Mathematische Grundregeln

Johann-Philipp-Reis-Schule
Berufliche Schule des Wetteraukreises in Friedberg
Mathematik für Fachoberschulen
Mathematische Grundregeln
Friedrich Buchert
Studiendirektor
Johann-Philipp-Reis-Schule
Im Wingert 5
61169 Friedberg
Johann-Philipp-Reis-Schule Friedberg
Fachoberschule
Mathematik
Mathematische Grundregeln
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Die sichere Beherrschung der folgenden mathematischen Grundregeln ist eine
Voraussetzung für die erfolgreiche Teilnahme am Mathematikunterricht in der
Fachoberschule!!!
Falls hier Lücken bestehen, liegt es in der Verantwortung der Schüler, diese zu
schließen!
1.
Vorrangregeln
1.1
Punktrechnung geht vor Strichrechnung!
3 ⋅ 5 + 7 = 15 + 7 = 22
1.2
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung!
4 ⋅ 2 3 = 4 ⋅ 8 = 32
1.3
Mit Klammern kann die Priorität geändert werden!
3 ⋅ (5 + 7) = 3 ⋅ 12 = 36
2.
Vorzeichenregeln
2.1
Addition und Subtraktion:
(4 ⋅ 2) 3 = 8 3 = 512
Eine negative Zahl addieren heißt, den Zahlenwert subtrahieren.
Eine negative Zahl subtrahieren heißt, den Zahlenwert addieren.
( +2) + (+3) = 2 + 3 = 5;
( +2) + ( −3) = 2 − 3 = −1;
( +2) − ( +3) = 2 − 3 = −1;
( +2) − ( −3) = 2 + 3 = 5;
( + a ) + ( +b) = a + b
( + a ) + ( −b ) = a − b
( + a ) − ( +b ) = a − b
( + a ) − ( −b ) = a + b
Rechen- und Vorzeichen gleich ergibt
Rechen- und Vorzeichen ungleich ergibt
2.2
„+“,
„-“.
Multiplikation und Division:
"+" ⋅ "+" ergibt
"+" ⋅ "−" ergibt
"−" ⋅ "+" ergibt
"−" ⋅ "−" ergibt
"+"
"−"
"−"
"+"
( +2) ⋅ ( +3) = 2 ⋅ 3
= 6
( +2) ⋅ ( −3) = 2 ⋅ ( −3) = −6
( −2) ⋅ ( +3) = ( −2) ⋅ 3 = −6
( −2) ⋅ ( −3) =
6
x⋅ y
= xy
x ⋅ ( − y ) = − xy
( − x ) ⋅ y = − xy
( − x ) ⋅ ( − y ) = xy
gleiche Vorzeichen ergeben „ + “, ungleiche Vorzeichen ergeben „ - “.
Beim Teilen gelten die gleichen Regeln.
© Buchert
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Mathematik
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3.
Klammerregeln
3.1
Ein „ - “ vor der Klammer ändert beim Auflösen die Vorzeichen in der Klammer!
− (3 + 5a − 4b − 2c ) = −3 − 5a + 4b + 2c
3.2
Bei mehreren Klammerebenen erfolgt eine Berechnung „von innen nach außen“.
17 − [3(8 − 1) − 2(3 + 5)] = 17 − [3 ⋅ 7 − 2 ⋅ 8] = 17 − [ 21 − 16] = 17 − 5 = 12
3.3
Eine Summe (Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem jeder
Summand mit dem Faktor multipliziert wird!
3 ⋅ (5 + 7) = 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 = 15 + 21 = 36
3 ⋅ ( a + b) = 3 ⋅ a + 3 ⋅ b = 3a + 3b
3.4
Summen werden miteinander multipliziert, indem jedes Glied der ersten Klammer
mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert wird!
(5 + 7) ⋅ (3 + 2) = 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 2 = 15 + 21 + 10 + 14 = 60
( a + b) ⋅ ( x − y ) = ax + bx − ay − by
3.5
Gemeinsame Summanden in Summen können ausgeklammert werden!
5 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 = 5 ⋅ (3 + 7 )
4.
Bruchrechnen
Bruch =
4.1
Zähler
Nenner
Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (bzw.
der gleichen Variablen) multiplizieren!
2 2⋅4 8
=
= ;
3 3 ⋅ 4 12
4.2
ab + ac = a (b + c )
a a ⋅ c ac
=
=
b b ⋅ c bc
Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (bzw. die
gleiche Variable) dividieren!
6 6:3 2
=
= ;
9 9:3 3
© Buchert
ax ax : a x
=
=
ay ay : a y
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4.3
Mathematik
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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) von gegebenen Zahlen ist die größte ganze
Zahl, die in allen gegebenen Zahlen als Faktor vorhanden ist (Primfaktorenzerlegung):
96abx = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ x
36axy = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ x ⋅ y
30cxz = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ c ⋅ x ⋅ z
4.4
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ggT: 2 ⋅ 3 ⋅ x = 6 x
Es werden nur die Faktoren berücksichtigt,
die in allen Zahlen vorkommen.
Brüche addieren heißt, sie auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) zu
bringen (vgl. erweitern) und dann die Zähler zu addieren!
2 3 5 1 2 ⋅ 8 3 ⋅ 6 5 ⋅ 3 1 ⋅ 4 16 + 18 + 15 − 4 45 15
+ + − =
+
+
−
=
=
=
3 4 8 6 24
24
24
24
24
24 8
2a 3c
5
2a ⋅ 4ad + 3c ⋅ 3b + 5 ⋅ 6bd 8a 2 d + 9cb + 30bd
+
+
=
=
3b 4ad 2a
12abd
12abd
4.5
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von gegebenen Zahlen ist die kleinste
ganze Zahl, die alle gegebenen Zahlen als Faktor enthält (Primfaktorenzerlegung):
96abx = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ b ⋅ x
36axy = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ x ⋅ y
kgV:
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅3⋅3⋅5⋅ a ⋅b ⋅ x ⋅ y ⋅c ⋅ z
= 1440 abcxyz
30cxz = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ c ⋅ x ⋅ z
Berücksichtigt werden die Faktoren aus den Zahlen, in denen sie am häufigsten
vorkommen.
4.6
4.7
Brüche multiplizieren heißt, Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner zu
multiplizieren!
2 5 2 ⋅ 5 10
;
⋅ =
=
3 7 3 ⋅ 7 21
a c a ⋅ c ac
;
=
⋅ =
b d b ⋅ d bd
2
2⋅4 8
⋅4 =
= ;
3
3 ⋅1 3
a
a⋅c a⋅c
;
⋅c =
=
b
b ⋅1
b
Brüche dividieren heißt, vom Teilerbruch den Kehrwert (Reziprokwert) zu bilden
und dann die Brüche zu multiplizieren!
© Buchert
2 5 2 7 14
: = ⋅ = ;
3 7 3 5 15
a c a d ad
;
: = ⋅ =
b d b c bc
2
2 1 2 1
= ;
:4 = ⋅ =
3
3 4 12 6
a
a 1
a
;
:c = ⋅ =
b
b c b⋅c
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4.8
Mathematik
Mathematische Grundregeln
Doppelbrüche (vgl. dividieren)
5ax
5ax 9a
5ax 14cy 10cx
7by
=
:
=
⋅
=
9a
7by 14cy 7by 9a
9b
14cy
3
8 = 3: 7 = 3⋅4 = 3 ;
7
8 4 8 7 14
4
4.9
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Bruchstriche ersetzen Klammern!
3+5
2
= (3 + 5) : (7 + 5) = 8 : 12 =
7+5
3
4.10 Kürzen von Summen ist nur möglich, wenn aus den Summanden ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden kann!
3ax + 4abz a ⋅ (3 x + 4bz ) 3x + 4bz
=
=
3ab + 4ay
a ⋅ (3b + 4 y )
3b + 4 y
5.
Potenzrechnen
7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73 ;
b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b = b n
(n Faktoren)
7 bzw. b ist die Basis, 3 bzw. n ist der Exponent.
5a k = 5 ⋅ (a k )
a0 = 1 ;
5.1
ak ist die Potenz, 5 ist der Koeffizient
a1 = a ;
b −1 =
1
b
mit b ≠ 0 ;
Gleiche Potenzen werden addiert, indem die Koeffizienten addiert und die
Potenzen beibehalten werden!
6a n + 5b k − ca n + 3b k + 2a n = (6 − c + 2)a n + (5 + 3)b k = (8 − c)a n + 8b k
5.2
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält
und die Exponenten addiert!
2 3 ⋅ 2 5 = 2 3+5 = 2 8 = 256 [= 8 ⋅ 32 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2] ;
a k ⋅ a n = a k +n
5.3
Potenzen ungleicher Basis mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem
man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält
2 3 ⋅ 5 3 = (2 ⋅ 5) 3 = 10 3 = 1000 (= 8 ⋅ 125) ;
© Buchert
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n
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5.4
5.5
2 3 : 2 5 = 2 3− 5 = 2 − 2 =
1
1
=
2
4
2
Schreibweise:
1
= a −k
k
a
(=
8
);
32
a k : a n = a k −n
Potenzen ungleicher Basis mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man
die Basen dividiert und die Exponenten beibehält!
3
an ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
bn ⎝ b ⎠
n
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert!
(3 )
2 3
5.7
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Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die
Exponenten subtrahiert!
23 ⎛ 2 ⎞
=⎜ ⎟ ;
53 ⎝ 5 ⎠
5.6
Mathematik
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(a )
n k
= 3 2⋅3 = 36 = 729 (= 9 3 ) ;
= a n⋅k = a nk
Die Potenzgesetze gelten auch für Wurzeln!
1
n
Schreibweise:
1
3
5.8
a = an
1
8 = 83 = 2 ;
n
1
1 1
+
k
a ⋅k a = an ⋅ak = an
1
;
n
1
1
a ⋅ n b = n a ⋅ b = ( a ⋅ b) n = a n ⋅ b n ;
Potenzieren von Summen erfolgt durch Umschreiben in ein Produkt mit
anschließender Multiplikation (vgl. Klammerregeln)!
(3 + 2 x − 4 y ) 2 = (3 + 2 x − 4 y ) ⋅ (3 + 2 x − 4 y )
= 9 + 6 x − 12 y + 6 x + 4 x 2 − 8 xy − 12 y − 8 xy + 16 y 2
= 9 + 12 x − 24 y + 4 x 2 − 16 xy + 16 y 2
Eine Summe mit 2 Summanden heißt Binom:
( a + b) 2
= a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 2
= a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
1. Binom
2. Binom
3. Binom
(a + b) 3 = (a + b) 2 ⋅ (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 ) ⋅ (a + b)
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
© Buchert
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6.
Mathematik
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Termumformung (Formelumstellung)
Modell: Eine Gleichung entspricht einer Balkenwaage, die sich im Gleichgewicht
befindet, wobei jede vollständige Seite der Gleichung einer Waagschale
entspricht. Bei Umformungen muss dieses Gleichgewicht erhalten
bleiben. Dies bedeutet, bei der Gleichung muss – wie bei der Balkenwaage – auf beiden Seiten die gleiche Änderung vorgenommen werden.
Die Änderung muss sich auf die komplette Gleichungsseite (Waagschale) beziehen!
Umformungen, die diesen Anforderungen genügen, führen immer wieder auf eine
Gleichung. Sie heißen Äquivalenzumformungen. Umformungsoperationen
kehren Rechenoperationen um:
Aus „ + “ wird „ - “,
aus „ - “ wird „ + “,
aus „ (...) n “ wird „ n ... “,
aus „ .“ wird „ : “,
aus „ : “ wird „ . “,
aus „ n ... “ wird „ (...) n “.
Bei Umformungen liegt im Vergleich zu Rechenoperationen (einschließlich
Klammerregeln) umgekehrte Priorität vor.
Bei den folgenden Regeln ist der Term nach x aufzulösen:
6.1
„Strich-Umformung geht vor Punkt-Umformung“!
3 ⋅ x + 7 = 22
3 ⋅ x + 7 − 7 = 22 − 7
3 ⋅ x = 15
3 ⋅ x 15
=
3
3
x=5
6.2
/ −7
/ :3
„Punkt-Umformung geht vor Potenz-Umformung“!
4 ⋅ x 3 = 32
/:4
4⋅ x
32
=
4
4
3
x =8
/3
3
3
1
3
x = 8 (= 8 )
3
3
x=2
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6.3
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Klammern ändern die Umformungspriorität!
(Bei Rechenoperationen haben sie höchste, bei Umformungen niedrigste
Priorität).
3 ⋅ ( x + 7) = 36
3 ⋅ ( x + 7) 36
=
3
3
x + 7 = 12
x + 7 − 7 = 12 − 7
x=5
Beispiel:
4⋅ A
π
d = D2 −
© Buchert
3
/
3
(4 ⋅ x) 3 = 3 512
4⋅ x = 8
4⋅ x 8
=
4
4
x=2
/ −7
/:4
Kreisringfläche umstellen nach d!
A = (D 2 − d 2 ) ⋅
−d2 =
(4 ⋅ x) 3 = 512
/ :3
π
4
− D2
/⋅
4
π
/ ⋅ (−1)
D2 − d 2 =
d 2 = D2 −
4⋅ A
π
4⋅ A
π
/ − D2
/
4⋅ A
π
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