Kapitel -1 Organisatorisches Das Team Organisation der

Das Team
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Dozent: Prof. Dr. Friedrich Eisenbrand
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Übungsbetrieb: Dr. Kai Gehrs
Tutoren
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Kapitel -1
Organisatorisches
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Hans Biebinger
Christian Heinemann
Reiner Hermann
Christian Michalke
Thomas Rothvoß
Alexander Schmeding
KorrektorInnnen
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Beate Kossak
Friederike Paetz
Markus Reketat
Melanie Schubert
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Organisation der Veranstaltung
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Schriftliche Übungsblätter
Zweimal pro Woche im Audimax
Webseite der Vorlesung:
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http://www2.math.uni-paderborn.de/ags/eisenbrand/
teaching/winter07/
mathematics-for-computer-scientists-i.html
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Es wird kein Skriptum geben, Mitschreiben wird erwartet!
Übungsgruppen (Tutorien)
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Übungsaufgaben zur Vorlesung
Vorlesung
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Einmal pro Woche (90 Minuten) im kleinen Rahmen (etwa 25
TeilnehmerInnen)
Melden Sie sich für den Übungsbetrieb an! (siehe Webseite)!
Wiederholung von Vorlesungsstoff, Vertiefende Übungen,
Klärung von Fragen
Individuelle Betreuung
Online Rechenaufgaben (OLEX)
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Zentralübung
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Einmal pro Woche (45 Minuten) im Audimax zentral für alle
Besprechung der schriftlichen Übungsaufgaben
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erscheinen jeden Freitag
enthalten in der Regel 3 theoretische Aufgaben (Beweise)
müssen am auf das Erscheinungsdatum folgenden Freitag
schriftlich abgegeben werden
keine Gruppenabgabe, pünktliche Abgabe, keine
Sonderregelungen
Plagiate werden mit 0 Punkten bewertet
erscheinen in der Regel wöchentlich als “Drills” und
“Online-Exams”
Aufgaben aus der Sektion “Drills” können nach Erscheinen
beliebig oft und beliebig lange bearbeitet werden
“Online-Exams” haben eine längerfristige Bearbeitungsdauer
(in der Regel 2 Wochen oder länger)
“Online-Exams” sind online abzugeben
jeder trägt selbst Sorge dafür, regelmässig nach neuen
Online-Aufgaben zu schauen
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Klausurvorbereitung
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Besuchen Sie stets die Vorlesungen, Übungsgruppen und die
Zentralübung und machen Sie sich Notizen!
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Arbeiten Sie die Vorlesungen und die Übungen sorgfältig und
zeitnah nach.
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Lernen Sie Definitionen, Sätze und Beweise aus der Vorlesung!
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Bearbeiten Sie die schriftlichen und die Online-Übungen zur
Vorlesung.
Zur Klausur selbst
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Die Klausur beginnt mit einer Multiple-Choice-Aufgabe
zwecks Wissensabfrage (falsche Antworten geben negative
Punkte).
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Mindestens eine der schriftlichen Übungsgaufgaben wird
Klausuraufgabe
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“Online-Exams” sind mögliche Kandidaten für
Rechenaufgaben aus der Klausur
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Mindestens ein Beweis aus der Vorlesung wird Klausuraufgabe
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Durch ausschließliche Bearbeitung von Rechenaufgaben ist
die Klausur nicht zu bestehen.
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Bonussystem zur Vorlesung
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Sie erhalten Bonuspunkte für erfolgreiche Bearbeitung von:
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Statistisches aus dem WS 2006/2007
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schriftlichen Übungsblättern
“Online-Exams”
Mini-Klausuren während des Semesters
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haben 113 von 181 TeilnehmerInnen bestanden (62.4%)
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Am Ende des Semesters werden alle Punkte aus allen drei
Bereichen addiert und es gibt folgende Bonusregelung auf
bestandene Klausuren:
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Beim ersten Klausurtermin im WS 2006/2007
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haben 68 von 181 TeilnehmerInnen nicht bestanden (37.6%)
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Prozentzahl in [50, 75[
=⇒ Verbesserung der Note um 1/3.
Prozentzahl in [75, 90[
=⇒ Verbesserung der Note um 2/3.
Prozentzahl in [90, 100[
=⇒ Verbesserung der Note um 3/3.
davon hatten 45 keinen Notenbonus (66.2%)
aber auch 3 einen ganzen Notenschritt als Bonus
Beim zweiten Klausurtermin im WS 2006/2007
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haben 60 von 140 TeilnehmerInnen bestanden (42.9%)
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davon hatten 25 keinen Notenbonus (41.7%)
aber 18 von den 25 haben nur knapp mit 4.0 bestanden
haben 80 von 140 TeilnehmerInnen nicht bestanden (57.1%)
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davon hatten 23 keinen Notenbonus (20.4%)
aber 14 von den 23 haben nur knapp mit 4.0 bestanden
davon hatten 55 keinen Notenbonus (68.8%)
aber auch 2 einen ganzen Notenschritt als Bonus
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Ratschläge
Laptops
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Bereiten Sie jede Vorlesung nach, bevor die nächste beginnt.
Machen Sie sich klar, was Sie nicht verstanden haben.
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Laptops in der Vorlesung können sinnvolles Werkzeug zur
Erstellung eigener Mitschrift sein
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Stellen Sie Ihrem Tutor und Ihren Mitstudierenden Fragen.
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Diskutieren Sie mit Ihren Mitstudierenden.
Laptops können Ihre Mitstudierenden aber auch sehr stören
(insbesondere bei zweckentfremdeter Nutzung)
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Gehen Sie in die Bibliothek und lesen Sie!
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Übungsaufgaben, Übungsaufgaben, Übungsaufgaben . . .
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Lassen Sie sich nicht entmutigen, arbeiten Sie beständig!
Daher gilt in Reihe 1-7 striktes
Laptopverbot!
Sie schaffen das!
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Relevanz der Inhalte
Diese Vorlesung stellt Werkzeuge bereit, die in verschiedensten
Bereichen der Informatik benötigt werden
Kapitel 0
Warum Mathematik für Informatiker?
Vier Beispiele solcher Bereiche sind:
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Verifikation: Formales Denken und Beweisen
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Kryptographie: Zahlentheorie
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Effiziente Algorithmen: Analysis
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Optimierung: Lineare Algebra
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Formales Denken und Beweisen
Zahlentheorie
Im Jahr 1996 explodierte Ariane 5 aufgrund eines Softwarefehlers
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Aufwendiges Testen genügt nicht
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Beweis der Korrektheit von Systemen von vitaler Bedeutung
(z.B. Fly-By-Wire, Drive-By-Wire)
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Heute muss Korrektheit sicherheitskritischer Software
bewiesen und zertifiziert werden
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Verifikation ist Gebiet der Informatik, welches mit
mathematischen und logischen Methoden solches leistet
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Viele kryptographische Protokolle beruhen auf
zahlentheoretischen Problemen
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Insbesondere dem Faktorisierungsproblem und anderen
algorithmischen Problemen aus der Geometrie der Zahlen
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Mathematik für Informatiker stellt grundlegende Werkzeuge
der Zahlentheorie bereit
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Lineare Algebra
Instanzgröße
Analysis
1600
1500
1400
1300
1200
1100
1000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
1954 1971 1975 1977 1980 1987 1994 1998 2001
Jahr
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Probleme können mit verschiedenen Algorithmen gelöst
werden.
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Wann ist ein Algorithmus effizient?
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Wie beweisen wir Laufzeitschranken?
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Mathematik für Informatiker stellt grundlegende Werkzeuge
aus der Analysis bereit.
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Viele diskrete Optimierungsprobleme sind schwer zu lösen (Bsp: TSP,
Tourplanung, Logistik etc.)
Moderne effiziente Algorithmen beruhen auf Methoden der Linearen
Optimierung und Linearen Algebra
Mathematik für Informatiker stellt grundlegende Werkzeuge aus der
Linearen Algebra bereit
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Voraussetzungen
Für den folgenden Überblick über die wichtigsten Beweismethoden
brauchen wir nur grundlegendes Wissen über natürliche, ganze
und rationale Zahlen
Kapitel 1
Mathematische Beweise
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N = {0, 1, 2, 3, . . .}: Menge der natürlichen Zahlen
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Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}: Menge der ganzen Zahlen
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N+ = {1, 2, 3, . . .}: Menge der positiven ganzen Zahlen
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Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N+ }: Menge der rationalen Zahlen
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Mathematische Beweise
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Beweismethoden
Ein Beweis einer Aussage ist die Herleitung der Richtigkeit der
Aussage aus einer Menge von Axiomen und anderen, bereits
bewiesenen Aussagen
Als nächstes wollen wir einige Beweismethoden exemplarisch
erläutern
Viele Aussagen sind von der Form p ⇒ q (sprich: Aus p folgt q, oder
p impliziert q), wobei p und q wieder Aussagen sind
p ist Voraussetzung oder Hypothese
q ist Folgerung p ⇒ q ist behauptete Aussage Behauptung
Beispiel: Sei k eine natürliche Zahl.
Wenn k durch 4 teilbar ist, dann ist k auch durch 2 teilbar.
(k ist durch 4 teilbar) ⇒ (k ist durch 2 teilbar)
Voraussetzung: k ist durch 4 teilbar
Folgerung: k ist durch 2 teilbar
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Methode des direkten Beweises
Methode der Fallunterscheidung
Der Satz wird hier direkt bewiesen. Es folgt ein Beispiel:
Satz 1.2
Satz 1.1
Wenn n eine ganze Zahl ist, dann ist n2 − n eine gerade Zahl.
Wenn n eine ungerade ganze Zahl ist, dann ist n2 eine ungerade
ganze Zahl.
Im Beweis nutzen wir aus, dass eine ganze Zahl entweder gerade
oder ungerade ist und unterscheiden die beiden Fälle
Oder: (n ungerade ganze Zahl) ⇒ (n2 ungerade ganze Zahl)
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Methode des Beweises durch Widerspruch I
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Methode des Beweises durch Widerspruch II
In dieser Beweismethode wird p ⇒ q bewiesen, indem man die
Annahme, dass p gilt und gleichzeitig q nicht gilt zu einem
Widerspruch führt.
Wir beweisen mit dieser Methode die folgenden Sätze.
Um Satz 1.3 zu beweisen, gebrauchen wir das folgende Axiom.
Axiom 1
Eine nichtleere Teilmenge T der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .}
hat ein kleinstes Element.
Satz 1.3
Später werden wir dieses Axiom so aufschreiben:
Jede rationale Zahl r hat eine Darstellung r = p/q, wobei p ∈ Z,
q ∈ N+ und mindestens eine der Zahlen p und q ist ungerade.
(T ⊆ N und T 6= ;) ⇒ (es existiert ein t ∈ T mit t É t ′ für jedes t ′ ∈ T )
Satz 1.4
Wenn r eine rationale Zahl ist, dann gilt r 2 6= 2.
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Methode der Kontraposition
Gegenbeispiele
In dieser Methode macht man sich zu Nutze, dass die Aussage
p ⇒ q äquivalent ist zu der Aussage (¬q) ⇒ (¬p)
(sprich: (nicht q) impliziert (nicht p) oder, wenn q nicht gilt, dann
gilt auch p nicht)
Wenn man zeigen möchte, dass eine Aussage p ⇒ q nicht gilt, kann
man versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.
Satz 1.6
Die folgende Aussage ist falsch: Wenn n eine Primzahl ist, dann ist
2n − 1 eine Primzahl.
Ein Beispiel für diese Methode ist der folgende Beweis dieses Satzes.
Satz 1.5
Sei n ∈ N+ . Wenn 2n − 1 eine Primzahl ist, dann ist auch n eine
Primzahl.
Erinnerung: Eine positive ganze Zahl p größer als 1 ist eine
Primzahl, wenn p keinen echten Teiler hat (d.h. keinen Teiler
dessen Wert größer als 1 und kleiner als p ist)
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Logisch äquivalente Aussagen
Die Aussage (p ⇒ q und q ⇒ p) wird mit p ⇐⇒ q abgekürzt. Man
sagt, die Aussagen p und q sind logisch äquivalent. (p gilt genau
dann, wenn q gilt)
Ein Beispiel ist der folgende Satz.
Satz 1.7
Für eine ganze Zahl n gilt: (n ist ungerade) ⇔ (n2 ist ungerade).
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