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Vorlesung: Diskrete Mathematik
Datum: 30.10.2013
Definition: Mächtigkeit von M
Anzahl Elemente, falls M endlich
∞
, falls M unendlich
|M| =
Beispiel: |{a, b, c}| = 3, ℕ = ∞
Beispiel: A ⊆ B
A
1. |B| < ∞ daraus folgt |A| < ∞
2. |A| = ∞ daraus folgt |B| = ∞
B
! Andersrum nicht !
Satz: Seien A, B endlich.
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
A
Elemente in der Schnittmenge sind sowohl in A als
auch in B enthalten, daher muss die Schnittmenge
einmal subtrahiert werden!
B
Definition: A, B beliebige Mengen.
Kartesisches Produkt
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Geordnetes Paar, Reihenfolge wichtig!
A = ∅ oder B = ∅  A × B = ∅
Schreiben: A × A = A²
Beispiel: A = {p, q}, B = {1, 2, 3}
A × B = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3)}
B × A = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q)}
= {(1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q)}
|A × B| = |A| * |B| = 2 * 3 = 6
Beispiel:
B
A×B
A
Beispiel: ℝ² = ℝ × ℝ, ℝ³ = ℝ × ℝ × ℝ
Allgemein: An = A × … × A
n-mal
Folie: Tafel
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Vorlesung: Diskrete Mathematik
Datum: 30.10.2013
A1 × … × An = {(a1, …, an) | ai ∈ Ai} i = 1, 2, …, n
n-Tupel
Warnung vor „extremer“ Verwendung der Mengenlehre: Russellsche Antinomie
=> Menge ist normal, wenn sie sich nicht selbst als Element enthält
Frage: Ist die Menge, aller normalen Mengen, auch normal?
R = {M | M ∈ M}
1. R ∉ R => R ∈ R
2. R ∈ R => R ∉ R
Widerspruch
Ein kurzer Überblick über Zahlenmengen, Begriff der Primzahl
Später:
Nachricht
+ Signatur
Alice
B
Bob
A
Wer hat die Nachricht gesendet?
Wird abgehört
Nur Alice soll sich als autorisierte „Besitzerin“ der Signatur ausweisen können.
Das „Geheimnis“ der Signatur darf von niemandem aufgedeckt werden  Lösung Primzahlen!
ℕ = {1, 2, 3, …}
ℤ = {0, ±1, ±2, …}
ℚ = { | m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}
ℝ = Reele Zahlen
ℂ = Komplexe Zahlen
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
Satz:
ist kein Bruch,
Beweis: Indirekt. Nehmen
sein muss.
∉ℚ
∉ ℚ an; zeigen das ein Widerspruch folgt, d.h. das die Annahme falsch
(gekürzt)

In (*) eingesetzt:
*  p² gerade  p gerade  p = 2p‘  p² = 2p‘²
2q² = 4p‘²  q² = 2p‘²  q² gerade  q gerade  q = 2q‘ 
 Widerspruch war gekürzt!
Hilfssatz: n² gerade  n gerade
Beweis: (n² gerade => n gerade) ≡ (n ungerade => n² ungerade)
Sei n ungerade, d.h. n = 2k – 1, k ∈ ℕ
=> n² = (2k – 1) = 4k² - 4k + 1 = 2 * (2k² - 2k) + 1
gerade
ungerade
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Vorlesung: Diskrete Mathematik
Datum: 30.10.2013
Anmerkung: ℝ \ ℚ irrationale Zahlen; z.B.
,
, ,…
ℝ = {x | x Dezimalzahl}
abbrechen, x ∈ ℚ
x
periodisch, x ∈ ℚ
nicht abbrechen
nicht periodisch, x ∈ ℝ \ ℚ
Folie: Tafel
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