Blatt 2

Lineare Algebra II - SS 2016
Übungsblatt 02
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Wir erinnern an die folgenden Begriffe:
• Ganzzahlige Division mit Rest: Seien a, b ∈ Z mit b 6= 0. Dann können wir
eindeutige Zahlen qa,b ∈ Z, ra,b ∈ {0, . . . , b − 1} konstruieren, sodass a = qa,b · b + ra,b .
• Größter gemeinsamer Teiler: Seien a, b ∈ Z. Ein gemeinsamer Teiler von a und
b ist ein t ∈ Z mit t|a und t|b. Ein größter gemeinsamer Teiler von a und b ist
ein gemeinsamer Teiler g von a und b, sodass für alle gemeinsamen Teiler t von a
und b gilt: t|g. Ein größter gemeinsamer Teiler von a und b existiert und ist bis
aufs Vorzeichen eindeutig. Wir schreiben ggT(a, b) für den nicht negativen größten
gemeinsamen Teiler von a und b.
Aufgabe 1. (Restklassenringe von Z. 4 Punkte.)
Sei n ∈ N mit n 6= 0. Zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z heißen kongruent modulo n (geschrieben: a ≡n b oder auch a ≡ b mod n), falls n | a − b. Beweise die folgenden Aussagen.
1. ≡n definiert eine Äquivalenzrelation auf Z.
2. Für alle a, a0 , b, b0 ∈ Z gilt:
• Wenn a ≡n a0 und b ≡n b0 , dann gilt a + b ≡n a0 + b0 .
• Wenn a ≡n a0 und b ≡n b0 , dann gilt a · b ≡n a0 · b0 .
Für ein a ∈ Z bezeichnen wir seine zugehörige Äquivalenzklasse mit a.
3. Zeige, dass 0, 1, . . . , n − 1 ein Vertretersystem der Äquivalenzklassen bildet.
Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit Z/nZ. Seien a, b ∈ Z und a, b ∈
Z/nZ die zugehörigen Äquivalenzklassen. Wir definieren die folgenden Operationen: a+b :=
a + b und a · b := a · b.
4. Zeige, dass diese Operationen wohldefiniert sind und die Menge Z/nZ mit der Struktur eines kommutativen Rings ausstattet, wobei 0 das neutrale Element der Addition
und 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.
Aufgabe 2. (Erweiteter Euklidischer Algorithmus. 4 Punkte.)
Seien a, b ∈ Z mit b 6= 0 und a = qa,b · b + ra,b die Zerlegung gemäß ganzzahliger Division
mit Rest.
1. Zeige, dass ggT(a, b) = ggT(b, ra,b ) gilt. Benutze diese Gleichung iterativ, um
ggT(192, 42) zu bestimmen.
Lineare Algebra II - SS 2016
b
0
1
a
2. Es gilt
=
. Benutze diese Matrixgleichung iterativ, um zu
1 −qa,b
b
ra,b
a
ggT(a, b)
2×2
zeigen, dass es eine Matrix A ∈ Z
gibt mit A
=
.
b
0
3. Folgere die Bézout-Identität, d.h. zeige die Existenz von α, β ∈ Z mit
α · a + β · b = ggT(a, b).
Bestimme solche Zahlen α, β für a = 192 und b = 42.
Aufgabe 3. (Endliche Körper. 4 Punkte.)
Sei n ∈ N mit n 6= 0.
1. Sei a ∈ Z. Zeige mit Hilfe der Bézout-Identität aus Aufgabe 2:
a ∈ (Z/nZ)∗ ⇔ ggT(a, n) = 1.
2. Folgere, dass Z/nZ ein Körper ist dann und nur dann, wenn n eine Primzahl ist.
Für Primzahlen p ∈ Z bezeichnen wir Z/pZ auch mit Fp .
−1
3. Bestimme ein x ∈ {0, . . . , 100} mit x = 42
in F101 .
Aufgabe 4. (Faktorräume. 4 Punkte.)
Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.
1. Sei U ≤ V ein Teilraum mit Basis B und C ⊆ V. Zeige, dass die Elemente {c+U | c ∈
C} eine Basis von V/U bilden dann und nur dann, wenn B ∩ C = ∅ und B ∪ C eine
Basis von V bildet.
2. Gegeben sei die Matrix
A :=
1 2 3
∈ F52×3 .
4 0 1
Es sei α : F35 → F25 die von A induzierte Standardabbildung. Bestimme eine Basis
von F35 / Kern(α). Es seien weiter die Vektoren
 
 
 
2
2
3
V1 := 1 , V2 := 0 , V3 := 3 ∈ F3×1
5 .
2
0
1
gegeben. Bestimme alle Paare i, j ∈ {1, 2, 3} mit Vi + Kern(α) = Vj + Kern(α).
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 27.04.2016, 15:00 Uhr in
den Kasten mit der Aufschrift “HIER auch Abgabe von ÜBUNGEN für VORLESUNGEN von Prof. Barakat” ein. Dieser befindet sich im ENC, 2. Etage, am Zugang zum Gebäudeteil D. Bitte verseht eure Abgabe mit Namen, Matrikelnummer und
Übungsgruppenzugehörigkeit.