r 1 r r 0 r r r r 1 2 r 0 r r r Gleichgewichtsbedingung bei Drehsymmetrie: r r 0 r r 3 Ebene Elastizitätstheorie 3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz (Allgemeines linear-elastisches Gesetz; 3-dimensional; später wieder 2-dimensional): xx yx zx xy yy zy xz yz zz xx yx zx xy yy zy 25/50 xz yz zz Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) z z x y y x Hinweis zur Indizierung: Index 1 Kraftrichtung Index 2 Richtung der Flächennormalen 6 Deformationsgrößen hängen im allgemeinsten Fall von 6 Spannungsgrößen ab: x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15xz + a16yz ij A ijKl Kl 3D y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25xz + a26yz z. B. z = ................................................................... 11 A1111 11 A1112 12 A1113 13 xy= ................................................................... A1121 21 A1122 22 A1123 23 xz= ................................................................... A1131 31 A1132 32 A1133 33 yz= ........................................................+ a66yz x a11 a12 y a 21 a 22 a z 31 xy a 41 xz a 51 yz a 61 a 62 (Spaltenvektor für und ) a13 a14 a15 a 33 a 44 a 63 a 64 a 55 a 65 a16 x y z xy xz a 66 yz aij = aji; i, j = 1,...,6 (Matrix der Materialparameter) (Spaltenvektor für und ) = Volumendeformation: v = x + y + z = 1 2 1 1 x y z x y z KK E 3K 3 K HOOKE’sches Gesetz in Hauptachsenform: E 1 = 1 - (2 + 3) E 2 = 2 - (1 + 3) E 3 = 3 - (2 + 1) 26/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Sonderfälle - Spezialfälle der ebenen Elastizitätstheorie: 1. Scheibenproblem a) Ebener Verzerrungszustand (Verformungszustand) y x z - Merkmale: • z = xz = yz = 0 z = (x + y) Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert: x 1 2 E y 1 2 E xy x y 1 y x 1 1 xy G b) Ebener Spannungszustand - Merkmale: • z = xz = yz = 0 • z = x y E Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert: x 1 x y E y 1 y x E xy 1 xy G 27/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Zusammenhang E-Modul / Poissonzal (E/) Schub- und Kompressionsmodul (G, K) E 2 1 E K 3 1 2 G 2. Axialsymmetrische Probleme a) Karman - Versuch (gesteinsmechanischer Triaxialversuch) - Hauptachsendarstellung z = 1 1 x = y = 2 = 3 z xy = xz = yz = 0 2 - es bleiben 2 Gleichungen, da = 0 ist: E 1 = 1 - 22 2 y x E 2 = E 3 = 2 - (2 + 1) E 2 = (1 - ) 2 - 1 1 3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie 3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme 2 2 2 2 x y 0 x y x y 0 - : ist der Laplace - oder Delta - Operator (bilde die 2. partiellen Ableitungen nach den Ortskoordinaten) 3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion Ansatz von Airy: F = F (x, y) aus F werden x, y und xy durch partielle Differenzierung erzeugt 2F y ; x 2 2F x ; y 2 2F xy yx 28/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie Zusammenfassung: Gegeben sind ein belasteter und im Gleichgewicht befindlicher ebener elastischer Körper K und die Randbelastung (px, py) oder (pn, pt) längs L. Gesucht ist das Spannungsfeld x (x, y), y (x, y) und xy (x, y) in K, wobei die Spannungen die elastischen Grundgleichungen entweder x yx 0, x y 2F oder x 2 y, 2F y 2 y y x, xy x 0, x y 0 2F xy , yx F = 0 erfüllen und auf den Rändern L von K vorgegebene Randwerte (px, py) annehmen, so dass gilt: tx (L) = px = x cos L + xy sin L ty (L) = py = y sin L + xy cos L mit L: Normalenrichtung längs L 3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip Problem: • Wie findet man spezielle Lösungen eines RWP? Durch „Suchen“ von speziellen Lösungen (partikuläre Integrale) der Bipotenzialgleichung F 4F 4F 4F 2 0 x 4 x 2 y 2 y 4 29/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten a) Koordinaten (r, ) b) Feldgrößen Verschiebungen (ur, u) Deformationen (r, , r) Spannungen (r, , r) Gleichgewichtsbedingungen: r 1 r r 0 r r r r 1 2r 0 r r r Über Kompatibilitätsbedingung und HOOKE’sches Gesetz folgen: (r,) (r + ) = 0 (r,) : Delta - Operator bezüglich r und wobei gilt: (r,) = 1 2 1 2 2 2 2 r r r r Diese 3 Gleichungen lassen sich mit Hilfe des Airy - Ansatzes zu einer Gleichung zusammenfassen: (r,) (r,) F = 0 F (r, ) Die Spannungskomponenten ergeben sich folgendermaßen aus dem Airy - Ansatz: 1 F 1 2F r r r r 2 2 2F 2 r r r 1 F 1 2F 1 F 2 r r r r 30/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Lösungen der Bipotenzialgleichung in Polarkoordinaten: (r,) (r,) F = 0 Drehsymmetrische Spannungsfelder: d2 1 d d2 1 d dr 2 r dr dr 2 r dr F(r ) 0 d 4F 2 d 3F 1 d2F 0 dr 4 r dr 3 r 2 dr 2 Spezielle Lösungen der Airy – Funktion bei Drehsymmetrie: A. Kreisscheibe unter konstantem Außendruck p p: konstante Normalbelastung r = p = p B. Kreisring unter konstantem Innen- und Außendruck Randbedingungen: Innenradius r = a: r = q Außenradius r = b: r = p r = b2 a2 q p p b2 q a2 2 b2 a2 r b2 a2 = b2 a2 p q p b2 q a2 2 b2 a2 r b2 a2 31/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) C. Kreisförmiger Hohlraum mit konstantem Innendruck q Randbedingungen: 0 x p 0 y p 0 d. h. r p r = (q - p) a2 +p=p r2 a2 a2 +q 1 r2 r 2 = (p - q) a2 +p=p r2 2 a2 -q a 1 r2 r 2 Spezialfälle: C1 Scheibe mit Kreisloch unter Innendruck Randbedingungen: p = 0; q 0 a2 r2 a2 q 2 r r q C2 Kreisförmiger Hohlraum unter hydrostatischem Grundspannungszustand Randbedingungen: p 0; q = 0 a2 r = p 1 2 r a2 = p 1 2 r 32/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität 4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen 1 HOOKE 1 Verfestigung 2 elasto-plastisch (ideal plastisch) h c s i t s a 3l k o t s a l e Entfestigung 1 4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes 1 c 2 0 1 - Gleichung der Hüllgeraden: = tan + c c: Kohäsion : Winkel der inneren Reibung - Bruchwinkel = 4 2 Festigkeits- oder Plastizitätskriterium im 1 - 2 – Diagramm: 1 >1 =1 u 2 33/50 2 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Bemerkungen: - u: einaxiale Druckfestigkeit; einaxiale Plastizitätsgrenze - Gleichung des Kriteriums: 1 = u + 2 - folgende Zusammenhänge gelten: u 2c cos ; 1 sin 1 sin 1 sin 1 Beispiele elasto-plastischer Spannungsfelder: Ideal elasto-plastisches Materialverhalten F: einaxiale Fließgrenze = 0 max = const. Material ohne innere Reibung Traglast einer Halbebene (Lösung von Prandtl) elastische Lösung: p = p* p* = k plastische Lösung: p = p** p** = (2 + ) k [k = F / 2 (für ideale Plastizität)] S F p * * 2c S: Sicherheit 34/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 5 Rheologisches Materialverhalten 5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens Grundtyp Name HOOKE (elast. Feder) Symbol Charakteristische Kurve ST. VENANT (plast. Reibklotz) Formeln Beschreibung des Verhaltens streng proportionaler Zu- =E sammenhang zwischen und (zeitunabhängig) < F: = 0 = F: = (t) F plastische Verformungen nach Erreichen der Fließgrenze (belastungsabhängig) NEWTON (Zylinder mit viskoser Flüssigkeit) Dimensionen: E [Pa]; für = 0: (t) t [-]; 0 0 t viskose, zeitabhängige Verformungen : Viskosität [Pa]; [1/s]; 35/50 [Pa s] Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften MAXWELL - Körper: = Reihenschaltung von Feder und Zylinder 2 1 Kriechen: = gesamt = 1 + 2 E (lineares Fließen) ( = 0 = const.): 0 (t) 0 /E 0 t 0 0 0 = const. = 0 0 /·t 0 /E t E zeitunabhängige elastische Re aktion (Feder ) Relaxieren ( = const.): (t) 0 E DGL . = const. = 0 A e t R 0 Lösungsansatz: mit t t 0; bei 0 e R E t R Die Relaxationszeit R ist die Zeit, in der auf den e-ten Teil von 0 abgefallen ist. 36/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) KELVIN - Körper: = Parallelschaltung von Feder und Zylinder : ges = 1 + 2 1 = E + (Nachwirkungskriechen) 2 Kriechen 0 ( = 0 = const.): elast viskos (t) t 1 e R 0 t 1 e R t 1 t 0 viskos e R 0 e R R E 0 elast viskos elast t EE 0 E max = E0 E 0 DGL = const. = 0 Lösungsansatz: e t t 0 E t R 1 e R mit E d Relaxieren: E dt d E dt (t) = const. const. t 37/50 const. 0 E Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) BURGERS - Typ: K EM (t) 0 M K (t) Kelvin Maxwell_viskos 0 /E = const. = const. Maxwell_elastisch t t * Kriechkurve des BURGERS-Körpers t ( t ) 0 0 t 0 (1 e tR ) E M M EK elastisch = Maxwell_elastisch ( t) el viskos nachw. Viskos = Maxwell_viskos tR K EK Kelvin = Nachwirkung BINGHAM - Typ: Diagramm = (t) für F (t) (t) F F F F el. - t t F E 38/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) LOONEN - Typ: (t) 0 /E = const. F F F F = const. t t 39/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke * ur 1 pa E * ur ( t ) 1 pa E* * E* ur (t) = (1 + ) p a Maxwell Kelvin d dt E* 1 d 1 E dt E* = E + d dt u (t) (1 ) p a 1 d 1 E dt E + d dt d u(t) = (1+) p a dt 1 d 1 u (1 ) p a E dt E u u (1 ) p a pa u (1 ) 1 (1 ) u u pa u (1 ) pa t c u1 = A e u= t = 0: u = c = 1 p a E u ( t) (1 ) p a u (t) t (1 ) pa E (1 ) t p a 1 E Diagramm u (t) über t t u2 = 1 p a E 1 p a + A e E t t = 0; u = 0: A 1 (1 ) p a E t (1 ) u (t) p a (1 e ) E Diagramm u (t) über t u u t 40/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) 6 Sickerströmung in Böden und Fels 6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy Man führt eine Filtergeschwindigkeit vF ein, die sich als Quotient aus strömender Wassermenge q und durchströmter Querschnittsfläche F ergibt. vF q F Nach dem empirischen Gesetz von Darcy ist diese Filtergeschwindigkeit proportional zum vorhandenen Gradienten I. vF K F I KF bezeichnet man als Durchlässigkeitsbeiwert, als die unter Umständen richtungsabhängige Durchlässigkeit des Ersatzmediums. I h L Der Gradient I ist die Differenz der piezometrischen Höhen längs des Fließweges L. Dimensionen: I: vF: dimensionslos m/s KF: Eine alternative Definition der Permeabilität basiert auf dem Druckgradienten: q K dP dh in Analogie zum Gefälle: q k dx dx Dimensionen: P: Pa K: 41/50 m/s k: m2 m/s Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Die Beziehung zwischen K und k lautet: k K g w Während die oben genannten Permeabilitätskenngrößen die Abhängigkeit von der Viskosität des Fluides implizit beinhalten, ist bei der Verwendung der ‚Intrinsic Permeability’ Kint die kinematische Viskosität ν als Parameter enthalten: K int Kint: Dimensionen: m2 v k g m2/s ν: g: m/s2 6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar I 2ai h2 d F VFT / q 2ai h1 L vFT q K t I n (2ai ) 2a Kt i I F nd d Kt 2ai KT d 42/50 1,0 m Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Kt g w (2ai )2 12v 3 g w (2ai )2 g w ai 2 q I n 2ai 1,0 m I n 1,0 m 12v 3v z' v FT,x ' K T v FT,y' 0 v FT,z' 0 y' x' mit: vFT,*’: Vektorkomponenten der Filtergeschwindigkeit KT: Durchlässigkeitsmatrix I *: Vektorkomponenten des hydraulischen Gradienten 7. Bruch- und Schädigungsmechanik „Griffith“-Rissmodell: ebener riss der Länge 2a in unendlicher Scheibe: 43/50 0 KT 0 0 Ix ' 0 Iy' 0 Iz' Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Spannungsfeld auf Rissebene vot der Rissspitze: x x a x 1; y 0 1 2 a x a 1 x a x y 1; y 0 2 a x 1 a Spannungsverlauf auf Rissebene (y=0) In unmittelbarer Nähe der Rissspitze, d. h. für x y xy r 1 gilt näherungsweise: a 3 cos 1 sin sin 2 2 2 3 a cos 1 sin sin 2r 2 2 2 3 sin cos cos 2 2 2 (11.2.1-5) 44/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) bzw. in Zylinderkoordinaten: 3 5 cos cos 2 2 r a 3 3 cos cos 4 2 r 2 2 3 r sin sin 2 2 Das Rissfeld an der Spitze hat bezüglich seiner Komponenten folgenden Verlauf (Mode-I): Allgemein gilt: KI a y [ Pa m ] y: Formfunktion, KI: Spanungsintensitätsfaktor 3 cos 1 sin sin 2 2 2 x KI 3 y cos 1 sin sin 2 2 2 2r xy sin cos cos 3 2 2 2 Neben dem Zugriss (Mode-I) gibt es noch zwei andere Grundtypen: - Mode-II: Scherriss (in-plane shear) - Mode-III: Torsionsriss (out-of-plane shear) 45/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) In der Praxis treten wegen der 3-dimensionalen Belastung häufig gemischte Bruchmoden auf: 1 ij 2r K I FijI K II FijII K III FijIII wobei Fij() die zu den einzelnen Moden gehörenden Winkelfunktionen sind. „Energiefreisetzungsrate“ oder „Risserweiterungskraft“ G [N7/m]: 1 E 1 2 GI K I2 GII K II2 2 E 1 2 GIII K III 2G EDZ GI K I2 / E GII K II2 / E 2 GIII K III /E ESZ Für linear-elastisches Verhalten (linear-elastische Bruchmechanik) gilt (EDZ): J 1 K E 2 2 I K II2 1 2 K III 2G Das J-lntegral entspricht physikalisch also der Energiefreisetzungsrate, ist aber allgemeiner definiert (pfadunabhängig, gültig auch für nicht-elastische Prozesse). Es gilt: G dE J da mit: G = Energiefreisetzungsrate J = J-Integral E = Potenzielle Energie 46/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) COD = crack opening displacement () 4 1 2 K I2 3E 4 GI 3 GI bzw. 3 4 Exemplarische Äquivalenz der Parameter G, K und COD. Das subkritische Risswachstum lässt sich über die sogenannte “Charles-Gleichung” beschreiben: v v 0 e( H / RT ) K n wobei: v0 = Materialkonstante n = Stress-Corrosion-Index T = Temperatur R = Boltzmann-Konstante H = Aktivierungsenthalpie Logarithmiert man die Charles-Gleichung erhält man folgenden Ausdruck: log v n log K log v 0 e (H / RT ) 47/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Ermüdung durch Wechsellasten (sinusförmige Anregung): K K max Km K min Zeit Bruchmechanische Grundparameter einer zyklischen Belastung Dabei gilt: N: Anzahl der Zyklen K: Spannungsintensitätsfaktor Folgende Parameter finden Verwendung: K K max K min K max K min 2 K R min K max Km Der Zuwachs an Risslänge pro Belastungszyklus (da/dN) lässt sich im halblogarithmischen Diagramm darstellen: log( da ) dN I K th II III K c K wobei: Kth = Spannungsintensitätsamplitude, unter derer kein Risswachstum stattfindet Kc = Spannungsintensitätsamplitude erreicht den kritischen Wert und damit kritisches Risswachstum 48/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) da K ~ log dN In den Regionen gilt: Region II (Paris-Erdogan-Beziehung): da m C K dN m und C sind Materialkonstanten, wobei m meist 4 gesetzt wird. Region III (Gesetz nach Forman): da C K dN 1 R K c K n wobei C und n Materialkonstanten sind. Bereich I (Gesetz von Donahne): da m K K K th dN wobei: K th 1 R K th, 0 Kth, 0 ist der Schwellwert für R = 0 und ist ein Materialparameter Eine alle drei Phasen (Formel wurde von Erdogan und Ratwani): da C 1 K K th dN K c 1 K m n wobei K max K min K max K min und c, m und n Materialkonstanten sind. CDM (Continuum Damage Mechanics): - Schädigungsmaß D (D = Schädigung, Damage) - D als Volumengröße: D VPoren VGesamt V = Volumen - D als Flächengröße für fiktiven Schnitt im Volumen: D A Poren, Risse A Gesamt AP AG D=0 keine Schädigung D=1 Schädigung 0D1 49/50 Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012) Das Schädigungsmaß D kann als Skalar (isotrope Schädigung) oder als Tensor (anisotrope Schädigung) betrachtet werden.: AP AG isotrope Schädigung: D anisotrope Schädigung: ij Dij n j dA ~n dA Für isotrope Schädigung unter einaxialer Belastung gilt: eff 1 D weil F F A AG AP F AG A 1 D 1 P AG Für isotrope Schädigung unter mehraxialer Belastung gilt: ijeff ij 1 D 50/50
