1 Fragen zu Z

1
Fragen zu Z
1. Was für ein Rechenbereich ist Z?
A) Ein Körper.
B) Ein kommutativer Ring.
C) Eine abelsche Gruppe.
Antwort: B.
Wenn man nur die Addition betrachtet, gilt C.
2. Was ist eine abelsche Gruppe?
A) Eine Gruppe junger Männer, die von ihren Brüdern erschlagen wurden.
knüpfung, die den Gesetzen der Addition in einem Ring genügt.
B) Ein Bereich mit einer Ver-
3. Woher stammt das Wort ’abelsch’ ?
A) Von dem Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1827)
B) Im Gegensatz zu ’starken’, d.h. nichtkommutativen Gruppen gelten kommutative Gruppen als ’schwächlich’,
so wie Abel verglichen mit Kain.
4. Warum ist Z kein Körper?
A) Es fehlen die neutralen Elemente.
B) Es fehlen zu einigen Elementen die additiv Inversen.
meisten Elementen fehlen die multiplikativ Inversen.
Antwort: 2. B, 3. A, 4. C.
4’. Zu welchen Elementen von Z fehlen die multiplikativ Inversen nicht?
In einem Körper kann man (fast) beliebig dividieren – nur nicht durch 0.
5. Was gilt in Z?
A) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c B) a < b ⇒ a + c < b + c
C) a ≤ b ⇒ ac ≤ bc
D) a < b ⇒ ac < bc
E) a ≤ b, 0 ≤ c ⇒ ac ≤ bc
F) a < b, 0 < c ⇒ ac < bc
Richtig sind A, B, E, F.
6. Was gilt in Z?
A) ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0.
B) c 6= 0 und ac = bc ⇒ a = b.
C) a2 = b2 ⇒ a = b.
6’. Welche der Implikationen in 6. gelten in jedem Ring?
6. A) und B), aber nicht C).
6. Keine!
Sei a ∈ Z − {0}.
7. Die Abbildung Z → Z, x 7→ ax ist
A) injektiv
B) surjektiv
C) bijektiv
8. Die Abbildung Q → Q x 7→ ax ist
A) injektiv
B) surjektiv
C) bijektiv
C) Zu den
7. A), 8. A),B),C).
Definition: Gruppe: Menge G zusammen mit einer ’Verknüpfung’ ◦, so dass gilt:
1. Assoziativität: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G
2. Es gibt eine ‘neutrales Element’ e ∈ G, derart dass
e ◦ a = a ◦ e = a für alle a ∈ G
3. Zu jedem a ∈ G gibt es ein ’Inverses’ a− mit a− ◦ a = a ◦ a− = e
Additive Schreibweise: ’+’ statt ’◦’,
’0’ statt e,
−a statt a−
Multiplikative Schreibweise: ab, bzw. a · b statt a ◦ b,
’1’ statt e,
a−1 statt a− .
(Manchmal bilden gewisse bijektive Abbildungen einer Menge in sich selbst eine Gruppe. Dann schreibt man
natürlich häufig α◦β für die Verknüpfung und id für das neutrale Element.)
Satz 1.1 a) In einer Gruppe gibt es nur ein neutrales Element und zu jedem a ∈ G auch nur ein Inverses. Es
gilt sogar: Wenn a∗ nur ein sog. Rechtsinverses von a ist, d.h. a ◦ a∗ = e gilt, ist schon a∗ = a− .
b) In einer Gruppe gilt (a− )− = a für jedes a.
c) In einer Gruppe sei a ein Element mit a ◦ a = a. Dann ist a = e.
Beweis:
a) Seien e, e0 neutral. Dann ist e ◦ e0 sowohl gleich e, als auch gleich e0 .
Seien a− und a∗ invers zu a, so ist a− ◦ a ◦ a∗ sowohl gleich a∗ als auch gleich a− .
b) Sowohl a, wie (a− )− sind invers zu a− , also einander gleich.
c) Aus a ◦ a = a folgt a− ◦ a ◦ a = a− ◦ a, also a = e.
Bemerkung: Es gibt sparsamere Axiomensysteme für Gruppen. Z.B. genügt es die Existenz eines linksneutralen
Elementes und zu diesem die Existenz Linksinverser zu fordern. Ich gehe darauf nicht ein.
Definition: Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die Verknüpfung kommutativ ist, d.h. a ◦ b = b ◦ a gilt.
Definition: a) Ring: Menge A mit zwei Verknüpfungen ’+’ und ·, so dass gilt:
1. Bezüglich der Addition ’+’ ist A eine abelsche Gruppe
2. Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. (a · b) · c = a · (b · c)
3. Für die Multiplikation gibt es ein neutrales Element 1, d.h. 1 · a = a · 1 = a
4. Es gilt das Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c und (b + c) · a = b · a + c · a
(Konvention: Punktrechnung vor Strichrechnung)
b) Ein Ring heißt kommutativ, wenn seine Multiplikation es ist,
Satz 1.2 In einem Ring gilt immer:
a) 0 · a = a · 0 = 0.
b) (−a) · b = a · (−b) = −(ab) und (−a) · (−b) = ab.
c) Es gibt nur ein neutrales Element der Multiplikation. (Dto. für die Addition. Warum?)
Beweis: a) Es ist 0 · a = (0 + 0) · a, also
0 · a = 0 · a + 0 · a. Mit c) des letzten Satzes, angewandt auf die additive Gruppe des Ringes, folgt 0 · a = 0.
b) Es ist (−a) · b + a · b = (−a + a) · b = 0 · b = 0, also ist (−a) · b additiv invers zu ab, also gleich −(ab). Analog
gilt a · (−b) = −(ab). Man darf ohne Zweideutigkeit −ab für −(ab) schreiben.
(−a)(−b) = −(−ab) = ab.
c) Wie oben 1 = 1 · 10 = 10
Bemerkung 1.3 Aus a · a = a folgt in einem Ring nicht notwendig a = 1. Zumindest ist ja auch 0 · 0 = 0.
Zwar sind in Z, aber nicht in jedem Ring 0 und 1 die einzigen Lösungen der Gleichung x2 = x. Z.B. gilt für
2 × 2-Matrizen über Q
2 1 0
1 0
=
0 0
0 0
(Das gibt es auch in kommutativen Ringen, z.B. dem der Diagonalmatrizen.)
Definition: Ein Schiefkörper K ist ein Ring, in dem K − {0} in Bezug auf die Multiplikation eine Gruppe ist.
Bezeichnung K ∗ = K − {0}
Definition: Ein Körper ist ein Schiefkörper, in dem die Multiplikation kommutativ ist.
In dieser Vorlesung ist N = {0, 1, 2, 3, . . .},
N1 = {1, 2, 3, . . .}, allgemeiner
Nk := {n ∈ N | n ≥ k} für ganze k ≥ 1.
6. Was gilt?
A) Jede nichtleere Teilmenge von Z besitzt ein kleinstes Element.
B) Jede nach unten beschränkte nichtleere
Teilmenge von Z besitzt ein kleinstes Element.
C) Jede nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge von Z
besitzt ein größtes Element.
7. Sei M ⊂ N und es gelte sowohl 0 ∈ M als auch für jedes n ∈ N die Implikation n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M . Was folgt
daraus für die Menge M ?
A) Nichts besonderes. B) M ist unendlich. C) M = N.
8. Sei k ∈ Z, M ⊂ Z und es gelte sowohl k ∈ M als auch für jedes ganze n ≥ k die Implikation
n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M . Gilt dann, dass jedes ganze n ≥ k zu M gehört?
A) Ja.
B) Nein.
Richtig sind 6. B), C). Ferner 7. B), aber sogar C)!
Vollständige Induktion!
Eine Anwendung: Eines Tages erhielt unser FB einen Brief:
Für praktische Zwecke genügt es, π = 3, 142 zu setzen. Es ist 3 + 1 + 4 + 2 = 10. Was sagen Sie dazu?
Meine Antwort war: Sie haben vollkommen recht.
Heute weiß ich: Ich hätte antworten sollen: Und stellen Sie sich vor: Es ist auch 13 +23 +33 +43 = 1+8+27+64 =
100.
Was steckt dahinter?
13 = 12 ,
13 + 23 = 9 = (1 + 2)2 ,
3
3
3
1 + 2 + 3 = 36 = (1 + 2 + 3)2
13 + 23 + 33 + 43 = 100 = (1 + 2 + 3 + 4)2 ,
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 .
Darf man da folgendes vermuten?
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 .
Nun, das werden wir beweisen!
n(n + 1)
.
2
n(n + 1) 2
3
3
3
Zu zeigen ist also: 1 + 2 + . . . + n =
.
2
Zunächst gilt bekanntlich: 1 + 2 + . . . + n =
Sei M die Menge der n ∈ N, für die die Gleichung gilt.
0 ∈ M , klar!
Es gehöre n zu M . D.h. o.a. Gleichung gelte für n. Wir haben zu zeigen: die Gleichung gilt unter dieser Voraussetzung auch für n + 1.
13 + . . . + n3 + (n + 1)3 =
(n + 1)2 ·
n2 (n + 1)2
+ (n + 1)3 =
22
n2 + 4(n + 1)
= (n + 1)2 (n + 2)2 /4 ,
4
was zu zeigen war.
Brüche
Frage: Wozu werden Brüche (d.h. rationale Zahlen) eingeführt?
A) Das ist ein reines ‘Glasperlenspiel’. B) Man möchte in einem Rechenbereich allgemein dividieren können.
C) Man möchte physikalische Größen nicht nur in ganzen Vielfachen einer Maßeinheit messen.
Antwort: B., C.
1.4 Seien a, b, a0 , b0 ∈ Z mit b, b0 6= 0. Dann gilt bekanntlich
a a0
aa0
· 0 = 0
b b
bb
(1)
(Formal kann man diese Regel zwar als Definition ansehen. Aber wenn man von ihr verlangt, dass sie gewisse
Anforderungen erfüllen soll, ergibt sie sich zwangsläufig, wie Du unten sehen wirst.) Warum zum Teufel soll dann
eigentlich nicht auch
a a0
a + a0
+ 0 =
gelten???
(2)
b
b
b + b0
Was sagen Sie dazu?
A) Das stimmt doch! B) Das mag zwar nach Meinung der Matheprofs falsch sein, wäre aber wünschenswert.
C) Das ist weder richtig noch wünschenswert.
Wäre das jedoch richtig, so müsste auch
2
1
1 1
+ = =
gelten.
2 2
4
2
Nun soll aber die Zahl
1
2
doch gerade diejenige Zahl sein, für die
2·
1
1 1
= 1, d.h. + = 1
2
2 2
gilt. Die o.a. ‘Regel’ 2 ist also eine Unregel!
1.5 Wir betrachten Brüche als ‘Größen’. (Etwa als Längen von Strecken.) Der Bruch m
n als ‘Größe’ hat folgende
Bedeutung. Teile die (Maß-)Einheit in n gleiche Teile und nehme das m-fache eines solchen Teiles. Dabei ist
natürlich m
1 mit m zu identifizieren.
m
Bemerkung: Es ist nicht völlig unsinnig, m
0 = ∞ (für m 6= 0) und ∞ = 0 (für m ∈ Z) zu setzen. In gewissen Zusammenhängen wird das auch gemacht. Aber den Ausdrücken 00 , ∞
∞ , ∞ − ∞ kann man keine sinnvollen
Bedeutungen geben. Wir wollen das hier nicht weiter vertiefen, sondern 0 als Nenner nicht zulassen!
Aus der Vorstellung von
m
n
als Größe entnimmt man
m
km
=
falls k 6= 0.
n
kn
D.h. man darf erweitern und kürzen (nicht mit 0). Am elegantesten definiert man die Gleichheit von Brüchen
durch
m0
m
= 0 ⇐⇒ mn0 = m0 n.
n
n
Dies ist äquivalent dazu, dass man mit Erweitern und Kürzen von
m
n
zu
1.6 Aus der Größenvorstellung ergibt sich auch sofort, wie man Brüche
m0
n0
m
n
kommt. (Beweise das!)
und
m0
n0
addiert. Ist n = n0 , so sollte
m + m0
m m0
+
=
n
n
n
(3)
sein. Andernfalls kann man durch Erweitern erreichen, dass die Nenner gleich werden. Man bekommt so die Regel
m m0
mn0 + m0 n
+ 0 =
n
n
nn0
(4)
Einfacher ist eine allgemeine Formel für die Addition von Brüchen nicht zu haben! (In der Schule hast Du wahrscheinlich keine Formel, sondern folgendes Verfahren zur Berechnung der Summe zweier Brüche kennengelernt:
Bestimme den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche, d.h. das kleinste gemeinsame Vielfache k von n und n0 ,
erweitere beide Brüche so, dass k ihr Nenner wird und addiere dann gemäß 3. Wenn n und n0 nicht teilerfremd
sind, bedeutet dies, dass man mit kleineren Zahlen rechnen kann als nach Formel 3. Allerdings ist auch dann
nicht garantiert, dass das Ergebnis bereits gekürzt ist. Beispiel: 31 + 16 .)
Da wird der Physiker doch sagen: Da nehm ich meinen Taschenrechner, rechne m/n und m0 /n0 als Dezimalzahlen
aus und addiere diese dann mit dem Rechner. Dagegen ist auch nichts zu sagen. Aber wenn er etwa
x
x3
+
x2 + 1 x2 + 5
auf einen Bruchstrich bringen soll, so muss er es ganz genau so wie mit Brüchen von Zahlen machen. Schön, wenn
er dann weiß, wie’s geht!
1.7 Die Definition (1) des Produktes zweier Brüche wollen wir auch geometrisch begründen:
Wenn man ein Rechteck mit den Seitenlängen 1/3, bzw. 1/5 Meter hat, so kann man es 15-mal in einem Quadrat,
dessen Seiten 1 m lang sind, unterbringen. Es ist also 1/15 m2 groß. Ein Rechteck mit den Seitenlängen 7/3 und
4/5 Meter ist dann (7 · 4)/15 m2 groß.
1.8 Ist a durch b in N oder Z teilbar, so ist natürlich
wird.
a
b
gleich der ganzen Zahl, die aus a beim Teilen durch b
1.9 Für den Größenvergleich von Brüchen (mit positiven Nennern) gilt:
m
m0
<
⇐⇒ m < m0
n
n
Wann ist also
und allgemein
m
m0
< 0 ⇐⇒ mn0 < m0 n
n
n
1
1
< 0?
n
n
Definition 1.10 Ein Ring heißt nullteilerfrei (auch ‘integer’), wenn in ihm (wie in Z) folgendes gilt:
1) 1 6= 0, 2) a 6= 0, b 6= 0 ⇒ ab 6= 0
Wir werden später sehen, dass man jeden kommutativen, nullteilerfreien Ring zu einem Körper erweitern kann,
so wie man es beim Übergang von Z zu Q gewohnt ist.
Berechnung von Potenzen. Eine für die Anwendungen der Zahlentheorie wichtige Bemerkung.
Frage: Wenn man a16 berechnen will (und zwar präzise, d.h. ohne Logaritmen zu benutzen) muss man dann 15
Multiplikationen ausführen?
Ja
Nein
Antwort Man kommt mit 4 Multiplikationen aus:
a16 = (((a2 )2 )2 )2
Will man nun a25 schnell berechnen, geht man so vor:
a25 = a2
4 +23 +1
= (((a2 )2 )2 )2 · ((a2 )2 )2 ) · a
Hier müsste man 6 Multiplikationen ausführen! USW. Entwickle den Exponenten in Binärschreibweise. (Analogie
zur schriftlichen Multiplikation.)
Besonders wichtig wird das für Potenzen mit sehr großen Exponenten – etwa solchen, die mehr als 100 Stellen im
Dezimalsystem haben. Solche zu berechnen ist innerhalb Z zwar schlechterdings unmöglich, da man das Ergebnis
auf kein Medium schreiben könnte. Aber wir werden bald lernen, in endlichen Ringen zu rechnen!
2
2.1
Untergruppen von Z, größter gemeinsamer Teiler
Wichtige Teilmengen von Z:
Definition 2.2 Seien a, m ∈ Z.
mZ := {mx | x ∈ Z}
a + mZ := {a + mx | x ∈ Z}.
Bemerkungen 2.3 a) mZ = (−m)Z und a + mZ = a + (−m)Z. Es ist keine Einschränkung, nur a + mZ mit
m ≥ 0 zu betrachten.
b) Es gilt 0 ∈ mZ. Mit a, b liegen auch a + b und a − b in mZ.
c) Wenn m 6= 0 ist, ist mZ weder nach oben noch nach unten beschränkt. Denn sei (wegen a)) o.E. m > 0, s > 0.
Dann ist m(s + 1) ≥ 1 · (s + 1) > s und m(−s − 1) < −s.
d) Wenn m 6= 0 ist, ist auch a + mZ weder nach oben noch nach unten beschränkt. Wäre nämlich s eine obere
(untere) Schranke für a + mZ, so wäre s − a eine solche für mZ.
Frage 1. Ist mZ eine bezüglich der Addition eine Gruppe?
A) Ja
B) Nein
Frage 2. Ist a + mZ bzgl. der Add. eine solche?
A) Ja
B) Nein
C) Manchmal
1. A) 2. Die Antwort ist ’Ja’ genau dann, wenn a ∈ mZ, d.h. a + mZ = mZ ist.
2.4
Man erhält alle Elemente von a + mZ, wenn man mit a beginnend beim Durchlaufen der Zahlenreihe nach
links und rechts jede |m|–te Zahl auswählt.
3. Gilt deshalb folgender
Satz 2.5 Sei m ∈ Z − {0}, a, b ∈ Z. Dann fällt genau 1 Element von a + mZ in das Intervall [b, b + |m|[
welchem |m| aufeinanderfolgende ganze Zahlen liegen) ??
(in
Anders ausgedrückt: Der Durchschnitt (a + mZ) ∩ [b, b + |m|[ besteht aus genau einem Element.
Beachte: [b, b + |m|[∩Z = {b, b + 1, . . . , b + |m| − 1}
A) Ja B) Nein
3. A)
Beweis:
Wir dürfen m > 0 annehmen. Da a + mZ nicht nach oben beschränkt ist, ist
M := {x ∈ a + mZ | x ≥ b} =
6 ∅.
Sei y = a + mx minimal in dieser Menge. Wäre y ≥ b + m, so wäre auch y − m = a + m(x − 1) ∈ M . Dies stünde
im Widerspruch zur Minimalität von y. Also ist y das gesuchte Element. Wenn ferner
y 0 = a + mx0 ∈ [b, b + m[ gilt, so ist m > y 0 − y = m(x0 − x) ≥ 0, also m > m|x0 − x| ≥ 0, mithin 1 > |x0 − x| ≥ 0,
d.h. x0 = x wegen 0.15 c). Es folgt y 0 = y.
Folgerung 2.6 (Division mit Rest) Seien a, m ∈ Z, m 6= 0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ Z mit
und 2) 0 ≤ r < |m|.
1) a = qm + r
Beweis: Nach obigem Satz gibt es genau ein r ∈ a + mZ mit 0 ≤ r < |m|. Man kann also ein q ∈ Z so wählen,
dass r = a + m · (−q), d.h. a = qm + r ist. Falls auch a = q 0 m + r gilt, folgt qm = q 0 m und somit q = q 0 , da m 6= 0
ist.
Folgerung 2.7 Das Korollar bleibt gültig, wenn man 2) durch
2’) − |m|
2 <r ≤
|m|
2
ersetzt.
ersetzt.
2.8
Häufig braucht man nur folgende schwache Form:
Folgerung 2.9 Zu a, m ∈ Z, m 6= 0, gibt es q, r ∈ Z mit:
1) a = qm + r
und
2) |r| < |m|.
(Hier sind q, r meist nicht eindeutig bestimmt.)
Frage: Gilt allgemein, dass die Jahreszahl Ihres Geburtsdatums die Summe eines Vielfachen von 30 und eines
solchen von 49 ist? Was glauben Sie?
Ja
Nein
Antwort: Wir werden sehen!
Definition 2.10 Eine Untergruppe einer (additiv geschriebenen) abelschen Gruppe G ist eine Teilmenge H von
G, für die gilt:
(i) 0 ∈ H;
(ii) a, b ∈ H ⇒ a + b ∈ H;
(iii) a ∈ H ⇒ −a ∈ H.
Eine Untergruppe einer abelschen Gruppe ist wieder eine abelsche Gruppe.
Bemerkung 2.11
gendes gilt:
Eine Teilmenge H einer abelschen Gruppe G ist schon dann eine Untergruppe, wenn fol-
1) H 6= ∅ (etwa 0 ∈ H),
2) a, b ∈ H ⇒ a − b ∈ H.
Denn wenn a ∈ H, folgt mit 2), dass auch 0 = a − a ∈ H, somit ferner −a = 0 − a ∈ H ist. Wenn nun a, b ∈ H,
ist auch −b = 0 − b ∈ H, also mit 2) auch a + b = a − (−b) ∈ H.
Beispiele 2.12 a) Die multiplikative Gruppe C∗ der komplexen Zahlen hat u.a. folgende Untergruppen:
{1}, {1, −1}, Q∗ , R∗ ,
{x ∈ R|x > 0}, {z ∈ C| |z| = 1}, er·2πi/m |r = 0, 1, . . . , m − 1 .
b) Für m ∈ Z ist die Menge mZ eine Untergruppe (der additiven Gruppe) von Z; siehe oben.
Fragen: Betrachte die Menge M := 53 + 100Z.
5. Was ist M ∩ [940, 1040[?
A) [950, 1000[
B) {953
6. Was ist die größte negative Zahl in M ?
A) −53
5. B
B) −47
6. B
ACHTUNG! N := {0, 1, 2, 3, . . . , N1 := {1, 2, 3, . . .}, Nk := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
Satz 2.13 Wenn H eine Untergruppe von Z ist, so gibt es ein eindeutig bestimmtes m ∈ N mit H = mZ.
Beweis: Fall 1: H = {0}. Dann H = 0 · Z und H 6= mZ für jedes m 6= 0.
Fall 2: H 6= {0}. Dann besitzt H Elemente a > 0. Sei nämlich b ∈ H − {0}. Wenn b > 0 ist, setze a = b. Wenn
b < 0 ist, setze a = −b ∈ H.
Sei jetzt m das kleinste (strikt) positive Element aus H.
Dann ist mZ ⊂ H. Denn für c ∈ Z gilt
mc = ± (m + . . . + m) ∈ H.
|
{z
}
|c|−mal
Behauptung:
mZ = H.
Sei nämlich a ∈ H beliebig. Dividiere a durch m mit Rest: a = mq + r mit 0 ≤ r < m.
Da a und m, also auch mq zu H gehören, gilt r = a − mq ∈ H.
Wäre r 6= 0, so wäre r ∈ H und 0 < r < m. Widerspruch!
Aus r = 0 folgt nun a = mq ∈ mZ.
Zur Eindeutigkeit von m(∈ N): Sind m, m0 ∈ N und mZ = m0 Z, dann ist sowohl m wie m0 das kleinste nichtnegative
Element derselben Menge mZ.
Definition 2.14 Seien H1 , H2 Untergruppen einer additiv geschriebenen abelschen Gruppe G.
Schreibe H1 + H2 := {h1 + h2 | h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 }.
(Bei multiplikativer Schreibweise schreibt man H1 H2 für die so gebildete Teilmenge von G.)
Satz 2.15 Seien H1 und H2 Untergruppen einer (additiv geschriebenen) abelschen Gruppe G. Dann sind auch
H1 ∩ H2 und H1 + H2
solche.
Beweis:
a) Zu H1 ∩ H2 :
0 ∈ H1 , 0 ∈ H2 =⇒ 0 ∈ H1 ∩ H2 .
a, b ∈ H1 ∩ H2 =⇒ a, b ∈ H1 , a, b ∈ H2 =⇒ a − b ∈ H1 , a − b ∈ H2 =⇒ a − b ∈ H1 ∩ H2 .
b) Zu H1 + H2 :
0 = 0 + 0 ∈ H1 + H2 .
Seien a = a1 +a2 ∈ H1 +H2 , b = b1 +b2 ∈ H1 +H2 mit ai , bi ∈ Hi . Dann ist a−b = (a1 −b1 )+(a2 −b2 ) ∈ H1 +H2 .
Frage: Gilt eine entsprechende Aussage gilt auch für die Vereinigung zweier Untergruppen.
NEIN! Z.B. gilt 2, 3 ∈ 2Z ∪ 3Z, aber 5 ∈
/ 2Z ∪ 3Z.
Bemerkungen 2.16 b) Zum Beweis, dass H1 + H2 eine Untergruppe ist, wurde die Kommutativität gebraucht.
Für nichtabelsche Gruppen gilt diese Aussage i.A. nicht.
c) Der Satz gilt auch für unendliche Durchschnitte und Summen. (Diese müsste man allerdings definieren! Wie?)
d) Seien H, H1 , H2 Untergruppen einer abelschen Gruppe, so gilt
H ⊃ H1 , H2 ⇐⇒ H ⊃ H1 + H2 .
Folgerung 2.17 Zu a, b ∈ Z gibt es genau ein d ∈ N mit aZ + bZ = dZ.
Beweis: aZ und bZ sind Untergruppen von Z. Also auch aZ+bZ eine solche, also von der Form dZ mit eindeutig
bestimmten d ∈ N.
Definition 2.18 Seien a, b ∈ Z. Man sagt, a ist ein Teiler von b oder a teilt b oder auch b ist ein Vielfaches von
a und schreibt a|b, wenn es ein c ∈ Z mit a · c = b gibt.
D.h. a|b ⇐⇒ b ∈ aZ.
2.19 Grundlegende Feststellung:
a|b ⇐⇒ aZ ⊃ bZ.
Beweis:
⇒“: Sei bx ∈ bZ mit x ∈ Z beliebig. Aus ac = b folgt bx = acx ∈ aZ.
”
⇐“: aZ ⊃ bZ ⇒ b ∈ aZ
”
2.20 Grundlegende Eigenschaften von |“:
”
a) ±1|a, a|0.
b) a|b ⇐⇒ |a| |b|.
c) a|b, b|c ⇒ a|c.
d) a|b, a|c ⇒ a|bb0 + cc0 .
(Dies kann man direkt zeigen, aber auch so:
aZ ⊃ bZ, aZ ⊃ cZ =⇒ aZ ⊃ bZ + cZ.)
e) a|b, a6 | c ⇒ a6 | bb0 + c.
Sonst wäre a|bb0 + c − bb0 = c.
2.21
Seien a, b ∈ Z. Wir wissen: Es gibt genau ein d ∈ N mit
aZ + bZ = dZ.
Für dieses d gilt folgende
Feststellung: 1) d|a, d|b;
2) c|a, c|b =⇒ c|d;
3) es gibt a0 , b0 ∈ Z mit d = aa0 + bb0 .
Beweis:
2)
3)
1)
1.9d)
dZ = aZ + bZ =⇒ dZ ⊃ aZ, dZ ⊃ bZ.
1.9d)
cZ ⊃ aZ, bZ ⇒ cZ ⊃ aZ + bZ = dZ.
d ∈ dZ = aZ + bZ.
Definition 2.22 Wenn d ∈ N zu a, b wie oben bestimmt ist, heißt d der größte gemeinsame Teiler von a und b.
Man schreibt d = ggT(a, b).
Die Eindeutigkeit gilt nur, wenn man d ∈ N verlangt.
Satz 2.23 Seien a, b ∈ Z, d ∈ N.
a) d habe die Eigenschaften 1) und 2) aus obiger Feststellung. Dann d = ggT(a, b).
b) Wenn d die Eigenschaften 1) und 3) hat, ist ebenfalls d = ggT(a, b).
Beweis:
a) Wegen 1) gilt dZ ⊃ aZ, bZ, also dZ ⊃ aZ + bZ.
Wenn aZ + bZ = cZ ist, so gilt cZ ⊃ dZ wegen 2).
Also ist aZ + bZ = cZ ⊃ dZ ⊃ aZ + bZ, mithin aZ + bZ = dZ.
b) Wegen 1) gilt wie oben dZ ⊃ aZ + bZ. Wegen 3) hat man
d ∈ aZ + bZ, also dZ ⊂ aZ + bZ. Insgesamt ist dZ = aZ + bZ.
Bemerkung: Haben a und b keinen Teiler, der größer als 1 ist, so gilt ggT(a, b) = 1. Dann gibt es a0 , b0 ∈ Z mit
a0 a + b0 b = 1, also (na0 )a + (na0 )b = n für jedes n ∈ Z. In den Aufgaben seht Ihr, dass man für teilerfremde a, b ∈ N
und nicht zu kleine n auch a0 , b0 ≥ 0 finden kann, für die a0 a + b0 b = n gilt.
2.24
Der Euklidische Algoritmus
Ein schnelles Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers.
Hilfsbemerkung: In Z gelte a = bc + d. Dann ist jeder gemeinsame Teiler von a und b auch ein solcher von
b und d und umgekehrt. D.h. für t ∈ Z hat man:
t|a, t|b ⇐⇒ t|b, t|d.
Der Algoritmus läuft wie folgt: Seien a, b ∈ Z − {0}. (ggT(a, 0) = |a|.) Setze r0 := a, r1 = b. Dividiere mit Rest
nach und nach:
r0 = r1 q 1 + r2
mit
|r2 | < |r1 |
r1 = r2 q 2 + r3
mit
|r3 | < |r2 |
r2 = r3 q 3 + r4
mit
|r4 | < |r3 | usw.
Solange ri 6= 0 ist, kann man qi , ri+1 finden mit
ri−1 = ri qi + ri+1
und
|ri+1 | < |ri |.
Da aber |r1 | > |r2 | > . . . > |ri | > |ri+1 | gilt, muss zweifellos für ein n der Rest rn+1 verschwinden. Das Verfahren
bricht also ab:
rn−2 = rn−1 qn−1 + rn
mit
0 < |rn | < |rn−1 |
rn−1 = rn qn + 0.
Behauptung:
|rn | = ggT(a, b).
Denn da a = r0 , b = r1 , gilt t|a, b ⇐⇒ t|r0 , r1 .
Wegen obiger Hilfsbemerkung hat man die Äquivalenzen
t|r0 , r1 ⇐⇒ t|r1 , r2 ⇐⇒ t|r2 , r3 ⇐⇒ . . . t|rn−1 , rn ⇐⇒ t|rn , 0.
Es folgt ggT(a, b) = ggT(rn , 0) = |rn |.
2.25
Man bekommt mit obigem Algorithmus auch eine Darstellung von rn in der Form aa0 + bb0 , d.h. als
sogenannte Linearkombination von a und b.
Hilfsbemerkung: Seien c = aa1 + bb1 und d = aa2 + bb2 als Linearkombinationen von a und b gegeben.
Dann erhält man jede Linearkombination cc0 + dd0 von c und d explizit als Linearkombination von a und b; es ist
nämlich cc0 + dd0 = (aa1 + bb1 )c0 + (aa2 + bb2 )d0 = a(a1 c0 + a2 d0 ) + b(b1 c0 + b2 d0 ).
In obige Gleichungsfolge sind r1 = b nach r2 = a − bq1 als Linearkombinationen von a und b gegeben. Falls man
schon induktiv ri−1 und ri als Linearkombinationen von a und b gewonnen hat, gewinnt man auch ri+1 als eine
solche, da ri+1 = ri−1 − ri qi gilt.
2.26
Wenn man beim euklidischen Algorithmus mit möglichst wenigen Schritten auskommen will, muss man
negative Reste zulassen, um |ri+1 | ≤ |ri |/2 zu erreichen. (Es muss zugestanden werden, dass der Gewinn beim
Gebrauch negativer Reste nicht sehr groß ist. Gilt nämlich a > b > 0 und a = bq + r mit 0 ≤ r < b, so ist immer
noch a ≥ b + r > r + r, also r < a/2, was nicht viel schlechter als |r| ≤ b/2 ist.)
Definition 2.27 a, b ∈ Z heißen (zueinander) teilerfremd, wenn ggT(a, b) = 1 ist.
Bemerkungen 2.28 a) a, b sind teilerfremd genau dann, wenn es a0 und b0 ∈ Z mit aa0 + bb0 = 1 gibt. Dies
folgt wegen 1|a, b.
b)
Wenn a, b teilerfremd sind, gibt es für alle c ∈ Z Zahlen a, b ∈ Z mit aa + bb = c. (c = 1 · c = aa0 c + bb0 c.)
Beispiel
Berechne ggT(6979 , 4851).
6979
4851
2128
595
252
91
21
= 1 · 4851 + 2128
= 2 · 2128 + 595
= 4 · 595 − 252
= 2 · 252 +
91
=
3 · 91 −
21
=
4 · 21 +
7
=
3·7 +
0
ggT(6979 , 4851) = 7.
Darstellung als Linearkombination:
7 =
=
=
=
=
=
=
−4 · 21 + 91
4 · (−3 · 91 + 252) + 91 = −11 · 91 + 4 · 252
−11 · (−2 · 252 + 595) + 4 · 252 = 26 · 252 − 11 · 595
26 · (4 · 595 − 2128) − 11 · 595 = 93 · 595 − 26 · 2128
93 · (−2 · 2128 + 4851) − 26 · 2128
−212 · 2128 + 93 · 4851
−212 · (−4815 + 6979) + 93 · 4851 = 305 · 4851 − 212 · 6979