9 Anwenden x Gleichungen/Variablen 1 Zahlenrätsel I 1. Wie

Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
x
Gleichungen/Variablen
1
Zahlenrätsel I
1. Wie heißen zwei natürliche Zahlen, deren Summe 25 und deren Quotient 4
ist?
2. Der Altersunterschied zweier Schwestern beträgt 7 Jahre. Addiert man zum
1 1 -fachen Alter der Jüngeren 4 Jahre, so erhält man das Alter der Älteren.
4
Wie alt sind die Schwestern?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
x
Gleichungen/Variablen
1
1. a + b = 25
a
=4
b
a = 20
b=5
2. x - y = 7
11 y + 4 = x
4
x = 19
y = 12
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
2
Zahlenrätsel II
1. Ein Drittel einer natürlichen Zahl ist um 6 größer als ein Viertel einer Zweiten. Das 5-fache der Ersten ist um 48 größer als das 4-fache der Zweiten.
Welche Zahlen haben diese Eigenschaften?
2. Von zwei Brüdern ist der Eine 4 Jahre älter als der Andere. Vor vier Jahren
war er gerade doppelt so alt. Wie alt ist jeder jetzt?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
x
Gleichungen/Variablen
2
1. (I)
x
3
=
y
4
+6
(II) 5 x = 4 y + 48
x = 144
y = 168
2. (I) x = y + 4
(II) x - 4 = 2 (y - 4)
x=8
y = 12
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
x
Gleichungen/Variablen
3
Stahl & Grauguss
Wie viele Tonnen Stahl mit 0,5 % Kohlenstoff und wie viele Tonnen Grauguss
mit 2,5 % Kohlenstoff ergeben beim Zusammenschmelzen 12 t Stahl mit
1,45 % Kohlenstoff?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
x
Gleichungen/Variablen
3
x = Masse Stahl
y = Masse Grauguss
(I)
(II)
x + y = 12 t
0,5 x + 2,5 y = 1,45 · 12 t
x = 6,3 t
y = 5,7 t
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
4
Wassertemperaturmischung
Mischt man 3 Liter heißes Wasser mit 8 Liter kaltem Wasser, so erhält man 11
Liter mit einer Temperatur von 31° C. Hätte man 8 Liter heißes Wasser mit 3 Liter kaltem Wasser gemischt, so hätte sich die Temperatur von 56° C eingestellt.
Welche Anfangstemperaturen liegen vor?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xx
Gleichungen/Variablen
4
Q = m · c · ΔT
Qauf = Qab
υH = Temperatur des Heißen Wassers
υK = Temperatur des Kalten Wassers (jeweils nur der Zahlenwert)
kg
kg ⋅ K
(I)
3 kg · 4,19
· (υH - 31) K = 8 kg · 4,19
(II)
3 · (υH - 31) = 8 · (31 - υK)
8 kg · 4,19 kg · (υH - 56) K = 3 kg · 4,19
kg ⋅ K
8 · (υH - 56) = 3 · (56 - υK)
υK = 16° C
υH = 71° C
09-10-03
kg
kg ⋅ K
· (31 - υK) K
kg
kg ⋅ K
· (56 - υK) K
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xxx
Gleichungen/Variablen
5
Fluggeschwindigkeit
Ein Flugzeug benötigt bei Gegenwind 1 h 40 min, um 360 km zurückzulegen,
auf dem Heimflug mit Rückenwind nur 1 h 30 min.
Bestimme die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges, sowie die Windgeschwindigkeit.
Berechne zuvor die resultierende Geschwindigkeit auf dem Hin- bzw. Rückflug
unter Annahme einer gleichförmigen Bewegung.
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xxx
Gleichungen/Variablen
5
geg:
v= s
t1 = 100 min
t1 = 3 h
t2 = 90 min
t2 = 3 h
ges.
ges.
vEig (I)
vWind (II)
vEig - vWind = VGes, 1 (bei Gegenwind)
vEig + vWind = VGes, 2 (bei Rückenwind)
t
5
360 km
= 216
5
3 h
360 km
vGes, 2 =
= 240
3
h
2
vGes, 1 =
vEig = 228
vWind = 12
s = 360 km
2
km
h
km
h
km
h
km
h
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
6
Säuren
Durch das Mischen von 11 Litern einer Schwefelsäure-Lösung mit 8 Litern einer Anderen erhält man eine 22 %-ige Lösung. Mischt man 15 Liter der Ersten
mit 4 Liter der Zweiten, erhält man eine 18 %-ige Lösung.
Wie hoch sind die Prozentgehalte der beiden Säure-Sorten?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xx
Gleichungen/Variablen
6
x = Prozentgehalt Säure 1
y = Prozentgehalt Säure 2
(I)
(II)
11 l · x - 8 l · y = 19 l · 22 %
15 l · x - 4 l · y = 19 l · 18 %
x = 14 %
y = 33 %
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xxx
Gleichungen/Variablen
7
Rechteckseiten I
Verlängert man in einem Rechteck die Länge der kleineren Seite um 2 cm und
verkleinert die Länge der Größeren um 1 cm, so erhält man ein Quadrat, dessen Fläche um 8 cm² größer ist als die des Rechtecks.
Wie groß sind die Seiten des Rechtecks. Fertige eine Skizze an.
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xxx
Gleichungen/Variablen
7
a = Länge der großen Seite
b = Länge der kleinen Seite
(I)
(II)
(b + 2 cm) (a - 1 cm) = ab + 8 cm²
a - 1cm = b + 2 cm
a = 7 cm
b = 4 cm
a
1 cm
b
A1
A2 = A1 + 8 cm²
A2
09-10-03
2 cm
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
8
Rechteckseiten
In einem Rechteck beträgt die Länge einer Seite
2
3
der Länge der Anderen.
Vergrößert man die kleinere Seite um 3 cm und vergrößere die Größere um
3 cm, so ändert sich der Flächeninhalt nicht.
Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xx
Gleichungen/Variablen
8
2
3
(I)
b=
a
(II)
A = a · b = (b + 3 cm) · (a - 3 cm)
a = 9 cm
b = 6 cm
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
x
Gleichungen/Variablen
9
Parallelogramm
Von den Winkeln eines Parallelogramms ist der Eine 80° größer als der Andere.
Berechne die Größen der Winkel des Parallelogramms.
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
x
Gleichungen/Variablen
9
2 (x + y) = 360
(I)
(II)
x + y = 180°
y = x + 80°
x = 50°
y = 130°
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xxx
Gleichungen/Variablen
10
Babylonische Aufgabe
Eine Aufgabe aus dem alten Babylon (18. Jh. v. Chr.)
Im Jahre 1962 wurden in Tell Dhiba'i nahe der berühmten Stadt Tell Harmal
über 500 gut erhaltene babylonische Tontäfelchen gefunden, unter ihnen auch
einige mathematischen Inhalts. Einer dieser Texte lautet:
"Die Länge der Diagonalen eines Rechtecks beträgt 1,25 (LE) und die Fläche
0,75 (FE).
Berechne die Länge und Breite des Rechtecks!"
mathematik lehren | Heft 53
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xxx
Gleichungen/Variablen
10
2
3
5
25
Aus a² + b² = d² = ⎛⎜ ⎞⎟ =
und a · b = bzw.
4
16
⎝ 4 ⎠
6
24
2ab= =
folgt a² + 2 a b + b² = (a + b)² =
4
16
49
1
bzw. a² - 2 a b + b² = (a - b)² =
(s. Abb.
16
16
7
1
1). Also a + b = und a - b = .
4
4
3
Daraus folgt schließlich a = 1 und b = .
4
3
Das Rechteck ist 1 (LE) lang und (LE) breit.
4
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
11
Filme
Für 2 Filme und 62 Abzüge waren 29,10 € zu zahlen.
3 Filme mit 91 Abzügen kosteten 42,95 €.
Wie teuer war die Filmentwicklung und ein Abzug?
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xx
Gleichungen/Variablen
11
Die Entwicklung des Films kostet x €.
Ein Abzug kostet y €.
Dann gilt für die ersten Filme:
I.
2 x + 62 y = 29,10
II.
3 x + 91 y = 42,95
III.
3 I - 2 II:
4 y = 1,40
y = 0,35
y in I: 2 x + 62 · 0,35 = 29,10
x = 3,70
Die Entwicklung kostet 3,70 € pro Film. Für jeden Abzug ist 0,35 € zu zahlen.
09-10-03
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Anwenden
xx
Gleichungen/Variablen
12
Asterix
Die Römer bieten für die Ergreifung von Asterix und Obelix insgesamt 5000
Sesterzen an. Für Obelix soll siebenmal so viel gezahlt werden wie für Asterix.
Wie viel ist den Römern Asterix "wert", wie viel Obelix?
(Information: Ein Sesterz ist eine antike römische Münze.)
Klasse
Art
Schwierigkeit
Mathematisches Thema
Nr.
9
Lösung
xx
Gleichungen/Variablen
12
Für Asterix werden x Sesterzen gezahlt. Dann wird für Obelix 7 x geboten.
x+
7 x = 5000
x = 625
7 x = 4375
Für Asterix ist 625 Sesterzen, für Obelix 4375 Sesterzen ausgeschrieben.
09-10-03