Ubungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Wintersemester 2016/17
Übungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2
Aufgabe 1:
Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form):
z1 =
(6 + j)(3 − 2j)
,
1 + 2j
z2 =
5 + 2j
,
(−1 + 2j)(4 − 7j)
z5 = e−1+j · e2+2j , z6 = 15 · e−(π/3)j ·
1
4
+j
10
1 − 2j
,
(−2 + j)(6 − 12j)
z4 =
(3 + j5 )(5 + 8j)
,
3 − 4j
1 2+(π/2)j
·e
5
Aufgabe 2:
a) Berechnen Sie:
z3 =
und (1 −
√
3 j)5 .
b) Berechnen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: z 6 = 3 + 4j und
√
z 3 = 3 − 3 j.
Aufgabe 3:
Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie:
z · z∗ ,
z
z∗
z∗
.
z
und
Aufgabe 4:
Gegeben sind: w1 = 1.5 − 0.5j und w2 = 3 + 0.5j.
w1 · w2
w1 + w2
w
b) Lösen Sie die Gleichung: z 3 = 2 .
w1
a) Berechnen Sie den Ausdruck:
Aufgabe 5:
a) Sei z1 = 6 + 5j und z2 = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α und β ist
das Produkt z1 · z2 eine reelle Zahl?
b) Sei z2∗ die zu z2 konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z1 · z2∗
eine reelle Zahl?
Aufgabe 6:
Berechnen Sie die reellen Zahlen A (mit A > 0) und ϕ aus der Gleichung:
4e jϕ
=A
1 + 3j
1 − 2j
2
.
Aufgabe 7:
Gegeben ist:
Z = ZR +
ZC ZL
ZC + ZL
mit
ZR = R, ZC =
1
, ZL = jωL .
jωC
Berechnen Sie Re(Z), Im(Z) sowie |Z|.
weiter siehe S. 2
Aufgabe 8:


 
1
0
Gegeben seien der Punkt P1 (2, 1, 0) und die Gerade g : ~r(λ) =  0  + λ  1 
0
0
(λ ∈
R).
Stellen Sie die Gleichung der Ebene E, welche durch P1 verläuft und die Gerade g enthält, auf (Parameterform
und parameterfreie Form).
Aufgabe 9:
Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren






−3
3
10
~a =  5  , ~b =  4  und ~c =  −6 
7
15
3
aufgespannt wird.
Aufgabe 10:




1
1
Gegeben sind die Vektoren ~a =  2  und ~b =  −2 .
−5
−1
a) Wie lautet eine Gleichung der von ~a und ~b aufgespannten Ebene E, die den Koordinatenursprung enthält?
b) Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor, der senkrecht auf ~a steht.
Aufgabe 11:
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:


 
1
3
g : ~r(λ) =  2  + λ  2  (λ ∈ ),
−3
0
R
E : ~n · (~r − ~r0 ) = 2(x − 1) + (y − 2) + (z + 3) = 0 .
Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den
Schnittwinkel.
Aufgabe 12:
Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P1 (1, 1, 1) und P2 (−1, 3, 2) gegeben.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P0 (−2, 5, 8) und senkrecht zu g
verläuft.
b) Vom Punkt P0 wird das Lot auf die Gerade g gefällt. Berechnen Sie den Fußpunkt S des Lotes.
Aufgabe 13:


2
Die Ebene E soll durch den Punkt P1 (0, 3, 1) verlaufen und den Normalenvektor ~n =  3  besitzen.
1
a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g, welche senkrecht auf E steht und durch den Punkt P2 (6, 5, 2)
verläuft, an.
b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E ?
c) Wie groß ist der Abstand des Punktes P2 von der Ebene?
2
weiter siehe S. 3
Aufgabe 14:
Gegeben sind die beiden Ebenen E1 und E2 (mit λ1,2 , µ1,2 ∈






R):






1
1
0
E2 : ~r(P ) =  0  + λ2  1  + µ2  −1  .
2
0
1
2
2
1
E1 : ~r(P ) =  0  + λ1  3  + µ1  3  ,
4
−1
−2
a) Zeigen Sie, dass diese Ebenen parallel sind.
b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g, welche senkrecht zu beiden Ebenen und durch den Koordinatenursprung verläuft, an.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden g mit den Ebenen E1 und E2 .
Aufgabe 15:
Gegeben sind die beiden Ebenen E1 und E2 (mit λ1,2 , µ1,2 ∈






R):






−2
4
−1
E2 : ~r(P ) =  1  + λ2  a  + µ2  1 
−4
3
3
1
1
2
E1 : ~r(P ) =  2  + λ1  2  + µ1  1  ,
4
4
a
R
mit zunächst unbekanntem a ∈ .
Bestimmen Sie alle Werte von a, für die die beiden Ebenen aufeinander senkrecht stehen.
Aufgabe 16:


ax
Gegeben ist der Vektor ~a =  ay  mit ay , az 6= 0. Berechnen Sie die Koordinaten eines Vektors ~b,
az
der orthogonal zu ~a ist, in der (y, z)-Ebene liegt und dessen Betrag halb so groß wie |~a| ist.
Ergebnisse
Hinweis: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen gerundet angegeben.
Aufgabe 1:
z1 = 0.4 − 9.8j , z2 = 0.246 − 0.169j , z3 = −0.067 − 0.033j , z4 = −3.8 + 4.6j ,
z5 = −2.691 + 0.384j , z6 = 19.197 + 11.084j
Aufgabe 2:
1
10
√
√
a)
+j
= 1.043 + 0.864j , (1 − 3 j)5 = 16 + 16 3j
4
b)
z6
= 3 + 4j hat insgesamt 6 Lösungen:
z0 = 1.292 + 0.201j , z1 = 0.472 + 1.22j , z2 = −0.82 + 1.018j ,
z3 = −1.292 − 0.201j , z4 = −0.472 − 1.22j , z5 = 0.82 − 1.018j
√
z 3 = 3 − 3 j hat insgesamt 3 Lösungen:
z0 = 1.49 − 0.263j , z1 = −0.518 + 1.422j , z2 = −0.973 − 1.159j
Aufgabe 3:
z · z ∗ = a2 + b2 ,
z
a2 − b2
2ab
=
+j 2
∗
2
2
z
a +b
a + b2
und
3
a2 − b2
z∗
2ab
= 2
−j 2
.
2
z
a +b
a + b2
Aufgabe 4:
a) 1.055 − 0.167j
b) insgesamt 3 Lösungen:
z0 = 1.227 + 0.201j ,
z1 = −0.788 + 0.962j ,
z2 = −0.44 − 1.163j
Aufgabe 5:
a) Für β = − 56 α ist das Produkt z1 · z2 eine reelle Zahl.
b) Für β = 65 α ist das Produkt z1 · z2∗ eine reelle Zahl.
Aufgabe 6: A = 2, ϕ = − π2 + 2kπ mit k ∈ Z
Aufgabe 7: Re(Z) = R, Im(Z) =
ωL
,
1−ω 2 CL
|Z| =
q
R2 +
ω 2 L2
(1−ω 2 CL)2
Im weiteren bezeichnen λ und µ reelle Konstante.
Aufgabe 8:


 


2
0
−1
E : ~r(λ, µ) =  1  + λ  1  + µ  −1  ,
0
0
0
parameterfrei: z = 0
Aufgabe 9:
V = 7 [VE], AO = 742.76 [FE]
Aufgabe 10:





1
1
0
a) E : ~r(λ, µ) =  0  + λ  2  + µ  −2 
−1
−5
0


−7
1 
16  (oder: −~e )
b) gesuchter Vektor: ~e = √330
5

Aufgabe 11:
Schnittpunkt: S(−4, −12, 21), Schnittwinkel: ϕ = 6.264◦
Aufgabe 12:




−2
5
a) g : ~r(λ) =  5  + λ  −2 
8
14
b) S(− 11
3 ,
Aufgabe 13:


 
6
2
a) g : ~r(P ) =  5  + λ  3 
2
1
b) Schnittpunkt: S( 46
14 ,
(λ ∈
R)
13 9
14 , 14 )
c) Abstand: d = 5.078 [LE]
Aufgabe 14:
a) Normalenvektoren von E1 und E2 sind parallel
4
17 10
3 , 3 )
Fortsetzung zu Aufgabe 14:
 


0
1
b) g : ~r(P ) =  0  + λ  −1 
0
−1
(λ ∈
R)
c) Schnittpunkt mit E1 : S1 (− 23 , 32 , 23 ), Schnittpunkt mit E2 : S2 (− 31 , 13 , 13 )
Aufgabe 15: a = 5, a = −4
q
a2x + a2y + a2z
ay
|~a|
r
r
Aufgabe 16: bx = 0 , by =
2 =
2 , bz = − az · by
a
a
2 · 1 + ayz
2 · 1 + ayz
(Hinweis: Die Lösung ist nicht eindeutig, es kann auch −by genommen werden.)
5