x - humboldt

GRUNDWISSEN MATHEMATIK 10. JAHRGANGSSTUFE (G8)
I. KREIS UND KUGEL
KREISSEKTOR UND BOGENMAß
b
Für einen Kreissektor mit Radius r und Mittelpunktswinkel  gilt:

Bogenlänge:
b  360
 2 r

Flächeninhalt:
Der Quotient
b
r
A

360

 r 2   12 br
r

r
hängt nur von  ab und heißt Bogenmaß des Winkels .
Bezeichnet man mit  den Winkel im Gradmaß und mit x denselben Winkel
im Bogenmaß, so gelten folgende Umrechnungen:

x  360
 2 ;   2x  360

Beispiele:
1.) Bestimme Radius und Flächeninhalt eines Kreissektors mit Bogenlänge 8cm und
Mittelpunktswinkel 120°.

b  360 8cm  360 12
b
 2 r  r 

 cm  3,82cm
360
120  2
  2

2

120  12
48 2

 r 2 
  cm    
cm  15,28cm 2
A
360
360  


2.) Einige Winkel im Gradmaß () und im Bogenmaß (x):
0°
30°
45°
60°
90°
180°

1
1
1
1

0
x
6
4
3
2
270°
3

2
360°
2
VOLUMEN UND OBERFLÄCHENINHALT DER KUGEL
Für eine Kugel mit Radius r gilt:
V  43 r 3 
Volumen:
Oberflächeninhalt:
r
S  4r 
2
Beispiel:
Gib das Volumen und den Oberflächeninhalt des abgebildeten Körpers in Abhängigkeit von r an.
Der Körper setzt sich aus einem Zylinder mit Radius r und Höhe r und einer
Halbkugel vom Radius r zusammen:
V  VZylinder  VHalbkugel  r 2   r  12  43 r 3   53 r 3 
Die Oberfläche besteht aus einem Kreis (Grundfläche), der Mantelfläche des
Zylinders und der Oberfläche der Halbkugel:
S  AKreis  M Zylinder  S Halbkugel  r 2   2r  r  12  4r 2   5r 2 
r
r
2r
II. TRIGONOMETRIE
SINUS UND KOSINUS AM EINHEITSKREIS
Sei P(x|y) ein Punkt auf dem Einheitskreis und  der Winkel mit der positiven x-Achse als erstem
und der Halbgeraden [OP als zweitem Schenkel. Man definiert:
sin  : y ; cos  : x
y
1
y
P(x|y)
0° <  < 90°:
sin  > 0
cos  > 0

cos 
–1
P
90° <  < 180°:
sin 
sin  > 0
cos  < 0
1 x
sin 

cos 
x
–1
y
y
180° <  < 270°:
sin  < 0
cos  < 0
270° <  < 360°:
cos  
sin  < 0
cos  > 0
x
sin 

cos 
x
sin 
P
P
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
Um die Sinus- und Kosinusfunktion auch für Winkel kleiner als 0 (Drehung im Uhrzeigersinn) und
größer als 2 (mehr als eine vollständige Drehung im Gegenuhrzeigersinn) definieren zu können, legt
man fest:
sin( x  k  2) : sin x und cos( x  k  2) : cos x für k  ZZ
sin(  k  360) : sin  und cos(  k  360) : cos  für k  ZZ
Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen sin: x  sin x und cos: x  cos x.
y
1
Gsin
O

Gcos
-1
x
Den Graphen oder den Abbildungen am Einheitskreis entnimmt man folgende Zusammenhänge:
sin x  sin(  x) ; sin( x)   sin x
cos x  cos(2  x) ; cos( x)  cos x
Beispiel:
Bestimme alle x  [–2 ], für die gilt: sin x 
1
2
Am Graphen lässt sich erkennen, dass es vier Lösungen gibt:
y
1
O
–
x4
-1
x3
x1
x
x2
Der Taschenrechner liefert mit 30° die kleinste positive Lösung, also: x1  16 
Für die weiteren Lösungen ergibt sich (siehe Graph):
x2    16   56 
x3     16    76 
x4  2  16    116 
DIE ALLGEMEINE SINUSFUNKTION
Die Funktion x  a  sin(b  x  c)  a  sin b  ( x  bc ) mit a  0, b  0 und x  IR heißt allgemeine
Sinusfunktion. |a| heißt Amplitude,
2
b
heißt Periode.
Ihr Graph entsteht aus dem Graphen der Sinusfunktion x  sin x durch folgende Schritte:
1. Strecken in x-Richtung mit dem Faktor 1b .
2. Verschieben in x-Richtung um | bc | nach links (c > 0) bzw. nach rechts (c < 0).
3. Strecken bzw. Stauchen in y-Richtung mit dem Faktor |a|.
4. Falls a < 0: Spiegeln an der x-Achse.
Beispiel:
Zeichne den Graphen der Funktion x  2 sin( 32 x  12 ) im Bereich [–; 2].
y
1
1. Schritt:
Strecken in x-Richtung mit
dem Faktor 23
O

x
-1
y
1
2. Schritt:
Verschieben in x-Richtung um
| bc | 3 nach rechts (c < 0)
O

x
-1
y
2
3. Schritt:
Strecken in y-Richtung mit
dem Faktor 2
1
O

x
-1
-2
III. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS
DIE EXPONENTIALFUNKTION
Die Funktion x  b  a x mit b  0, a > 0 und a  1 heißt Exponentialfunktion.
Ist b > 0, so steigt ihr Graph für a > 1 und fällt für 0 < a < 1.
Es gilt stets:
1. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b): f(0) = b
2. Erhöht man x um 1, so wird der Funktionswert a mal so groß: f(x+1) = af(x)
x  2
1
2
x
 12
2
y
4
y
4
2
-3
-2
2
1
-1
O
x
3
3
2
x  12  12 
 12
2
2
1
1
2
3 x
-3
Beispiel 1:
Auf der Erdoberfläche beträgt der Luftdruck circa 1000hPa
(Hektopascal). Pro Kilometer Höhenzunahme verringert
sich der Luftdruck um etwa 12%.
Gib eine Funktion der Form x  b  a x an, die die Abnahme
des Luftdrucks mit der Höhe beschreibt. Dabei sei x die
Höhe in km und f(x) der Luftdruck in hPa.
Offensichtlich ist b = 1000, da auf der Erdoberfläche (x = 0)
der Druck 1000hPa herrscht.
Erhöht man x um 1, so fällt der Luftdruck auf 88% seines
vorigen Wertes. Also ist a = 0,88.
Die gesuchte Funktion lautet: x  1000  0,88 x
-2
-1
O
1
2
3 x
y
1000
800
600
400
200
O
2
4
6
8
10 x
Beispiel 2:
Bestimme a und b so, dass der Graph der Funktion x  b  a x durch die Punkte (2|12) und (5|40,5)
verläuft.
Gleichungssystem:
I) 12  b  a 2
 b  12
in (II)
a2
II) 40,5  b  a 5
 a5
II’) 40,5  12
a2
 40,5  12  a 3
b  12
 112
 5, 3
a2
,52
Die Funktion lautet x  5, 3  1,5 x .
 a 3  3,375  a  1,5
DER LOGARITHMUS
Die Lösung der Gleichung a x  b mit b > 0, a > 0 und a  1 heißt Logarithmus von b zur Basis a.
Schreibweise: x  log a b
log a b ist also diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss um b zu erhalten.
Zehnerlogarithmen (Logarithmen zur Basis 10) werden oft mit lg bezeichnet: log10 b  lg b
Beispiel:
log 5 125  3, da 53  125
Rechengesetze für Logarithmen:
Es seien a, b, c > 0 und a  1. Dann gilt:
1. log a (b  c)  log a b  log a c
2. log a (b : c)  log a b  log a c
3. log a b d  d log a b
4. log a b 
lg b
lg a
Beispiele:
1.) log 4 8  log 4 128  log 4 (8 128)  log 4 1024  5, denn 45  1024
2.) lg 4  lg 6  lg 3  lg(4  6)  lg 3  lg(24 : 3)  lg 8  lg 2 3  3 lg 2  0,9031
3.) log 7 35  1,8271
4.) Löse die folgende Gleichung: log 3 2 x  2  log 3 4 (x  +)
log 3 2 x  2  log 3 4 |  log 3 4
log 3 2 x  log 3 4  2
log 3 24x  2 (2. Gesetz)
log 3 2x  2
x
2
 32
x
2
 9 | 2
(Definition des Logarithmus)
x  18
EXPONENTIALGLEICHUNGEN
Gleichungen, in denen die Variable als Exponent auftritt, heißen Exponentialgleichungen.
Beispiele:
1.) Löse die folgende Gleichung: 5  32 x  2  6 x  0 (x  )
5  32 x  2  6 x  0 | 2  6 x
5  32 x  2  6 x
| lg
lg(5  3 )  lg(2  6 x )
2x
lg 5  lg 32 x  lg 2  lg 6 x
lg 5  2 x lg 3  lg 2  x lg 6 |  x lg 6  lg 5
2 x lg 3  x lg 6  lg 2  lg 5
x(2 lg 3  lg 6)  lg 2  lg 5 |: (2 lg 3  lg 6)
x
lg 2 lg 5
2 lg 3lg 6
 2,26
2.) Löse die folgende Gleichung: 32 x  30  3 x  81  0 (x  )
32 x  30  3 x  81  0
(3 x ) 2  30  3 x  81  0 | Substitution u : 3 x
u 2  30u  81  0
u  30
u 3
900324
2
 30224  15  12
 u  27 | Rücksubstitution
3x  3  3 x  27
x 1  x  3
IV. VIERFELDERTAFEL; BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
VIERFELDERTAFEL
Es seien A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit der Ergebnismenge .
Es gelten folgende Bezeichnungen und Schreibweisen:
Die Schnittmenge A  B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Die Vereinigungsmenge A  B enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen
enthalten sind.
Die Komplementärmenge A enthält alle Elemente, die in  aber nicht in A enthalten sind.
Beispiel:
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; A = {2, 4, 6} ; B = {1, 6}
A  B = {6} ; A  B = {1, 2, 4, 6} ; A = {1, 3, 5}
Zwei Ereignisse A und B zerlegen die Ergebnismenge
 in vier Teilmengen:
A  B, A  B , A  B und A  B (s. Abb.)
Jedes Ergebnis  gehört zu genau einer dieser vier
Teilmengen.
Die Anzahlen der Elemente dieser vier Mengen bzw.
die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich
in einer Vierfeldertafel darstellen:
B
B
A
|A  B|
|A  B |
|A|
A
| A  B|
|A  B|
|A |
|B|
|B|
||

A B
A B
A B
AB
B
A
B
B
A
P(A  B)
P(A  B )
P(A)
A
P( A  B)
P( A  B )
P( A )
P(B)
P( B )
P()
Beispiel:
Von 250 Personen sprechen 192 Englisch (E), 117 Französisch (F) und 83 sprechen beide Sprachen.
Wie viel Prozent der Personen sprechen keine der beiden Sprachen?
Vierfeldertafel:
F
F
E
83
109
192
E
34
24
58
117
133
250
F
F
E
33,2%
43,6%
76,8%
E
13,6%
9,6%
23,2%
46,8%
53,2%
100%
9,6% der Personen sprechen weder Englisch noch Französisch.
Die Daten einer Vierfeldertafel lassen sich auf zwei Arten in einem Baumdiagramm darstellen:
1. Möglichkeit:
P(A)
P(A)
B
P(AB)
B
P(AB)
P(B)
B
P(AB)
P(B)
B
P(AB)
A
P(AB)
A
P(AB)
P(A)
A
P(AB)
P(A)
A
P(AB)
A
A
2. Möglichkeit:
P(B)
P(B)
B
B
Beispiel:
Mit den Daten aus dem vorherigen Beispiel ergeben sich folgende Baumdiagramme:
76,8%
23,2%
F
33,2%
F
43,6%
46,8%
F
13,6%
53,2%
F
9,6%
E
33,2%
E
13,6%
76,8%
E
43,6%
23,2%
E
9,6%
E
E
oder:
46,8%
53,2%
F
F
BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Es seien A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P(A)  0.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B,
wenn A bereits eingetreten ist.
B)
Es gilt: PA (B)  P(AP(A)
Beim zugehörigen Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen der
zweiten Stufe:
P(A)
P(A)
PA(B)
B
P(AB)
PA(B)
B
P(AB)
PA(B)
B
P(AB)
PA(B)
B
P(AB)
A
A
Beispiel:
Mit den Daten aus dem vorherigen Beispiel ergibt sich das folgende Baumdiagramm:
76,8%
23,2%
Denn:
43,2%
F
33,2%
56,8%
F
43,6%
58,6%
F
13,6%
41,4%
F
9,6%
E
E
PE (F) 
P(E  F)
P(E)
PE (F) 
43, 6%
76 ,8%
 56,8%
PE (F) 
13, 6%
23, 2%
 58,6%
PE (F) 
9 , 6%
23, 2%
 41,4%
, 2%
 33
76 ,8%  0,432  43,2%
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, von der man weiß, dass sie Englisch spricht, auch
Französisch spricht, beträgt hier also 43,2%.
V. GANZRATIONALE FUNKTIONEN
POTENZFUNKTIONEN
Die Funktion x  a  x n mit n heißt Potenzfunktion n-ten Grades.
a > 0, n gerade:
a > 0, n ungerade:
-3
-2
-1
y
3
y
3
2
2
1
1
O
1
2
3 x
-3
-2
O
-1
-1
-2
-1
x  0,5x
x  0,5x3
x  0,5x5
-2
1
2
3 x
x  0,5x2
x  0,5x4
x  0,5x6
-3
-3
Die Graphen für a < 0 entstehen aus den Graphen mit a > 0 durch Spiegelung an der x-Achse.
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass der Graph der Funktion x  a  x n durch (–2|1,6) und (3|–5,4) verläuft.
Gleichungssystem:
I) 1,6  a  (2) n
 a
1, 6
( 2 ) n
in (II)
II)  5,4  a  3n
II’)  5,4 
1, 6
( 2 ) n
 3n

5, 4
1, 6
 ( 32 ) n
  3,375  (1,5) n
 1,5 n  3,375
 n  log1,5 3,375  3
a
1, 6
( 2 )3
 0,2
Die Funktion lautet x  0,2  x 3 .
GANZRATIONALE FUNKTIONEN
Die Funktion x  a n x n  a n1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 mit reellen Koeffizienten und natürlichen
Exponenten heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Der Funktionsterm heißt Polynom n-ten
Grades.
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große x-Werte durch den
Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt.
Beispiel:
 3 x 7  1,4 x 5  10 x 2  4 ist ein Polynom 7. Grades.
x  3 x 7  1,4 x 5  10 x 2  4 ist eine ganzrationale Funktion 7. Grades.
Der höchste Exponent ist ungerade, der zugehörige Koeffizient negativ.
Der Graph verläuft also „von links oben nach rechts unten“.
y
10
5
-2
-1
O
-5
-10
1
2 x
Ist f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades und x = a eine Nullstelle von f, also f(a) = 0, so lässt
sich f(x) schreiben als: f ( x)  ( x  a)  g ( x)
Dabei ist g(x) ein Polynom vom Grad n – 1.
g(x) erhält man durch die Polynomdivision f ( x) : ( x  a ) .
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt also höchstens n Nullstellen.
Das Verhalten eines Graphen in der Nähe einer Nullstelle hängt von der Vielfachheit der Nullstelle
ab:
Ist die Nullstelle von ungerader Ordnung, findet ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte statt, bei
Nullstellen von gerader Ordnung nicht.
Beispiele:
1.) Die Funktion x  5( x  4)( x  6) 2 ( x  9) 3 besitzt eine einfache Nullstelle bei x  4 , eine
doppelte Nullstelle bei x  6 und eine dreifache Nullstelle bei x  9 .
2.) Bestimme alle Nullstellen der Funktion x  3 x 3  3x 2  66 x  120
Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle x1 = 2.
Polynomdivision:
(3x3 – 3x2 – 66x + 120) : (x – 2) = 3x2 + 3x – 60
– (3x3 – 6x2)
3x2 – 66x
– (3x2 – 6x)
– 60x + 120
– (– 60x + 120)
0
Die weiteren Nullstellen erhält man, indem man das erhaltene Polynom gleich Null setzt:
3 x 2  3 x  60  0 |: 3
x 2  x  20  0
x  1 2180  129  x2  4; x3  5
Die Funktion lässt sich also so schreiben: x  3( x  2)( x  4)( x  5)
y
3
3.) Bestimme den Funktionsterm der abgebildeten
ganzrationalen Funktion f vierten Grades.
Die Funktion f hat einfache Nullstellen bei
x = 0 und x = 3 und eine doppelte Nullstelle
bei x = –2:
f ( x)  a  x  ( x  3)  ( x  2) 2
Es ist f (2)  3,2 :
a  2  (2  3)  (2  2)  3,2
 32a  3,2
a  0,1
Gf
2
1
-3
-2
-1
O
1
2
3
2

f ( x)  0,1x( x  3)( x  2) 2
-1
-2
-3
(2|–3,2)
-4
4 x
VI. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONSGRAPHEN
VERSCHIEBUNG
Gf
y
2
Es seien f und g zwei Funktionen mit
g ( x)  f ( x  a )  b . Der Graph von g entsteht
durch Verschieben des Graphen von f um a in xRichtung und um b in y-Richtung.
b
1
a
-5
-4
-3
-2
-1
Gg
O
1
2
3 x
-1
Beispiel:
f : x  4 x 2  5x  1
Bestimme den Term der Funktion g, deren Graph gegenüber dem Graphen von f um 3 nach links und
2 nach oben verschoben ist.
g ( x)  f ( x  (3))  2  f ( x  3)  2  4( x  3) 2  5( x  3)  1  2  4 x 2  24 x  36  5 x  15  3 
 4 x 2  19 x  24
STRECKUNG
Es seien f, g und h drei Funktionen mit g ( x)  f (k  x) und h( x)  k  f ( x) und es sei k  0 . Der
Graph von g entsteht durch Streckung des Graphen von f in x-Richtung mit dem Faktor 1k . Der Graph
von h entsteht durch Streckung des Graphen von f in y-Richtung mit dem Faktor k.
g ( x)  f (2 x)
Beispiel:
h( x )  2 f ( x )
y
2
Gg
y
2
Gf
1
-3
-2
O
-1
Gh
Gf
1
1
2
3 x
-3
-2
-1
O
-1
-1
-2
-2
1
2
3 x
SPIEGELUNG
Es seien f, g und h drei Funktionen mit g ( x)  f ( x) und h( x)   f ( x) . Der Graph von g entsteht
durch Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse. Der Graph von h entsteht durch Spiegelung des
Graphen von f an der x-Achse.
g ( x)  f ( x)
Beispiel:
Gg
h( x )   f ( x )
y
Gf
y
3
Gf
1
2
-3
1
-3
-2
-1
O
-2
-1
O
1
2
3 x
-1
1
2
3 x
-2
Gh
SYMMETRIE
Es sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x   gilt:
f ( x)  f ( x)
Der Graph von f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x   gilt:
f ( x)   f ( x)
Beispiele:
1.) f : x  x( x 3  x)
f ( x)   x[( x) 3  ( x)]   x( x 3  x)  x( x 3  x)  f ( x)
 Achsensymmetrie zur y-Achse
2.)
f : x  x 2 sin x
f ( x)  ( x) 2 sin( x)  x 2 ( sin x)   x 2 sin x   f ( x)
 Punktsymmetrie zum Ursprung
3.)
f : x  2x3  x 1
f ( x)  2( x) 3  ( x)  1  2 x 3  x  1
 Keine Symmetrie zum Koordinatensystem
Eine ganzrationale Funktion heißt gerade (ungerade), wenn im Funktionsterm nur x-Potenzen mit
geraden (ungeraden) Exponenten auftreten.
Die Graphen von geraden Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die Graphen von ungeraden Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Beispiele:
1.) f ( x)  4 x 8  3x 2  2  4 x 8  3 x 2  2 x 0
 Achsensymmetrie zur y-Achse
2.)
f ( x)  3 x 7  16 x 3  4 x  3 x 7  16 x 3  4 x1
3.)
f ( x )   x 3  4 x  8   x 3  4 x1  8 x 0
 Punktsymmetrie zum Ursprung
 Keine Symmetrie zum Koordinatensystem
VII. GRENZWERTE IM UNENDLICHEN
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einem Wert a
beliebig nahe, so heißt a Grenzwert der Funktion f für x gegen unendlich.
Entsprechendes gilt für den Grenzwert für x gegen minus unendlich.
Schreibweisen: lim f ( x)  a bzw. lim f ( x)  a
x 
x  
Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote von Gf.
lim f ( x)  a
lim f ( x)  a
x 
x 
y
y
a
a
x
x
Wachsen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für wachsende x über alle Grenzen, so existiert
zwar kein Grenzwert für x   , jedoch verwendet man die Schreibweise lim f ( x)   .
x 
Entsprechendes gilt für lim f ( x)   , lim f ( x)   und lim f ( x)   .
x 
x 
Es existiert kein Grenzwert. Man schreibt:
lim f ( x)   und lim f ( x)  
x 
x 
x 
Es existiert kein Grenzwert.
y
y
x
x
Besitzt eine Funktion für x   oder für x   einen Grenzwert, so heißt sie dort konvergent.
Ansonsten heißt die Funktion dort divergent.
Beispiele:
Bestimme, falls möglich, für die folgenden Funktionen die Grenzwerte für x   und x   .
4x 1
1.) f : x 
2x  3
2.) g : x  x 5  3 x 4  x  4
3.) h : x  2 sin x
1.)
4 x  1 x(4  1x ) 4  1x


2 x  3 x(2  3x ) 2  3x
Für x   nähern sich 1x und
40
lim f ( x)  lim f ( x) 
2
x 
x  
20
f ( x) 
3
x
dem Wert Null an. Daher gilt:
2.) g ( x)  x 5  3 x 4  x  4
Der Funktionsgraph verläuft „von links unten nach rechts oben“.
Es existieren keine Grenzwerte für x   .
Man schreibt: lim g ( x)   ; lim g ( x)  
x 
x 
3.) h( x)  2 sin x
Die Funktionswerte schwanken zwischen –2 und 2.
Es existieren keine Grenzwerte für x   .