Rechnen mit Potenzen und Brüchen

Hellweg Berufskolleg Unna Studienvorbereitung Mathematik
2
1
Rechnen mit Potenzen
2.1
Potenzgesetze
Rechengesetze für Potenzen: Die Nenner sind hierbei immer ungleich 0.
a ∈ IR, k ∈ IN:
ak = a
| · a...a
{z · a}
(2.1)
k
a ∈ IR, k ∈ IN
1
ak =
√
k
a
(2.2)
a ∈ IR, b ∈ IR, m ∈ IR, n ∈ IR Multiplikation:
(a · b)m = am · bm
(2.3)
(am )n = am·n
(2.4)
am · an = am+n
(2.5)
Division:
a
am
( )m = m
b
b
am
= am−n
n
a
(2.6)
(2.7)
daher gilt:
1
= a−n
an
2.1.1
Abgeleitete Rechengesetze
Begründen Sie mittels obiger Rechengesetze. Geben Sie je die verwendeten Rechengesetze an:
1. x ∈ IR : x−1 =
1
x
p
2. x ∈ IR, p, q ∈ IN : x q =
3. x ∈ IR :
1
x−1
√
q
xp
=x
4. x ∈ IR, k ∈ IN :
√
k
xk = x
Übung 2.1:
1. Übungsaufgaben online:
http://www.abfrager.de/gymnasium/klasse9/mathematik/potenzrechnung.htm
2. Berechnen Sie je das Endergebnis. Vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a, b, c, x ∈ IR
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2
(a) 24 · 2 · 2−2
(b) 2x2 · 3x−3
√
(c) ( a)6
√
2
(d) (ab)3 · 3 b · a · b 3
1
c−2
√ 2
a·b 3 ·b
(e)
(f)
3
1
b− 3 ·a
Bruchrechnen
Rechenregeln zum Bruchrechnen: a, b, c, d ∈ IR, Zahlen im Nenner sollen hierbei nie 0 sein.
Aus den Regeln zu den Potenzen ergibt sich, dass man gleiche Terme im Zähler und Nenner
kürzen kann.
a
a·b
=
(3.8)
b·c
c
Umgekehrt kann man Brüche erweitern. Dazu multipliziert man den gleichen Wert an Zähler
und Nenner.
a
c·a
=
(3.9)
b
c·b
Multiplikation zweier Brüche:
a c
ac
· =
(3.10)
b d
bd
Division zweier Brüche:
a c
a d
ad
: = · =
(3.11)
b d
b c
bc
Die Addition zweier Brüche kann nur durchgeführt werden, wenn beide Nenner gleich sind.
a c
a+c
+ =
b b
b
(3.12)
Beispielaufgaben:
1.
2·21
7·4
=
3
2
2. Vorsicht beim Kürzen bei Summen
4a+18b
= 2·(2a+9b)
6
6
−
3.
2
3
4.
2a
3b
5.
6
2
9
1
8
=
16−3
24
+
1
8a
=
16a2 +3b
24ab
=
6
2·9
=
1
3
Übung 3.0:
Vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. Schreiben Sie das Endergebnis als einen
Bruch.
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1.
a
2b
2.
6a−8b
4ab
3.
20a2
b
4.
3
2a
b
+
b2
4a−a2
·
a−b
a2 −b2
2
1
a2
−
5.
1
2a
6.
5a2 −6a3 −3a
a·b2
7.
3a
a+b
+
−
2
4a2
+
b2
(ab)2
3b
b−a
Die Knobelaufgabe
2
einer Tafel Schokolade sind soviel wie eine halbe Tafel plus 2 Stückchen. Wieviele Stücke hat
3
die Tafel?