Zahlentheoretische Probleme

Zahlentheoretische Probleme
Aufgabe 1
Eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern heißt Primzahl.
Welche natürlichen Zahlen haben
a) genau drei Teiler,
b) genau vier Teiler,
c) eine ungerade Anzahl von Teilern?
Aufgabe 2
a) Zeige, dass sich jede Primzahl größer als 3 darstellen lässt als 6n + 1 oder
6n – 1.
b) Beweise: Wenn man eine Primzahl p > 5 durch 30 teilt, ist der Rest ebenfalls
eine Primzahl oder 1. Zeige: Teilt man p² durch 30, so ist der Rest
1 oder 19.
c) Wenn p > 3 eine Primzahl ist, dann ist p² – 1 durch 24 teilbar.
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Cornelsen Verlag – Knobel-Aufgaben für die 7. und 8. Klasse
Zahlentheoretische Probleme – Lösungen
Aufgabe 1
a) Quadrate von Primzahlen; p² hat die Teiler 1, p und p².
b) Dritte Potenzen von Primzahlen oder das Produkt von zwei verschiedenen
Primzahlen; p³ und p · q haben die Teiler 1, p, p², p³ bzw. 1, p, q, p · q.
c) Quadratzahlen, denn Teiler treten immer paarweise auf, d. h. mit d ist auch
n
n
Teiler von n. Nur bei Quadratzahlen können d und
gleich sein.
d
d
Aufgabe 2
a)Teilt man m durch 6, so ist der Rest 0, 1, 2, 3, 4 oder 5. Bei den Resten 0, 2, 3
und 4 ist m keine Primzahl. Wegen m = 6 · k + 5 = 6 · (k + 1) – 1 gilt p = 6 · n ± 1.
b)Aus p = 30 · k + r folgt, dass 30 und r teilerfremd sein müssen. Die zu 30
teilerfremden Reste sind 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29, d. h. bis auf 1
alles Primzahlen.
Quadriert man diese Reste und teilt sie durch 30, so hat man entweder 1 oder
19 als Rest, zum Beispiel 29² = 841 = 30 · 28 + 1 oder 23² = 529 = 30 · 17 + 19.
c) In p² – 1 = (p + 1) · (p – 1) sind die Faktoren aufeinander folgende gerade Zahlen
und somit durch 2, 3 und 4 also auch durch 24 teilbar.
d) Nach c) gilt p² – 1 = 24 · n und q² – 1 = 24 · m, also p² – q² = 24 · (n – m).
e) Mit p = 6 · n ± 1 gilt p² + 2 = 3 · (12n² ± 4n + 1).
f) Wegen 7 – 2 = 5 und 11 – 5 = 6 kann die gesuchte Differenz nicht kleiner als 7
sein. Die Differenz von zwei ungeraden Primzahlen ist gerade. Da keine Primzahl
p existiert mit p – 2 = 7, ist 7 die gesuchte Differenz.
g) Die Zehnerziffer kann höchstens 7 sein. Da 77 = 7 · 11 und 75 = 5 · 15 ist, ist 73
die gesuchte Primzahl.
n  n  3 
h) Die Anzahl der Diagonalen im n-Eck ist
und diese Zahl ist nur für
3
4- und 5-Ecke eine Primzahl.
i) Es gilt:
n 4+ 4 = n4 + 4n² + 4 – 4n² = (n² + 2)² – (2n)² = (n² + 2n + 2) · (n² – 2n + 2).
j) Es gilt:
13 · 4 – 17 · 3 = 52 – 51 = 1. Also ist n = 3 · 4 · 50 = 600 und 13 · 17 · 600 =
50 · 51 · 52.
Nicole Roth-Sonnen, Gunter Stein, Astrid Stengel
Knobel-Aufgaben für die 7. und 8. Klasse
Aus der Reihe:
[Eins plus] – Begabungen fördern im Mathematikunterricht
Cornelsen Scriptor
ISBN 978-3-589-22031-1
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