Kap-4
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4 Das Austauschverfahren 4.1 Motivation Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem a11 x1 + a12 x2 +· · ·+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +· · ·+ a2n xn = b2 .. .. . . (4.1) am1 x1 +am2 x2 +· · ·+amn xn = bm aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Mit � a11 a21 A= .. . a12 a22 ··· ··· a1n a2n .. � . am1 am2 · · · amn � b1 b2 b= .. � . bm � x1 x2 x= .. . xn lautet es kurz Ax = b . (4.2) Im Fall m = n könnte man probieren, (4.2) durch Inversion von A zu lösen, x = A−1 b � falls m = n� det A �= 0 . Mit a = −b bringen wir (4.2) in die äquivalente sogenannte Normalform Ax + a = 0 . (4.3) Neben (4.3) betrachten wir das sogenannte allgemeine lineare Gleichungssystem y = Ax + a . (4.4) Interpretiert man x als Eingang und y aus Ausgang, so ist der Eingang x so zu bestimmen, dass der Ausgang y zum Nullvektor wird. Mit (4.4) ist die Abbildung f : Rn → Rm � f (x) = A x + a verbunden. Im Falle von a = 0 ist dies eine sogenannte lineare Abbildung, da dann f (λx + µy) = λf (x) + µf (x) für x� y ∈ Rn � λ� µ ∈ R 59 4 Das Austauschverfahren gilt. Im Allgemeinen ist f nicht mehr linear, ist aber eine affin-lineare Abbildung. Interpretiert man (4.4) zeilenweise, so ist mit (4.4) ein System von reell-wertigen affin-linearen Funktionen fi : Rn → R� fi (x) = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn + ai verbunden, weswegen (4.4) auch als System linearer Funktionen bezeichnet wird. Zur Lösung des linearen Gleichungssystems (4.3) versucht man nun x so zu bestimmen, dass (4.4) mit y = 0 gilt. Eine Idee dazu wäre, die affin-lineare Abbildung f insgesamt zu invertieren, d. h. f (x) = y nach x aufzulösen. Das wird im Allgemeinen nicht gelingen. Eine abgeschwächte Idee wäre, im Gleichungssystem f (x) = y eine Gleichung nach einer Komponente von x aufzulösen, also eine der Funktionen fi bezüglich xi zu invertieren, und dann die erhaltene Beziehung für xi in die anderen Gleichungen einzusetzen. Man probiert dann das Verfahren weiter anzuwenden, bis man möglichst nach allen xi aufgelöst hat. Beispiel 4.1. Wir betrachten y1 = a11 x1 +a12 x2 + a1 y2 = a21 x1 +a22 x2 + a2 . (4.5) Wir nehmen a11 �= 0 an. Dann können wir in der ersten Gleichung von (4.7) nach x1 auflösen und erhalten 1 a12 a1 y1 − x2 − . x1 = a11 a11 a11 Wegen a21 ( 1 a12 a1 a21 a11 a22 − a21 a12 a11 a2 − a21 a1 y1 − x2 − ) + a22 x1 + a2 = y1 + x2 + a11 a11 a11 a11 a11 a11 ergibt sich durch Einsetzen in (4.5) x1 = a�11 y1 +a�12 x2 + a�1 y2 = a�21 y1 +a�22 x2 + a�2 (4.6) mit 1 � a11 a21 = � a11 a12 � a11 a11 a22 − a21 a12 = � a11 a�11 = a�12 = − a�21 a�22 a1 a11 a11 a2 − a21 a1 b�2 = . a11 a�1 = − Im Unterschied zu (4.5) haben wir in (4.6) die Variablen x1 und y1 ausgetauscht. Gilt nun a�22 = 60 a11 a22 − a21 a12 �= 0 � a11 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus so können wir auch x2 gegen y2 austauschen. Analog zu oben erhalten wir x1 = a��11 y1 +a��12 y2 + a��1 x2 = a��21 y1 +a��22 y2 + a��2 (4.7) mit a�22 a�11 − a�21 a�12 � a��22 a� = − 21 � a�22 a�12 � a�22 1 = � � a22 a��11 = a��12 = a��21 a��22 a�21 a�1 − a�11 a�2 a�22 a� a��2 = − �2 . a22 a��1 = Mit y1 = y2 = 0 lesen wir aus (4.7) die eindeutige Lösung x1 = a��1 � x2 = a��2 ab. Ziel ist nun, dass im Beispiel beschriebene Verfahren so zu verallgemeinern und zu strukturieren, dass wir damit Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten behandeln können. Dazu sollte eine Schreibweise gewählt werden, die auf weitgehend auf das Nötigste reduziert aber gut lesbar bleibt. Mit a10 = a1 �a20 = a2 könnten wir zum Beispiel (4.5) durch folgendes Tableau ersetzen: x1 a11 a12 y1 y2 x2 a12 a22 1 a10 a20 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus 4.2.1 Vorbereitung Wir schreiben das lineare Gleichungssystem (4.1) a11 x1 + a12 x2 +· · ·+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +· · ·+ a2n xn = b2 .. .. . . am1 x1 +am2 x2 +· · ·+amn xn = bm als Tableau y1 y2 .. . x1 a11 a21 .. . x2 a12 a22 .. . ··· ··· ··· xn a1n a2n .. . 1 a10 a20 ym am1 am2 ··· amn am0 mit ai0 = −bi für i = 1� . . . � m . 61 4 Das Austauschverfahren 4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes Im Tableau y1 .. . x1 a11 .. . ··· ··· xτ a1τ .. . ··· ··· xn a1n .. . 1 a10 .. . yσ .. . aσ1 .. . ··· aστ .. . ··· aσn .. . aσ0 ym am1 ··· amτ ··· amn am0 (T) wollen wir xτ gegen yσ austauschen und setzen dazu aστ �= 0 voraus. Die Zeile σ heißt Pivotzeile, die Spalte τ heißt Pivotspalte und aστ heißt Pivotelement oder Hauptstützelement. Der Zeile σ entspricht die Gleichung yσ = aσ1 x1 + · · · + aστ xτ + · · · + aσn xn + aσ0 . Lösen wir diese Gleichung nach xτ auf und ersetzen wie im Beispiel 4.1 in den anderen Gleichungen des Gleichungssystems xτ durch den entsprechenden Ausdruck, so erhalten wir das neue Tableau y1 .. . x1 a�11 .. . ··· ··· yσ a�1τ .. . ··· ··· xn a�1n .. . 1 a�10 .. . xσ .. . a�σ1 .. . ··· a�στ .. . ··· a�σn .. . a�σ0 ym a�m1 ··· a�mτ ··· a�mn a�m0 (T’) mit den Austauschregeln a�στ = − (R2 ) a�σk (R3 ) a�iτ (R4 ) a�ik Wir erhalten: 62 1 � aστ aσk =− für k = 0� . . . � n mit k �= τ � aστ aiτ = für i = 1� . . . � m mit i �= σ � aστ aik aστ − aiτ aσk = für i = 1� . . . � m� k = 0� . . . � n mit k �= τ� i �= σ . aστ (R1 ) 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus Satz 4.2. Falls aστ �= 0 gilt, kann man das Tableau (T ) in ein neues Tableau (T � ) unter Anwendung der Regeln R1 , R2 , R3 , R4 so umwandeln, dass die �T) bzw. �T’) entsprechenden Gleichungssysteme äquivalent sind: Alle Werte x1 � x2 � ...� xn � y1 � y2 � ...� ym , die (T ) erfüllen, genügen auch (T � ) und umgekehrt. Beweis. Mit p = aστ lautet die Zeile σ von (T ) yσ = aσ1 x1 + aσ2 x2 + · · · + pxτ + · · · + aσn xn + aσ0 . Wegen p = aστ �= 0 kann man diese Gleichung nach xτ auflösen und erhält: xτ = aσ1 aσ2 1 aσn aσ0 x1 + x 2 + · · · + yσ + xn + −p −p p −p −p (4.8) Durch Vergleich von (4.8) mit der Zeile σ von (T � ) � xn + aσ0 xτ = a�σ1 x1 + a�σ2 x2 + · · · + a�στ yσ + · · · + ασn (4.9) ergeben sich die Austauschregeln R1 und R2 . Setzt man (4.9) in die i-te Zeile (für i �= σ) yi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + aik xk + ... + aiτ xτ + ... + ain xn + ai0 von (T ) ein, so ergibt sich, wenn man nach x1 � x2 � ...� xk � ...� yσ � ...� xn ordnet yi = (ai1 +aiτ a�σ1 )x1 +(ai2 +aiτ a�σ2 )x2 +· · ·+aiτ a�στ yσ +· · ·+(ain +aiτ a�σn )xn +(ai0 +aiτ a�σ0 ). Vergleicht man dies mit der Zeile i �= σ von (T � ) yi = a�i1 x1 + a�i2 x2 + · · · + a�iτ yσ + · · · + a�in xn + a�i0 � so erhält man für k �= τ die Austauschregel R4 und für k = τ unter Beachtung von a�στ = (Austauschregel R1 ) die Austauschregel R3 . 1 p Somit ist gezeigt, dass man aus (T ) mit Benutzung von R1 bis R4 das äquivalente Tableau (T � ) erhält. 4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes Ziel unseres Verfahrens ist auch, die Zahl der Rechenschritte zu minimieren. Aus Regel R4 erhalten wir durch Kürzen (R4� ) a�ik = aik − aiτ aσk aστ für i = 1� . . . � m� k = 0� . . . � n mit k �= τ� i �= σ � was jeweils eine Multiplikation weniger als in R4 ist. Wenden wir nun noch Regel R2 an, so ergibt sich 63 4 Das Austauschverfahren (R4�� ) a�ik = aik + aiτ a�σk für i = 1� . . . � m� k = 0� . . . � n mit k �= τ� i �= σ . Da die Zahlen a�σk somit zur Berechnung des neuen Tableaus mehrfach verwendet werden, sollten wir sie an passender Stelle notieren: Wir ergänzen (T ) nach Regel R2 durch die Kellerzeile K der Zahlen a�σk = − aσk aστ für k = 0� . . . � n mit k �= τ � wobei wir in die Pivotspalte ein ∗ eintragen: T y1 .. . x1 a11 .. . ··· ··· xk a1k .. . ··· ··· xτ a1τ .. . ··· ··· xn a1n .. . 1 a10 yσ .. . aσ1 .. . ··· aσk .. . ··· p .. . ··· aσn .. . aσ0 yi ai1 ··· aik ··· aiτ ··· ain ai0 .. . ym .. . am1 K a�σ1 ··· amk a�σk .. . .. . .. . ··· amτ ∗ ··· amn am0 a�σn a�σ0 Das neue Tableau (T � ) erhalten wir nun durch folgende Austauschschritte: 1 • (A1 ) Ersetze das Pivotelement aστ entsprechend R1 durch − aστ . • (A2 ) Ersetze anderen Elemente aσk in der Pivotzeile durch die Elemente in der Kellerzeile. • (A3 ) Ersetze anderen Elemente aiτ in der Pivotspalte entsprechend R3 durch aiτ aστ . • (A4 ) Ersetze schließlich alle übrigen Elemente aik durch ihre Summe mit dem Produkt aus dem entsprechenden Element der alten Pivotspalte aiτ und dem entsprechenden Element a�σk aus der Kellerzeile, also durch aik + aiτ a�σk . Beispiel 4.3. Wir betrachten 64 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus y1 = 3x1 + 2x2 − x3 + x4 − 1 S1 x1 x2 x3 x4 1 y2 = 2x1 + x2 − 3x3 + x4 y1 3 2 −1 1 −1 y 3 = x1 − x 2 − x 4 y2 2 1 −3 1 0 y4 = x1 + 2x2 + 2x3 + 1 � y3 1 −1 0 −1 0 y4 1 2 2 0 1 d. h. das rechtsstehende Tableau K Wir wählen σ = 3 und τ = 4 und damit das Pivotelement aστ = −1 �= 0 . Weiter tragen wir die Kellerzeile der Zahσk ein. len − aaστ Wir wenden nun die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an und erhalten S1 x1 x2 x3 x4 1 S2 x1 x2 x3 y3 1 y1 3 2 −1 1 −1 y1 4 1 −1 −1 −1 y2 2 1 −3 1 0 y2 3 0 −3 −1 0 y3 1 −1 0 −1 0 x4 1 −1 0 −1 0 y4 1 2 2 0 1 y4 1 2 2 0 1 K 1 −1 0 ∗ 0 K 4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens Das Verfahren kann immer fortgesetzt werden, wenn es im entstandenem Tableau noch ein xτ in der Kopfzeile und ein yσ aus der linken Spalte gibt mit aστ �= 0 . In dem Fall ist der Austausch von xτ gegen yσ durch Anwendung der entsprechenden Schritte durch Anwendung der Schritte A1 , A2 , A3 und A4 möglich. Beispiel 4.4. Wir setzen Beispiel 4.3 fort. Wir wollen x3 gegen y1 austauschen, σ = 1, τ = 3, was wegen aστ = −1 �= 0 möglich ist. 65 4 Das Austauschverfahren Wir ergänzen das Tableau durch die Kellerzeile und erhalten: Wir wenden nun die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an: S2 x1 x2 x3 y3 1 S3 x1 x2 y1 y3 1 y1 4 1 −1 −1 −1 x3 4 1 −1 −1 −1 y2 3 0 −3 −1 0 y2 −9 −3 3 2 3 x4 1 −1 0 −1 0 x4 1 −1 0 −1 0 y4 1 2 2 0 1 y4 9 4 −2 −2 −1 K 4 1 ∗ −1 −1 K Hier wollen wir nun x2 gegen y2 austauschen und tragen die entsprechenden Kellerzeile ein. S3 x1 x2 y1 y3 1 x3 4 1 −1 −1 −1 y2 −9 −3 3 2 3 x4 1 −1 0 −1 0 y4 9 4 −2 −2 −1 K −3 ∗ 1 2 3 1 Es verbleibt, x1 gegen y4 auszutauschen, wozu die entsprechende Kellerzeile eingetragen wird. S4 x1 y2 x3 1 x2 −3 x4 4 y4 −3 K ∗ − 13 − 13 1 3 − 43 − 49 Wir wenden die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an: S4 x1 y2 x3 1 x2 −3 x4 4 y4 −3 − 13 − 13 1 3 − 43 y3 1 0 − 13 2 3 − 53 2 3 0 1 −1 2 1 −1 3 K Wir wenden die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an und erhalten das gesuchte Tableau mit vollständigem Austausch: y1 y3 1 0 − 13 2 3 − 53 2 3 2 9 0 S5 y4 y2 y1 y3 1 1 x3 − 13 − 79 2 3 − 19 1 x2 1 1 −1 0 −2 x4 − 43 − 13 − 13 9 − 49 5 3 2 3 − 79 2 9 3 1 −1 2 2 3 −1 3 1 x1 Dieses entspricht nach Anordnung entsprechend wachsender Indizes 2 4 2 1 x 1 = y 1 − y2 + y 3 − y 4 + 1 3 9 9 3 x2 = −y1 + y2 + y4 − 2 2 7 1 1 x 3 = y 1 − y 2 − y3 − y 4 + 1 3 9 9 3 5 13 7 4 x 4 = y 1 − y 2 − y 3 − y4 + 3 � 3 9 9 3 66 y1 1 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus woraus wir mit y = (y1 � y2 � y3 � y4 ) = 0 nun die Lösung x = (1� −2� 1� 3) des Gleichungssystems leicht ablesen. Wie wir dem entstandenem System entnehmen, haben wir eigentlich mehr berechnet als nur die Lösung des Gleichungssystems. Die Frage wäre, was wir mehr berechnet haben und ob wir die Rechnung nicht noch weiter reduzieren können. Beispiel 4.5. Wir betrachten y1 = 2x1 + x2 + x3 − 2 S1 x1 x2 x3 x4 1 y 2 = x1 − x 2 + 2 y1 2 1 1 0 −2 y3 = x1 + 5x2 + 2x3 y2 1 −1 0 0 2 y4 = 2x2 + x4 y3 1 5 2 0 0 y4 0 2 0 1 0 bzw. nebenstehendes Tableau Wir wollen y4 gegen x4 austauschen und ergänzen um die entsprechende Kellerzeile: S1 x1 x2 x3 x4 1 y1 2 1 1 0 −2 y2 1 −1 0 0 2 y3 1 5 2 0 0 y4 0 2 0 1 0 K 0 −2 0 ∗ 0 Wir wollen x1 gegen y2 austauschen und ergänzen um die entsprechende Kellerzeile: S2 x1 x2 x3 y4 1 y1 2 1 1 0 −2 y2 1 −1 0 0 2 y3 1 5 2 0 0 x4 0 −2 0 1 0 K ∗ 1 0 0 −2 Wir wenden die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an: S2 x1 x2 x3 y4 1 y1 2 1 1 0 −2 y2 1 −1 0 0 2 y3 1 5 2 0 0 x4 0 −2 0 1 0 K Wir wenden die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an: S3 y2 x2 x3 y4 1 y1 2 3 1 0 −6 x1 1 1 0 0 −2 y3 1 6 2 0 −2 x4 0 −2 0 1 0 K 67 4 Das Austauschverfahren Wir wenden die Austauschschritte A1 , A2 , A3 und A4 an: Wir wollen y1 gegen x3 austauschen und ergänzen um die entsprechende Kellerzeile: S3 y2 x2 x3 y4 1 y1 2 3 1 0 −6 x1 1 1 0 0 −2 y3 1 6 2 0 −2 x4 0 −2 0 1 0 K −2 −3 ∗ 0 6 S4 y2 x2 y1 y4 1 x3 −2 −3 1 0 6 x1 1 1 0 0 −2 y3 −3 0 2 0 10 x4 0 −2 0 1 0 K Für einen vollständigen Austausch müsste noch y2 gegen das in der Kopfzeile verbliebene x2 austauschen werden. Da das zugehörige Pivotelement 0 ist, geht dies jedoch nicht. Wir erhalten x 1 = y2 + x 2 − 2 x3 = y1 − 2y2 − 3x2 + 6 x4 = y4 − 2x2 y3 = 2y1 − 3y2 + 10 . Auch hieran erkennt man, dass y3 gegen kein xk mehr austauschbar ist, denn y3 kommt nur in der letzten Gleichung vor und diese enthält kein xk . Wir erkennen auch, dass x = (x1 � x2 � x3 � x4 ) nie so gewählt werden kann, dass das Gleichungssystem mit y = (y1 � y2 � y3 � y4 ) = 0 gelöst wird. Entstehende Fragen sind: Wäre ein vollständiger Austausch vielleicht möglich gewesen, wenn wir in einer anderen Ordnung getauscht hätten? Was besagt, dass der Austausch nicht vollständig durchgeführt werden konnte? 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) 4.3.1 Inversion von Matrizen Sei A = (aij )i�j=1�...�n eine n-reihige Matrix. Wir betrachten die Gleichung y = Ax und damit das Tableau 68 y1 y2 .. . x1 a11 a21 .. . x2 a12 a22 .. . ··· ··· ··· xn a1n a2n .. . 1 0 0 .. . yn an1 an2 ··· ann 0 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) Wir nehmen nun an, dass ein vollständiger Austausch der x1 , . . . , xn gegen die y1 , . . . , yn durchgeführt wurde, was (nach Sortieren der Spalten und Zeilen) zum Tableau x1 x2 .. . y1 c11 c21 .. . y2 c12 c22 .. . ··· ··· ··· yn c1n c2n .. . 1 0 0 xn cn1 cn2 ··· cnn 0 geführt habe. Dieses entspricht der Gleichung x=Cy mit der quadratischen Matrix C = (cij )i�j=1�...�n . Mit y = Ax folgt Ex = x = C A x für alle x ∈ Rn und damit CA=E� d. h., A−1 = C . Mit dem Austauschverfahren haben wir also ein weiteres Verfahren zur Bestimmung der Inversen von quadratischen Matrizen: Satz 4.6. Wenn das Austauschverfahren mit einer quadratischen Matrix A vollständig durchführbar ist, dann ist A invertierbar und man erhält die Inverse A−1 aus dem letzten Tableau. Es gilt auch die Umkehrung: Satz 4.7. Wenn die quadratische Matrix A invertierbar ist, dann ist das Austauschverfahren mit der quadratischen Matrix A vollständig durchführbar ist, dann ist A invertierbar und man erhält die Inverse A−1 aus dem letzten Tableau. Bemerkung 4.8. In den obigen Tableaus zur Berechnung von A−1 besteht die letzte Spalte stets nur aus Nullen. Da sie keinerlei Bedeutung für die Berechnung von A−1 hat, kann sie auch weggelassen werden. Wir bestimmen nun die Anzahl der nötigen Multiplikationen (inklusive Divisionen) und Additionen (inklusive Subtraktionen) für die Inversion einer n-reihigen Matrix nach obigem Verfahren: Wir haben n Austauschschritte durchzuführen. Je Austausch benötigen wir eine Inversion in A1 , n − 1 Multiplikationen zur Erzeugung der Kellerzeile für A2 , n − 1 Multiplikationen 69 4 Das Austauschverfahren zur Erzeugung der Elemente in der Pivotspalte und je eine Multiplikation und eine Addition für die verbleibenden Elemente gemäß A4 . Dies sind je Austausch (n − 1)2 Additionen und n2 Multiplikationen. Insgesamt sind höchsten (und im Allgemeinen tatsächlich) n(n − 1)2 n 3 Additionen Multiplikationen zur Berechnung der Inversen einer n-reihigen Matrix mit dem Austauschverfahren nötig. Wir vergleichen mit der Berechnung der Inversen über die Bestimmung von Determinanten gemäß Satz 3.59 durch det Aik A−1 = (−1)i+k . (4.10) det A Bezeichnen mn und an die Anzahl der Multiplikationen und Additionen zur Berechnung einer n-reihigen Determinante, so benötigen wir für die Berechnung einer n-reihigen Determinanten nach Entwicklungssatz die Berechnung von n (n − 1)-reihigen Unterdeterminanten und dann noch n Multiplikationen und n − 1 Additionen, es gilt also mn = n · mn−1 + n � an = n · an−1 + n − 1 . Mit m2 = 2 � a2 = 1 ergibt sich mn ≥ an = n� − 1 . Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht werden: n 3 4 5 10 100 Austauschverfahren Additionen Multiplikationen 12 27 36 64 80 125 810 1000 9.801 · 105 106 allein für det A Additionen Multiplikationen 5 9 23 40 119 205 ≈ 3.6 · 106 ≈ 6.2 · 106 ≈ 9.3 · 10157 ≈ 1.6 · 10158 Das Austauschverfahren ist also mindestens ab n = 5 der Berechnung über Determinanten vorzuziehen. Beispiel 4.9. Zu bestimmen sei die Inverse von 70 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) � A= 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 2 0 0 0 1 2 . Mit Austausch von y1 gegen x1 erhalten wir nebenstehendes Tableau mit entsprechender Kellerzeile. Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3 und A4 S1 x1 x2 x3 x4 y1 1 2 3 0 y2 2 3 0 0 y3 3 0 2 1 y4 0 1 0 2 K ∗ −2 −3 0 Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3 und A4 S2 y1 x2 x3 x4 S3 y1 y4 x3 x4 x1 1 −2 −3 0 x1 1 −2 −3 4 y2 2 −1 −6 0 y2 2 −1 −6 2 y3 3 −6 −7 1 y3 3 −6 −7 13 y4 0 1 0 2 x2 0 1 0 −2 K 0 ∗ 0 −2 K −1 1 2 3 ∗ Wir tauschen nun y4 gegen x2 und ergänzen die Kellerzeile. Wir tauschen nun y2 gegen x4 und ergänzen die Kellerzeile. Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3 und A4 Wir erhalten mit den Regeln A1 , A2 , A3 und A4 S4 y1 y4 x3 y2 S5 y1 y4 y3 y2 − 12 64 4 − 64 2� 64 8 64 9 − 64 29 64 1 − 64 6 64 18 64 6 64 2 64 − 12 64 11 64 7 − 64 − 13 64 14 64 x1 −3 0 9 2 x1 x4 −1 3 −10 32 1 2 13 2 x4 y3 1 2 1 2 x2 2 0 −6 −1 x2 K 2� 64 1 − 64 ∗ − 13 64 x3 Wir tauschen nun y3 gegen x3 und ergänzen die Kellerzeile. Damit erhalten wir schließlich � A−1 −1 11 18 −9 1 14 −12 6 8 = · . 2 −1 64 20 −13 −4 −7 6 29 71 4 Das Austauschverfahren 4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme Wir betrachten wir die Lösung eines linearen Gleichungssystem a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a12 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 .. . (4.11) am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm mit n Unbekannten x1 , . . . , xn und m Gleichungen. Hierbei kann m > n� m = n oder m < n gelten. Wir haben dem Gleichungssystem das allgemeine lineare Gleichungssystem y1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn − b1 y2 = a12 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn − b2 .. . (4.12) ym = am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn − bm und diesem das Tableau T0 x1 x2 ··· xn 1 y1 a11 a12 ··· a1n a10 y2 .. . a21 .. . a22 .. . ··· a2n .. . a20 ym am1 am2 ··· amn am0 mit ai0 = −bi für i = 1� . . . � m zugeordnet. Dabei ist x = (x1 � x2 � . . . � xn ) genau dann eine Lösung von (4.11), wenn (4.12) für dieses x = (x1 � x2 � . . . � xn ) mit y = (y1 � y2 � . . . � ym ) erfüllt ist. Nach Satz 4.2 verwandelt jeder Austauschschritte eines xτ in der Kopfzeile gegen ein yσ in der linken Spalte das Tableau (T0 ) in ein äquivalentes Tableau (T1 ): Alle Werte x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , y m , die (T ) erfüllen, genügen auch (T � ) und umgekehrt. Um nun (4.11) zu lösen, tauscht man ausgehend von (T0 ) schrittweise und solange es möglich ist, Variable yk in der linken Spalte gegen geeignete xi in der Kopfzeile aus und erzeugt so eine Abfolge von Tableaus (T� ). Diese Tableau sind ebenfalls alle äquivalent. Das letzte Tableau (Te ) nach e Austauschschritten, bei dem kein weiterer Austausch mehr möglich sei, habe die Form 72 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) Te yi 1 ··· yi e xke�1 ··· x kn 1 x k1 .. . µ11 .. . ··· µ1e .. . µ1�e+1 .. . ··· µ1n .. . µ10 .. . x ke µe1 ··· µee µe�e+1 ··· µen µe0 yie�1 .. . µe+1�1 .. . ··· µe+1�e .. . µe+1�e+1 .. . ··· µe+1�n .. . µe+1�0 .. . yi m µm1 ··· µme µm�e+1 ··· µmn µm0 Hierbei seien schon die Zeilen im Tableau so sortiert, dass in den ersten e Zeilen die aus der Kopfzeile in die linke Spalte getauschten Variablen xk1 bis xke stehen, welche gegen die yi1 bis yie getauscht wurden. Danach kommen die Zeilen mit den m − e nichtausgetauchten Variablen yie�1 bis yim . Entsprechend seien auch die Spalten sortiert: Zuerst die e Spalten zu den eingetauschten yi1 bis yie und dann die n − e Spalten der in der Kopfzeile verbliebenen xk�e+1 bis xkn . Dabei können folgende Fälle eintreten: Fall 1 Der Austausch ist vollständig möglich. Es gilt m = e und man erhielt das Tableau Tm yi 1 ··· yim xkm�1 ··· xkn 1 x k1 ... µ11 ... ··· µ1m .. . µ1�m+1 .. . ··· µ1n .. . µ10 ... x km µm1 ··· µmm µm�m+1 ··· µmn µm0 Mit yi1 = · · · = yim = 0 liest man xk1 = µ1�m+1 xkm�1 + · · · + µ1n xkn + µ10 � .. . xkm = µm�m+1 xkm�1 + · · · + µ1mn xkn + µm0 ab, wobei die n − m Zahlen xkm�1 bis xkn freie Parameter sind: Das Gleichungssystem (4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − m)-parametrische Lösungsschar zu 4.11. Fall 2 Der Austausch ist nicht vollständig möglich. Es gilt e < m und man erhielt das Tableau Te yi 1 ··· yi e xke�1 ··· xk n 1 x k1 .. . µ11 .. . ··· µ1e .. . µ1�e+1 .. . ··· µ1n .. . µ10 .. . x ke µe1 ··· µee µe�e+1 ··· µen µe0 yie�1 .. . µe+1�1 .. . ··· µe+1�e .. . 0 .. . ··· 0 .. . µe+1�0 .. . yi m µm1 ··· µme 0 ··· 0 µm0 73 4 Das Austauschverfahren mit den 0-Einträgen unten rechts – andernfalls wäre eine weiterer Austausch möglich gewesen. Die letzten m − e Zeilen der nicht ausgetauschten yie�1 bis yim lauten nun yie�1 = µe+1�1 yi1 + · · · + µe+1�e yie + µe+1�0 � .. . yim = µm1 yi1 + · · · + µme yie + µm�0 . Fall 2a Es gilt µe+1�0 = · · · = µm0 = 0. In diesem Fall können alle yi als 0 gewählt werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt wird. Mit yi1 = · · · = yie = 0 liest man xk1 = µ1�e+1 xke�1 + · · · + µ1n xkn + µ10 � .. . xke = µe�e+1 xke�1 + · · · + µ1en xkn + µe0 aus dem Tableau ab, wobei die n − e Zahlen xke�1 bis xkn freie Parameter sind: Das Gleichungssystem (4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − e)-parametrische Lösungsschar zu 4.11. Fall 2b Mindestens eines der µe+1�0 bis µm0 ist 0. In diesem Fall können nicht alle yi als 0 gewählt werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt wurde: Das Gleichungssystem (4.11) ist nicht lösbar. Obige Fallunterscheidung und die erhaltenen Lösungsdarstellung zeigen, dass die Werte der Koeffizienten µik , i = 1� . . . � m, k = 1� . . . � e in den ersten e Spalten der in die Kopfzeile eingetauschten yi1 bis yie weder für die Lösbarkeitsentscheidung noch für die Lösungsdarstellung benötigt werden: Sie brauchen daher gar nicht erst berechnet werden. Dies führt zum Austauschverfahren mit Spaltentilgung �AVS): In jedem Austauschritt wird die aus der Pivotspalte eigentlich entstehende neue Spalte weggelassen, da in ihr auch in den weiteren Schritten nun nur noch Koeffizienten zum einem in die Kopfzeile eingetauschten yi stehen und diese Koeffizienten auch keinerlei Einfluss mehr auf die weitere Rechnung haben. Das letzte Tableau hat dann die Form 74 Te xke�1 ··· x kn 1 x k1 .. . µ1�e+1 .. . ··· µ1n .. . µ10 .. . x ke µe�e+1 ··· µen µe0 yie�1 .. . µe+1�e+1 .. . ··· µe+1�n .. . µe+1�0 .. . yi m µm�e+1 ··· µmn µm0 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) Dieses ergibt xk1 = µ1�e+1 xke�1 + · · · + µ1n xkn + µ10 � .. . xke = µe�e+1 xke�1 + · · · + µ1en xkn + µe0 mit den n − e freien Parametern xke�1 bis xkn genau dann, wenn µe+1 � 0 = · · · = µm0 = 0 gilt. Beispiel 4.10. Für das lineare Gleichungssystem x1 − 2x2 + 4x3 − x4 = 2 −3x1 + 3x2 − 3x3 + 4x4 = 3 2x1 − 3x2 + 5x3 − 3x4 = −1 erhält man mit dem AVS T1 x1 x2 x3 x4 1 T2 x2 x3 x4 1 y1 1 −2 4 −1 −2 x1 2 −4 1 2 y2 −3 3 −3 4 −3 y2 −3 9 1 −9 y3 2 −3 5 −3 1 y3 1 −3 −1 5 K ∗ 2 −4 1 2 K 1 −3 ∗ 5 T3 x2 x3 1 x1 3 −7 7 y2 −2 6 −4 x4 1 −3 5 K ∗ 3 −2 T4 x3 1 x1 2 1 x2 3 −2 x4 0 3 Der Austausch konnte vollständig durchgeführt werden (Fall 1). Wir lesen x1 = 2x3 + 1 � x2 = 3x3 − 2 � x4 = 3 mit dem freien Parameter x3 ab. Die Gesamtheit der Lösungen ist folglich durch x1 = 2t + 1 � x2 = 3t − 2 � x3 = t � x4 = 3 für t ∈ R gegeben. Eine weitere Verkürzung des Verfahrens kann man in der Weise durchführen, dass man in Ergänzung zu AVS sich jeweils die aus der Pivotzeile ergebende Gleichung notiert, diese Zeile aber nicht mit ins Tableau übernimmt. Man erhält das Austauschverfahren mit Spalten- und Zeilentilgung �AVSZ): In jedem Austauschschritt werden die aus Pivotspalte bzw. Pivotzeile eigentlich entstehende neue Spalte bzw. Zeile weggelassen, während der Inhalt der eigentlich aus der Pivotzeile entstehenden Zeile extra als Gleichung notiert wird. 75 4 Das Austauschverfahren Beispiel 4.11. Ein Unternehmen stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F1 , F2 , F3 , F4 vier Produkte P1 , P2 , P3 , P4 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von Pj , j = 1� . . . � 4, werden aij Mengeneinheiten von Fi , i = 1� 2� 3, benötigt. Mit xj bezeichnen wir die herzustellenden Mengeneinheiten von Pj mit bj die benötigten Mengeneinheiten von Fi . Die entsprechende Koeffizientenmatrix sei A = (aij )i=1�2�3 � j=1�2�3�4 2 0 4 4 = 6 9 3 0 12 18 6 0 Man erhält das Gleichungssystem 2x1 + 4x3 + 4x4 = b1 6x1 + 9x2 + 3x3 = b2 12x1 + 18x2 + 6x3 = b3 für die Mengeneinheiten xj von Pj bei vorgegebenen Mengeneinheiten bi von Fi . Mittels AVSZ ergibt sich dann T1 x1 x2 x3 x4 1 y1 2 0 4 4 −b1 y2 6 9 3 0 −b2 y3 12 18 6 0 −b3 K ∗ 0 −2 −2 − �21 S2 x2 x3 x4 1 y2 9 −9 −12 3b1 − b2 y3 18 −18 −24 1 4 3 K ∗ mit x1 = −2x3 − 2x4 + b1 2 und schließlich mit S3 x3 x4 1 y3 0 0 2(b2 − 3b1 ) + 6b1 − b3 4 1 x2 = x3 + x4 + (b2 − 3b1 ) . 3 9 Das Gleichungssystem ist also genau dann lösbar (Fall 2a), wenn 2(b2 − 3b1 ) + 6b1 − b3 = 0 gilt, d. h., wenn 2b2 = b3 76 6b1 − b3 1 (b 9 2 − 3b1 ) 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) gilt. In diesem Fall hat die allgemeine Lösung die Form x1 = −2t1 − 2t2 + b1 � 2 4 1 x2 = t1 + t2 + (b2 − 3b1 ) � 3 9 x3 = t1 � x4 = t2 . Dabei sind t1 und t2 beliebig reelle Zahlen, die natürlich so gewählt werden müssen, dass x1 ≥ 0 � . . . � x 4 ≥ 0 gilt. Beispiel 4.12. Es wird nochmals die schon in Beispiel 3.32 behandelte Matrix der Käuferfluktuationen � 0.6 0.1 0.4 A = 0.1 0.9 0.4 0.3 0.0 0.2 betrachtet. Eine Marktverteilung – beschrieben durch die Marktanteile x1 , x2 , x3 der Produkte P1 , P2 , P3 – heißt stationär, wenn sie bei einem Übergang von T0 zu T1 unverändert bleibt, d.h. � � � x1 0.6 0.1 0.4 x1 x2 = 0.1 0.9 0.4 x2 x3 x3 0.3 0.0 0.2 oder in Matrizenschreibweise x = Ax mit x = (x1 � x2 � x3 ) Die stationären Markanteile x1 , x2 , x3 sind dann wegen x = Ex die Lösung des Gleichungssystems (E − A)x = 0 d. h. von 0.4x1 − 0.1x2 − 0.3x3 = 0 −0.1x1 + 0.1x2 = 0 −0.4x1 − 0.4x2 + 0.8x3 = 0 . Geht man davon aus, dass der Markt vollständig durch P1 , P2 , P3 abgesättigt wird, ergibt sich außerdem die zusätzliche Gleichung x1 + x2 + x3 = 1 . Das vollständige Gleichungssystem für die stationären Marktanteile x1 , x2 , x3 wird dann mittels AVSZ folgendermaßen gelöst: 77 4 Das Austauschverfahren S1 x1 x2 x3 1 y1 0.4 −0.1 −0.3 0 y2 −0.1 0.1 0 0 y3 −0.4 −0.4 0.8 0 y4 1 1 1 −1 K ∗ −1 −1 1 S2 x2 x3 1 y1 −0.5 −0.7 0.4 y2 0.2 0.1 −0.1 y3 0 1.2 −0.4 K ∗ −0.5 0.5 S3 x3 1 y1 −0.45 0.15 S4 1 y3 1.2 −0.4 y1 0 ∗ 1 3 K mit x1 = −x2 − x3 + 1 � x2 = −0.5x3 + 0.5 � x3 = 1 . 3 Wir erhalten x3 = 1 � 3 1 1 + 0.5 = � 3 3 1 1 1 x1 = − − + 1 = . 3 3 3 x2 = −0.5 · Wir schließen diesen Abschnitt wieder mit Überlegungen zur Anzahl der maximal benötigten Additionen und Multiplikationen bei AVMZ. Wir beschränken uns dabei auf den Fall m = n, um mit der Cramer-schen Regel vergleichen zu können und gehen davon aus, dass der Austausch vollständig möglich ist: Im ersten Schritt sind n Multiplikationen zur Erzeugung der Kellerzeile (und der notierten Gleichung) erforderlich. Für die restlichen n · (n − 1) Einträge sind je eine Addition und eine Multiplikation erforderlich. Dies ergibt n(n − 1) n 2 Additionen� Multiplikationen. Insgesamt sind dies n � 1 k(k − 1) = (n3 − n) 3 k=2 n � 1 1 1 k 2 = n3 + n2 + n − 1 3 3 6 k=2 Additionen� Multiplikationen. Noch nicht einberechnet wurden die Additionen und Multiplikationen zur Auswertung der notierten Gleichungen. Es wurden aber auch noch die Additionen und Multiplikationen 78 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens �AV) zur Berechnung der n weiteren Determinanten und die zugehörige Division einbezogen. Schlimmstenfalls, d. h. ohne effiziente Zwischenspeicherung, wären die Einträge für det A noch mit n + 1 zu multiplizieren, was die letzten Spalten ergibt. Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht werden: n 3 4 5 10 100 AVSZ Add. Mult. 8 13 20 29 40 54 330 384 ≈ 3.3 · 105 ≈ 3.4 · 105 allein für det A Add. Mult. 5 9 23 40 119 205 ≈ 3.6 · 106 ≈ 6.2 · 106 ≈ 9.3 · 10157 ≈ 1.6 · 10158 Add. 20 115 714 ≈ 4 · 108 ≈ 9.5 · 10159 Mult. 36 200 1230 ≈ 6.8 · 108 ≈ 1.6 · 10160 Das AV und erst recht das AVSZ ist also ziemlich effizient, während die Cramer-sche Regel für größere n in praktischen Rechnung unbrauchbar ist. 4.3.3 Berechnung von Determinanten Auch die Berechnung von Determinanten einer n-reihigen Matrix A kann mit dem Austauschverfahren sehr effizient durchgeführt werden: Man verwendet AVSZ für das zu A gehörige Tableau (ohne letzte Spalte), notiert sich anstelle der aus der Pivotzeile entstehenden Gleichung die Folge der Pivotelemente p� und die jeweiligen Indizes σ� und τ� der Zeilen bzw. Spalte des Pivotelements. Dann gilt det A = n � (−1)σ� +τ� p� . �=1 Beispiel 4.13. Zu bestimmen ist � det 1 0 3 4 0 −4 1 7 8 4 0 1 2 2 0 1 . Mit AVSZ erhalten wir die Folge von Tableaus S1 x1 x2 x3 x4 y1 1 0 3 4 y2 0 −4 1 7 y3 8 4 0 1 y4 2 2 0 1 K ∗ 0 −3 −4 S2 x2 x3 x4 y2 −4 1 7 y3 4 −24 −31 y4 2 −6 −7 K 4 ∗ −7 S3 x2 x4 y3 −92 137 S4 x2 y4 −22 35 y3 − 2�6 22 K ∗ 35 22 79 4 Das Austauschverfahren und damit � det 1 0 3 4 0 −4 1 7 8 4 0 1 2 2 0 1 � � � � � � ) = (−1)1+1 · 1 · (−1)1+2 · 1 · (−1)2+1 (−22) ·(−1)1+1 ( �2�6 22 = 206 . Offenbar erfolgte auch hier die Berechnung sehr effizient. 80 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Funktionen 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken . 1.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren . . . . 1.1.4 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen . . . . . . 1.2.3 Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kartesisches Produkt und Relationen . . . . . . . . . . 1.4 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . 1.4.3 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Zahlen 2.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung 2.2.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 6 7 9 9 10 11 12 12 13 13 14 14 18 19 25 25 25 25 26 26 26 26 27 28 28 29 29 29 31 31 81 Inhaltsverzeichnis 2.3 2.4 2.5 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Weitere Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen 2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2.2 Ordnungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen . . . . . . . . Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Definitionen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 32 32 33 34 34 35 36 36 37 38 3 Matrizen und Determinanten 3.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . 3.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) . . . . . . . . 3.1.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung . . . . . 3.1.7 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der Begriff der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Das Rechnen mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n 3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 43 45 46 47 49 50 51 51 53 55 58 4 Das Austauschverfahren 4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes 4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes . 4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . 4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) . . . . . . . . . . . 4.3.1 Inversion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 61 61 62 63 65 68 68 72 79 82 . . . . . . . . . . Index Äquivalenz, 5 Äquivalenzrelation, 14 äquivalent, 6 Dreiecksungleichung, 37 Durchschnitt, 11, 13 durchschnittsfremd, 11 Abbildung, 14, 16 Abbildung, affin-lineare, 60 Abbildung, identische, 20 Abbildung, lineare, 59 Abbildung, surjektive, 17 Addition, 32 All-Quator, 7 Antisymmetrie, 33 Argument, 16 Assoziativgesetz, 6, 12, 32 Aussage, 5 Aussageform, 5 Aussagevariable, 5 Austauschregeln, 62 Einheitsmatrix, 44 Entwicklung, 53 Existenz-Quantor, 7 Basen, negative, 38 Betrag, 35 Betragsungleichung, 36 Bijektion, 20 bijektiv, 20 Bild, 18 Definition, rekursive, 26 Definitionsbereich, 17 Determinante, 42, 51–53, 56, 57 Determinante, Eigenschaften, 54 Differenz, 11 Differenz von Matrizen, 45 Differenz, symmetrische, 11 disjunkt, 11 Disjunktion, 5 Distributivgesetz, 6, 12 Division, 32 Dreieck, Pascalsches, 30 Dreiecksmatrix, 52 Fallunterscheidung, 36 Funktion, 14, 16 Funktion, eineindeutige, 18 Funktion, gleichheit, 17 Funktion, injektive, 18 Funktion, surjektive, 17 Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59 Gleichungssystem, homogenes lineares, 56 Gleichungssystem, inhomogenes lineares, 56 Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58 Graph, 17 Hauptstützelement, 62 Identität, 20 Implikation, 5 Indexmenge, 13 Input-Output-Koeffizient, 41 invertierbar, 50 Körper, 32 Körper, total angeordneter, 33 Kellerzeile, 64 Koeffizientenmatrix, 42 Kombination, 29 Kombinationen, 29 Kommutativgesetz, 6, 12 Komplement, 12 Komposition, 18 Konjunktion, 5 83 Index Lösung, 42 Lehrsatz, binomischer, 37 linkseindeutig, 15 linkstotal, 15 Logarithmengesetze, 38 Logarithmus, 38 Matrix, 39, 51, 53, 56 Matrix, inverse, 50 Matrix, invertierbare, 55–57 Matrix, quadratische, 44 Matrix, Rechenregeln, 51 Matrix, symmetrische, 44 Matrix, transponierte, 43 Matrixgleichung, 51 Menge, 7 Menge, leere, 10 Mengengleichheit, 9 Multiplikation, 32 Negation, 5 Normalform, 59 Nullmatrix, 43 Ordnung, totale, 33 Ordnungsrelation, 14, 32 Output-Bilanz, 41 Paar, geordnetes, 13 Permutation, 26 Pivotelement, 62 Pivotspalte, 62 Pivotzeile, 62 Potenz, n-te, 37 Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26 Potenzen mit rationalen Exponenten, 38 Potenzgesetze, 38 Potenzmenge, 37 Potenzmenge, 10 Prädikat, einstufiges, 6 Prädikat, zweistufiges, 6 Prinzip der vollständigen Induktion, 25 Produkt von Matrizen, 47 Produkt, kartesisches, 13, 14 Produktionskoeffizient, 41 84 Produktmatrix, 47 Produktzeichen, 36 Quantifikator, restringierter, 7 rechtseindeutig, 15 Reflexivität, 33 Regel, Cramersche, 57, 58 Regeln, de Morgansche, 6, 12 Reihenfolge, 26, 29 Relation, 14 Sarrus-Regel, 43 Seite, rechte, 42 Skalarprodukt, 47 Spalte, 40 Spaltenvektor, 40 Subtraktion, 32 Summe von Matrizen, 45 Summenzeichen, 36 System linearer Funktionen, 60 Teilmenge, 9 Teilmengen, 30 Transitivgesetz, 33 Trichotomie-Eigenschaft, 33 Typ einer Matrix, 39 Umformungen, äquivalente, 34 Umkehrabbildung, 20 Urbild, 18 Variation, 28 Vektor, 40 Vektor der Absolutglieder, 42 Vektor der Unbekannten, 42 Vereinigung, 11, 13 Verkettung, 18 Wahrheitswert, 5 Wertebereich, 17 werteverlaufsgleich, 6 Wiederholung, 26, 29 Wurzel, n-te, 37 Zahl, irrationale, 38 Zahl, negative, 33 Index Zahl, nichtnegative, 33 Zahl, nichtpositive, 33 Zahl, positive, 33 Zahlengeraden, 36 Zeile, 40 Zeilenvektor, 40 85
