Mathematik - Auer Verlag

Nathalie Mang
Tanja Zimmermann
Mathematik an
Stationen 8 Gymnasium
Besondere Punkte und Linien im Dreieck
sium
Gymna
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Zimme
ja
n
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bu
Mathematik an
Stationen 8
Gymnasium
Besondere Punkte und Linien
nien
im Dreieck
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Mathematik an Stationen 8 Gymnasium
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Vorwort
Bei den vorliegenden Stationsarbeiten handelt es sich um eine Arbeitsform, bei der unterschiedliche Lernvoraussetzungen, unterschiedliche Zugänge und Betrachtungsweisen und unterschiedliche Lern- und Arbeitstempi der Schüler1 Berücksichtigung finden. Die Grundidee ist, den Schülern
einzelne Arbeitsstationen anzubieten, an denen sie gleichzeitig selbstständig arbeiten können. Die
Reihenfolge des Bearbeitens der einzelnen Stationen ist dabei ebenso frei wählbar wie das Arbeitstempo und meist auch die Sozialform.
Innerhalb einer Stationsarbeit können Sie als Lehrkraft Stationen als Wahlstationen und als Pflichtstationen deklarieren (siehe Laufzettel). Diese Zuteilung haben wir bewusst nicht vorgegeben, sie
liegt in Ihrem jeweiligen Ermessen.
Als dominierende Unterrichtsprinzipien sind bei allen Stationen die Schülerorientierung
und Handorient
lungsorientierung aufzuführen.
Schülerorientierung meint, dass der Lehrer in den Hintergrund tritt und nicht
cht mehr im Mittelpunkt der
Interaktion steht. Er wird zum Beobachter, Berater und Moderator. Seine Aufgabe ist nic
nicht das Strukturieren und Darbieten des Lerngegenstandes in kleinsten Schritten,
sondern
die vorbereiteten
tten, sonde
rn durch di
Stationen eine Lernatmosphäre zu schaffen, in der die Schüle
Schüler sich Unterri
Unterrichtsinhalte
eigenständig
ht i
erarbeiten bzw. Lerninhalte festigen und vertiefen
efen können.
nen.
Handlungsorientierung meint, dass das angebotene
Arbeitsaufträge für sich
selbst
boten Material und die A
ch selb
sprechen. Der Unterrichtsgegenstand und die zu
gewinnenden
Erkenntnisse werden
den
u gew
nnenden E
erde nicht durch d
Lehrer dargeboten, sondern durch die Auseinan
Auseinandersetzung
erset ung mit dem Material und
nd die eigene Tätigkeit
ätigkeit
gewonnen und begriffen.
Mit dieser Veröffentlichung
bereits oben angesprochen
zur Verfüg möchten wir – wie b
espro
oc en – Materialien
erialien zu
gung stellen, die an die unterschiedlic
unterschiedlichen
Lernvoraussetzungen von
Schülern
anknüpfen.
n Le
n Sch
lern anknü
pfe Jeder Einzelne erhält seinen
eigenen
Stationen ermöglichen
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igenen Zugang zzum inhaltlichen Lernstoff.
off. Die
e einzelnen
inzeln Statio
das Lernen mit allen S
Sinnen
bzw. unter Nutzung der verschiedenen
Eingangskanäle.
Dabei werden
nnen bz
hiedenen E
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sowohl vis
visuelle
(sehorientierte)
(fühlorientierte)
auch intellektuelle Lerntypen
elle (sehorie
erte als auch haptische (fühlorien
ntierte) und au
angesprochen.
dieser Stelle werden
auch gleichermaßen
brunerschen Repräsentationsebeangesprochen. An dies
n au
eichermaßen die bru
nen (enaktiv bzw. han
handelnd, ikonisch bzw. visu
visuell und symbolis
symbolisch)
h mit einbezogen. Aus Ergebnissen
der Wissen
Wissenschaft ist bekannt: Je mehr
Eingangskanäle
angesprochen werden, umso besser und
hr Eingangs
kanäle an
langfristiger
umso
langfristige wird Wissen gespeichert und damit ums
so ffester verankert. Das vorliegende Arbeitsheft
unterstützt
in diesem Zusammenhang
Erinnerungsvermögen, das nicht nur an Einzelheiten, an
nterst
mme
das Erinneru
Begriffe und Zahlen geknüpft
ist, sondern
häufig auch an die Lernsituation.
nüpft is
rn h
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Augsburg
Für jedes der fünf mathem
mathematischen
Themen wird zusätzlich eine Lernkontrolle angeboten, mit deren
matisc
Hilfe Sie den Lernerfolg Ihr
Ihrer
Schüler genau feststellen können.
er Sc
Im besonderen
unterstützt das vorliegende Arbeitsheft die in den Bildungsstandards für das
esonderen Maße u
Fach Mathematik
athematik formulierten allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In diesem Zusammenhang wird
den verschiedenen Aufgaben immer wieder auf das „Problemlösen“, auf das „Modelrd in d
lieren“, auf das „Kommunizieren“, auf das „Argumentieren“, auf das „Verwenden von mathematischen
Darstellungen“ und auf das „Umgehen mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik“ eingegangen.
1
Aufgrund der besseren Lesbarkeit werden in diesem Band ausschließlich die männlichen Formen verwendet. Wenn von Schüler
gesprochen wird, ist immer auch die Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer und Lehrerin usw.
1
Jeder Aufgabe wurde außerdem ein entsprechender Anforderungsbereich aus den Bildungsstandards zugeordnet2:
Anforderungsbereich I: Reproduzieren
Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen,
Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.
Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen
Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten
und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden.
Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren
Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen
Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen,
Interpretationen
oder Weren, Interp
retationen od
tungen zu gelangen.
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
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Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern
einer jeden Aufgabe.
ammern hinter ei
ab Dabeii steht „„R“
für den Bereich „Reproduzieren“, „Z“ für
Bereich
herstellen“
„V“ für
ür den Be
reich „Zusammenhänge
Zusamm
ellen“ und „V
ür den
Bereich „Verallgemeinern und Reflektieren“.
flektieren“.
2
Vgl.: www.kmk.org / bildung-schule / qualitätssicherung-in-schulen / bildungsstandards / ueberblick.html
2
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 1
Umkreise und Inkreise
Aufgabe 1 (R)
Konstruiere zu den vorgegebenen Dreiecken jeweils den Umkreis.
a)
b)
Aufgabe 2 (R)
Konstruiere zu den vorg
Konstruie
vorgegebenen
ebe
Dreiecken den jeweiligen
eweiligen Inkreis.
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a)
b)
3
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 2
Immer der gleiche Abstand (1)
Aufgabe 1 (R)
a) Betrachte die Strecke AB. Suche sechs Punkte, die zu den Endpunkten A und B den jeweils
gleichen Abstand haben, zeichne sie ein und verbinde sie.
A
B
b) Betrachte die Strecke CD. Suche
che sechs Punkte
Punkte, die zu den Endpunkten C und
d D den jewei
jeweils
gleichen Abstand haben,, zeichne sie
verbinde sie.
ie ein und ve
C
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D
Aufgabe 2 (R)
Betrachte die in Aufgabe 1a) und 1b) verbundenen Punkte. Was fällt dir auf?
4
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 3
Immer der gleiche Abstand (2)
Aufgabe 1 (R)
a) Betrachte den Winkel α. Suche sechs Punkte, die zu den beiden Schenkeln des Winkels den
jeweils gleichen Abstand haben, zeichne sie ein und verbinde sie.
α
b) Betrachte den Winkel β.. Suche se
sechs
s Pu
Punkte, die zu den beiden
n Sch
Schenkeln
nkeln des Wink
Winkels den
jeweils gleichen Abstand haben, ze
zeichne sie ein und verbinde
sie.
nde s
e
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
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β
Aufgabe 2
Betrachte die in Aufgabe 1a) und 1b) verbundenen Punkte. Was fällt dir auf?
5
Bestimmte Linien falten
Aufgabe 1 (Z)
Konstruiere ein Dreieck mit den angegebenen Maßen auf ein weißes Blatt Papier und schneide es
aus:
c = 20 cm; a = 15 cm; b = 18 cm
a) Erledige zunächst folgende Faltaufträge:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nimm Ecke A und lege sie deckungsgleich auf Ecke B.
Streiche die Faltlinie glatt und falte wieder auf.
Nimm Ecke A und lege sie deckungsgleich
leic auf Ecke C.
Streiche die Faltlinie glatt und falte wieder
ieder auf.
f.
eich a
uf Ecke C.
Nimm Ecke B und lege sie deckungsgleich
auf
lte wie
er au
Streiche die Faltlinie glatt und falte
wieder
auf.
b) Betrachte das Faltmuster
muster und bes
beschreibe
reibe deine Beobachtung.
Aufgabe 2 (V)
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Zeichne
ic
eine beliebige Strecke
recke (mindestens
stens 10 cm lang) auf ein weißes Blatt Papier.
Falte entsprechend der unten abgebildeten
eten Faltanleitung.
Erkläre: Warum entsteht
tsteht durch das Falten eine Mittelsenkrechte?
6
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 4
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 5
Was ist was?
Aufgabe (R)
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Notiere neben jeder Zeichnung den passenden Begriff aus dem unteren Kasten.
Höhenlinien
◆
Seitenhalbierende
◆
Winkelhalbierende
◆
Mittelsenkrechte
7
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 6
Schwerpunkt
Aufgabe 1 (Z)
a) Schneide ein beliebiges Dreieck aus Pappe aus.
b) Stütze das Dreieck mit drei Fingern.
Ziehe die Finger jetzt auf einen Punkt zusammen,
sodass du das Dreieck immer noch balancieren
kannst.
c) Um welchen Punkt handelt es sich?
Aufgabe 2 (Z)
a) Schneide erneut ein Dreieck aus Pappe aus.
Dieses Dreieck sollte sich vom
obigen
m ob
bigen Dreieck
unterscheiden.
b) Versuche, das Dreieck
Bleistift zu balancieren.
eieck mit einem B
Wähle mit der Bleis
Bleistiftspitze
hierzu eine Stelle, an der
tiftspitze hierz
das
herunterfällt.
as Dreieck
eck nicht he
nterfä
c) Um welchen
welchen Punkt handelt es sich?
?
Aufgabe
e 3 (Z)
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Schneide
eide ern
erneutt ein Dreie
Dreieck aus Pappe aus.
Dieses Dreieck s
sollte sich wiederum von den obigen
Dreiecken
unterscheiden.
en unt
Versuche, das Dreieck mit einem 30 cm langen Lineal
zu balancieren.
Was fällt dir auf?
8
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 7
Höhen und Seitenhalbierende
Aufgabe 1 (R)
Konstruiere zum jeweiligen Dreieck alle Höhen.
a)
b)
Aufgabe 2 (R)
Konstruiere zum jeweili
Konstruie
jeweiligen
n Dr
Dreieck alle Seitenhalbierenden.
bierenden
b)
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a)
9
Name:
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Station 8
Anwendungsaufgaben
Aufgabe 1 (Z)
Wie breit ist der Fluss?
65°
52°
60 m
Aufgabe 2 (Z)
Die Gemeinde Hinkelshausen plant die Neugeestaltung des Anger-Geländes. Die Anlage wird
d
durch drei Straßen begrenzt. In der Mitte des
Parks soll ein Obelisk aufgestellt werden.
en.
eich weit
Dieser soll von allen drei Straßen g
gleich
entfernt sein. Wo müsste er aufgestellt
ufgestellt werden?
Aufgabe 3 (Z)
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Die
ie Ort
Ortschaften A, B und C pla
planen eine
e gemeinsame Sportanlage. Die An
Anlage solll von
allen drei Ortschaften
gleich
weit entfernt
en g
eich w
nt sein.
Konstruiere ihre
Lage.
re genaue L
age.
Aufgabe 4 (Z)
Zwischen den beiden Ortschaften Ranstadt
und Nidda wird ein Aussichtsturm geplant.
Der Turm soll von beiden Ortschaften gleich
weit entfernt sein. Bestimme vier mögliche Punkte,
die für den Aussichtsturm in Frage kommen.
Nidda
Ranstadt
10
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Station 9
Besondere Figuren konstruieren
Aufgabe (Z)
Konstruiere die Figuren in dein Heft. Bei Aufgabe b) spielt die Länge keine Rolle.
(Die Abbildungen hier sind nicht maßstabsgetreu.)
a)
7 cm
7 cm
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b)
c)
3 cm
4 cm
10 cm
11
Name:
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Lernkontrolle
Besondere Punkte
und Linien im Dreieck (1)
Aufgabe 1 (R)
a) Konstruiere nach der Anleitung mit Zirkel und Lineal.
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichne eine Strecke XY mit der Länge l = 8 cm.
Zeichne einen Kreis K 1 um X mit r = 5 cm.
Zeichne einen Kreis K 2 um Y mit r = 5 cm.
Die Schnittpunkte der beiden Kreise seien A und B.
Zeichne eine Gerade durch A und B.
b) Welche Gerade AB ist entstanden?
Aufgabe 2 (R)
a) Konstruiere den Ort aller Punkte,
e die von A un
und B gl
gleich weit entfernt liegen.
B
A
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b) Konstruiere den Ort a
aller
Punkte, die vo
von den beiden Schenkeln des Winkels α
ller P
gleich weit entfernt lieg
liegen.
en.
α
12
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Name:
Lernkontrolle
Besondere Punkte
und Linien im Dreieck (2)
Aufgabe 3 (R)
Welche besonderen Strecken oder Geraden sind hier eingezeichnet?
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 4 (R)
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden
ierenden im Dreiec
Dreieck ist ein besonderer Punkt.
nkt.
Um welchen Punkt handelt es sich?
ch?
Aufgabe 5 (Z)
(Z
Yannik, Jon
Jonas
as und Mic
Michele wohnen
Ranstadt, Bellmuth
und Nidda. Sie
in Ranstadt
ll
wollen sich zu einem gemeinsamen
Picknick treffen. Der Ort soll so gewählt
lt
erd
n gleic
werden,
dass alle drei den
gleichen
Weg haben. Wo sollte
e das
as Pic
Picknick
stattfinden?
Nidda
Ranstadt
Bellmuth
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Aufgabe
gabe 6 (Z)
Z)
Auf einem
m dreiec
dreieckigen Rasenstück soll ein größtmögliches
kreisförmiges Blumenbeet angelegt werden.
sk
Konstruiere den Rand dieses Beets.
13
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
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Besondere Punkte
und Linien im Dreieck (3)
Aufgabe 7 (Z)
Konstruiere die Figur auf dem Blatt.
3 cm
Besondere Punkte und
Linien im Dreieck
Lernkontrolle
Name:
7 cm
6 cm
14
1 a)
1 b)
2 a)
Lösungen: Besondere
Punkte und Linien im
Dreieck
Seite 3
Station 1: Umkreise und Inkreise
2 b)
Seite 4
Station 2: Immer der gleiche Abstand (1)
1 a) Zur optischen Kontrolle: Die Punkte müssen alle auf der Mittelsenkrechten zu AB liegen.
1 b) Zur optischen Kontrolle: Die Punkte müssen alle auf der Mittelsenkrechten zu CD liegen.
2) Alle Punkte liegen auf der jeweiligen Mittelsenkrechten.
Seite
eite 5
Station 3: Immer der gleiche Abstand
nd (2)
(2
1 a) Zur optischen Kontrolle: Die Punkte
kte müssen alle auf der Winkelhalbierenden zu α liegen.
gen.
1 b) Zur optischen Kontrolle: Die Pun
Punkte
kte müssen alle a
auf
uf der Winkelhalbierenden zu β liegen.
liegen.
2) Alle Punkte liegen auf der
er jeweiligen Winkelhalbierenden.
inkelha
Seite 6
Station 4: Bestimmte
Statio
Bestim te L
Linien falten
1) Es
s wu
wurden di
die drei Mittelsenkrechten zum Dreieck gefaltet.
efaltet.
Alle d
drei Mittelsenkrechten treffen sich in einem Pun
Punkt.
2) Durch das genaue Aufeinanderlegen
and
wird
rd die Strecke halbiert, und
hen senk
eina
die beiden Hälften stehen
senkrecht aufeinander.
Seite 7
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Augsburg
Station
tion 5:
5 Was ist was?
w
Winkelhalbierende
Mittelsenkrechte
Seitenhalbierende
Höhenlinien
15
1) und 2) Es handelt sich um den Schwerpunkt des Dreiecks.
Dies ist auch der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.
3) Hier muss man das Lineal entlang einer beliebigen Seitenhalbierenden legen.
Seite 9
Station 7: Höhen und Seitenhalbierende
.
1 a)
1 b)
2 b)
2 a)
Seite 10
Station 8: Anwendungsaufgaben
aben
1) Der Fluss ist 48 m breit.
2)
3)
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
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Säule
Anlage
4) Optische Orientierung: Alle möglichen Lösungspunkte müssen auf der Mittelsenkrechten zur Strecke
Ranstadt / Nidda liegen.
Station 9: Besondere Figuren konstruieren
Seite 11
Die Schüler sollen die Lösung durch eigenständiges Messen bzw. optisches Vergleichen mit der Vorlage überprüfen.
16
Lösungen: Besondere
Punkte und Linien im
Dreieck
Seite 8
Station 6: Schwerpunkt
Seite 12 – 14
Lösungen: Besondere
Punkte und Linien im
Dreieck
Lernkontrolle: Besondere Punkte und Linien im Dreieck
1 b) Es entsteht die Mittelsenkrechte zur Strecke XY.
2 a)
2 b)
B
α
A
3) a) Mittelsenkrechte
b) Höhenlinien c) Seitenhalbierende d) Winkelhalbierende
4) Es handelt sich um den Schwerpunkt des Dreiecks.
5)
6)
Nidda
Picknick
Ranstadt
Bellmuth
ellm
N. Mang / T. Zimmermann: Mathe an Stationen, Klasse 8
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Schüler
die Lösung durch eigenständiges
7) Die S
chüler sollen d
ns
es Messen bzw. optisches
ptisches Vergleichen
der Vorlage üb
überprüfen.
mit de
17
Impressum
© 2016
Verlag
6 Auer Ver
g
AAP Lehrerfachverlage
ehrerfachv age GmbH
Gmb
Alle Rechte vorbehalten.
vorbehal
Das Werk als Ga
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Autor: Nathalie Mang, Tanja Zimmermann
Illustrationen: Stefan Leuchtenberg, Hendrik Kranenberg, Thorsten Trantow
www.auer-verlag.de