Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik

EUROPA-FACHBUCHREIHE
für elektrotechnische und elektronische Berufe
Mathematik für
Elektroniker/in für
Automatisierungstechnik
Lehr- und Übungsbuch mit DVD
der Mathematik und des Fachrechnens
13. neu bearbeitete Auflage
Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an beruflichen Schulen
und Seminaren (siehe Rückseite)
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Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum
Buch mit. Schreiben Sie uns an die E-Mail-Adresse [email protected]
Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 33668
Autoren von „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“
Günther Buchholz
Monika Burgmaier
Elmar Dehler
Bernhard Grimm
Maik Kaack
Gerhard Mangold
Jörg A. Oestreich
Werner Philipp
Bernd Schiemann
Dipl.-Ing. (FH), Oberstudienrat
Studiendirektorin
Studiendirektor
Oberstudienrat
Dipl.-Ing.
Dipl.-Ing., Studienprofessor
Dipl.-Ing.
Dipl.-Ing., Oberstudienrat
Dipl.-Ing.
Stuttgart
Stuttgart
Ulm
Sindelfingen, Leonberg
Ulm
Tettnang
Schwäbisch Hall
Heilbronn
Stuttgart
Bildbearbeitung:
Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/Teck
Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostfildern
Bild 3, Seite 263, unter Verwendung eines Fotos der Dr. Ing. h.c. F. Porsche AG, Deutschland
Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:
Dipl.-Ing. Schiemann, Stuttgart
Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen Rechtschreibregeln erstellt.
ISBN 978-3-8085-3400-7
Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter und der VDE-Bestimmungen zugrunde gelegt. Verbindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und VDE-Bestimmungen selbst.
Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 4–7, 10787 Berlin, und Kamekestraße 2–8,
50672 Köln, bezogen werden. Die VDE-Bestimmungen sind bei der VDE-Verlag GmbH, Bismarckstraße 33, 10625
Berlin, erhältlich.
13. Auflage 2012
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
Umschlaggestaltung:
Idee: Bernd Schiemann
Ausführung: Braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
© 2012 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.Europa-Lehrmittel.de
Satz: Wissenschaftliche PublikationsTechnik Kernstock, 73230 Kirchheim/Teck
Druck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt
Kapitelübersicht
1 Rechnen mit Zahlen
4
9 12 3
2 Rechnen mit Größen
21
3 Rechnen mit Formeln
24
4 Elektrotechnische Grundlagen
29
5 Wechselstromtechnik
61
6 Elektronische Schaltungen
97
7 Digitaltechnik
149
A
mA
+–
1
V kV
2
3
x 5 y
Ø
¡2
R2
4
5
G
_
6
010
&
110
010
7
8 Sequenzielle Digitaltechnik (Schaltwerke) 173
8
9 Computertechnik
179
9
10 Energieelektronik
187
10
11 Steuerungen und Antriebe
203
11
12 Regelungstechnik
222
13 Datenübertragung
229
14 Netztechnik
246
15 Prüfungsaufgaben
257
16 Aufgaben zur Mechanik
270
17 Umgang mit Datenblättern
274
18 Ergänzendes Fachwissen Mathematik
283
P
PD
PI
PID
LWL
12
13
14
? Test ✓
F
Datenblätter
y 5 x2
15
16
17
18
Vorwort zur 13. Auflage
Das Buch „Mathematik für Elektroniker/in für Automatisierungstechnik“ beinhaltet elektronische Aufgabenstellungen in den Bereichen Elektronik und Automatisierungstechnik. Das Buch berücksichtigt
das Zusammenspiel der Kommunikations- und Informationstechnik mit der Automatisierungstechnik.
Zielgruppen: Auszubildende der Fachrichtung Elektroniker/-in für Automatisierungstechnik und Mechatroniker/in in der dualen Ausbildung, sowie für Schüler und Schülerinnen an Berufsfachschulen, Berufskollegs (BW) und technischen Gymnasien und Studenten an Fachschulen für Technik und Fachhochschulen, aber auch Praktiker im Beruf.
Methodische Schwerpunkte: Klare Strukturierung der Inhalte, z. B. der verwendeten Formeln und Benennung der Formelzeichen, Einführungsbeispiele zu jedem Thema, zahlreiche Schaltungsbeispiele
und Grafiken aus Datenblättern, Vertiefung des Gelernten durch eine große Zahl von Übungsaufgaben.
Ergänzt wird das Buch durch Angabe der Ergebnisse der Aufgaben in Kurzform am Buchende.
Zum Fördern und Vertiefen weitergehender mathematischer Zusammenhänge dient das Kapitel
„Erweitertes Fachwissen Mathematik“.
Mathematikprogramme und Programme zur Schaltungssimulation runden das neue Angebot in der
Auflage ab.
Wir danken den Firmen für die Genehmigung zur Veröffentlichung der Software auf der CD.
Informationen zum Buch im Überblick:
Bilder
DVD
Rechnen mit Zahlen
Rechnen mit Größen
Rechnen mit Formeln
Software
Mathematik
Simulation mit Pspice
Grundlagen
Einrichten lokaler Netzwerke, Subnetze
Zeitschleifen mit Mikrocontrollern
Elektrotechnische Grundlagen
ABEL-HDL
Drehstrom
Elektronische Schaltungen
ASM am Frequenzumrichter
Neue Seiten
(Auswahl)
Kombinatorische
Digitaltechnik
Sequenzielle
Digitaltechnik
Zweipunktregler
Digitalregler
Digitaltechnik
Computertechnik
Computertechnik
Projektierung einer Servo-Achse
Regler einstellen
ungen
rzlös
Mit Ku
Einführung in den
Datenblattgebrauch
en
fgab
der Au
Arbeiten mit Datenblättern
Dreiphasenwechselstrom
...
Schutzmaßnahmen
Energieelektronik
SPS
Antriebstechnik
Schrittmotoren
Analogtechnik
Prüfungsaufgaben
Digitaltechnik
Aufgaben zur Mechanik
Steuerungen und Antriebe
Ergänzendes Fachwissen Mathematik
Datenübertragung
Daten und Netze
Netztechnik
Regelungstechnik
Herbst 2012
4
Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel
Inhaltsverzeichnis
4
1
Rechnen mit Zahlen
1.1
1.1.1
1.4.2
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
Grundgesetze. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Vertauschungsgesetz, Verbindungsgesetz,
Verteilungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . 12
Werte der Zehnerpotenzen . . . . . . . . . 12
Rechnen mit Zehnerpotenzen. . . . . . . . 13
Sonstige Potenzen mit ganzen Hochzahlen 14
Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . 15
Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Rechenregeln, natürlicher und binärer
Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Zehnerlogarithmen . . . . . . . . . . . . . 17
Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . 18
Allgemeines über Taschenrechner . . . . . 18
Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . 18
Multiplikation und Division . . . . . . . . . 19
Kehrwert, Prozentrechnen . . . . . . . . . 19
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen . . . . . . 20
Klammern und Speicher. . . . . . . . . . . 20
2
Rechnen mit Größen
2.1
2.2
2.3
2.4
Begriffe beim Rechnen mit Größen
Umrechnen der Einheiten . . . . . .
Addition und Subtraktion . . . . . .
Multiplikation und Division . . . . .
3
Rechnen mit Formeln
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Umstellen von Formeln . . .
Formel als Größengleichung
Längen und Flächen . . . . .
Satz des Pythagoras . . . . .
Geschwindigkeiten. . . . . .
4
Elektrotechnische
Grundlagen
1.1.2
1.2
1.2.1
1.2.1.1
1.2.1.2
1.2.2
1.3
1.4
1.4.1
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.3
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.5
12 3
A
+–
mA
V kV
.
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21
22
22
23
x 5 y
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Ø
Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . .
Widerstände . . . . . . . . . . . . . . .
Widerstand und Leitwert . . . . . . . .
Widerstand und Temperatur . . . . . .
Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . .
Das Ohm'sche Gesetz . . . . . . . . . .
Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anzeigefehler bei Zeigermessgeräten .
Digitale Messtechnik. . . . . . . . . . .
Digitales Multimeter DMM . . . . . . .
Rechnen mit Bezugspfeilen . . . . . . .
.
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24
26
26
27
28
¡2
R2
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29
29
29
30
31
32
33
33
34
35
36
4.6
4.7
4.7.1
4.7.2
4.7.3
4.8
4.8.1
4.8.2
4.8.3
4.8.4
4.8.5
4.9
4.10
4.10.1
4.10.2
4.10.3
4.10.4
4.10.5
4.11
4.12
4.12.1
4.12.2
4.12.3
Elektrische Leistung bei Gleichspannung .
Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . .
Mechanische Arbeit und Leistung . . . . .
Wirkungsgrad und Arbeitsgrad. . . . . . .
Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . .
Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . .
Parallelschaltung. . . . . . . . . . . . . . .
Gemischte Schaltungen . . . . . . . . . . .
Messbereichserweiterung von
Spannungsmessern und Strommessern .
Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . .
Brückenschaltungen . . . . . . . . . . . . .
Erzeuger-Ersatzschaltungen . . . . . . . .
Spannungserzeuger . . . . . . . . . . . . .
Überlagerung bei linearen Netzwerken . .
Ersatzspannungsquelle . . . . . . . . . . .
Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . .
Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen und Simulieren mit PSpice . . . .
Temperatur und Wärme . . . . . . . . . . .
Wärme und Wärmekapazität . . . . . . . .
Wärmewiderstand . . . . . . . . . . . . . .
Ermittlung von Kühlflächen . . . . . . . . .
5
Wechselstromtechnik
5.1
5.1.1
Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . .
Periode, Frequenz, Kreisfrequenz,
Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maximalwert, Spitze-Tal-Wert, Effektivwert
Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . .
Ladung und Kapazität . . . . . . . . . . . .
Kraftwirkung und Energie des
elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Flussdichte . . . . . . . . . . .
Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltungen von Kondensatoren. . . . . .
RC-Schaltung an Gleichspannung und
Rechteckspannung. . . . . . . . . . . . . .
Kapazitiver Blindwiderstand . . . . . . . .
Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetismus. . . . . . . . . . . . .
Magnetische Grundgrößen . . . . . . . . .
Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . .
Induktion und Induktivität. . . . . . . . . .
Energie und Energiedichte des
magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . .
RL-Schaltungen an Gleichspannung . . . .
Induktiver Blindwiderstand . . . . . . . . .
Schaltungen mit Blindwiderständen . . . .
RC-Schaltungen und RL-Schaltungen . . .
Reihenschaltung von Wirkwiderstand
und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . .
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
5.2.8
5.3
5.3.1
5.3.1.1
5.3.1.2
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.4
5.4.1
5.4.1.1
37
39
39
39
41
42
42
43
44
46
47
48
49
49
51
52
53
54
56
58
58
59
60
G
_
61
61
61
63
65
65
65
66
67
68
68
69
71
72
72
72
74
75
76
77
78
79
79
79
5
Inhaltsverzeichnis
5.4.1.2
5.4.1.3
5.6.3
5.7
Verluste der Spule . . . . . . . . . . . . . .
Parallelschaltung von Wirkwiderstand
und Blindwiderstand . . . . . . . . . . . .
Verluste des Kondensators . . . . . . . . .
Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . .
Ersatz-Reihenschaltung und
Ersatz-Parallelschaltung. . . . . . . . . . .
Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . .
Güte und Bandbreite bei Schwingkreisen .
Frequenzverhältnisse . . . . . . . . . . . .
Einfache RC-Siebschaltungen . . . . . . .
Wechselstromleistungen bei
Einphasenwechselstrom . . . . . . . . . .
Transformator . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformatorhauptgleichung . . . . . . .
Spannungsübersetzung und
Stromübersetzung . . . . . . . . . . . . . .
Übertrager zur Widerstandsübersetzung .
Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Elektronische Schaltungen
6.1
Schaltungen mit nicht linearen
Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Differenzieller Widerstand . . . . . . . . . 97
Impedanzen im Arbeitspunkt . . . . . . . . 97
Zeichnerische Lösung der Reihenschaltung 98
Schaltungen mit Dioden. . . . . . . . . . . 100
Festlegung des Arbeitspunktes. . . . . . . 100
Vorwiderstand von Dioden . . . . . . . . . 100
Zeichnerische Bestimmung des
Arbeitspunktes . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Gleichrichterschaltungen . . . . . . . . . . 102
Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Glättung und Siebung . . . . . . . . . . . . 103
RC-Siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
LC-Siebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Spannungsstabilisierung mit Z-Dioden . . 106
Vorwiderstand für die
Spannungsstabilisierung mit Z-Diode . . . 106
Ausgangsspannungs-Restschwankung . . 107
Eigenschaften von
Stabilisierungsschaltungen . . . . . . . . . 108
Schaltungen mit fotoelektronischen
Bauelementen . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Verstärker mit bipolaren Transistoren . . . 110
Arbeitspunkt in der Emitterschaltung . . . 110
Gleichstromgrößen in Emitterschaltung . 110
Basisspannungsteiler und
Stabilisierung des Arbeitspunktes . . . . . 111
Arbeitsgerade für Gleichstrom . . . . . . . 112
Kleinsignalverstärker mit bipolaren
Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Transistorkenngrößen für
Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 113
Verstärker in Emitterschaltung . . . . . . . 114
Verstärker in Kollektorschaltung . . . . . . 117
Koppelkondensatoren . . . . . . . . . . . . 118
Gegenkopplung bei Verstärkern . . . . . . 119
Verstärker mit Feldeffekttransistoren . . . 120
5.4.1.4
5.4.1.5
5.4.1.6
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.4.5
5.5
5.6
5.6.1
5.6.2
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.2.1
6.2.1.1
6.2.1.2
6.2.2
6.2.2.1
6.2.2.2
6.2.2.3
6.2.2.4
6.2.3
6.2.3.1
6.2.3.2
6.2.3.3
6.3
6.4
6.4.1
6.4.1.1
6.4.1.2
6.4.1.3
6.4.2
6.4.2.1
6.4.2.2
6.4.2.3
6.4.2.4
6.4.2.5
6.5
6
80
6.5.1
81
82
83
6.5.2
84
85
87
88
89
90
92
92
93
94
95
6.5.3
6.5.4
6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.2.1
6.6.2.2
6.6.2.3
6.6.2.4
6.6.2.5
6.6.2.6
6.6.2.7
6.6.2.8
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
6.7.4
6.7.5
6.8
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.9.4
6.9.4.1
6.9.4.2
6.10
6.10.1
6.10.2
6.10.3
Gleichstromgrößen von FET in
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . .
Wechselstromgrößen von FET in
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . .
Sourceschaltung . . . . . . . . . . . . .
Drainschaltung . . . . . . . . . . . . . .
Differenzverstärker . . . . . . . . . . .
Prinzip des Differenzverstärkers . . . .
Operationsverstärker . . . . . . . . . .
Verstärkung ohne Gegenkopplung . . .
Invertierender Verstärker . . . . . . . .
Summierverstärker . . . . . . . . . . .
Nicht invertierender Verstärker. . . . .
Impedanzwandler . . . . . . . . . . . .
Subtrahierverstärker. . . . . . . . . . .
Differenzier-Invertierer . . . . . . . . .
Integrier-Invertierer . . . . . . . . . . .
Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . .
Transistoren als elektronische Schalter
Bistabile Kippschaltung . . . . . . . . .
Astabile Kippschaltung . . . . . . . . .
Monostabile Kippschaltung. . . . . . .
Schwellwertschalter . . . . . . . . . . .
Sägezahngeneratoren . . . . . . . . . .
Stabilisierungsschaltungen . . . . . . .
Spannung stabilisieren . . . . . . . . .
Strom stabilisieren. . . . . . . . . . . .
Spannung regeln mit IC . . . . . . . . .
Schaltnetzteile . . . . . . . . . . . . . .
Durchflusswandler. . . . . . . . . . . .
Sperrwandler . . . . . . . . . . . . . . .
Rückkopplung . . . . . . . . . . . . . .
Mitkopplung bei Oszillatoren . . . . . .
Oszillatoren mit Operationsverstärkern
Direkte digitale Synthese DDS . . . . .
7
Digitaltechnik
7.1
7.2
7.2.1
Aufbau der Zahlensysteme . . . . . . . . . 149
Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Umwandlung von Dualzahlen in
Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Umwandlung von Dezimalzahlen in
Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Addition und Subtraktion von Dualzahlen 152
Multiplikation und Division von
Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Subtraktion durch Komplementaddition . 153
BCD-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 154
Hexadezimalzahlen und Dualzahlen . . . . 154
Addition und Subtraktion von
Hexadezimalzahlen . . . . . . . . . . . . . 155
Hexadezimalzahlen und Dezimalzahlen . . 156
Entscheidungsgehalt und
Redundanz von Codes . . . . . . . . . . . . 157
Kombinatorische Digitaltechnik
(Schaltnetze) . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Schaltalgebraische Begriffe . . . . . . . . 158
Kommutativgesetz der Schaltalgebra . . . 159
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.3
7.4
7.4.1
7.4.2
7.4.3
7.5
7.6
7.6.1
7.6.2
010
&
110
. . 120
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 121
. 122
. 125
. 126
. 126
. 127
. 127
. 128
. 128
. 129
. 129
. 130
. 131
. 132
. 133
. 133
. 134
. 135
. 136
. 138
. 139
. 140
. 140
. 141
. 142
. 143
. 143
. 144
. 145
. 145
. 146
. 148
010
Inhaltsverzeichnis
7.6.3
7.6.4
7.6.5
7.6.5.1
7.6.5.2
7.7
7.7.1
7.7.2
7.8
7.8.1
7.8.2
7.8.3
7.8.4
7.8.5
7.9
Assoziativgesetz der Schaltalgebra . .
Distributivgesetze der Schaltalgebra .
Schaltalgebraische Funktionen. . . . .
Umkehrgesetze für eine Variable . . . .
Umkehrgesetze für mehrere Variablen
Logische Verknüpfungen . . . . . . . .
Verknüpfungen mit Zahlen . . . . . . .
Verknüpfungen mit
Assemblerprogrammen . . . . . . . . .
Minimieren und Realisieren von
Schaltfunktionen . . . . . . . . . . . . .
Algebraisches Minimieren . . . . . . .
Realisieren mit NAND-Elementen . . .
Realisieren mit NOR-Elementen . . . .
Aufstellen des KV-Diagramms . . . . .
Minimieren mit dem KV-Diagramm . .
Lastfaktoren . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
. 160
. 161
. 162
. 162
. 162
. 164
. 164
. . 165
.
.
.
.
.
.
.
. 166
. 166
. 167
. 168
. 169
. 170
. 172
8
Sequenzielle Digitaltechnik
(Schaltwerke)
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
JK-Kippschaltungen . . . . . . . . . . .
Wertetabelle und Zeitablaufdiagramm
aus der Schaltung . . . . . . . . . . . .
Schaltfunktion aus Wertetabelle . . . .
Schaltung aus Schaltfunktion . . . . .
Synchrone Zähler mit T-Flipflops. . . .
Frequenzteiler . . . . . . . . . . . . . .
9
Computertechnik
9.1
9.1.1
9.1.2
9.2
9.3
9.4
9.5
PAL-Schaltkreise anwenden . . . . . . . . 179
Schaltkreis PAL 10H8. . . . . . . . . . . . . 180
Schaltkreis PAL 16RP8 . . . . . . . . . . . . 182
Berechnung der Speicherkapazität. . . . . 183
Bildauflösung und Speicherkapazität . . . 184
Zeitschleifen mit Mikrocontrollern 805XX 185
ABEL-HDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
. . 173
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
174
175
176
177
178
10
Energieelektronik
10.1
10.1.1
10.1.1.1
10.1.1.2
10.1.2
10.1.2.1
10.1.2.2
10.1.3
10.2
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.4
10.5
10.6
10.7
Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Sternschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Symmetrische, gleichartige Belastung . . 187
Unsymmetrische, gleichartige Belastung 188
Dreieckschaltung. . . . . . . . . . . . . . . 189
Symmetrische, gleichartige Last . . . . . . 189
Unsymmetrische, gleichartige Last . . . . 189
Leistungen bei Drehstrom . . . . . . . . . 190
Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Leitungsberechnung. . . . . . . . . . . . . 193
Mindestquerschnitt und Strombelastbarkeit 193
Spannungsfall . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Verzweigte Leitungen . . . . . . . . . . . . 196
Thyristoren als elektronische Schalter. . . 198
Gesteuerte Stromrichter . . . . . . . . . . 199
Messungen in elektrischen Anlagen . . . . 201
Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . 202
11
Steuerungen und Antriebe
11.1
11.1.1
11.2.6
11.2.7
11.3
11.3.1
11.3.2
SPS-Technik . . . . . . . . . . . . . . . .
Anweisungsliste ohne Rücksicht auf
Drahtbruch und Erdschluss . . . . . . . .
Anweisungsliste mit Rücksicht auf
Drahtbruch und Erdschluss . . . . . . . .
Anweisungsliste mit Speicherelementen
Dominieren von Setzen oder Rücksetzen
Schaltfunktion aus Anweisungsliste . . .
Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . .
Leistungsbedarf ohne Rücksicht auf den
Anlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistung beim Anfahren. . . . . . . . . .
Antrieb mit Drehfeldmotoren . . . . . . .
Antrieb mit Gleichstrommotoren. . . . .
Asynchronmaschinen am
Frequenzumrichter. . . . . . . . . . . . .
Drehstromasynchronmotor (DASM) . . .
Projektierung einer Servoachse . . . . .
Schrittmotoren . . . . . . . . . . . . . . .
Schrittwinkel und Drehzahl . . . . . . . .
Schrittmotoren ansteuern. . . . . . . . .
12
Regelungstechnik
11.1.2
11.1.3
11.1.4
11.1.5
11.2
11.2.1
11.2.2
11.2.3
11.2.4
11.2.5
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.5.1
12.5.2
. 203
. 203
. 204
. 205
. 207
. 208
. 210
.
.
.
.
210
211
212
213
. 214
. 216
. 217
. 219
. 219
. 220
P
PD
PI
PID
12.5.3
Zweipunktregler . . . . . . . . . . . .
P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regelkreis mit P-Regler . . . . . . . .
Frequenzgang (Bode-Diagramm). . .
Regelungstechnik mit dem Computer
Digitalisierung und Signalabtastung.
PID-Digitalregler mit
Stellungsalgorithmus . . . . . . . . .
Regler einstellen (Ziegler/Nichols) . .
13
Datenübertragung
13.1
13.2
13.3
13.3.1
13.3.2
13.3.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
Signalabtastung . . . . . . . . . . . . . . . 229
Signalumsetzer. . . . . . . . . . . . . . . . 230
Digitale Modulation . . . . . . . . . . . . . 231
PSK und QAM . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Pulsmodulation . . . . . . . . . . . . . . . 232
Quantisierung und Codierung . . . . . . . 233
Geschwindigkeit der Datenübertragung. . 234
Übertragung mit Modem . . . . . . . . . . 236
Zeitmultiplexübertragung. . . . . . . . . . 237
Fehlerhäufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 238
Fehlererkennung . . . . . . . . . . . . . . . 239
Übertragung im Basisband . . . . . . . . . 241
Pegel und Dämpfung von Datenleitungen 242
Wellenwiderstand und
Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . 243
Verbindungstechnik . . . . . . . . . . . . . 244
Glasfasertechnik . . . . . . . . . . . . . . . 244
Übertragungsreichweiten in
Glasfasernetzen . . . . . . . . . . . . . . . 245
13.12
13.12.1
13.12.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 222
. 223
. 224
. 225
. 226
. 226
. . . 227
. . . 228
LWL
7
Inhaltsverzeichnis
14
Netztechnik
18
Ergänzendes Fachwissen
Mathematik
14.1
14.1.1
14.1.2
18.1
18.1.1
14.1.4
14.1.5
14.2
14.3
14.4
14.4.1
14.4.2
Lokale Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Signallaufzeiten auf Bussystemen . . . . . 246
Signalgeschwindigkeit bei
Sternverkabelung . . . . . . . . . . . . . . 247
Errichten lokaler Netzwerke. . . . . . . . . 249
Gesamtlänge einer horizontalen
Verkabelung . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Längeneinschränkungen von fest
verlegten Verkabelungsstrecken . . . . . . 250
Messen und Fehlersuche . . . . . . . . . . 251
Gebäudeverkabelung . . . . . . . . . . . . 252
Internetadressierung und Subnetzmasken 253
Subnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
ISDN-Netz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Schnittstelle S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Übertragung auf dem S0 -Bus . . . . . . . . 256
15
Prüfungsaufgaben
15.1
15.2
15.3
15.4
15.4.1
15.4.2
15.4.3
15.4.4
15.4.5
Aufgaben der Analogtechnik . . . . . . . . 257
Prüfungsaufgaben der Analogtechnik . . . 260
Aufgaben der Digitaltechnik . . . . . . . . 262
Prüfungsaufgaben der Digitaltechnik . . . 265
Elektronisches Verkehrsschild . . . . . . . 265
Säulenanzeige mit Leuchtdioden. . . . . . 266
Schaltungen mit monostabilen Elementen 267
Transportbandsteuerung (Projektaufgabe) 268
Codeprüfung (Projektaufgabe) . . . . . . . 269
16
Aufgaben zur Mechanik
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Lineare Gleichungen mit einer
Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Lineares Gleichungssystem mit zwei
Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . 285
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Beschreibungsformen bei Funktionen . . . 287
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 288
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . 289
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . 290
Sinusfunktion und Kosinusfunktion . . . . 290
Graphen der Sinusfunktion und der
Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 291
Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 292
Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . 293
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . 294
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 295
Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Differenzenquotient und
Differenzialquotient . . . . . . . . . . . . . 296
Ableitungen von Funktionen . . . . . . . . 297
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Integrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . 299
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . 301
Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Funktionen mit komplexen Größen . . . . 303
Zahlen in der komplexen Zahlenebene . . 303
Grundrechenarten mit komplexen Zahlen 304
Widerstand und Leitwert in der
komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . 305
Komplexe Berechnung von
RC-Schaltungen und RL-Schaltungen . . . 306
Scheinwiderstands-Messbrücken . . . . . 308
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . 309
Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . 309
Binomische Reihen . . . . . . . . . . . . . 310
Potenzreihen für transzendente
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Zuverlässigkeit von Bauelementen und
Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.1.3
14.1.3.1
14.1.3.2
? Test ✓
16.1
16.2
16.3
Rauminhalte und Massen . . . . . . . . . . 270
Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Kraft und Kraftmoment . . . . . . . . . . . 272
17
Arbeiten mit Datenblättern
17.1
17.1.1
17.1.2
17.1.3
Einführung in den Datenblattgebrauch . . 274
Allgemeine Angaben . . . . . . . . . . . . 274
Techische Kenngrößen in Datenblättern . 275
Umgang mit Datenblättern von
Spannungsreglern und Timer-Bausteinen 277
Strombelastbarkeit von Leitungen bei
Umgebungs temperatur ñu = 30 °C . . . . . 278
Überstromschutzeinrichtungen . . . . . . 279
Kennwerte von Asynchronmotoren . . . . 280
Kleintransformatoren . . . . . . . . . . . . 281
Relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
17.3
17.4
17.5
17.6
8
18.1.3
18.2
18.2.1
18.2.2
18.2.3
18.2.4
18.2.4.1
18.2.4.2
18.2.4.3
18.2.4.4
18.2.5
18.2.6
18.3
18.3.1
18.3.2
18.3.3
18.4
18.4.1
18.4.2
18.4.3
18.5
18.5.1
18.5.2
18.5.3
18.5.4
F
17.2
18.1.2
Datenblätter
18.5.5
18.6
18.6.1
18.6.2
18.6.3
18.6.4
18.7
y 5 x2
Anhang
Kurzlösungen zu den Aufgaben im Buch. . .
Wichtige Größen und Einheiten . . . . . . .
Mathematische Begriffe und Basiseinheiten
Wichtige Normen. . . . . . . . . . . . . . . .
Formelzeichen und ihre Bedeutung . . . . .
Indizes, Zeichen und ihre Bedeutung. . . . .
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . .
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 312
. 356
. 357
. 358
. 359
. 360
. 361
12 3 4 +
–
Zahlen bestehen aus Ziffern. Im dekadischen Zahlensystem (von lat. decem = zehn) verwendet man
Dezimalzahlen, die aus den Ziffern 0 bis 9 gebildet werden. Reelle Zahlen sind Zahlen, die durch
Brüche darstellbar sind (rationale Zahlen) oder
es sind Kommazahlen mit unendlich vielen nicht
periodischen Nachkommastellen ( irrationale Zahlen). Außer den reellen Zahlen von Tabelle 1 gibt
es komplexe Zahlen (Seite 295).
Die Zahlen gehören meist mehreren Zahlenmengen an. So gehört z. B. die Zahl 5 den Mengen
der natürlichen Zahlen, der ungeraden natürlichen
Zahlen, der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen an. Die Zahl 5 ist jeweils ein Element (Kurzzeichen [, sprich: ist Element von) der angegebenen
Zahlenmengen.
Beispiel 1:
Zu welchen Zahlenmengen gehören die Zahlen
a) 3
b) 1,8
c) π?
Lösung:
a) n, z b) q
c) π ist eine irrationale Zahl.
Tabelle 1: Reelle Zahlen r
1
Rationale Zahlen q
Gebrochene Zahlen
(Brüche)
3 ; 5; 0,5; 0,3
z. B. }
}
4 7
Ganze Zahlen z
z. B. –2; –1; 0; 11; 12; …
Natürliche Zahlen n z. B.
0; 1; 2; 3; 4; …
Rechnen mit Zahlen
1 Rechnen mit Zahlen
Zahlengerade
–3
–
4
–3
–2
+3
–
4
–1
0
+1
+2
+3
Irrationale Zahlen r \ q
Transzendente irrationale
Zahlen
z. B. e, π, log 7
Algebraische irrationale
Zahlen 3
}
}
z. B. Ï 2, Ï 5
Zahlengerade
–√3
√
–3
–2
log7 √2
√
–1
0
+1
e
+2
π
+3
1.1 Grundgesetze
1.1.1
Vertauschungsgesetz, Verbindungsgesetz, Verteilungsgesetz
Vertauschungsgesetz ( Kommutativgesetz)1
Ein Term (von lat. terminus = Ausdruck) besteht
aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind,
z. B. –4 + 7. Bei der Multiplikation sind die Vorzeichenregeln zu beachten.
Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) 2
Beispiel 2:
Wenden Sie auf den Term (–3) · 5 · (–6) das Kommutativgesetz an und berechnen Sie ihn.
Lösung:
(–3) · 5 · (–6) = 5 · (–3) · (–6) = (–6) · (–3) · 5 = 90
Die Klammern werden zuerst ausgerechnet. Das
Malzeichen oder Multiplikationszeichen (·) kann
zwischen Faktoren entfallen, außer bei Zahlen
ohne Klammern.
1
lat. commutare = ändern, vertauschen,
2
lat. associare = verbinden
Beispiel 3:
Wenden Sie auf den Produktterm 3·2·5 das Assoziativgesetz an und berechnen Sie.
Lösung:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 (2 · 5) = 3 · 10 = 30
9
1.1
Grundgesetze
S. 1
2 (Beispiele)
S. 1
2 (Bilder)
S. 1
2 (Tabellen)
S. 1
2 (Fussnoten)
12 3 4 +
–
1 Rechnen mit Zahlen
Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)1
1.1.2
Kommen in einer Rechnung Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division gemischt vor, ohne
dass Klammern gesetzt sind, so sind zuerst die
durch Malzeichen oder durch Teilzeichen verbundenen Terme zu berechnen (Punktrechnung geht
vor Strichrechnung), z. B. ist 5 + 2 · 4 = 5 + 8 = 13.
Wenn anders gerechnet werden soll, setzt man
Klammern, z. B. ist (5 + 2) · 4 = 7 · 4 = 28.
Brüche entstehen bei der Division von ganzen
Zahlen. Die Vorzeichenregeln beim Dividieren entsprechen den Vorzeichenregeln beim Multiplizieren. Man unterscheidet verschiedene Arten von
Brüchen (Tabelle 1).
Beispiel 1:
Berechnen Sie
(–5) · (2 + 7).
nach
dem
Tabelle 1:
Distributivgesetz
Echter Bruch
Unechter Bruch
Scheinbruch
2
}
5
6
}
5
}
Zähler kleiner
als Nenner
Zähler größer
als Nenner
Nenner gleich 1
–6
–
2
–6
–
5
–3
Aufgaben zu 1.1.1
Wenden Sie das Kommutativgesetz an und berechnen Sie die Terme.
b) 6 – 12 + 10 – 3
d) 8 – 7 + 5
2. a) 7 – 3 – 2 + 8
c) 9 – 2 + 7
b) 5 – 2 + 3 – 1
d) 3 – 1 – 5 + 23
3. a) (–3) · 2 · 2
c) 2 · 3 · (–7)
b) 2 · (–5) · (–3)
d) 3 · (–2) · 9
4. a) (–8) · 4 · 2
c) 2 · 5 · (–2)
b) 3 · (–5) · (–3)
d) 6 · (–1) · 1
Arten von Brüchen
3
1
Zahlengerade
Lösung:
(–5) · (2 + 7) = (–5) · 2 + (–5) · 7 = –10 – 35 = –45
1. a) 3 – 5 + 8 – 1
c) 2 – 4 + 5 – 9
Bruchrechnen
–2
2
–
5
–1
6
–
5
0
3
–
1
+1
+2
+3
Gemischte Zahl
Gleichnamige
Brüche
Ungleichnamige
Brüche
2=1+}
2
1}
7
7
}; }; }
1 2 4
5 5 5
}; }; }
Ganze Zahl und
Bruch
Nenner alle
gleich
Nenner alle
ungleich
2 1 5
5 7 9
Zahlengerade
–4
–
5
–1
1
–
5
0
2
–
5
4
–
5
2
1–
7
+1
+2
Wenden Sie das Assoziativgesetz auf Terme an
und berechnen Sie diese.
5. a) 6 + 2 + 4
c) 3 – 8 + 11
b) –3 + 2 – 5
d) 8 + 2 – 4
6. a) 5 + 4 + 3
c) 3 – 9 + 6
b) 4 + 2 – 3
d) 8 + 2 – 4
7. a) 3 · 5 · 4
b) (–3) · 5 · 2
8. a) 6 · 4 · 2
b) (–2) · 4 · 3
Berechnen Sie nach dem Distributivgesetz.
9. a) 3 (5 + 2)
b) 5 (7 – 4)
10. a) 4 (8 + 3)
b) 3 (5 – 2)
11. a) (–2) (7 + 5)
c) (–6) (8 – 3)
b) 3 (7 – 6 + 1)
d) (–5) (6 – 14)
12. a) (–7) (8 – 6)
c) (–4) (6 – 2)
b) 5 (9 – 5 – 4)
d) (–9) (8 – 12)
10
S. 2
1 (Beispiele)
S. 2
1 (Bilder)
S. 2
1 (Tabellen)
S. 2
1 (Fussnoten)
Beispiel 2:
Schreiben Sie 15 : 6 als Bruch und berechnen Sie den
Wert des Bruches.
15 = 15 / 6 = 2,5
Lösung: 15 : 6 = }
6
Für das Rechnen mit Brüchen gelten besondere
Rechenregeln (Tabelle 1, folgende Seite).
1
lat. distribuere = verteilen
12 3 4 +
–
1.1 Grundgesetze
Aufgaben zu 1.1.2
Tabelle 1: Rechnen mit Brüchen
Berechnen Sie.
Art
c) –96
}
+4
–144
g) }
–12
d) +48
}
–3
2. a) +88
}
–11
e) –81
}
–9
+136
b) }
+17
+171
f) }
–19
c) +64
}
–16
g) –232
}
–8
+156
d) }
–12
5
1+}
2+}
3. a) }
4 5 6
8 +3
7 –}
11 – }
c) }
}
24 30 15 8
3– 2 + 7
b) }
}
}
5 15 30
3+1
1+}
4. a) }
}
2 4 6
17 – }
7 +}
11 – }
1
c) }
18 9 12 4
5– 5 + 5
b) }
} }
8 24 48
5 ·7
6. a) }
37
7
}
75
d) }
8
}
5
Multiplikation
8 · 12
c) }
}
5
21
2–1+4
5
5
5
Ungleichnamige Brüche:
Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner
bilden, Bruch erweitern).
2 3 2 2 12 3 15 2 20
}+}–}=}·}+}·}–}·}
5 4 3 5 12 4 15 3 20
+ 45 – 40 29
= 24
}=}
60
60
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
3 4 3 · 4 12
}·}=}=}
5 7 5 · 7 35
Gemischte Zahl mit ganzer Zahl:
Gemischte Zahl in Bruch verwandeln.
1 · 4 = 11
11 4 44
4
2}
} · 4 = } · } = } = 8}
5
5
5 1
5
5
3
2 ·2}
c) }
15
7
Gemischte Zahl mit gemischter Zahl:
Gemischte Zahlen in Brüche verwandeln.
3 = 5 · 13 = 13 = 4 1
2 · 2}
1}
} }
}
5 3·5
3
3
3
Bruch durch ganze Zahl:
Ganze Zahl mal Nenner, Zähler bleibt gleich.
d) 2,05 e) 0,0075
1
4
1 1
4 5
1
4·5
1
20
}:5=}·}=}=}
Ganze Zahl durch Bruch:
Division
b) 0,875 c) 1,23
Ganze Zahl mal Kehrwert des Bruches.
3 = 5 · 7 = 5 · 7 = 35 = 11 2
5:}
} } } }
}
7 1 3
3
3
3
Bruch durch Bruch:
9. Berechnen Sie.
5 – 5 · 22 – 5
a) }
}
} }
5 4
6 9
5
1
4
1 + 1}
b) 4 } – 3 } · 2 }
5
5
4
6
Zählerbruch mal Kehrwert des Nennerbruches.
3
}
3 · 7 = 21 = 1 1
4 =}
}
}
5 4 · 5 20
20
}
7
)( )
)(
)
10. Berechnen Sie.
5
7–6}
8}
5
8
a) }
8 + 22
3}
}
5
9
4
5
Bruch mit Bruch:
8. Wandeln Sie in Brüche um.
(
(
1
5
Ganze Zahl mal Zähler, Nenner bleibt gleich.
3 = 5 · 3 = 15 = 2 1
5·}
} } }
}
7 1 7 7
7
7. Wandeln Sie in Dezimalbrüche um.
3
35
154
4
12 d) }
a) }
b) }
c) }
e) }
5
15
55
125
224
a) 0,25
2
5
}–}+}=}=}=1
Ganze Zahl mit Bruch:
5:3
b) }
}
7 4
3
5
e) 8 } : 3 }
7
5
3
}
11
b) }
5
}
9
4
}
9
e) }
5
7}
13
2 ·8
5. a) }
53
5 : 2
d) }
}
31 13
Zähler addieren oder subtrahieren,
Nenner bleibt gleich.
Rechnen mit Zahlen
+144
b) }
+16
+169
f) }
–13
Addition / Subtraktion
1. a) +65
}
+13
e) –27
}
–9
1
Regeln, Beispiele
Gleichnamige Brüche:
}
5–63+31
4}
}
}
4
2
8
b) }
4 – 1}
1
1 – 2}
6}
5
3
8
11
S. 3
2 (Beispiele)
S. 3
2 (Bilder)
S. 3
2 (Tabellen)
S. 3
2 (Fussnoten)
12 3 4 +
–
1.2 Potenzen
In der Mathematik versteht man unter einer Potenz
ein Produkt gleicher Zahlen in verkürzter Schreibweise.
1.2.1 Zehnerpotenzen
1.2.1.1 Werte der Zehnerpotenzen
Wird die Zahl 10 als Faktor n-mal verwendet, so
bildet man die Potenz, indem man die Grundzahl
( Basis) 10 hinschreibt und n als Hochzahl ( Exponent) dazusetzt (Bild 1).
Beispiel 1:
Schreiben Sie 10 · 10 · 10 · 10 als Zehnerpotenz.
Lösung:
4
10 · 10 · 10 · 10 = 10 (sprich: zehn hoch vier).
Umgekehrt berechnet man eine Zehnerpotenz,
indem man sie als Faktorenreihe hinschreibt und
diese ausrechnet (Tabelle 1).
Beispiel 2:
Berechnen Sie 10 9 (sprich: zehn hoch neun).
Lösung:
9
10 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000 000
1 Rechnen mit Zahlen
Potenz
10
Worterklärung:
Exponent
3
Basis
potens (lat.) = mächtig
= 1000
basis = Sockel
exponere = hinausstellen
Potenzwert
Tabelle 1: Zehnerpotenzen (Beispiele)
Potenz
10
2
10
1
10
Potenzwert
100
10
1
0
10
–1
0,1
10
–2
0,01
Bei Computern und Taschenrechnern werden
große und kleine Zahlen als Produktterme mit
Zehnerpotenzen ausgegeben und können auch so
eingegeben werden. Für die Basis 10 wird dabei e
ausgegeben oder eingegeben, die nach e folgende Zahl ist der Exponent zur Basis 10. Vor e muss
6
ein Faktor stehen, z. B. 1 e6 1 & 1 · 10 .
Beispiel 5:
Als Ergebnis erscheint auf einem Bildschirm
10.5 E+4.
Welcher Zahlenwert ist das?
Lösung:
10.5 E+4 = 10,5 · 10 4 = 105 000
Eine negative Hochzahl bedeutet also, dass der
Kehrwert der Potenz mit derselben positiven
Hochzahl zu berechnen ist.
Beispiel 3:
–3
Berechnen Sie 10 (sprich: zehn hoch minus drei).
Lösung:
–3
10
1 =}
1 = 0,001
=}
3
1000
10
Aufgaben zu 1.2.1.1
Schreiben Sie als Faktorenreihe.
1. a) 10 +4
b) 10 –1
c) 10 +3
d) 10 –6
2. a) 10 –2
b) 10 +5
c) 10 –7
d) 10 +8
Berechnen Sie die Werte folgender Potenzen.
3. a) 10 6
b) 10 –3
c) 10 –2
d) 10 –9
4. a) 10 –1
b) 10 0
c) 10 –6
d) 10 8
Bilden Sie die Kehrwerte.
Zahlen, insbesondere sehr große oder sehr kleine Zahlen, kann man als Produktterme von übersehbaren Zahlen und Zehnerpotenzen darstellen.
Man ermittelt dazu die Zehnerpotenz der Einerstelle des Faktors.
Beispiel 4:
Die Zahl 0,000 000 001 52 ist so darzustellen, dass
1,52 der Faktor ist.
Lösung:
–9
Die 1 steht an 9. Nachkommastelle 10
R 0,000 000 001 52 = 1,52 · 10 –9
12
1.2
S. 4
1 (Beispiele)
S. 4
1 (Bilder)
S. 4
1 (Tabellen)
S. 4
1 (Fussnoten)
Potenzen
5. a) 10 –6
b) 107
c) 10 9
d) 10 –12
6. a) 10 –3
b) 10 0
c) 103
d) 101
Berechnen Sie die Dezimalzahl der Kehrwerte.
7. a) 10 0
b) 101
c) 10 –3
d) 10 4
8. a) 10 –6
b) 10 –4
c) 102
d) 10 –5
Schreiben Sie als Produkt mit einer Zehnerpotenz.
9. a) 24 000
10. a) 12 000
b) 0,0023
c) 700 000
b) 0,000 12
c) 340 000
12 3 4 +
–
1.2 Potenzen
1.2.1.2 Rechnen mit Zehnerpotenzen
Tabelle 1: Vorsätze
Vorsatz
y
Yokto
10
z
Zepto
10 –21
a
Atto
f
Femto
p
Piko
10
n
Nano
10
–9
Beispiel 1:
Berechnen Sie 10 6 + 103.
Lösung:
6
3
3
3
3
10 + 10 = 1 000 · 10 + 1 · 10 = 1 001 · 10 = 1 001 000
Beispiel 2:
Berechnen Sie 10 6 · 103.
Lösung:
6
3
6+3
9
= 10
10 · 10 = 10
Beispiel 3:
Berechnen Sie 10 6 / 103.
Lösung:
6
3
6–3
= 103
10 / 10 = 10
1
Bedeutung
(Faktor)
Vorsatzzeichen
10
–24
Rechnen mit Zahlen
Addition und Subtraktion sind vereinfacht bei gleichen Exponenten.
–18
10 –15
–12
µ
Mikro
10
–6
m
Milli
10
–3
c
Zenti
10 –2
d
Dezi
10
da
Deka
10
1
h
Hekto
10
2
3
–1
k
Kilo
10
M
Mega
10 6
G
Giga
10 9
T
Tera
1012
P
Peta
1015
E
Exa
1018
Z
Zetta
1021
Y
Yotta
1024
Berechnen Sie für folgende Brüche den Wert als
Dezimalzahl.
6
10 · 10
7. a) }
–3
6
10 · 10
Beispiel 4:
4
Berechnen Sie ( 103 ) .
2
Oft werden für die Darstellung von Zahlen mit Potenzen Vorsätze verwendet (Tabelle 1).
Aufgaben zu 1.2.1.2
b) 10 –3 + 101 – 102
2. a) 102 – 101 – 10 –2
c) 10 –3 + 103 – 10 –6
b) 10 –6 + 10 –7 + 10 0
3. a) 10
9
: 10
4. a) 10 : 10
6
6
b) 10 · 10
b) 10
27
5
14
: 10
12
: 10
–3
· 10 –6
c) 10
c) 10
6. a) 10 0 : 1012
b) 103 · 10 –6
b) 101 · 10 –6
c) 10 –3 · 10 9
4200 · 0,007
d) }
35 000
0,007 · 630
b) }
0,0009
22 · 0,0004
d) }
880
28 000 · 0,4
c) }
7000 · 400
–6
c) 10 8 · 10 0 · 10 –6
–2
46 000 · 0,5
b) }
50 000
0,0035 · 620
10. a) }
310 · 0,07
2
11.
3
(28 · 10 – 2,6 · 10 ) · 4,47 · 7,6 · 10
12,7 · 10
Berechnen Sie.
5. a) 10 –12 · 1012
6 2
10 · ( 10 )
c) }
3
4
10 · 10
6
Zerlegen Sie in Faktoren mit Zehnerpotenzen und
berechnen Sie.
Stellen Sie als Zehnerpotenz dar.
9
–3
0,0065 · 0,025
c) }
13 000 · 0,0005
1. a) 10 6 + 102 – 10 0
6
3
3
c) 10 + 10 + 10
3
0 · 10
b) 1}
–4
5
10 · 10
000 · 500
9. a) 42
}
0,06
Berechnen Sie.
13
–4
10 · 10
8. a) }
–12
9
10 · 10
Lösung:
( 103 )4 = 103 · 4 = 1012
–6 2
0 · ( 10 )
c) 1
}
–9
–2
10 · 10
1
b) }
6
–3
10 · 10
5
12.
–3
· 43 · 10
7
–3
· 122 · 10
4
–6
–2
–4
(22,7 · 10 – 2,8 · 10 ) · 343 · 10
21,9 · 10
–6
· 12,2 · 10
· 66 · 10
–7
13
S. 5
2 (Beispiele)
S. 5
2 (Bilder)
S. 5
2 (Tabellen)
S. 5
2 (Fussnoten)
12 3 4 +
–
1 Rechnen mit Zahlen
Beispiel 1:
Berechnen Sie die Anzahl der Speicherzellen Bild 1.
Lösung:
20
3
23
z = 2 · 2 = 2 = 8 388 608
Beispiel 2:
Berechnen Sie 8 4 : 24.
Lösung:
()
8
8 :2 = }
2
4
4
4
4
= 4 = 256
A19
D7
Lösung:
4
( 32 ) = 32 · 4 = 3 8 = 6 561
Aufgaben zu 1.2.2
…
Speicherfeld
A0
D0
Berechnen Sie.
2
2
3. a) 8 + 6 ;
2
16 ;
4. a) }
2
8
3
c) 8 · 4 ;
2
2
3
c) 4
};
4
4
2
3
2
3
2
3
4
b) 3
)
–3 2
·2
8. a) 28
}
–4
4·2
–5
·2
c) 2}
–3
4
2 ·2
–2
c) 3
}
–4
3
3 + 3 8 · 3 –6 ;
b) }
4
1, 5
4 3
2 3
d) (4 )
8
0 ·6
b) 1
};
–1
4
3 ·6
·6
6. a) 4
};
3
2
3 ·8
4
d) 8
}
4
2
2
3
b) 4 · 4 ;
·6
5. a) 3
};
4
4
3 ·6
(
2
b) 8 · 8 ;
(8 )
7. a) }
3
64
Beispiel 3:
4
Berechnen Sie die Potenz ( 32 ) .
8 Datenleiter
20 Adressleiter
Datenpuffer
Potenzen mit gleicher Grundzahl werden multipliziert, indem man ihre Hochzahlen addiert. Sie
werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert. Sie werden potenziert, indem man die
Hochzahlen multipliziert. Potenzen mit gleichen
Hochzahlen werden multipliziert oder dividiert,
indem man auf die Grundzahlen das Assoziativgesetz anwendet und das Ergebnis potenziert.
beliebige Zahl
ganze Hochzahl, z. B. Adressleiter
Anzahl der Speicherzellen
…
Bei Speichern in der Datentechnik wird z. B. die
Anzahl der Speicherelemente aus der Anzahl der
Adressleiter und der Anzahl der Datenleiter mit
Zweierpotenzen berechnet (Bild 1).
a
n
z
Adressdecoder
Je nach Grundzahl unterscheidet man außer den
Zehnerpotenzen z. B. Zweierpotenzen, Achterpotenzen und Sechzehnerpotenzen.
…
Man kann sämtliche Zahlen als Grundzahlen für
Potenzen verwenden.
6
1.2.2 Sonstige Potenzen mit ganzen
Hochzahlen
(
–6
3
: (3 · 3 · 3 )
–2
)
2 –1
7 – 3,5
b) }
3
2
7 ·2
9. Wie viele Speicherzellen können mit 20 Adressleitern adressiert werden?
10. Wie viele Speicherzellen können mit 8 Adressleitern adressiert werden?
1. Bestimmen Sie die Zweierpotenzen mit folgenden Hochzahlen.
a) 2
b) 1
c) 0
d) 4
11. Beim Speicher Bild 1 ist D7 unterbrochen. Welche Zahlen können mit D0 bis D6 noch dargestellt werden?
2. Ermitteln Sie die Achterpotenzen mit folgenden Hochzahlen.
a) 2
b) 1
c) 0
d) 3
12. Die Adressleiter A18 und A19 sind unterbrochen (Bild 1). Wie viele Speicherzellen können
noch benutzt werden?
14
S. 6
1 (Beispiele)
S. 6
1 (Bilder)
S. 6
1 (Tabellen)
S. 6
1 (Fussnoten)
12 3 4 +
–
1.3 Rechnen mit Wurzeln
Beim Wurzelziehen oder Radizieren (von lat.
radix = Wurzel) zerlegt man eine Zahl a in eine
vorgeschriebene Anzahl n gleicher Faktoren. Der
Faktor ist die Wurzel c.
Wurzelexponent
–
√a = c
1
Wurzel
n
Radikand
Wurzelzeichen
Wurzeln haben bei geradem Exponenten positives
Vorzeichen, bei ungeradem Exponenten ist auch
ein negatives Vorzeichen möglich.
Tabelle 1: Vorzeichen von Wurzeln
Beispiel 1:
Zerlegen Sie die Zahl a = 36 in n = 2 gleiche Faktoren
und geben Sie die Wurzel an.
Lösung:
2 }
}
36 = 6 · 6 R Ï 36 = Ï 36 = 6
}
(Ï 36 sprich: Wurzel aus 36)
Die 2. Wurzel heißt auch Quadratwurzel. Bei allen Wurzeln außer der Quadratwurzel müssen die
Wurzelexponenten angegeben werden.
Beispiel 2:
Berechnen Sie die 3. Wurzel aus 27.
Lösung:
3 }
27 = 3 · 3 · 3 R Ï 27 = 3
3 }
( Ï27 sprich: Dritte Wurzel aus 27)
Wurzelart
Wurzelvorzeichen
Wurzelexponent geradzahlig,
Radikand positiv
+
}
Beispiel: Ï 36 = +6
Wurzelexponent ungerade,
Radikand positiv
+
3 }
Beispiel: Ï27 = +3, da (+3) 3 = +27
Wurzelexponent ungerade,
Radikand negativ
–
3 }
Beispiel: Ï–27 = –3, da (–3) 3 = –27
Aufgaben zu 1.3
Wurzeln können auch als Potenzen geschrieben
werden. Der Radikand erhält dabei als Exponent
den Kehrwert des Wurzelexponenten. Für die Berechnung von in Potenzen umgewandelten Wurzeln gelten die Potenzrechenregeln.
Berechnen Sie.
1. a) Ï49
}
b) Ï2500
}
b) Ï 3600
3. a) Ï4240
}
b) Ï 68 775
}
b) Ï 41 433
2. a) Ï64
Beispiel 3:
6 }
Wandeln Sie Ï 74 in eine Potenz um und berechnen
Sie.
Lösung:
6 }
1
}6
1 1
}2 · }3
Ï 74 = 74 = 74
= ( 74
)
1
1
}2 }3
4. a) Ï6540
}
c) Ï144
}
}
c) Ï 81
}
c) Ï455 870 d) Ï 30428
}
c) Ï867 654 d) Ï3422
}
d) Ï1600
}
d) Ï900
}
}
}
}
}
3 }
}
= Ï Ï74 = 2,049
Quadratwurzeln berechnet man mit dem Taschenrechner (Abschnitt 1.5). Zur Ermittlung der Stellenzahl der Wurzel zerlegt man die Radikanden in
einen Faktor und eine Zehnerpotenz mit geradzahliger Hochzahl.
}
2
b) Ï3,5 + 4, 2
}
b) Ï4, 2 + 5, 3
}
b) Ï6 · Ï17
5. a) Ï3 + 5
2
6. a) Ï5 + 2
2
2
}
7. a) Ï3 · Ï5
3}
3}
d) Ï35 : Ï5
}
}
8. a) Ï5 · Ï7
3}
3}
d) Ï64 : Ï8
}
2
c) Ï2 + 2, 5
}
c) Ï2, 5 + 3
2
2
3}
3}
} 3
e) ( Ï 5 )
3}
3}
b) Ï8 · Ï32
} 3
e) ( Ï 7 )
2
}
2
2
}
2
}
2
}
c) Ï16 : Ï4
3}
}
f) ÏÏ64
}
}
c) Ï25 : Ï5
4}
}
f) ÏÏ256
15
1.3
Rechnen mit Wurzeln
S. 7
2 (Beispiele)
S. 7
2 (Bilder)
S. 7
2 (Tabellen)
S. 7
2 (Fussnoten)
Rechnen mit Zahlen
1.3 Rechnen mit Wurzeln
12 3 4 +
–
1 Rechnen mit Zahlen
1.4 Logarithmen
1.4.1 Rechenregeln, natürlicher und
binärer Logarithmus
Exponent
Numerus
d
logab = d B a = b
Basis
Logarithmus
Der Logarithmus (von griech. logos = Verhältnis
und griech. arithmós = Zahl) gibt an, mit welcher
Zahl man die Basis potenzieren muss, um den Numerus (lat. numerus = Zahl) als Potenzwert zu erhalten. d = loga b heißt: d ist der Logarithmus von
Numerus b zur Basis a.
Beispiel 1:
Berechnen Sie den Logarithmus zur Basis a von c = an .
Lösung:
n
loga c = loga a = n
(loga c sprich: Logarithmus zur Basis a von c)
Die Rechenregeln gelten für a > 1 und c > 0 und d > 0.
loga 0 = –0; loga 1 = 0; loga a = 1; loga 0 = 0
Durch Logarithmieren werden Multiplikationen zu
Additionen, Divisionen zu Subtraktionen, Potenzrechnungen und Wurzelrechnungen zu Multiplikationen.
Beispiel 2:
Berechnen Sie log10 0,01.
lg x
ln x = }
lg e
Lösung:
–2
0,01 = 10 R log10 0,01 = –2
lg x
lb x = }
lg 2
Natürliche Logarithmen, z. B. ln 5, haben die Basis e = 2,718… Man kann sie meist direkt dem Taschenrechner entnehmen.
Binäre Logarithmen, z. B. lb 3, haben die Basis 2.
Man kann alle Logarithmen untereinander umrechnen.
Beispiel 3:
Bestimmen Sie den binären Logarithmus der Zahl
32,6.
Lösung:
Mit dem Taschenrechner ermittelt man lg 32,6 =
1,5132;
R lb 32,6 = 3,3219 · 1,5132 = 5,026 8
Aufgaben zu 1.4.1
ln
lg
lb
ln x
lb x = }
ln 2
natürlicher Logarithmus, Basis e ≈ 2,718
Zehnerlogarithmus, Basis 10
binärer Logarithmus, Basis 2
Rechnen Sie die Dezimalzahlen in natürliche Logarithmen um.
5. a) 0,3577
b) 2,4689
c) 1,6643
d) 3,7712
6. a) 0,9934
b) 1,7832
c) 4,2231
d) 0,2121
Rechnen Sie die natürlichen Logarithmen in Zehnerlogarithmen um.
Ermitteln Sie die natürlichen Logarithmen.
1. a) ln 12
b) ln 24
c) ln 47
d) ln 86
e) ln 96
2. a) ln 35
b) ln 21
c) ln 56
d) ln 75
e) ln 89
Bestimmen Sie die binären Logarithmen.
7. a) 3,4012
b) 1,45
c) 4,7274
d) 1,7918
8. a) 0,3478
b) 1,6094
c) 6,0162
d) 3,4012
Rechnen Sie die Zehnerlogarithmen in binäre Logarithmen um.
3. a) lb 12
b) lb 35
c) lb 2
d) lb 8
e) lb 65
9. a) 1,6551
b) 2,7681
c) 0,3324
d) 0,7455
4. a) lb 5
b) lb 33
c) lb 7
d) lb 69
e) lb 6
10. a) 0,0917
b) 2,6287
c) 1,3424
d) 0,6800
16
1.4
S. 8
1 (Beispiele)
S. 8
1 (Bilder)
S. 8
1 (Tabellen)
S. 8
1 (Fussnoten)
Logarithmen
12 3 4 +
–
1.4 Logarithmen
1.4.2 Zehnerlogarithmen
In der Elektronik benötigt man zur Darstellung
von Kennlinien oft logarithmische Maßstäbe, um
einen großen Zahlenbereich unterzubringen. Der
Abstand eines beliebigen Wertes x vom Anfangspunkt der Achse lässt sich berechnen. Die Zusammenhänge zeigt Bild 1.
Rechnen mit Zahlen
1
Die Zehnerlogarithmen, z. B. lg 2, haben die Basis 10. Man entnimmt sie dem Taschenrechner mit
der Taste ó (Abschnitt 1.5).
ln x
lg x = }
ln 10
lg
ln
¢x
¢10
x
xA
Zehnerlogarithmus
natürlicher Logarithmus
Abstand des Wertes x von xA
Abstand für den Faktor 10
Zahlenwert an der Achse
Zahlenwert am Anfang der Achse
¢
¢10
¢x
Beispiel 1:
Teilen Sie eine Strecke von 5 cm von 1 bis 10 im logarithmischen Maßstab.
xA
Lösung:
Man sucht die Zehnerlogarithmen von 1 bis 10 und
multipliziert sie jeweils mit der Länge der gewählten
Strecke. Die sich ergebenden Werte trägt man vom
Anfang der Strecke aus ab und beschriftet die Punkte
mit 1 … 10 (Bild 2).
10·xA
x
xE
5cm·lg10 = 50mm
5cm ·lg5 ≈ 35mm
5cm· lg2
≈15mm
≈15mm
2
1
Aufgaben zu 1.4.2
3
≈15mm
4
≈5mm
5 6 7 8 9 10
10er-Schritt
Berechnen Sie.
1
1. a) lg 15
b) lg 23
c) lg 41
d) lg 86
e) lg 87
2. a) lg 26
b) lg 68
c) lg 77
d) lg 96
e) lg 240
3. a) lg 0,5
b) lg 3,5
c) lg 6,8
4. a) lg 0,7
b) lg 8,7
c) lg 5,925 d) lg 0,0084
2
3 Teile
5
4 Teile
10
3 Teile
d) lg 0,043
5. Teilen Sie eine Strecke von 16 cm im logarithmischen Maßstab von 1 bis 10 000.
8. Welchen Wert ¢x in cm hat der Punkt x = 0,04
einer Achsteilung, wenn der Endwert x E = 0,1
ist? Anfangswert xA = 0,01, ¢10 = 10 cm.
6. Stellen Sie eine logarithmische Teilung von 1
bis 100 000 auf einer Strecke mit der Länge von
15 cm her.
9. Der Wert x E einer Achsteilung entspricht 0,3.
Sein Abstand vom Achsanfang mit xA = 0,01
beträgt 9,54 cm. Wie groß ist ¢10?
7. Welchen Wert ¢x in cm hat der Punkt x = 50,
wenn der Anfangswert xA = 10, Endwert x E =
150 und ¢10 = 8 cm sind?
10. Bei einer Achsteilung ist ¢10 = 8 cm und entspricht dem Endwert 0,5. Welchem Wert x entspricht ¢x = 6,23 cm (xA = 0,05)?
17
S. 9
2 (Beispiele)
S. 9
2 (Bilder)
S. 9
2 (Tabellen)
S. 9
2 (Fussnoten)
12 3 4 +
–
1 Rechnen mit Zahlen
1.5 Taschenrechner
1.5.1 Allgemeines über Taschenrechner
Die meisten Taschenrechner verwenden die algebraische Logik und bearbeiten die Rechenoperationen einer Aufgabe in der Rangfolge (Hierarchie)
Klammerrechnung vor Potenzrechnung und Wurzelrechnung, diese vor Punktrechnung und diese
vor Strichrechnung. Rechner verwenden Dezimalpunkt statt Dezimalkomma. Die Tastenbezeichnungen sind nicht einheitlich.
Die Anzeige (Bild 1) erfolgt z. B. mit acht Stellen,
Dezimalpunkt und Vorzeichen. Werden Eingabe
und Ausgabe mit Zehnerpotenzen angezeigt, so
geben die letzten drei Stellen den Exponenten und
dessen Vorzeichen an.
Die Löschung aller Register und Speicher erfolgt
durch die Gesamtlöschtaste Ä (All Clear). Mit
der Einzellöschtaste C bzw. ∆ kann die zuletzt
eingegebene Zahl gelöscht werden.
Manche Rechner besitzen nur eine Löschtaste
CE/C (CE von Clear Entry). Mit dieser wird durch
einmaliges Drücken eine Löschung der zuletzt eingegebenen Zahl und durch zweimaliges Drücken
eine Gesamtlöschung bewirkt.
Das Vorzeichen einer eingegebenen Zahl wird
durch zusätzliches Drücken der Taste +/– oder
(–) gewechselt, z. B. 5 · (–2) = R 5 * 2 +/– =
oder 5 * (–) 2 EXE
Vorzeichen
Exponent
zur Basis 10
Mantisse
Vorzeichen des
Exponenten
ganze
Dezimalstellen
Zahl
Dezimalpunkt
5
+
4
=
9
Summand
+
Summand
=
Summe
9
–
4
=
5
Minuend
–
Subtrahend
=
Differenz
(wissenschaftliche Notation). Dazu wird die Zahl
in ein Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10
und einer Zehnerpotenz zerlegt. Nach dem Eintippen der Zahl wird nach dem Drücken von EXP
bzw. EE der Exponent eingegeben. Bei negativen
Exponenten muss zusätzlich noch +/– oder (–)
gedrückt werden. So wird beim Taschenrechner
durch Drücken der Tasten 2 EXP 3 +/– oder 2
EXP (–) 3 die Zahl 2 · 10 –3 eingegeben.
Beispiel 1:
Eine Strecke von 1,828 m soll in 7 gleich lange Teile
geteilt werden. Wie lang wird jedes Teil?
Aufgaben zu 1.5.2
Lösung:
Überschlag 2 : 8 ≈ 0,25
1,828 : 7 = 0,261 142 86
R gerundetes Ergebnis: 0,261 m
1. a) 48,32 + 79,99
c) 5,973 + 8,8761
b) 177,943 – 87,298
2. a) 103,8 + 69,59
c) 92,653 – 127,825
b) 165,83 – 84,677
1.5.2 Addition und Subtraktion
Addition (Bild 2) und Subtraktion (Bild 3) werden
in der Reihenfolge der Schreibweise mit + und durchgeführt.
Berechnen Sie
3. a) 0,000 000 002 833 – 0,000 081 16
– 0,000 000 588
b) 18 520 000 – 0,5324 · 10 4 + 4 867 · 10 6
c) 0,0028 · 10 –8 + 432 · 10 –12 – 1,32 · 10 –10
Bei Zahlen < 1 braucht die Null vor dem Dezimalpunkt nicht eingegeben werden, z. B. 0,3 R . 3.
4. a) 12 480 000 000 – 348 000 000 + 4 378 100 000
–6
–4
b) 0,000 428 69 + 7,43 · 10 – 0,0283 2 · 10
10
8
11
c) 0,583 · 10 – 2259 · 10 + 7,223 · 10
Soll mit Zahlen gerechnet werden, die sehr groß
(z. B. > 8 Stellen) oder sehr klein sind, so verwendet man die exponentielle Zahlendarstellung
5. Welche Aufgabe kann durch folgende Eingabe
berechnet werden?
. 3 2 EXP 3 - 4 . 5 EXP +/– 3 =
18
1.5
S.
S.10
1 (Beispiele)
(Beispiele)
S.
S.10
1 (Bilder)
(Bilder)
S.
S.10
1 (Tabellen)
(Tabellen)
S.
S.10
1 (Fussnoten)
(Fussnoten)
Taschenrechner
12 3 4 +
–
1.5.3 Multiplikation und Division
1.5.4 Kehrwert, Prozentrechnen
1
Bei Multiplikation wird die Taste * und bei Division die Taste ÷ verwendet (Bild 1).
5
·
4
=
20
Faktor
·
Faktor
=
Produkt
36
:
3
=
12
Dividend
:
Divisor
=
Quotient
%
p
Prozent
Prozentsatz
W Prozentwert
G Grundwert
Mit der Kehrwerttaste Ω oder é wird der Kehrwert der zuletzt eingegebenen Zahl bzw. des zuletzt ermittelten Zwischenergebnisses gebildet.
Beispiel 1:
Berechnen Sie 350 000 · 0,000 032 8 · 83 430
Mit der Tastfolge „Grundwert * Prozentsatz %“
wird der Prozentwert ermittelt.
Lösung:
35000*.0000328
*83430=
Anzeige: 957776.4
Nach einer unerlaubten Eingabe, z. B. Zahleneingabe, oder einem Ergebnis außerhalb des Rechenbereichs oder bei Division durch Null, erscheint
eine Fehlermeldung. Die Fehlermeldung kann
durch Anzeige von e, error oder Syntax-Fehler.
Die entstandene Blockierung des Rechners kann
z. B. durch Drücken der Taste Ä oder EXIT aufgehoben werden.
Beispiel 2:
57 380 · 738 500
Berechnen Sie
ohne Verwendung
436 800 · 26 833
von Klammern.
Lösung:
57 380 ÷ 436 800 * 738 500 ÷ 26 833
Anzeige: 3.6154236
Aufgaben zu 1.5.3
Berechnen Sie
1. a) 2,6 · 3
b) 8,8 · 5,9 · 21,5
2. a) 3,4 · 2,5
b) 2,4 · 3,16 · 6,2
3. a) 11,05 · 3,94 · 7,77
b) 9,1 · 0,334 · 2,61
c) 0,002415 · 7325 · 0,0333
4. a) 1,03 · 4,28 · 5,16
b) 13,2 · 10,95 · 0,466
c) 15040 · 60,25 · 0,000013425
0,324
209,5
5. a) }
b) }
0,002825
13,03
1,805
32,1
b) }
6. a) }
0,805
29,5
512 · 0,533 · 6,25
12,4 · 4,75
b) }
7. a) }
16,5
0,84 · 364
25,7 · 0,377
84
·
37 · 46
b) }
8. a) }
0,077
71 · 100,3
Aufgaben zu 1.5.4
Berechnen Sie
1. a) 13,82 + 1,85 + 1,85 + 1,85 + 1,85 + 1,85
b) 64,8 – 2,45 – 2,45 – 2,45 – 2,45
2. a) 35 : 7
d) 65,75 : 7
b) 83 : 7
e) –43,2 : 7
c) 18,3 : 7
f) 0,7732 : 7
3. Mit der Konstantenautomatik sind die Potenz1
2
3
9
werte zu berechnen für 2 , 2 , 2 , …, 2 .
4. Eine Energiesparlampe kostet 1,35 2.
Wie viel kosten
a) 3
b) 7
c) 9
d) 13
e) 18
Energiesparlampen?
f) 23
5. Für 1,– 2 erhält man 1,569 $. Wie viele Dollar
erhält man für
a) 150,– 2
b) 380,– 2
c) 25,– 2
d) 420,– 2
e) 1250,– 2?
6. Ein Pkw verbraucht auf 100 km durchschnittlich 9,8 ¢ Benzin. Wie viel Benzin braucht er für
a) 20 km
b) 180 km
c) 65 km
d) 285 km
e) 1480 km?
Berechnen Sie
1
1·}
7. a) }
4 9
1+}
1
1–}
b) }
8 7 5
1
c) }
7+4–3
9 ·1
8. a) }
}
16 6
1 –}
1+}
1
b) }
8 20 4
1–}
2+}
1
c) }
3 6 15
9. a) 14 % von 458
10. a) 28,5 % von 64 N
b) 162 % von 384,– 2
b) 18,5 % von 680 m2
19
S.
S.11
2 (Beispiele)
(Beispiele)
S.
S.11
2 (Bilder)
(Bilder)
S.
S.11
2 (Tabellen)
(Tabellen)
S.
S.11
2 (Fussnoten)
(Fussnoten)
Rechnen mit Zahlen
1.5 Taschenrechner
12 3 4 +
–
1 Rechnen mit Zahlen
1.5.5 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Durch Drücken der Funktionstasten è ( Quadn
rat), √, 3 Ï} , Ï} , sqr oder sqrt ( Wurzel), ó
(Zehnerlogarithmus) bzw. ln (natürlicher Logarithmus) nach der Eingabe einer Zahl wird die entsprechende Funktion berechnet. Mit der Taste ê
x
bzw. y können beliebige Potenzen und Wurzeln
1
3}
}
berechnet werden, z. B. Ï5 = 53.
Mit SHIFT , “ oder INV ordnet man den Tasten
die Zweitfunktionen oder die Umkehrfunktionen
zu. So werden z. B. mit SHIFT ó oder SHIFT
ln die Numeri der Logarithmen ermittelt.
Aufgaben zu 1.5.5
Berechnen Sie
2
b) 6,3 3
2
b) 0,836
1. a) 79, 8
2. a) 11, 5
3
3
2
(
7. a) lg 1,73;
8. a) ln 12;
d) Ï825
3}
2
}
0,047 · 8,22
3,222
b) } c) }
435
0,625
}
}
}
2
}
}
c) lg 63,2;
b) ln 24;
c) lg 0,0026
c) ln 4,7;
d) ln 0,86
Mit Klammertasten ( ) kann entsprechend der
algebraischen Schreibweise gerechnet werden.
Die Klammertaste ) wirkt als Ergebnistaste für
den Klammerausdruck.
Durch sinnvolle Eingabefolge kann die Verwendung von Klammern und Speichern oftmals umgangen werden. Dabei müssen mit = oder EXE
Zwischenergebnisse ermittelt und gegebenenfalls
muss mit dem Kehrwert gerechnet werden.
Beispiel 1:
7,4
Berechnen Sie }
26,8 – 5,3
a) ohne Klammern,
b) mit Klammern.
Lösung:
a) 2 6 . 8 - 5 . 3 = Ω * 7 . 4 =
Anzeige: 0.344186046
b) 7 . 4 ÷ ( 2 6 . 8 - 5 . 3 ) =
Anzeige: 0.344186046
S.
S.12
1 (Beispiele)
(Beispiele)
S.
S.12
1 (Bilder)
(Bilder)
S.
S.12
1 (Tabellen)
(Tabellen)
S.
S.12
1 (Fussnoten)
(Fussnoten)
Durch Betätigen der Speicherrückruftaste fi wird
der Inhalt des unabhängigen Speichers M in das
Anzeigeregister kopiert. Mit der Speicherrückruftaste ” kann dagegen der Inhalt eines variablen
Speichers in das Anzeigeregister kopiert werden,
z. B. mit ” A aus dem variablen Speicher A.
b) 14,9 4 : 7,45
1.5.6 Klammern und Speicher
20
Mit @ A wird der Inhalt des Anzeigeregisters
dagegen in den variablen Speicher A übertragen.
In der Anzeige erscheint dann das Anzeigesymbol
A= - . Im unabhängigen Speicher M können Rechenergebnisse mit # zum Speicherinhalt addiert und mit £ vom Speicherinhalt subtrahiert
werden. Dies ist bei den variablen Speichern nicht
möglich.
2
Ï
Ï
91,6
Ï245 · 3,6
) · 6,3 b) Ï 7,93 · 4,167 c) 0,705
· 3,23
2
· 14
5. a) 366
}
413,8
1,003
6. a) }
0,255
}
b) 0,785 · 0,855
2
4. a) 13,41 · 0,203
}
c) 1,105 : Ï0,182
d) Ï275,5
c) Ï2,75
3. a) 7, 8 · 3,5
}
c) 3,75 · Ï0,0288
3}
}
c) Ï0,277
Durch Drücken der Speichertaste Min oder @
wird der Inhalt des Anzeigeregisters zusätzlich in
den unabhängigen Speicher M übertragen. In der
Anzeige erscheint dann das Anzeigesymbol M.
Beispiel 2:
}
7 + 0,5 + }
7 + 0,5 .
Es ist zu berechnen: 5 }
4
4
Lösung:
(
) Ï
Eingabe: 7 ÷ 4 + . 5 = Min
* 5 + fi Ïx =
Anzeige: 12.75
Aufgaben zu 1.5.6
1. a) 4,2 (2,8 + 3,9)
b) 5 + 2 (7,25 + 2,4)
c) 3,7 · 2,8 + 4,6 (–3,2)
2,98
3
b) 91,3 }
2. a) 7,53 + }
5
4,6 – 2,88
5+7
4 + 2,8 · 5,2
c) }
d) }
}
15
8 5
2,5 6
4,2 · 8,5 – 2,3 · 1,7
3. a) } – }
b) }
3,2 7
4 + 3 · 6,5
}
4. a) 4,6 (33 – 25,8) + Ï33
b) (32,9 – 25,7) (103,7 – 84)
c) 4,1 · 7,5 · 2,8 – 3 · 2,9 + 18,3
3 –2
5. a) (34 · 2,6 + 99,3) }
}
108 9
3
1
2
b) 3 } – 5 } + 12 · }
4
3
8
5+6 ·4+ 2–4 ·9
c) }
}
} }
4 5
3 9
6. a) 9,6 · 1,7 (4,3 – 7,8) + (9,4 – 3,3) 7
2
2
b) (4,9 + 3,8 ) – 4,7 · 2 + 5, 9
2
c) (0,8 9 + 0,47) 4,22 – 22,5
(
)
(
)