Vorlesung 5

6. Tensoren (2-terstufe)
6.L
Definition
Wir nennendie quadratischeMatrix A = (a*) + Tensorzweiter Stufe,wenn
air = düds &.1
+ bzgl. beiderIndiceswird mit der Drehmatrix multipliziert (und summiert!).
Die KomponentenQ,ahlen)könnenvertauschtwerden.Deshalbist (unterBeachtungder
Regelnder Matrixmultiplikation)
6.2
Lineare Antwort-Matrix
Angenommen,zwei Vektoren u (Ursache)und a (Antwort) stehenin einem linearenkausalen
Zusammenhang
a=H.u.
Behauptung:
DieserkausaleZusammenhang
definierteinenTensorzweiterStufe.Beweis:
= (q g D').q'= H .q
a = D.q= q.H.q= q g.(p-'.D.q= D.E.(p'.D.u= (D.H.D').D.u
Daraus
folgt (E'-!.9.D')U' = 0, also( q' beliebig
) H' = D.H.D'
+ H transformiert
sichtatsächlich
wieeinTensorzweiterStufe.
I
j =qE
Leitftihigkeitstensor
r
Trägheitstensor
(-+ÜBLINC)
ro
EinePunktmasse
m: Wir sehenin L dieAntwortaufdieUrsache
/^
\
xI) = mtr'o -fG'd ,;=: T ' o,
L = !x m(co
(t'
o
o)
1.* xy *r)
(y'*t'
zy zz)
[ - xz
-xy
-*'
)
r= m(r' - r"r)=ml
0 r' o l--l r . w y r l= r l - x y x ' + z ' - y z l= I '
[o
o
,')
[zx
- yz
*' *y' )
NN
KörperausN Massenmi'. L= IU
.
i=l
=IIi.e.
=:I.crl führtaufden(symrnetrischen)
-+
i=l
Trägheitstensor
desKörpers
.N
T=Im ,
i=l
6.3
v?+ t? - xiyi - *,r, )
-xiyi xl +zl -y,r,
I
-x i z i -y i z i * ?* v ?)
Hauptachsen-Transformation
Tensordurchgeeignete
ÜBUNG: I alssymmetrischer
D diagonalisierbar.
7. Vektorfunktionen
7.1
Definition,Ableitung
EineVektorfunktion
ist eineMengevon geordneten
Paaren(t, t(t)) im "Produktraum"
Rr x Rn. Die zugelassenen
Zahlent-+ Definitionsbereich,
diezugeordneten
Vektoren1(t)
Wertebereich.
\
geometrische
Anschauliche
Deutungim R3:
Raumkurve.
c(uet)
>
itLt.,tO"^1ca,r,ta-
+ at) - r(t) =:
Ableitung:4 := lim t(t
i(t)
ar-+o
dt
At
(sofernder Limes unabhangigvon der Folge
At -+ 0 existiert).Der Vektor -t ti"gt tangential
dt
an der Raumkurveim Punkt 1(t).
Komponentendarstellung
der Ableitung(kartesische
Koordinaten)
dx,)
-l
dr
dt
drl
dx" I
tdtl
dx. I
-l
d t)
H=i(*r
d *)
dt | (x)
#l=lol
drl l2)
dt)
Ableitungenhöhererordnung rekursiv:
dn -"'
(t)
dt"
= d ( d"-' \
ä[o*tttti.,1
| ,-
Regelnfür Differentiationvon Funktioneneiner
Bei Differentiationvon Vektorfunktionen
benicksichtigen.
unabhängigen
Variablenund der Vektoralgebra
:
B eispi el: Produktregeln
der Vektordifferentiation
.|-
.lfl+ \
-
.{
a(t)]=
*[rt,l
ryot q(r)+f(t):a(t)
or
dt
.*ur,l
h(t)l= u(t)*q(tl+a(t)
*luc,l.
dt
ctt
ot
=
x +q(t)'$ur,l
b(t)l
$tut,r,
[].t,rl b(t)
Die AbleitungeinerVektorfunktionrnit konstantemBetragstehtI auf dem Vektor
,..
da da
a-(t) = COnSt. a. - +-.a
dt
dt
| . _.I- ,
/
z
=
z a ' 9 = O -> dasist soeziellfür alleEHV nützlich.
dt
r\
f x{il \
alr
r(t ) =lv(t)
l, lrl* -d t'I
l " 'l ''-'
['(t) J
(. dr \
1 r+|
dtl
I
desVektorsi (2.8.Geschwindigkeit)
li | = J*'+ y' + 2' -BetraglLänge
XXX
rm,-,rm,.' 11
{x- + y- + z-
'-
!- "
x= r .:
l-
{ x- + y- +z-
{ x- + )
r
(= v )
f
+ zeitlicheAnderungdesAbstandsvom Ursprung.
r
IsaacNewton leitetdasGravitationsgesetz
der Planetenbewegr-rng
ausden Gesetzen
von Johannes
Keplerab.
Bei dieserAbleitungspieltdieBahnkurveeineentscheidende
Rolle.Ist r (t) Bahnkurveeines
MP, dannist i(t) seineGeschwindigkeit
und i(t) die Beschleunigungzur Zeitt. Nach der
Newton'schenBewegungsgleichung
kannman ausder Besclileunigung
auf die einwirkende
Kraft schließen
d tr
= 11'1- (rn : const).
E(t) = tn:-i
d t-
Ergebnis (Übungsblatt)
[ - cos<p)
L I
l.
V lr
smq lQ=---=
I( t) =
pm-r-r
Dm l
I
[o
)
proportional
+ dieBeschleunigung
ist umgekehrt
zumQuadratdesAbstands
undvomPlanet
(- r.l r ).
gerichtet
zurSonne
AusNewton'scher
Bewegungsgleichung
t*=*t
dtDer-+ Bahnparameter
p=
= YtM I = E(D -+ Gravitationsgesetz.
r- r
ist vollständig
durchdieMassen,
denBetragdes
#
Drehimpulses
unddie Gravitationskonstante
bestimmt.
Bemerkungen:
(i) Bahnexzentrizität
e ist von der Gesamtenergie
E abhängig:
(ii) Newtonschließt
ausBahnkurve
undFlächensatz
aufKraftgesetz
F- +
Bei F -
ä
-+ Periheldrehung
wärendieBahnkurven,frir
beliebigkleinesö nichtgeschlossen
desMerkur
(L2BandI $ 14),<+ ART.
I
(iii) Bei F - ; auchHyperbelbahnen
möglich,Streuung,
Rutherford'sche
(L2
Streuformel
rBandtrS 18/19).
I
Drehimpuls
ZeitlicheAnderungdesDrehimpülsesL:= IXp = m IXI :
L := rni xr +m {x i = rx F = M ,
Für !(g) = fG)! -+ Zentralkraftist L = o , d.h. L: const(unabhängig
von t) ->
r
(bzgl.Kraftzentrum).
Drehimpulserhaltung
Dasbedeutet,
dieBahnkurven
sindeben.
r
Energieund Potential
..-l
m r = . F l . r . mf.r=r.r-
-l -r l =
d t\2 -l
- - =- ;:
dt
in*ä"'.*n
z,-*d-
geleisteteArbeit
tischen€nergie
Annahrne:Es existiereeine skalareFunktionU(f) -+ Potenzial mit
AU
ra.u) a K l
a,ul=-I l'=,-gradU(0.
E(r)=-l
tu
Ia,u/
Dannist
zu
A.
du('r(t))
=*** gq .y-+= -i(t)'Et), rolgtich
dt
ä xd t
ö zd t
fo d t
*[+t'
dtl 2
= g bzw. Ti'*U(t)
+U(1)-l
'" 1
2-
=: E = constErhaltungder mechanischen
Energie.
(a/&)
DefinieredenVektoroperator
V :=l Al4 |
Nabla-Operator.
laru)-
Dannist Et) = -V U(t) ... -+ AusblickFelder.