Ubungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden
Fachbereich Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Wintersemester 2010/11
Übungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2
Aufgabe 1:
Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form):
z1 =
(5 + j)(2 − j)
(6 + j)(3 − 2j)
, z2 =
, z3 = e−1+j · e2+2j
1 + 2j
1 + 4j
Aufgabe 2:
a) Berechnen Sie:
1
4
+j
10
und (1 −
√
3 j)5 .
b) Berechnen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: z 6 = 3 + 4j und
√
z 3 = 3 − 3 j.
Aufgabe 3:
Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie:
z · z∗ ,
z
z∗
und
z∗
.
z
Aufgabe 4:
Gegeben sind: w1 = 1.5 − 0.5j und w2 = 3 + 0.5j.
w1 · w2
w1 + w2
w
b) Lösen Sie die Gleichung: z 3 = 2 .
w1
a) Berechnen Sie den Ausdruck:
Aufgabe 5:
a) Sei z1 = 6 + 5j und z2 = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α und β
ist das Produkt z1 · z2 eine reelle Zahl?
b) Sei z2∗ die zu z2 konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z1 · z2∗
eine reelle Zahl?
Aufgabe 6:


 
1
0
Gegeben seien der Punkt P1 (2; 1; 0) und die Gerade g : ~r(λ) =  0  + λ  1  .
0
0
Stellen Sie die Gleichung der Ebene E, welche durch P1 verläuft und die Gerade g enthält, auf (Parameterform
und parameterfreie Form).
Aufgabe 7:
Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren






−3
3
10
~a =  5  , ~b =  4  und ~c =  −6 
7
15
3
aufgespannt wird.
weiter siehe S. 2
Aufgabe 8:




1
1
Gegeben sind die Vektoren ~a =  2  und ~b =  −2 .
−5
−1
a) Wie lautet eine Gleichung der von ~a und ~b aufgespannten Ebene E, die den Nullpunkt enthält?
b) Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor, der senkrecht auf ~a steht.
Aufgabe 9:
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:
 


3
1
g : ~r(λ) =  2  + λ  2  ,
E : ~n · (~r − ~r0 ) = 2(x − 1) + (y − 2) + (z + 3) = 0 .
0
−3
Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den
Schnittwinkel.
Aufgabe 10:
Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P1 (1; 1; 1) und P2 (−1; 3; 2) gegeben. Außerdem sei P0 (−2; 5; 8).
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P0 und senkrecht zu g verläuft.
b) Vom Punkt P0 wird das Lot auf die Gerade g gefällt. Berechnen Sie den Fußpunkt S des Lotes.
Ergebnisse
Hinweis: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen gerundet angegeben.
Aufgabe 1:
z1 = 0.4 − 9.8j ,
z2 = −0.059 − 2.765j ,
z3 = −2.691 + 0.384j
Aufgabe 2:
10
1
√
√
+j
= 1.043 + 0.864j , (1 − 3 j)5 = 16 + 16 3j
a)
4
z6
b)
= 3 + 4j hat insgesamt 6 Lösungen:
z1 = 1.292 + 0.201j , z2 = 0.472 + 1.22j , z3 = −0.82 + 1.018j ,
z4 = −1.292 − 0.201j , z5 = −0.472 − 1.22j , z6 = 0.82 − 1.018j
√
z 3 = 3 − 3 j hat insgesamt 6 Lösungen:
z0 = −0.518 + 1.422j , z1 = −0.973 − 1.159j , z2 = 1.49 − 0.263j
Aufgabe 3:
z · z ∗ = a2 + b2 ,
z
a2 − b2
2ab
=
+j 2
z∗
a2 + b2
a + b2
und
z∗
a2 − b2
2ab
= 2
−j 2
.
z
a + b2
a + b2
Aufgabe 4:
a) 1.055 − 0.167j
b) insgesamt 3 Lösungen:
z0 = 1.227 + 0.201j ,
z1 = −0.788 + 0.962j ,
Aufgabe 5:
a) Für β = − 65 α ist das Produkt z1 · z2 eine reelle Zahl.
b) Für β = 65 α ist das Produkt z1 · z2∗ eine reelle Zahl.
2
z2 = −0.44 − 1.163j
Im weiteren bezeichnen λ und µ reelle Konstante.
Aufgabe 6:


 


2
0
−1
E : ~r(λ, µ) =  1  + λ  1  + µ  −1  ,
0
0
0
Aufgabe 7:
V = 7 [VE], AO = 742.76 [FE]
Aufgabe 8:






0
1
1
a) E : ~r(λ, µ) =  0  + λ  2  + µ  −2 
0
−5
−1


−7
1 
16  (oder: −~e )
b) gesuchter Vektor: ~e = √330
5
Aufgabe 9:
Schnittpunkt: S(−4; −12; 21), Schnittwinkel: ϕ = 6.264◦
Aufgabe 10:




5
−2
17 10
g : ~r(λ) =  5  + λ  −2  , S(− 11
3 ; 3 ; 3 )
14
8
3
parameterfrei: z = 0 .