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6.
Kurven und Flächen
im Raum
Flächen stellen wir grundsätzlich im dreidimensionalen Raum dar. Du kennst Kegel- und Zylindermäntel
aus der „räumlichen Geometrie“, Dreiecksflächen oder Ebenen aus den Anwendungen der analytischen
Geometrie im Raum.
Mit einem Computeralgebrasystem kannst du auch komplizierte Flächen und Kurven im Raum darstellen.
Du kannst dabei die Bedeutung der einzelnen Parameter in der Definition der Flächen und Kurven untersuchen und auch ästhetisch ansprechende Bilder erzeugen!
177
4.7 Auffinden einer Polynomfunktion
In der Praxis kennt man von einer Funktion oft keinen Funktionsterm, sondern nur einzelne Funktionswerte.
Diese können z. B. durch Messung ermittelt werden. Manchmal sind auch Extrem- und/oder Wendestellen
bekannt oder zumindest abschätzbar. Um verschiedene Fragestellungen beantworten zu können, wird ein
mathematisches Modell gesucht. Der Einfachheit halber wird oft eine Polynomfunktion verwendet.
537 Von einer Polynomfunktion 3. Grades kennt man den Funktionswert f (1) = 2,5. Eine Nullstelle
liegt bei x = 0. Ein lokales Maximum liegt bei f (2) = 4. Skizziere diese Angaben, ermittle eine
Termdarstellung und zeichne anschließend den Graphen.
Ausführung:
y
H
4
Wir skizzieren die Daten aus der Angabe in einem geeigneten
Koordinatensystem. Allerdings lässt diese Skizze den Verlauf der
3
gesuchten Polynomfunktion nicht wirklich erahnen. Wir wählen
2
daher einen rechnerischen Weg:
1
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat allgemein die Form
x
3
2
f (x) = a ∙ x + b ∙ x + c ∙ x + d mit reellen Koeffizienten a, b, c,
0 1
–2 –1
2
3
4
d. Um diese 4 Koeffizienten bestimmen zu können, benötigen wir
–1
4 Informationen (4 Gleichungen).
Zur Beschreibung des lokalen Maximums benötigen wir die 1. Ableitung der Funktion:
f′(x) = 3 a ∙ x2 + 2 b ∙ x + c
Aus der Angabe ergibt sich:
f (1) = 2,5 ⇒ I: a ∙ 13 + b ∙ 12 + c ∙ 1 + d = 2,5
Nullstelle bei
x = 0 ⇒ II: a ∙ 03 + b ∙ 02 + c ∙ 0 + d = 0
f (2) = 4 ⇒ III: a ∙ 23 + b ∙ 22 + c ∙ 2 + d = 4
lokales Maximum bei x = 2 ⇒
f′(2) = 0 ⇒ IV: 3 a ∙ 22 + 2 b ∙ 2 + c = 0
Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich die
gesuchten Koeffizienten der Polynomfunktion:
I:
a + b + c + d = 2,5
II:
d=0
III: 8 a + 4 b + 2 c + d = 4
IV: 12 a + 4 b + c
=0
y
f
3
2
1
x
–3
⇒ a = –0,5; b = 1; c = 2; d = 0
3
H
4
–2
–1
0
1
2
3
4
–1
2
Ergebnis: f (x) = –0,5 x + x + 2 x
–2
Symmetriesatz: Eine Polynomfunktion p (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e ist
(1) symmetrisch zur y-Achse (gerade) ⇔ b = d = 0
(2) symmetrisch zum Koordinatenursprung (ungerade) ⇔ a = c = e = 0
Beweis: (1) wird in Aufgabe 545 bewiesen.
(2): Angenommen p (x) ist ungerade, also p (–x) = –p (x)
∀x ∈ ℝ, dann folgt:
∀x ∈ ℝ
a x4 − b x3 + c x2 − d x + e = –a x4 − b x3 − c x2 − d x − e
2 a x4 + 2 c x2 + 2 e = 0
∀x ∈ ℝ
(*)
Gleichung (*) gilt insbesondere auch für x = 0, x = 1 und x = 2:
x=0
⇒
e=0
{ xx == 12
⇒
2a + 2c = 0
⇒ 32 a + 8 c = 0
}
⇒
a=c=0
Umgekehrt, falls a = c = e = 0 folgt: p (–x) = b (–x)3 + d (–x) = –b x3 − d x = –p (x) ⇒ p (x) ungerade
124
4. Differentialrechnung – Eigenschaften von Funktionen
Aufgaben
538 Ermittle die Gleichung jener Polynomfunktion
548
Begründet: Eine Polynomfunktion 3. Grades
ist eindeutig festgelegt, wenn ein Extrempunkt
und ein Wendepunkt bekannt sind.
Sucht konkrete Beispiele! Kann man diese Aussage verallgemeinern?
549
Die Ergebnisse einer Messung wurden in
ein Diagramm eingetragen. Lest aus dem Diagramm Funktionswerte, Nullstellen und Extremstellen ab und gebt eine geeignete Polynomfunktion 4. Grades an.
3. Grades, deren Funktionsgraph in E1 (0 0)
und in E2 (4 –32) Extrempukte besitzt.
539 Ermittle
die Gleichung jenes Polynoms
3. Grades, dessen Funktionsgraph in H (0 5)
einen Hochpunkt und in P (3 0) den Anstieg –2
besitzt.
540 Ermittle
die Gleichung jenes Polynoms
3. Grades, dessen Funktionsgraph in H (2 1)
einen Hochpunkt und in W (0 –1) einen Wendepunkt besitzt.
y
(2,44 5,67)
6
541 Ein Polynom 3. Grades hat bei x = –1 eine
5
Wendestelle und bei x = 1 eine Extremstelle.
Die Wendetangente hat die Gleichung
tW: 3 x − 2 y = –1.
Bestimme den Funktionsterm!
4
3
2
542 Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades be-
1
sitzt den Wendepunkt W (–2 1) und geht durch
den Punkt P (0 3). In P besitzt die Funktion die
Steigung 9. Wie lautet der Funktionsterm?
543 Von einer Polynomfunktion 3. Grades weiß man,
dass ihre Ableitung bei x = –3 und bei x = 2
null ist. Weiters liegen die Punkte (–3 5) und
(2 1) am Funktionsgraph.
Wie lautet der Funktionsterm?
(0,31 0,79)
x
0
1
2
3
4
5
550 Wie 549.
y
(5 5,67)
6
5
544 Ein Polynom 3. Grades hat bei x = 4 einen
Wendepunkt mit Wendetangente 3 x + 2 y = 16
und schneidet die x-Achse bei x = 0.
Wie lautet der Funktionsterm?
4
3
2
1
545
Beweist Teil (1) des Symmetriesatzes (siehe
Seite 124). Geht dabei analog zum Beweis von
Teil (2) vor!
(20)
0
1
2
x
3
4
5
546 Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist
547
Begründet: Eine Polynomfunktion 3. Grades
ist eindeutig festgelegt, wenn vier Punkte ihres
Graphen bekannt sind.
Sucht konkrete Beispiele! Kann man diese Aussage verallgemeinern?
Alamy/Olaf Doering
symmetrisch zur y-Achse und hat in N (0 0) eine
Nullstelle und in W (1 –5) einen Wendepunkt.
Wie lautet der Funktionsterm?
Hinweis: Verwende den Symmetriesatz!
125
Vermischte Aufgaben
b) Gib die Koordinaten des Mittelpunkts und
den Radius des Schnittkreises der Kugel mit
der xz-Ebene an und überprüfe, ob der Punkt
P (2 0 5) auf dem Schnittkreis liegt.
852 Gib die Koordinaten des Mittelpunkts und den
Radius der Kugel x2 + y2 + z2 = 81 an. Berechne weiters die Koordinaten des Punktes
P (4 4 z), der auf der Kugel liegt (es gibt zwei
Lösungen).
859 Die Kugel k [M (u v w > 0), r = 5] berührt die
xy-Ebene im Punkt T (1 4 0).
853 Gib die Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt
M (4 4 6) an, die auf der xy-Ebene ruht (d. h.
sie von oben berührt).
a) Berechne die Kugelgleichung.
b) Berechne Mittelpunkt und Radius des
Schnittkreises mit der xz-Ebene.
854 Gegeben ist die Kugel k [M (0 0 0), r = 9].
a) Untersuche die Lage der Punkte P (4 4 7),
Q (5 –4 8) und R (6 –5 3) in Bezug auf
diese Kugel.
b) Bestimme die fehlende Koordinate so, dass
der Punkt S (x < 0 6 6) auf der Kugel liegt.
c) Berechne den Winkel zwischen den Tangentialebenen τ1 und τ2 an die Kugel in den
Punkten P und S.
855 Bestimme die Schnittpunkte S1 und S2 der Ge-
raden g: X =
( ) ( )
5
–20
3
+ t ∙ 4 mit der Kugel k,
18
–33
860
Fasst die Eigenschaften der Schraubenlinie
(Helix) zusammen und erklärt, wie der Durchmesser, die Achsenrichtung, die Anzahl der
Windungen, die Höhe der Schraubenlinie und
Rechts- und Linksschraube mithilfe der Parameter festgelegt werden!
861 Gib eine mögliche Parameterdarstellung der
Schraubenlinie aus den angegebenen Daten
und den Grafiken an!
a) Radius r = 1, Ganghöhe h = 1, t ∈ [0; 4 π[
Rechtsschraube
die
durch
die
Durchmesserendpunkte
A (1 –5 25) und B (–5 7 –19) festgelegt ist.
Unter welchem Winkel erscheint die Strecke
S1S2 vom Mittelpunkt der Kugel aus?
−0,5
−1,0
2,0
1,5
1,0
856 Berechne den Schnittwinkel zweier Tangential-
0,5
ebenen τ1 und τ2, die die Kugel k [M (–10 1 –9),
r = 21] in den Durchstoßpunkten mit der Ge-
( ) ()
1
6
0
0,5
0,0
z
5
rade g: X = 17 + t ∙
7
1,0
y
0,0
−1,0
−0,5
x
0,0
0,5
1,0
berühren.
b) Radius r = 2, Ganghöhe h = 1
2 , t ∈ [0; 8 π[
Linksschraube
857 Eine Kugel berührt die xz-Ebene und die yz-
1,0
y
Ebene, ihr Mittelpunkt liegt auf der Geraden
g: X (t) =
( ) ( )
2
–1
4
+t∙
3
6
–2
0,5
0,0
−0,5
−1,0
2,0
im ersten Oktanten.
Bestimme die Kugelgleichung sowie den Flächeninhalt jenes Kreises, den die xy-Ebene von
der Kugel abschneidet.
1,5
z
1,0
0,5
0,0
−1,0
−0,5
0,0
x
0,5
1,0
858 Eine Kugel mit Mittelpunkt M (–1 4 5) berührt
die xy-Ebene.
a) Berechne die Koordinaten des Berührpunktes und gib die Gleichung der Kugel an.
192
2. Differentialrechnung – Grundlagen
Sprache der Mathematik
339 Ein Rennwagen beschleunigt aus dem Stand. Nach t Sekunden hat er b (t) Meter zurückgelegt. Was
GK
bedeuten folgende Ausdrücke in diesem Zusammenhang?
b (5) − b (3)
2
a) b (4) − b (0)
b)
d) b (a) − b (3) für a > 3
lim
e) h→0
g) b (4)
h) b′(4)
c)
b (3 + h) − b (3)
h
b (a) − b (1)
a−1
für a > 1
b (a) − b (2)
a−2
lim
f) a→2
für a > 2
i) b ″ (3)
340 Die Abbildung zeigt die Änderung einer Größe y = f (t) in Abhängigkeit von der Zeit t. Entscheide für
GK
jede der folgenden Aussagen, ob sie für diese Funktion zutrifft!
richtig
falsch
1. Die mittlere Änderungsrate im Intervall
[1; 3] ist positiv.
y
2
2. Die momentane Änderungsrate bei t = 1
ist gleich null.
1
3. Der Differenzenquotient im Intervall [0; 3]
ist etwas größer als 2.
t
0
−1
4. Der Differentialquotient ist im dargestellten Ausschnitt genau zweimal gleich null.
1
3
2
−1
f
5. f ist an jeder Stelle des dargestellten Ausschnitts differenzierbar.
−2
341 Beurteile folgende Schlussfolgerungen (richtig/falsch) für die Funktion y = f (x)
GK
und begründe deine Entscheidung.
richtig
1. f ist im Intervall Ι monoton steigend.
falsch
⇒ f ist in Ι differenzierbar.
2. f′(3) = 0 ⇒ f hat in x = 3 keine Tangente.
3. f′ ist im Intervall Ι nicht positiv. ⇒ f ist in Ι streng monoton fallend.
4. f ″ (3) = 0
⇒ f hat in x = 3 sicher eine waagrechte Tangente.
5. f ″ ist im Intervall Ι negativ. ⇒
nuierlich ab.
6. f′(4) ist nicht definiert. ⇒
Die Funktionswerte von f nehmen in Ι konti-
f ist an der Stelle x = 4 nicht differenzierbar.
342 Erkläre den Zusammenhang (Gemeinsamkeiten und Unterschiede) zwischen dem Differenzen- und
GK
dem Differentialquotienten. Fertige dazu auch geeignete Skizzen an!
343 Erkläre die Bedeutung folgender Begriffe aus der Differentialrechnung und gehe insbesondere darGK
auf ein, wie sie sich im Graphen einer Funktion wiederspiegeln. Fertige geeignete Skizzen an!
a) Tangente und -nsteigung
b) Sekante und -nsteigung
d) durchschnittliche und momentane Änderungsrate
e) stetig
c) Grenzwert einer Funktion
f) differenzierbar
77
thema
Geschwindigkeit
und Beschleunigung
Fotolia.com/Ulrich Kammertöns
Der freie Fall
Isaac Newton (1643–1727) ist ein Gigant der Wissenschaft. Er hat grundlegende Gesetze der Physik entdeckt und
für seine physikalischen Forschungen auch in der Mathematik epochale Leistungen vollbracht. So hat er neben
Gottfried Wilhelm Leibniz die Differentialrechnung entwickelt, um die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
bewegter Objekte exakt beschreiben zu können. Er verwendet für die Ableitung die Punktnotation, die in der Physik
und in der Technik noch immer üblich ist.
Durch die Funktion s (t) wird die Bewegung eines Körpers beschrieben. Wir schreiben:
s∙ (t) = v (t) … Geschwindigkeit
∙∙
s (t) = a (t) … Beschleunigung
Der berühmte italienische Physiker Galileo Galilei hat angeblich am Schiefen Turm zu Pisa die
Gesetze der Fallbewegung entdeckt. Von ihm stammt die Erkenntnis, dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse gleich schnell fallen würden, wenn kein Luftwiderstand vorhanden
wäre. In diesem Fall ist der freie Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ein Fallschirmspringer, der aus dem Flugzeug springt, wird im selben Maß beschleunigt wie ein Stein, der in
einen Brunnen fällt oder ein Blumentopf, der von der Kante eines Fensterbrettes kippt. Alle
diese Bewegungen werden durch folgende Weg-Zeit-Funktion beschrieben:
Daher gilt:
und:
s (t) = 4,9 t2 (in m)
s∙ (t) = v (t) = 9,8 t (in m/s)
∙∙
s (t) = a (t) = 9,8 (in m/s2)
MEV Verlag/Johann Kaiser
Die Beschleunigung ist konstant und natürlich gleich der Erdbeschleunigung: g ≈ 9,8 m/s2
Nach diesem einfachen Modell nimmt die Geschwindigkeit jedes frei fallenden Körpers um
9,8 m/s zu, das sind etwa ≈ 35 km/h. Nach ca. einer halben Minute würde ein Fallschirmspringer die Schallmauer durchbrechen! Hier müssen wir offensichtlich den Luftwiderstand
berücksichtigen. Für einen Fallschirmspringer mit einer Masse von 65 kg ergibt eine etwas
aufwendigere mathematische Analyse unter realistischen Annahmen folgende Geschwindigkeits-Zeit-Funktion:
1 − e–0,4 t
(in m/s)
v (t) = 50 ∙
–0,4 t
1+e
1 Zeige, dass die oben angegebene Geschwindigkeitsfunktion einen Grenzwert hat, und bestimme diesen.
Zeichne sie gemeinsam mit der Funktion v (t) = 9,8 t in ein Diagramm und entscheide, für welche Zeitspanne
das einfachere Modell ausreichend genau ist.
2 Zeige mit obigen Angaben, dass für die Geschwindigkeitsfunktion des Fallschirmspringers gilt:
v (t) = 50 ∙ tanh (0,2 t)
78
3 Für die Weg-Zeit-Funktion des Fallschirmspringers gilt:
1 + e–0,4 t
4 Zeichne die Weg-Zeit-Funktion des Fallschirmspringers gemeinsam mit der Funktion s (t) = 4,9 t2 in ein Diagramm und
entscheide, für welche Zeitspanne das einfachere Modell ausreichend genau ist.
Project Photos
Fotolia.com/LichtRaum Fotografie
s (t) = – 50 [5 ln (e0,4 t + 1) − t − 5 ln 2]
–0,4 t
Überprüfe, dass gilt: s∙ (t) = v (t) = 50 ∙ 1 − e
5 Zeige, dass für die Beschleunigungsfunktion des Fallschirmspringers gilt: a (t) = v∙ (t) = 0,4 t 40 –0,4 t und zeichne
e
+2+e
Project Photos
diese Funktion für die ersten 3 Sekunden.
Harmonische Schwingungen
Die Funktion s (t) ist periodisch, im Falle einer harmonischen Schwingung ist sie sogar eine einfache
Sinusfunktion der Form:
s (t) = r ∙ sin (ω t)
Auslenkung s
Amplitude
Der Prototyp einer harmonischen Schwingung ist
eine Masse, die an einer Feder gleichmäßig aufund abschwingt. Wenn die Schwingung zeitlich beschrieben wird, erhalten wir die Auslenkung s als
Funktion der Zeit t. Die maximale Auslenkung aus
der Ruhelage der Feder bezeichnen wir als die
Amplitude r der Schwingung.
Maximum
Ruhelage
Zeit t
Minimum
Nun gilt: s∙ (t) = v (t) = r ∙ ω ∙ cos (ω t)
∙∙
und:
s (t) = a (t) = –r ∙ ω2 ∙ sin (ω t)
Die Beschleunigung ist wieder periodisch und schwingt sogar im Rhythmus der Weg-Zeit-Funktion:
∙∙
s (t) = –ω2 ∙ s (t)
Diese Gleichung hat einiges an physikalischem Hintergrund: das 2. Newton’sche Axiom und das Hooke’sche
Gesetz (siehe Aufgabe 8). Sie ist aber auch mathematisch sehr interessant: Es handelt sich um eine sogenannte
Differentialgleichung 2. Ordnung. Ihre Unbekannte ist die Weg-Zeit-Funktion s (t), die samt ihrer 2. Ableitung in der
Gleichung vorkommt.
6 Wie hängen die Schwingungsdauer und die Periode der Sinusfunktion
zusammen? Begründe!
s
2
7 Lies aus dem Weg-Zeit-Diagramm die Amplitude und die Schwingungsdauer ab. Schreibe die Weg-Zeit-Funktion s (t) auf.
1
t
0
−1
π
2π
3π
4π
5π
−2
8 Recherchiere das 2. Newton’sche Axiom und das Hooke’sche Gesetz
und erkläre so die physikalische Bedeutung der Gleichung: ∙∙
s (t) = –ω2 ∙ s (t)
79
Mehr zu diesem Thema gibt es unter: www.thema-mathematik.at
Es gilt ω = 2 π f, wobei f die Frequenz der Schwingung ist. Die Frequenz einer Schwingung gibt an, wie oft die Feder
pro Sekunde auf- und abschwingt. Aus dem Weg-Zeit-Diagramm ist es einfacher, die Schwingungsdauer T abzulesen. Sie ist die Zeit, die die Feder benötigt, um einmal auf- und abzuschwingen. Frequenz und Schwingungsdauer
sind eng verknüpft: T = 1f
Meine Kapitelcheckliste zu
Differentialrechnung – Grundlagen
Ich weiß …
(d. h. ich kenne, ich kann beschreiben,
sagen, erklären, verdeutlichen, … )
thema
… 148
… Differentialquotienten berechnen.
… Tangenten ermitteln.
… einen Differentialquotienten als
momentane Änderungsrate interpretieren.
… momentane Änderungsraten mit dem
Differentialquotienten beschreiben.
… 165
… 148
… 150
… 154, 182
… 158, 166,
244
… 181, 182
… 180, 182
… die Ableitung einer Funktion mittels
… 188
Grenzübergang berechnen.
… anhand des Graphen einer Funktion
entscheiden, ob sie stetig und ob sie … 201, 202
differenzierbar ist.
Differenzieren – Rechenregeln
… die Summenregel.
… die Produktregel.
… wie konstante Summanden und
Faktoren differenziert werden.
… Regeln zum Ableiten von Potenz- und
Polynomfunktionen.
… die Quotientenregel.
… die Kettenregel.
… Ableitungsregeln für elementare
Funktionen.
80
… Differenzenquotienten berechnen.
… Differenzenquotienten grafisch darstellen.
… einen Differenzenquotienten als mittlere Änderungsrate interpretieren.
… mittlere Änderungsraten mit dem Differenzenquotienten beschreiben.
Differenzieren – Ableitung – Stetigkeit
… was die Ableitung einer Funktion ist.
… was Differenzieren bedeutet.
… was eine stetige und was eine
differenzierbare Funktion ist.
thema
z. B.
Aufgaben
Differentialquotient
… was ein Differentialquotient ist.
… dass der Differentialquotient durch
einen Grenzübergang aus dem
Differenzenquotienten entsteht.
… den Zusammenhang eines
Differentialquotienten mit der
Steigung einer Tangente.
… dass der Differentialquotient eine
momentane Änderungsrate ist.
thema
(d. h. ich kann darstellen, berechnen,
interpretieren, begründen, finden …)
Ich übe …
Differenzenquotient
… was ein Differenzenquotient ist.
… den Zusammenhang eines Differenzenquotienten mit der mittleren
Änderungsrate.
thema
Ich kann …
… die Ableitung einer Funktion mithilfe
der Ableitungsregeln berechnen.
… Ableitungsregeln für einfache Funktionen beweisen.
… 223, 236,
245, 254,
263, 276
… 208, 225
2. Differentialrechnung – Grundlagen
Ich weiß ...
thema
Ich kann ...
Ich übe ...
Höhere Ableitungen
… was eine höhere Ableitung ist.
… den Zusammenhang der 2. Ableitung
mit der Krümmung einer Funktion.
… 284, 285
… höhere Ableitungen berechnen.
… die Krümmung einer Funktion anhand
ihres Graphen und mithilfe der
… 284
2. Ableitung beschreiben.
Kompetenzen für meine Matu
ra
Ich kann absolute und relative (prozentuelle)
Änderungsmaße unterscheiden und sie ange
messen
verwenden.
Ich kann den Differenzenquotienten als eine
mittlere
Änderungsrate deuten und mittlere Änderung
sraten
damit beschreiben.
Ich kann den Differentialquotienten als eine
momentane Änderungsrate deuten und mom
entane
Änderungsraten damit beschreiben.
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Sehr gut
Erfolg
Ich weiß, dass der Differentialquotient der Gren
zwer t
des Differenzenquotienten ist, und kann diese
n
Zusammenhang verbal und formal beschreib
en.
Ich kann den Differenzen- und Differentialquo
tienten
in verschiedenen Kontexten deuten und ents
prechende Sachverhalte durch den Differenzenbzw.
Differentialquotienten beschreiben.
Ich kenne einfache Regeln des Differenzieren
s und
kann diese anwenden.
Ich kenne den Begriff der Ableitungsfunktion
und kann
den Zusammenhang zwischen einer Funktion
und ihrer
Ableitungsfunktion in deren grafischen Darstellun
g
erkennen und beschreiben.
Ich kann Monotonie und Krümmung einer Funk
tion
mithilfe von Ableitungsfunktionen beschreiben.
81
4. Differentialrechnung – Eigenschaften von Funktionen
Teste dein Wissen!
604 Kreuze an, für welche Werte die Aussage zuGK
trifft:
606 Eine Polynomfunktion f hat Grad 4. Gib bei jeder
GK
Aussage an, ob sie auf f zutrifft oder nicht!
y
richtig
falsch
1. f hat genau 4 Nullstellen.
3
f
2. f hat höchstens 3 lokale
Extremstellen.
2
1
3. f″ hat höchstens zwei
Nullstellen.
x
–2
0
–1
1
2
3
4. f könnte keine Nullstelle
haben.
–1
x = –1
x=2
x=3
Nullstelle
Extremstelle
Wendestelle
f′(x) = 0
f″ (x) = 0
6. f hat mindestens eine
lokale Extremstelle.
607 Gegeben sind Graphen von f′ und f ″. Welche Ei-
f″ (x) < 0
GK
605 Eine mindestens dreimal differenzierbare FunkGK
5. f könnte drei Hochpunkte
haben.
genschaften lassen sich daraus für die Funktion f schließen? Entscheide für jede Aussage,
ob sie richtig oder falsch ist.
tion f wird auf ihre charakteristischen Eigenschaften untersucht.
Gegeben sind verschiedene Aussagen für f (x0),
f′(x0), f ″ (x0) und f ‴ (x0).
Liegt unter diesen Voraussetzungen bei x0 eine
Nullstelle N, eine lokale Extremstelle E oder
eine Wendestelle W vor?
Kreuze jeweils alle korrekten Schlussfolgerungen an!
(1) f (x0) = 0 und f′(x0) ≠ 0
y
4
f″
2
1
x
0
–2
–1
1
(2) f′(x0) = 0 und f ″ (x0) ≠ 0
–1
(3) f (x0) = 0 und f′(x0) = 0
–2
2
3
(4) f (x0) = 0, f ″ (x0) = 0 und f‴ (x0) > 0
(5) f′(x0) > 0, f ″ (x0) = 0 und f‴ (x0) < 0
(6) f (x0) = 0, f′(x0) = 0 und f″ (x0) > 0
Nullstelle
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
138
Extremstelle Wendestelle
f′
3
4
richtig
1. f hat zwei lokale Extremstellen.
2. f hat keinen Wendepunkt.
3. f hat überall eine positive
Krümmung.
4. f hat mindestens eine
Nullstelle.
5. f ist eine Polynomfunktion vom Grad 3.
6. f ist im Intervall [0; 3]
streng monoton fallend.
falsch