Anwendungsbezogene Analysis - Schulbuchzentrum

Klaus Schilling
Anwendungsbezogene
Analysis
3. Auflage
Bestellnummer 60017
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Dann senden Sie eine E-Mail an 60017–[email protected].
Autor und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung.
Ein Lösungsbuch mit ausführlichen Lösungshinweisen ist auch für Schüler erhältlich unter
ISBN 978-3-427-60018-3
www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS GmbH
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 978-3-427-60017-6
© Copyright 2009*: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
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Bildungseinrichtungen.
Vorwort
3
Vorwort
Neuere Studien zum Mathematikunterricht zeigen, dass Schülerinnen und Schüler
häufig die rein innermathematisch erworbenen rechentechnischen Kenntnisse und
Fähigkeiten nicht außerhalb der Mathematik anwenden können.
Obwohl die fachdidaktische Diskussion bereits seit geraumer Zeit auf mehr Anwendungsbezüge im Unterricht drängt, bleibt es in der Unterrichtspraxis häufig bei der
rein innermathematischen Einübung von Routinekalkülen. Ein Grund dafür ist sicherlich der häufig fehlende Anwendungsbezug in den Mathematik-Schulbüchern.
Der vorliegende Band ANWENDUNGSBEZOGENE ANALYSIS versucht verstärkt
anwendungsbezogene Aufgaben zu berücksichtigen, wobei in der Darstellung die Fachsystematik der Analysis ausdrücklich beibehalten wird.
Indem die Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik aufgezeigt werden, wird den
Schülerinnen und Schülern ein „ausgewogenes Bild“ von Mathematik im Spannungsfeld von sog. „reiner Mathematik“ und „angewandter Mathematik“ vermittelt. Mathematik wird von den Schülerinnen und Schülern nicht mehr als „nutzlos“ angesehen.
Motivationspsychologisch wird den Schülerinnen und Schülern verdeutlicht, wozu
Mathematik im Leben gebraucht wird.
Die Darstellung in diesem Schulbuch erfolgt in einer für Schülerinnen und Schüler
möglichst anschaulichen und verständlichen Form.
Zahlreiche durchgerechnete Handlungssituationen mit ausführlichen Lösungen führen
bei den Schülerinnen und Schülern zu einem leichteren Verständnis der Analysis. Diese
Handlungssituationen mit Lösungen sind mit dem nebenstehenden „Puzzle-Symbol“
und einem blauen Balken versehen.
Die Übungsaufgaben zu jedem Abschnitt werden durch das „Verzahnungssymbol“ und
einem grünen Balken kenntlich gemacht.
Alle Aufgaben können auch mit einem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder einem
Computer-Algebra-System (CAS) gelöst werden. Im Anhang sind zusammenfassend
die wichtigsten Funktionen des grafikfähigen Taschenrechners TI-84 Plus aufgeführt,
die für das Sachgebiet Analysis relevant sind (Bei den Taschenrechnern anderer Hersteller sind die Eingaben ähnlich). Das Taschenrechnersymbol (s. Abb. rechts) bei einzelnen Aufgaben im Text verweist auf die jeweiligen Erläuterungen zu den GTR-Funktionen im Anhang.
Außerdem enthält dieses Schulbuch eine CD-ROM mit GeoGebra-Dateien, mit denen
sich wichtige Zusammenhänge der Analysis im Unterricht dynamisch visualisieren lassen. Sehr gut geeignet sind die GeoGebra-Dateien auch zum entdecken-lassenden Lernen. Das GeoGebra-Symbol im Text verweist auf die jeweiligen Dateien der beiliegenden CD-ROM.
Ich wünsche allen Schülerinnen und Schülern, die mit diesem Buch arbeiten, viel
Erfolg und Freude an der Mathematik.
Und vielleicht wird zukünftig von den Schülerinnen und Schülern weniger häufig die
Frage gestellt: „Wozu brauchen wir das?“
Der Verfasser
GTR
4
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Zeichen und Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Aufbau des Zahlensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
............................
Bedeutung und Darstellungsformen von Funktionen .
Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definitionen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1
Bedeutung von m und b in f (x) ⫽ mx ⫹ b
(Von der Realsituation zur Funktionsgleichung) . . . . . . . . .
Konstruktion des Funktionsgraphen einer linearen Funktion
(Von der Gleichung zum Graphen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Funktionsgleichung
(Vom Graphen zur Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschnittweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Isokostengerade und Bilanzgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
Funktionen
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11
11
16
17
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. . . . . . . 32
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34
36
44
45
1.3
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.1
1.3.2
Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Anwendungen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.4.7
1.4.8
Öffnung und Dehnung / Stauchung der Normalparabel
Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scheitelpunktform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynomdarstellung – Scheitelpunktform . . . . . . . . .
Nullstellenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linearfaktordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnittprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirtschaftstheoretische Anwendungen . . . . . . . . . . .
1.5
Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.5.1
1.5.2
1.5.3
f (x) ⫽ x n mit geraden Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
f (x) ⫽ x n mit ungeraden Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
f (x) ⫽ ax n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.6
Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
Verlauf des Graphen für x 씮 ⫾ ⬁ . . .
Linearfaktordarstellung . . . . . . . . . .
Nullstellenberechnung . . . . . . . . . . .
Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirtschaftstheoretische Anwendungen
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65
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70
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74
78
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. 94
. 95
. 98
105
107
Inhaltsverzeichnis
2
Einführung in die Differenzialrechnung . . . . . . . . . 109
2.1
Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.1
2.1.2
Verhalten von Funktionen im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Verhalten von Funktionen bei Annäherung an eine Stelle x a . . . . . . 118
2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Steigung eines Funktionsgraphen (zeichnerisches Differenzieren) . . . . 122
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
Ableitung
Durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen
(mittlere Änderungsrate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle
(momentane Änderungsrate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung eines Funktionsgraphen an einer beliebigen Stelle
(Ableitungsfunktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungsbezogene Bedeutung der Änderungsraten . . .
. . . . . . . 126
. . . . . . . 130
. . . . . . . 138
. . . . . . . 142
3
Untersuchung der ganzrationalen Funktionen
mithilfe der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1
Ableitung der ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Potenz- und Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Summen- und Differenzregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Anwendungen der Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2
Zusammenhänge zwischen Graphen von Funktionen und
deren Ableitungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Extrempunkte und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Wendepunkte und Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.3
Untersuchung von ganzrationalen Funktionen und
ihren Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.3.1
3.3.2
3.3.3
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Aufstellen von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Bedingungen
193
Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4
Weitere Funktionsuntersuchungen mithilfe der
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.1
Verkettete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.1.1
4.1.2
Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Ableitung der verketteten Funktionen (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . 217
4.2
Gebrochenrationale Funktionen
4.2.1
Einführung in die Funktionsklasse der gebrochenrationalen
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definitionsbereich / Definitionslücken . . . . . . . . . . . . . . .
Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der gebrochenrationalen Funktionen . . . . . . . .
Kurvendiskussion der gebrochenrationalen Funktionen . .
Anwendungen der gebrochenrationalen Funktionen . . . . .
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
4.2.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
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218
222
228
230
236
240
248
5
6
Inhaltsverzeichnis
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
..........................
Einführung in die Funktionsklasse der Wurzelfunktionen .
Ableitung der Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion der Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
Einführung in die Funktionsklasse der Exponentialfunktionen
Ableitung der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
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277
291
296
305
4.5
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.4
..........................
Einführung in die Funktionsklasse der Logarithmusfunktionen .
Ableitung der Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion der Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
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313
313
317
319
323
4.6
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.3
Wurzelfunktionen
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Logarithmusfunktionen
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258
258
264
266
272
4.7
Untersuchung von Funktionenscharen und ihren Graphen . . . . 330
4.7.1
4.7.2
Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Ortslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5
Übergreifende Anwendungen der
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
5.1
Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen
5.1.1
5.1.2
5.1.3
Kostenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Erlösfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Gewinnfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
5.2
Angebot und Nachfrage (Marktgleichgewicht) mit
Steuern und Subventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.3
Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.4
Optimierungsprobleme in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.4.4.1
5.4.4.2
Die optimale Nutzungsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die optimale Bestellmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die optimale Losgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimale Kombinationen in der Produktions- und Haushaltstheorie
Isoquante / Minimalkostenkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indifferenzkurve / Haushaltsgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1
Einführung in die Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
Stammfunktionen / Unbestimmtes Integral
Flächeninhaltsfunktion . . . . . . . . . . . .
Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . .
Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
....
....
....
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370
371
375
378
378
384
395
400
408
413
Inhaltsverzeichnis
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
Anwendungen der Integralrechnung . . . .
Das Integral als Flächenmaß . . . . . . . . . . .
Rotationsvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwert der Funktionswerte einer Funktion
Konsumenten- und Produzentenrente . . . . . .
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416
416
426
430
432
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
6.3.5
6.3.6
6.3.7
6.3.8
Weiterführung der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration durch Zerlegung in Partialbrüche . . . . . . . . . . . . .
Produktintegration (Partielle Integration) . . . . . . . . . . . . . . . .
Vermischte Übungen zu den verschiedenen Integrationsverfahren
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bogenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mantelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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435
435
436
440
443
445
447
451
453
7
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
7.1
7.2
7.2.1
7.2.2
Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische und geometrische Folgen
Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
7.3.1
7.3.2
Arithmetische und geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
7.4
Vermischte Aufgaben zu arithmetischen und
geometrischen Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
..
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456
459
459
460
Anhang: Die wichtigsten Funktionen des
grafikfähigen Taschrenrechners (GTR) TI-84 Plus
für das Sachgebiet Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7
8
Mathematische Zeichen und Symbole
Mathematische Zeichen und
Symbole
Zeichen,
Symbol
⫽
⬆
艐
⬍
⬎
ⱕ
ⱖ
ⱍⱍ
⬁
⇒
⇔
∧
∨
n
z
q
r
n*, z*, q*, r*
n ⫹, z⫹, q⫹, r ⫹
n*
⫹, z*
⫹, q*
⫹, r*
⫹
n ⫺, z⫺, q⫺, r ⫺
n*
⫺, z*
⫺, q*
⫺, r*
⫺
{1; 2; 3}
{x ⱍ …}
{(x ; y ) ⱍ …}
0/ ⫽ { }
僆
僆
Sprechweise/Bedeutung
Beispiel
gleich
ungleich
ist ungefähr gleich
kleiner als
größer als
kleiner gleich
größer gleich
Betrag von
unendlich
daraus folgt
gilt genau dann, wenn; ist äquivalent
mit
und
oder
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null
Menge der ganzen Zahlen einschließlich
der Null
Menge der rationalen Zahlen einschließlich der Null
Menge der reellen Zahlen einschließlich
der Null
Zahlen der Mengen n, z, q, r ohne die
Null
positive Zahlen der Mengen n, z, q, r
einschließlich der Null
positive Zahlen der Mengen n, z, q, r
ohne die Null
negative Zahlen der Mengen n, z, q, r
einschließlich der Null
negative Zahlen der Mengen n, z, q, r
ohne die Null
Menge mit den Elementen 1, 2, 3
Menge aller x für die gilt …
Menge aller Zahlenpaare (x ; y ) für die
gilt …
leere Menge
Element von
nicht Element von
4⫽4
3⬆4
冪2 艐 1,41
3⬍4
5⬎4
xⱕ3
xⱖ4
ⱍ ⫺3 ⱍ ⫽ 3
n ⫽ {0; 1; 2; 3; …} ⇒ {1}僆n
2x ⫽ 4 ⇔ x ⫽ 2
n ⫽ {0; 1; 2; 3; …}
z ⫽ {… ; ⫺3; ⫺2; ⫺1;0;1;2;3;…}
a
q ⫽ {b ⱍ a 僆 Z; b 僆 Z *}
z* ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1; 1; 2; 3; …}
z⫹ ⫽ {0; 1; 2; 3; …}
z*⫹ ⫽ {1; 2; 3; …}
z⫺ ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1; 0}
z*⫺ ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1}
A ⫽ {1; 2; 3}
D ⫽ {x ⱍ 0 < x < 3}r
{(x ; y ) ⱍ y ⫽ 3x }
z⫺ 傽 n ⫽ 0/ ⫽ { }
{1} 僆 n
{⫺1} 僆 n
Mathematische Zeichen und Symbole
Zeichen,
Symbol
Sprechweise/Bedeutung
Beispiel
傼
vereinigt mit
n* 傼 {0} ⫽ n
傽
geschnitten mit
n 傽 n* ⫽ n*
傺
ist echte Teilmenge von
n傺r
\
ohne
n \ {0} ⫽ n*
[a ; b ]
geschlossenes Intervall (von einschließlich a bis
einschließlich b )
{x ⱍa ⱕ x ⱕ b }
(a ; b )
offenes Intervall (von ausschließlich a bis ausschließlich b )
{x ⱍa ⬍ x ⬍ b }
[a ; b )
halb offenes Intervall (von einschließlich a bis ausschließlich b )
{x ⱍa ⱕ x ⬍ b }
(a ; b ]
halb offenes Intervall (von ausschließlich a bis einschließlich b )
{x ⱍa ⬍ x ⱕ b }
P(x / y)
Punkt P mit den Koordinaten (x / y)
P(1/3)
f: f (x) ⫽ …
eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f (x)
⫽…
f: f (x) ⫽ 3 x
具an典
Folge an
具an典: 1; 4; 9; 16; …
f
reelle Funktion
f: f (x) ⫽ x2
哫
wird zugeordnet
x 哫 f (x)
f⫺1
Umkehrfunktion
f*
Asymptotenfunktion
g왌h
g verkettet mit h (verkettete Funktion)
D( f )
Definitionsbereich, Definitionsmenge einer Funktion f
D( f ) ⫽ r*⫹
W(f)
Wertebereich, Wertemenge einer Funktion f
W( f ) ⫽ [1; ⬁)
G( f )
Graph einer Funktion f
L
Lösungsmenge
L ⫽ {3}
씮
gegen; nähert sich
x씮⬁
lim
Grenzwert (Limes)
9
x
2
1
für f: f (x) ⫽ ist f*: f*(x) ⫽ 0
x
f ⫽ g 왌 h : f (x) ⫽ g[h(x)]
f: f (x) ⫽ 2 x ⇒ f⫺1 : f⫺1(x) ⫽
lim f (x) ⫽ a
x씮⬁
Dy
Delta y
Dy ⫽ y2⫺y1
f⬘(x)
f Strich von x
(1.) Ableitung von f (x)
f⬙(x)
f zwei Strich von x
2. Ableitung von f (x)
df
dx
d f nach dx
df
⫽ f ⬘ ist die Ableitung von f
dx
兺
Summe
n
兺
xi
i⫽1
兰
Summe aller xi von i ⫽ 1 bis i ⫽ n
a
x 2i ⫽ 12 ⫹ 22 ⫹ 32 ⫽ 14
i⫽1
unbestimmtes Integral
兰 f (x) dx ⫽ F (x) ⫹ C
Integral f von x dx von a bis b
兰 x2 dx
b
兰 f (x) dx
3
兺
1
0
10
Mathematische Zeichen und Symbole
Aufbau des Zahlensystems
Natürliche Zahlen ohne die
Null
n* = {1; 2; 3; …}
Null
0
Natürliche Zahlen einschließlich
der Null
n = {0; 1; 2; 3; …}
Negative ganze
Zahlen
z*– = {…; –3; –2; –1}
Ganze Zahlen
z = n 傼 z*– = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …}
Rationale Zahlen
a
q = {b ⱍ a, b 僆 z und b ⬆ 0}
Reelle Zahlen
r = q 傼 I: alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl
Echte
Bruchzahlen
1
3
z. B. 4 oder 3
Irrationale Zahlen I
: alle unendlichen nicht
periodischen Zahlen,
z. B. 冪2 oder p
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
Untersuchung der
ganzrationalen Funktionen
mithilfe der
Differenzialrechnung
3
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
Das Ableiten einer Funktion mithilfe des Übergangs vom Differenzen- zum Differenzialquotienten ist rechnerisch aufwendig, insbesondere dann, wenn die Funktionsterme umfangreicher und schwieriger werden.
Aus diesem Grund wollen wir im Folgenden versuchen Regeln zu finden, die das Ableiten von ganzrationalen Funktionen erleichtern.
3.1.1 Potenz- und Faktorregel
Potenzregel
Situation 1
In der Situation 1 und den
Übungsaufgaben 1–3 des
Abschnitts 2.2.4 (S. 138 ff.)
haben Sie bereits die Ableitungen einiger Potenzfunktionen bestimmt.
a) Ergänzen Sie die Tabelle
mit den fehlenden Ableitungsfunktionen.
b) Formulieren Sie die
Gesetzmäßigkeit, die sich
beim Ableiten der Potenzfunktionen erkennen
lässt, in Worten.
Lösung
a) f (x)
f ⬘ (x)
f (x)
f (x) ⫽ x2
⇒
f (x) ⫽ x
⇒
3
4
f (x) ⫽ x
⇒
1
f (x) ⫽ x
⇒
f (x) ⫽
1
⫽ x⫺t
x
⇒
f (x) ⫽
1
⫽ x⫺2
x2
⇒
b) Potenzfunktionen der
Form f (x) ⫽ xn werden in
der Weise abgeleitet, dass
die Basis mit dem Exponenten der Variablen x
multipliziert und der
Exponent selbst um eins
verringert wird.
f ⬘ (x)
f (x) ⫽ x2
⇒ f ⬘ (x) ⫽ 2 x
3
f (x) ⫽ x
⇒ f ⬘ (x) ⫽ 3 x2
f (x) ⫽ x4
⇒ f ⬘ (x) ⫽ 4 x3
f (x) ⫽ x1
⇒ f ⬘ (x) ⫽ 1
f (x) ⫽
1
⫽ x⫺t
x
⇒ f ⬘ (x) ⫽ ⫺1 x⫺2 ⫽ ⫺
1
x2
f (x) ⫽
1
⫽ x⫺2
x2
⇒ f ⬘ (x) ⫽ ⫺2 x⫺3 ⫽ ⫺
2
x1
149
150
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
Diese Gesetzmäßigkeit beim Ableiten der Potenzfunktionen wird Potenzregel genannt:
f (x) ⫽ x n
⇒
f ⬘ (x) ⫽ n ⋅ x n⫺1
Potenzregel
Situation 2
Differenzieren Sie die Funktion f: f (x) ⫽ x 5, und bestimmen Sie die Steigung bei
x ⫽ ⫺ 2, x ⫽ 0, x ⫽ 3 und x ⫽ 5.
Lösung
Nach der Potenzregel ist f ⬘ (x) ⫽ 5 x 4.
Die Steigung des Graphen der Funktion f: f (x) ⫽ x 5 an den angegebenen Stellen wird
berechnet, indem diese Stellen in die Ableitungsfunktion eingesetzt werden:
f ⬘ (⫺2) ⫽ 80
f ⬘ (0)
⫽
f ⬘ (3)
⫽ 405
f ⬘ (5)
⫽ 3125
0
Faktorregel
Wir wollen untersuchen, wie sich ein konstanter Faktor im Funktionsterm einer
Potenzfunktion auf die Ableitung auswirkt.
Situation 3
Die Ableitungsfunktion von f: f (x) ⫽ x 2 lautet f ⬘ (x) ⫽ 2 x. Differenzieren Sie f:
f (x) ⫽ ax 2 mithilfe des Differenzialquotienten und vergleichen Sie das Ergebnis mit
der Ableitung von f (x) ⫽ x 2.
Lösung
f (x ⫹ h) ⫺ f (x)
h
(x ⫹ h)2 ⫺ x 2
a (x ⫹ h)2 ⫺ ax 2
lim
⫽ lim a ⋅
h
h
h씮0
h씮0
f ⬘(x) ⫽ lim
h씮0
⫽ lim a ⋅ (2 x ⫹ h) ⫽ a ⋅ 2 x
h씮0
⇒ f ⬘(x) ⫽ 2ax
Ergebnis:
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
Dieser Satz wird Faktorregel der Differenzialrechnung genannt.
1)
n 僆 q. Die Potenzregel kann also auch bei negativen und/oder gebrochenen Exponenten angewendet
werden. Auf die mathematisch exakte Beweisführung für die Richtigkeit der Potenzregel wird hier
bewusst verzichtet.
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
f (x) ⫽ a ⋅ u (x)
⇒
f ⬘ (x) ⫽ a ⋅ u⬘ (x)
Faktorregel
Potenz- mit Faktorregel
Für das Differenzieren der Potenzfunktionen der Form f (x) ⫽ ax n kann somit folgende Regel aufgestellt werden:
f (x) ⫽ ax n
⇒
f ⬘ (x) ⫽ n ⋅ ax n⫺1
Potenz- mit Faktorregel
Situation 4
Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion.
1
a) f (x) ⫽ 2 x2
b) f (x) ⫽ ⫺x3
c) f (x) ⫽ 3x
d) f (x) ⫽ 2
Lösung
1
f ⬘(x) ⫽ 2 ⋅ 2 x1 ⫽ x
f ⬘(x) ⫽ ⫺3x2
f (x) ⫽ 3x kann man als Potenz schreiben: f (x) ⫽ 3x1
⫽3
f (x) ⫽ 2 kann man als Potenz schreiben: f (x) ⫽ 2x0
⇒ f ⬘(x) ⫽ 1 ⋅ 3x0 ⫽ 1 ⋅ 3 ⋅ 1
⇒ f ⬘(x) ⫽ 0 ⋅ 2x⫺1 ⫽ 0
Situation 5
Die variablen Kosten Kv eines Betriebes (in GE) werden in Abhängigkeit von der
Produktionsmenge (in ME/Periode) beschrieben durch die Funktion
1
Kv : Kv (x) ⫽ 4 x3 ; D (Kv) ⫽ [0; 10].
a) Wie verändern sich die variablen Kosten an den Stellen x ⫽ 1 und x ⫽ 2?
b) Bei welcher Produktionsmenge beträgt die punktuelle Änderungsrate der variablen
75
Kosten 4 ?
Lösung
3
K⬘v (x) ⫽ 4 x2
a) K⬘v (1) ⫽
3
4
3
K⬘v (2) ⫽ 4 22 ⫽ 3
b) K⬘v (x) ⫽
75
4
75
4
3
⫽ 4 x2
x1 ⫽ ⫺5 僆 D (Kv)
x2 ⫽ 5
151
152
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
Übungsaufgaben
1 Differenzieren Sie f (der Exponent in der Ableitungsfunktion soll ggf. positiv sein) und
berechnen Sie dann die Steigung des Funktionsgraphen von f an der angegebenen
Stelle.
a) f: f (x) ⫽ x5 ;
x⫽2
d) f: f (x) ⫽ 0;
x ⫽ 10
b) f: f (x) ⫽ x6 ;
1
x⫽
2
1
e) f: f (x) ⫽ 3 ;
x
x ⫽ ⫺1
c) f: f (x) ⫽ 3;
x⫽0
f) f: f (x) ⫽
1
;
x4
x⫽2
2 Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion (mit Wurzelzeichen) und berechnen Sie dann die Steigung des Funktionsgraphen an der angegebenen Stelle.
a) f: f (x) ⫽ 冪x;
b) f: f (x) ⫽
1
冪x
;
x⫽9
c) f: f (x) ⫽ 3冪x2 ;
x⫽1
x⫽4
1
d) f: f (x) ⫽ 3 ;
冪x
x⫽4
3 Leiten Sie ab und berechnen Sie dann die Steigung des Funktionsgraphen an der
angegebenen Stelle.
a) f: f (x) ⫽ 3x4 ;
x ⫽ ⫺1
1
b) f: f (x) ⫽ ⫺ x3 ;
2
x⫽
c) f: f (x) ⫽ 0,25x2 ;
x ⫽ 0,25
d) f: f (x) ⫽ ⫺0,3 x3 ;
x⫽⫺
1
3
e) f: f (x) ⫽
f) f: f (x) ⫽
1
3
2
;
x2
4
冪x 3
x⫽1
x⫽4
;
1
g) f: f (x) ⫽ 3冪x4 ;
3
h) f: f (x) ⫽
2
3 冪x
x ⫽ ⫺1
x⫽1
;
4 Wie lauten die Funktionsgleichungen der Tangenten an den Graphen der Funktion
in P?
a) f: f (x) ⫽ 3 x 3 ;
b) f: f (x) ⫽ 0,5 x ;
3
c) f: f (x) ⫽ 2 x 3 ;
P (2/24)
d) f: f (x) ⫽ 2冪x;
P (4/4)
P (0/0)
e) f: f (x) ⫽
P (⫺2/⫺0,5)
P (1/2)
f) f: f (x) ⫽
1
;
x
⫺ 12 ;
x
P (⫺1/⫺1)
5 An welchen Stellen xa hat der Graph der Funktion f die angegebene Steigung?
a) f: f (x) ⫽ 0,5 x 2 ;
f ⬘ (xa) ⫽ 7
d) f: f (x) ⫽ 2 x 3 ;
f ⬘ (xa) ⫽ 24
b) f: f (x) ⫽ 3 x;
f ⬘ (xa) ⫽ 2
e) f: f (x) ⫽ ⫺ 4 x ; f ⬘ (xa) ⫽
c) f: f (x) ⫽ 4 x;
f ⬘ (xa) ⫽ 4
f) f: f (x) ⫽ 4 x 4 ;
2
3
1
2
f ⬘ (xa) ⫽ 27
6 Wo hat der Graph der Funktion f eine Tangente parallel zur Geraden g?
d) f: f (x) ⫽ ⫺ x1 ;
g: g (x) ⫽ x
b) f: f (x) ⫽ ⫺ 13 x 3 ; g: g (x) ⫽ ⫺x ⫺ 1
e) f: f (x) ⫽
g: g (x) ⫽ 2 x ⫺ 0,5
c) f: f (x) ⫽ 冪x;
f) f: f (x) ⫽
a) f: f (x) ⫽ 14 x 2 ;
g: g (x) ⫽ 2 x ⫹ 1
g: g (x) ⫽ 3 ⫹ 14 x
1
;
x2
1
2 冪x
;
g: g (x) ⫽ 3 ⫹ 14 x
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
7 Der zurückgelegte Weg s (in Meter) eines fallenden Gegenstandes in Abhängigkeit von
9,81 2
der Zeit t (in Sekunden) wird beschrieben durch die Gleichung s (t) ⫽
t.
2
a) Begründen Sie, warum die Ableitung die Geschwindigkeit des Körpers angibt.
b) Welche Geschwindigkeit hat der Körper nach 2, 3 bzw. 4 Sekunden?
c) Wie verändert sich die Geschwindigkeit?
d) Zu welchem Zeitpunkt hat der fallende Gegenstand eine Geschwindigkeit von
m
25 ?
sec
e) Wann fällt der Gegenstand mit einer Geschwindigkeit von 100 km ?
h
8 Die variablen Gesamtkosten Kv eines Betriebes können in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x beschrieben werden durch die Funktion
Kv : Kv (x) ⫽
1 3
10 x ;
D (Kv) ⫽ [0; xKap].
a) Wie verändern sich die variablen Gesamtkosten einer Produktion von 1, 2 bzw.
3 ME?
b) Wie entwickeln sich die Grenzkosten mit zunehmender Produktionsmenge?
GE
c) Bei welcher Produktionsmenge nehmen die variablen Kosten um 10,8 ME zu?
3.1.2 Summen- und Differenzregel
Situation 1
Die Erlösfunktion eines Angebotsmonopolisten lautet E:
E (x) ⫽ ⫺7x2 ⫹ 49x; D (E) ⫽ [0; 7].
a) Welcher Funktionsklasse gehört diese Erlösfunktion an? Wie ist der Funktionsterm
der Erlösfunktion zusammengesetzt?
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Grenzerlösfunktion.
c) Wie ändern sich die Erlöse bei den Produktionsmengen x ⫽ 2 und x ⫽ 4?
d) Bei welcher Produktionsmenge sind die Grenzerlöse null?
Lösung
a) Die gegebene Erlösfunktion ist eine ganzrationale Funktion. Sie ist eine Summe
der Potenzfunktionen u (x) ⫽ ⫺7x2 und v (x) ⫽ 49x.
b) Die Grenzerlösfunktion ist die Ableitungsfunktion der Erlösfunktion. Gesucht ist
also die Ableitung einer ganzrationalen Funktion, die sich aus einer Summe von
Potenzfunktionen zusammensetzt.
Summen bzw. Differenzen von Funktionen dürfen gliedweise abgeleitet werden.
153
154
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
Mithilfe der Potenz-/Faktorregel können wir jeden Summanden der Erlösfunktion einzeln ableiten. Die Ableitungsfunktion ergibt sich dann aus der Summe dieser einzelnen Ableitungen.
E (x) ⫽ ⫺7x2 ⫹ 49x
⇒
E⬘ (x) ⫽ ⫺14x ⫹ 49
c) E⬘ (2) ⫽ 21
E⬘ (4) ⫽ ⫺7
d) E⬘ (x) ⫽ 0
0 ⫽ ⫺14x ⫹ 49
49
x ⫽ 14 ⫽ 3,5
f (x) ⫽ u (x) ⫹ v (x) ⇒
f ⬘ (x) ⫽ u⬘ (x) ⫹ v⬘ (x)
1)
Summenregel
f (x) ⫽ u (x) ⫺ v (x) ⇒
f ⬘ (x) ⫽ u⬘ (x) ⫺ v⬘ (x)
2)
Differenzregel
Aus dem Vergleich von Ausgangs- und Ableitungsfunktion ergibt sich folgender allgemeingültiger Zusammenhang:
Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades ist eine ganzrationale Funktion
(n ⫺ 1)-ten Grades.
Situation 2
1
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f: f (x) ⫽ 4x3 ⫺ 2x2 ⫹ 2 x ⫺ 2.
Lösung
f ⬘: f ⬘(x) ⫽ 12x2 ⫺ 4x ⫹
1
2
Situation 3
f: f (x) ⫽ x 2 ⫹ x ⫺ 2
Bestimmen Sie die Steigung der Tangenten an den Funktionsgraphen in den Achsenschnittpunkten.
1)
f (x ⫹ h) ⫺ f (x)
. Für f (x) ⫽ u (x) ⫹ v (x) ist f ⬘ (x) ⫽
h
u (x ⫹ h) ⫹ v (x ⫹ h) ⫺ u (x) ⫺ v (x)
lim
Nach dem Grenzwertsatz für Summen ist
h
h씮0
u (x ⫹ h) ⫺ u (x)
v (x ⫹ h) ⫺ v (x)
f ⬘ (x) ⫽ lim
⫹ lim
h
h
h씮0
h씮0
f ⬘ (x) ⫽
u⬘ (x)
⫹
v⬘ (x)
Beweis: f ⬘ (x) ⫽ lim
h씮0
2)
Der Beweis ist entsprechend dem der Summenregel zu führen. Auch für die Differenzregel ist Voraussetzung, dass u und v differenzierbar sind.
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
Lösung
1. Berechnung der Achsenschnittpunkte
Aus dem Absolutglied ergibt sich der Schnittpunkt mit der Ordinate (f(0) ⫽ ⫺2):
Sf (0/⫺2)
Die Nullstellen werden mithilfe der p/q-Formel berechnet:
0 ⫽ x2 ⫹ x ⫺ 2
1
x1/2 ⫽ ⫺ ⫾
2
⫽⫺
冪4 ⫹ 4
8
1
1 3
⫾
2 2
x1 ⫽ ⫺ 2
x2 ⫽ 1
Aus diesen Nullstellen ergeben sich folgende Schnittpunkte mit der x-Achse:
Sx1 (⫺ 2/0)
Sx2 (1/0)
f (x) ⫽ x 2 ⫹ x ⫺ 2
2. Berechnung der Ableitungsfunktion
f (x) ⫽ x 2 ⫹ x ⫺ 2 ⇒ f ⬘ (x) ⫽ 2 x ⫹ 1
3. Berechnung der Steigung in den Achsenschnittpunkten durch Einsetzen der entsprechenden
x-Werte in die Ableitungsfunktion
f ⬘ (x) ⫽ 2 x ⫹ 1
f (x)
3
1
1
⫺ Steigung in Sf (x) : f ⬘ (0) ⫽ 2 ⋅ 0 ⫹ 1 ⫽ 1
⫺ Steigung in Sx1 : f ⬘ (⫺ 2) ⫽ 2 ⋅ (⫺ 2) ⫹ 1 ⫽ ⫺3
3
1
⫺ Steigung in Sx2 : f ⬘ (1) ⫽ 2 ⋅ 1 ⫹ 1 ⫽ 3
1
1
Situation 4
1
1
Wo hat der Graph der Funktion f: f (x) ⫽ 3 x 3 ⫹ 2 x 2 ⫺ 6 x waagerechte Tangenten?
Lösung
Nach den bekannten Ableitungsregeln lautet die Ableitung:
1
1
f (x) ⫽ 3 x 3 ⫹ 2 x 2 ⫺ 6 x
⇒
f ⬘ (x) ⫽ x 2 ⫹ x ⫺ 6
Es sind die x-Werte gesucht, an denen der Funktionsgraph die Steigung null aufweist.
Da f ⬘ (x) die Steigung der Funktion angibt, wird in die Ableitung für f ⬘ (x) die Zahl
Null eingesetzt.
0 ⫽ x2 ⫹ x ⫺ 6
Mithilfe der p/q-Formel können nun die Stellen berechnet werden, an denen der Graph
der Funktion die Steigung null aufweist:
1
x1/2 ⫽ ⫺ ⫾
2
x1 ⫽ ⫺ 3
x2 ⫽ 2
冪4 ⫹ 4
1
24
155
156
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
Ergebnis:
Der Graph der Funktion
1
1
f: f (x) ⫽ 3 x 3 ⫹ 2 x 2 ⫺ 6 x hat
bei x ⫽ ⫺ 3 oder bei x ⫽ 2
waagerechte Tangenten.
f(x)
f (x ) =
1
3
x3 +
1 2
x
2
– 6x
10
5
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5 x
–5
–10
Situation 5
Information:
Als Nutzen bezeichnet man den Grad der Bedürfnisbefriedigung, den ein Verbraucher
durch den Konsum von Gütern erreicht.
N(x)
Im Folgenden wollen wir nur ein einzelNutzenzuwachs des 3. Glases Wasser
nes Gut betrachten und davon ausge1
hen, dass wir den Nutzen, den dieses
Nutzenzuwachs
des
Gut stiftet, quantifizieren können.
2. Glases Wasser
Mit zunehmender Konsummenge eines
1
Gutes steigt der Nutzen für den VerNutzenzuwachs des
braucher, bis eine Sättigung des Be1. Glases Wasser
dürfnisses eintritt und weiterer Verbrauch Widerwillen hervorruft. Der
x
Nutzenzuwachs wird mit jeder Zu1
2
3
4
5
6
nahme des Konsums immer geringer.
Beispiel: Bei einem durstigen Menschen löscht das erste Glas Wasser am meisten Durst.
Das zweite Glas stiftet schon weniger Nutzen und jedes weitere Glas löscht immer weniger
Durst. Nach einer bestimmten Wassermenge wird der Mensch den Konsum zusätzlichen
Wassers nicht mehr als nutzensteigernd empfinden, im Gegenteil, der Nutzen wird mit
jedem zusätzlichen Glas Wasser wieder abnehmen.
Der preußische Beamte Hermann Heinrich Gossen (1810–1858) hat diesen Sachverhalt
im sog. 1. Gossenschen Gesetz formuliert:
Der Grenznutzen eines Gutes nimmt mit wachsender verfügbarer Menge dieses
Gutes ab.
Der Grenznutzen ist diejenige Veränderung des Nutzens, die eintritt, wenn der Konsum
des Gutes um eine beliebig kleine Einheit erhöht wird.
Der maximale Nutzen eines Gutes ist für einen bestimmten Verbraucher 4,5 Einheiten.
Bei einem Konsum von x ⫽ 6 ME ist der Nutzen für diesen Verbraucher null.
a) Wie lautet die Gleichung der quadratischen Nutzenfunktion N (x)?
b) Welche Gleichung beschreibt den Grenznutzen? Was sagt der Grenznutzen aus?
c) Bestätigen Sie das 1. Gossensche Gesetz, indem Sie den Grenznutzen für verschiedene ganzzahlige Verbrauchsmengen des ökonomisch sinnvollen Definitionsbereiches berechnen.
d) Was bedeutet ein positiver bzw. negativer Grenznutzen? Was bedeutet es, wenn der
Grenznutzen null ist?
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
Lösung
a) Die Nullstellen der Parabel liegen bei x ⫽ 0 und bei x ⫽ 6. Daher lautet die
Linearfaktordarstellung der Parabel N(x) ⫽ a ⋅ x ⋅ (x ⫺ 6). Aus Symmetriegründen
liegt der Scheitelpunkt bei x ⫽ 3, der Funktionswert dort ist N (3) ⫽ 4,5.
N (3) ⫽ 4,5 ⇒ 4,5 ⫽ a ⋅ 3 ⋅ (⫺3)
4,5 ⫽ ⫺9 a ⇔ a ⫽ ⫺
1
2
1
Die Nutzengleichung lautet in Polynomform N (x) ⫽ ⫺ x2 ⫹ 3x.
2
b) Der Grenznutzen beschreibt die Veränderung des Nutzens an einer beliebigen Stelle
(Steigung des Graphen der Nutzenfunktion) und ist damit nichts anderes als die
Ableitung der Nutzenfunktion.
N⬘ (x) ⫽ ⫺x ⫹ 3
c) N⬘ (0)
N⬘ (1)
N⬘ (2)
N⬘ (3)
N⬘ (4)
N⬘ (5)
N⬘ (6)
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
⫽
3
2
1
0
⫺1
⫺2
⫺3
Grundsätzlich ist ein abnehmender Grenznutzen festzustellen. Zu
Beginn des Konsums ist der Grenznutzen (⫽ Nutzenzuwachs) mit
3 Einheiten am größten. Mit jeder zusätzlich konsumierten Einheit
wird der Nutzenzuwachs immer geringer, bleibt aber bis zu einem
Konsum von 3 ME immer noch positiv. Bei einem Konsum von
3 ME wird der Grenznutzen für den Verbraucher null. Durch jeden
weiteren Konsum des Gutes kann der Verbraucher keine zusätzliche Bedürfnisbefriedigung mehr erreichen. Bei weiterem Konsum
des Gutes wird der Nutzen durch den negativen Grenznutzen verringert.
d) 앫 Positiver Grenznutzen: steigender Nutzen
앫 Negativer Grenznutzen: abnehmender Nutzen
앫 Grenznutzen⫽ 0: kein Nutzenzuwachs
Übungsaufgaben
1 Differenzieren Sie.
a) f (x) ⫽ x 3 ⫹ x 2 ⫺ x ⫺ 7
d) f (x) ⫽ ⫺ 4 x 3 ⫹ x 2 ⫺ 1
b) f (x) ⫽ 9 x ⫹ 2 x ⫹ 10 x ⫹ 8 x
e) f (x) ⫽ ⫺ 2 x 2 ⫹ 3 x ⫹ 6
c) f (x) ⫽ 3 x 4 ⫺ 12 x 3 ⫹ 6 x
f) f (x) ⫽ x 3 ⫺ x ⫹ 1
5
4
2
2 Leiten Sie ab.
a) f (x) ⫽ 2 x 4 ⫺ 3 x ⫹ 1
b) f (x) ⫽
1
⫺2x4
⫹
1 2
3x
⫺2
c) f (x) ⫽ ⫺ 0,3̄ x 3 ⫹ 0,6̄ x 2 ⫹ x
d) f (x) ⫽ ⫺ 3,6 x ⫹ 1
e) f (x) ⫽ 2,6 x 2 ⫹ 1,4
f) f (x) ⫽ ⫺ 1,2 x 3 ⫹ 0,4 x 2 ⫹ 0,3 x
3 Bestimmen Sie die Gleichung der Ableitungsfunktion.
a) f (x) ⫽ (x ⫹ 1) (x ⫺ 3)
d) f (x) ⫽ (x ⫺ 4)2
b) f (x) ⫽ x (x ⫺ 1)
e) f (x) ⫽ (2 x ⫹ 2)2
c) f (x) ⫽ (x 2 ⫺ 4) (x ⫺ 2)
f) f (x) ⫽ x 2 (x 2 ⫺ 6 x)
2
157
158
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
4 Differenzieren Sie.
a) f (x) ⫽ x2 ⫹ 冪x
b) f (x) ⫽
d) f (x) ⫽ 3x2 ⫹ 3冪x2
1
1
e) f (x) ⫽ ⫺ ⫹ 3
x 冪x
3
⫹ 2 冪x
x
c) f (x) ⫽ x ⫺
1
1
f) f (x) ⫽
冪x
1
5 f: f (x) ⫽ ⫺3 x2 ⫹ 6 x ⫹
1
1
⫹
x5 3冪x2
2
3
a) Wo weist der Graph der Funktion die Steigung null auf?
b) Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes an.
c) Berechnen Sie die Steigung des Funktionsgraphen in seinen Schnittpunkten mit
der Abszissenachse.
6 Bestimmen Sie für f: f (x) ⫽ x3 ⫺ 4x2 ⫹ 3x die Schnittpunkte mit der Abszissenachse.
Wie lauten die Funktionsgleichungen der Tangenten an den Graphen der Funktion in
den Schnittpunkten mit der Abszissenachse?
1
7 Zeigen Sie, dass die Parabel mit f (x) ⫽ 2 (x ⫺ 3)2 ⫹ 2 im Scheitelpunkt die Steigung
0 hat.
8 Wie lautet die Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen von f mit
1
f (x) ⫽ 3x3 ⫹ 2 x2 ⫺ 6 in P (2/f (2))?
3.1.3 Anwendungen der Ableitungsregeln
Situation 1
Beim Start eines Kraftfahrzeugs wurden die in der nebenstehenden
Tabelle angegebenen Werte gemessen:
a) Welche quadratische Funktionsgleichung beschreibt die in der
Tabelle angegebene Weg-Zeit-Beziehung? Zeichnen Sie ihren
Graphen.
b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion
앫 von der ersten zur zweiten Sekunde
앫 von der zweiten zur dritten Sekunde.
Interpretieren Sie die berechneten mittleren Änderungsraten
bzgl. der Problemstellung.
c) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate zunächst allgemein und dann an der Stelle t ⫽ 2.
Zeit t
[sec]
Weg s
[m]
0
0
1
2
2
8
3
18
4
32
5
50
d) Interpretieren Sie die momentane Änderungsrate bzgl. der Problemstellung.
e) Vergleichen Sie den Aussagegehalt der mittleren und momentanen Änderungsrate
für das o. g. Anwendungsproblem.
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
Lösung
a) Allgemeine Form: s (t) ⫽ at2
Durch Einsetzen eines beliebigen Zahlenpaares aus der Wertetafel für s und t
ergibt sich a ⫽ 2.
s: s (t) ⫽ 2 t2 ; t 苸 [0; 5]
s(t)
[m]
50
40
s (t) = 2t 2
30
20
10
1
b) Für das Intervall [1; 2] entspricht die
mittlere Änderungsrate der durchschnittlichen Steigung des Funktionsgraphen
über dem Intervall [1; 2], d. h. der Steigung der Sekante durch die Punkte P1 (1/
2) und P2 (2/8):
Ds 8 ⫺ 2
ms [1 ; 2] ⫽
⫽
⫽6
Dt 2 ⫺ 1
2
3
4
5
6 t [sec.]
s(t)
[m]
16
14
s (t) = 2t 2
12
10
P2 (2/8)
8
6
6 [m]
4
2
P1 (1/2)
1 [sec]
1
2
3 t [sec.]
Interpretation:
Rein grafisch betrachtet ist die mittlere Änderungsrate nichts anderes als die mittlere Steigung der Funktion über dem Intervall [1; 2], also die Steigung der Sekante
durch die entsprechenden Punkte des Graphen.
Wenn wir neben der berechneten Maßzahl für die Steigung auch noch ihre Maßeinheit berücksichtigen (vgl. die untere Abbildung), die sich durch die Division
Höhenunterschied
ergibt, erhalten wir als Einheit für die mittlere ÄnderungsHorizontalunterschied
m
rate 6 . Dies ist aber nichts anderes als eine Geschwindigkeitsangabe, die man
sec
auch in die eher bekannten 21,6
km
h
umrechnen kann.1)
D. h., das Fahrzeug fährt von der ersten zur zweiten Sekunde mit einer Durchm
km
schnittsgeschwindigkeit von 6
bzw. 21,6 .
sec
1)
h
21 600
km
6m
1 000
6 ⋅ 60 ⋅ 60 m 21 600 m
km
⫽
⫽
⫽
⫽ 21,6
1 sec
1h
1h
1h
h
159
160
3 Untersuchung der ganzrationalen Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung
Für das Intervall [2; 3] ergibt sich entsprechend:
18 ⫺ 8
m
ms [2; 3] ⫽
⫽ 10 冤 冥. Von der
sec
3⫺2
zweiten zur dritten Sekunde fährt das
Fahrzeug durchschnittlich mit einer
m
bzw.
Geschwindigkeit von 10
sec
km
36 . Die Durchschnittsgeschwindigh
keit hat also zugenommen. Die höhere
Durchschnittsgeschwindigkeit kann
man in der Grafik am steileren
Anstieg der entsprechenden Sekante
erkennen.
c) Wir berechnen die Ableitungsfunktion.
Nach der Potenzregel ist die Ableitung von s (t) ⫽ 2t2 :
s⬘ (t) ⫽ 4 t
s⬘ (2) ⫽ 4 ⋅ 2 ⫽ 8
Grafisch betrachtet ist dies das Steigungsmaß der Tangente und damit die
Steigung des Graphen an der Stelle
t ⫽ 2.
d) Interpretation:
Auch für die Tangente ergibt sich als
m
Einheit für das Steigungsmaß ,
s(t)
[m]
P3 (3/18)
16
s (t) = 2t 2
14
10 [m]
12
10
P2 (2/8)
8
1 [sec]
6
6 [m]
4
P1 (1/2)
2
1[sec]
1
2
3 t (in sec.)
s (t)
[m]
50
40
s (t) = 2t 2
30
20
10
1
s =
2
3
4
5
6 t [sec.]
v [m/sec.]
sec
50
weil ihre Steigung durch
Höhenunterschied
40
m⫽
berechnet
Horizontalunterschied
wird.
30
Die Steigung der Tangente und damit
20
des Funktionsgraphen an einer Stelle
s (t) = 4t
ist in diesem Anwendungsbeispiel also
10
nichts anderes als die Geschwindigkeit
des startenden Kraftfahrzeugs zu
einem bestimmten Zeitpunkt. Genau
1
2
3
4
5
2 Sekunden nach dem Start hat das
m
km
Fahrzeug eine berechnete Momentangeschwindigkeit von 8
bzw. 28,8 .
sec
6 t [sec.]
h
Die momentane Geschwindigkeit des startenden Fahrzeugs, angegeben durch
s⬘ ⫽ v, nimmt konstant zu. Dies ist am Graph der Ableitungsfunktion zu erkennen.
Will man die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t wissen, so gibt darüber die
momentane Änderungsrate, die Ableitung, Auskunft.
Die mittlere Änderungsrate beschreibt dagegen die durchschnittliche Geschwindigkeit
für einen Zeitraum D t. Innerhalb dieses Zeitraums können die Geschwindigkeiten
völlig unterschiedlich sein.
3.1 Ableitung der ganzrationalen Funktionen
161
Situation 2
Die Gesamtkosten eines Betriebes können
beschrieben werden durch die Funktion
K: K (x) ⫽ x3 ⫺ 10 x2 ⫹ 35 x ⫹ 18;
D (K) ⫽ [0; 7].
Dabei gibt x die Produktionsmenge in Tonnen (t) je Tag an und K die Gesamtkosten in
1 000,00 EUR an. Der Graph der Funktion
ist nebenstehend abgebildet.
a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate
der Kosten für eine Produktionsausweitung von 1 auf 2 Tonnen je Tag.
b) Ermitteln Sie die Ableitungsfunktion und
interpretieren Sie ihren Aussagegehalt am
Beispiel der Produktionsmenge x ⫽ 1.
K(x)
140
120
100
80
60
K (x ) = x 3 –10x 2 + 35x + 18
40
20
1
2
3
4
5
6
7
x
Lösung
DK 56 ⫺ 44
⫽
⫽ 12
Dx
2⫺1
Wenn die Produktion von 1 t auf 2 t ausgeweitet wird, beträgt der (durchschnittliEUR
che) Kostenanstieg 12 000,00
. Innerhalb dieses Intervalls ist die Veränderung
a) P1 (1/44)
P2 (2/56)
ms [1; 2] ⫽
t
der Kosten aber recht unterschiedlich.
b) Mithilfe der Ableitungsregeln ergibt sich:
K⬘ (x) ⫽ 3 x2 ⫺ 20 x ⫹ 35
K⬘ (1) ⫽ 18
Der Kostenanstieg bei der Produktionsmenge 1 t beträgt 18 000
EUR
.
t
Wenn also
die Produktion von 1 t um eine beliebig kleine Mengeneinheit ausgeweitet wird,
EUR
steigen die Kosten um 18 000,00
. Diesen Kostenanstieg bei einer bestimmten
t
Produktionsmenge nennt man in der Betriebswirtschaftslehre Grenzkosten.
Die Grenzkosten geben die Kostenänderungstendenz bei einer bestimmten Produktionsmenge an,
wenn die Produktion um eine unendlich kleine Einheit erhöht oder vermindert wird.
Übungsaufgaben
1 Ein Körper bewegt sich im sog. „freien Fall“, d. h. ohne Berücksichtigung des Luftwi1
derstandes, nach dem Gesetz s ⫽ 2 gt2, wobei die Beschleunigungskonstante g ⫽ 9,81
beträgt (s: zurückgelegte Strecke [m], t: Fallzeit [sec.]).
冢 冣 schlägt ein fallender Körper nach 30 Sekunb) Mit welcher Geschwindigkeit 冢in 冣 schlägt ein fallender Körper auf, der aus
a) Mit welcher Geschwindigkeit in
den auf?
km
h
km
h
einer Höhe von 100 m herabfällt?
c) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat ein Körper, der aus einer Höhe von
100 m herabfällt?