3. Optik ( )

D. Michel
Vorlesung Experimentalphysik
(reduzierte Fassung, 2002)
3. Optik
1. Lichtgeschwindigkeit
Licht ist eine elektromagnetische Welle, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit c0 im Vakuum,
1
c0 =
, nicht von der Frequenz ν abhängt.
ε 0 ⋅ µ0
c0 =
ω 2 ⋅ π ⋅ν ⋅ λ
=
=ν ⋅λ
2 ⋅π
k
Da c0 nicht von ν , d. h.
c0 =
(Phasengeschwindigkeit).
ω
, abhängt, gilt auch:
2 ⋅π
ω dω
=
= vGruppe ,
k
dk
d. h. Phasengeschwindigkeit ist gleich Gruppengeschwindigkeit.
Methoden zur Messung von c0 :
- Astronomische Methode
Ole Chritensen Rømer (1644 – 1710)
- Methode nach Fizeau mit Zahnrad
Henry Fizeau (1819 – 1896)
- Drehspiegelmethode nach Foucault
Léon Foucault (1819 – 1868)
- Michelson – Interferometer
(Präzisionsmessung von c0 , richtungsunabhängig, Einstein ⇒ Relativitätstheorie)
- Karolus, Mittelstaedt, Leipzig 1924
Ausbreitung elektromagn. Wellen gemessen
- Kohlrausch, Weber
Bestimmung über ε 0 , µ 0 Präzisionsmessungen
Versuch:
1. Bestimmung von c0 aus Phasenverschiebung
2. Michelson-Versuch
Messung der Phasenverschiebung ϕ = ω ⋅ τ mit Hilfe von Lissajous – Figuren. Einstellung
ϕ = π (45° Gerade auf Oszillographenschirm).
Es gilt:
Laufweg (2 ⋅ l ) 2 ⋅ l
ω ⋅τ = π , τ =
=
c0
c0
Damit:
2 ⋅ l 2 ⋅ l ⋅ ω 2 ⋅ l ⋅ 2 ⋅ π ⋅ν
c0 =
=
=
= 4 ⋅ l ⋅ν
τ
π
π
1
2. Geometrische Optik
2.1. Geradlinige Ausbreitung
- Konzept der Lichtstrahlen, die in jedem Punkt die Richtung des Poynting – Vektors
angeben.
- Geradlinige Lichtausbreitung
Versuche:
- Schatten, Halbschatten
- Abbildung durch eine Lochblende (Camera obscura)
2.2. Reflexion und Brechung
Verallg. der Aussage zur geradlinigen Ausbreitung des Lichtes im homogenen Medium durch
Pierre Fermat (1601 – 1665).
⇒ Fermatsches Prinzip
Das Licht wählt zwischen zwei Punkten stets den Weg, bei dem die Laufzeit ein
Minimum besitzt.
⇒ Reflexion an Spiegel (ebener Spiegel!)
Spiegelnormale
P2
P1
α α'
y1
α = α'
y2
0
x1
x
x2
Zeige: α = α ′ folgt aus Minimisierung der Laufzeit t längs des Weges P1O + OP2
t=
P1O + OP2
c
c = Lichtgeschwindigkeit
(im Medium um dem Spiegel)
z. B.:
P1O =
(x − x1 )2 + y12 , usw.
Forderung: dt dx = 0
Versuche:
Ebener Spiegel
Dreht man Spiegel um Winkel δ um eine Achse senkrecht zur Einfallsebene, dann wird
Richtung des reflektierten Strahles um 2 ⋅ δ geändert. Bilder sind stets virtuell.
Winkelspiegel
2
Tripelspiegel
Reflekt. Licht stets parallel zum einfallenden Licht zurück! Z. B. für Präzisionsmessung
des Abstandes Mond – Erde, etc.
⇒ Brechung an Grenzfläche eines isotropen Mediums (1) beim Übergang in ein anderes (2)
1) Einfallender, gebrochener und reflektierter Strahl sowie Grenzflächennormale liegen in
einer Ebene.
2) Snelliussches Brechungsgesetz
sin α n2
=
sin β n1
Willbrord Snell van Rojen
(genannt Snellius), 1581 – 1626
c0
n1
c
Stoff 2: n2 , c 2 = 0
n2
α α
Stoff 1: n1 , c1 =
β
Erklärung: Fermatsches Prinzip, wobei Phasengeschwindigkeit ci in einem Medium i
λ
c
bestimmt ist durch ci = 0 , d. h. ν unverändert, aber λi = 0 , ( c0 , λ0 : Vakuumwerte).
ni
ni
Beispiele für n (für λ = 589,3 nm , gelbes Licht):
Luft ( p = 1,013 Bar )
1,000277
(15°)
Wasser
1,33346
(20°)
Benzol
1,45845
(18°)
Kronglas
1,517
(20°)
Flintglas
1,65
(20°)
Versuch: Messung von n für Plexiglas
3) Totalreflexion
Wenn n1 > n2 (Übergang von optisch dichtem, n1 , in optisch dünneres Medium, n2 ), folgt
β > α , d. h. aus der Gleichung
sin α n2
=
sin β n1
folgt:
sin β =
n1
⋅ sin α
n2
und da sin β = 1 (maximal) nur sein kann: α ≤ α T für gebrochenen Strahl:
3
sin α T =
n2
n1
Für α > α T gibt es keinen gebrochenen Strahl, sondern Totalreflexion.
α T heißt Grenzwinkel. Mittels α T → Bestimmung von n2 n1 (Refraktometer)
Anwendung: Umkehrprisma
Versuch:
Totalreflexion, erneut Messung von n (Plexiglas)
Bsp. Parallelversetzung eines Strahles bei Brechung an planparalleler Platte,
Versuch:
α
β
d
α
s
Ergebnis (selbst)

cos α
s = d ⋅ sin α ⋅ 1 −
2
n − sin 2 α





Demonstration (Versuche)
Lichtleitende Faser (Lichtleitkabel)
Bildleitkabel: Viele parallele Glasfasern in geordneter Anordnung (Endoskopie!)
Ergänzungen*)
*) fakultativ
Für die Amplituden und die Polarisation von reflektierten und gebrochenen Wellen gelten die
Fresnelschen Formeln, die aus den Stetigkeitsbedingungen für die Vektoren E und B an
Grenzflächen folgen (ohne Beweise):
(1) E = Et + E n
B = Bt + Bn
t = tangentiale Komponente, n = normale Komponente
Et ist stetig an Grenzfläche,
E n erleidet einen Sprung:
ε
E n (1) = E n (2) ⋅ 2 ;
ε1
Bn ist stetig an Grenzfläche,
Bt erleidet einen Sprung:
µ
Bt (1) = Bt (2) ⋅ 1
µ2
4
ε 2  n2
=
ε 1  n1



2
da meist µ1 = µ 2 (keine ferromagn.
Materialien), ist B Vektor nicht wichtig
für Grenzflächenbetrachtung
Fresnelsche Formeln
Komponenten senkrecht zur Einfallsebene
ρ s = Reflexionskoeffizient, τ s = Transmissionskoeffizient
sin (α − β )
sin (α + β )
2 ⋅ sin β ⋅ cos α
τs =
sin (α + β )
ρs = −
Komponenten parallel zur Einfallsebene
tan (α − β )
tan (α + β )
2 ⋅ sin β ⋅ cos α
τp =
sin (α + β ) ⋅ cos(α − β )
ρp =
Anwendung
Brewster – Winkel (α B + β B = 90°) :
Für diesen Fall wird tan (α B + β B ) → ∞ , d. h. ρ p → 0 : Reflexionsvermögen der
parallelen Komponente wird Null.
Brewster – Bedingung:
Aus sin α sin β = n2 n1 und α B + β B = 90° folgt:
tan α B =
einfallend
n2
n1
reflektiert
αB αB
0 = senkrechte
↔ = parallele Komponente
Beachte:
α B + β B = 90° heißt, reflektierter und
gebrochener Strahl stehen senkrecht
zueinander
π
2
βB
gebrochen
Erläuterung zum Brewster – Gesetz
5
2.3. Hohlspiegel, Wölbspiegel
Kugelkalotte mit verspiegelter Innen- (Konkav-) oder Außenseite (Konvex – Spiegel)
konvex
konkav
Zur Bildentstehung werden nur achsennahe Strahlen verwendet bzgl. einer optischen Achse:
α (Reflexion!)
h
h<<r
δ
β
optische Achse
b
r
g
γ
Winkelrelationen ausnutzen:
α + δ + (π − γ ) = π
α + γ + (π − β ) = π
Ausnutzung der Winkelrelationen
und h << r , d. h.
tan (β , δ , γ ) ≈ (β , δ , γ )
Diff.
1 1 2 1
+ = =
b g r
f
β + δ = 2 ⋅γ
René Descartes (Cartesius)
(1596 – 1650)
f = Brenn-, g = Gegenstands-, b = Bildweite
Def. f: Für g → ∞ sind alle einfallenden Strahlen parallel, sie schneiden alle bei b = f .
Erzeugung eines reellen Bildes am Hohlspiegel
①
G
g
0
ƒ
B
b
Parallel (1) -, Brennpunkt (2) – Strahlen
G g− f
g
=
= −1
B
f
f
und
1 1 1
= +
f
g b
ergibt:
6
G b
= =M
B g
Abb. – Maßstab
Versuch
Parabolspiegel
- z. B. rotierende Flüssigkeit
- Parabolspiegel: Alle parallel ankommenden Strahlen werden in f fokussiert.
2.4. Prisma
γ
n2 = n
n1 = 1
δ
Brechungsgesetz, symmetrischer Durchgang:
sin
n
γ +δ
γ
= n ⋅ sin , n = 2
2
2
n1
Für kleine Winkel: sin x ≈ x , d. h.
δ = (n − 1) ⋅ γ
Messe n
Beachte: n = n(λ ) , n hängt ab von Farbe des Lichtes (Materialeigenschaft), deshalb spektrale
Zerlegung des Lichtes.
Achtung: Blau wird stärker abgelenkt als rot.
Versuch:
2.5. Linsen
Linse: Durchsichtiges Material, von Kugelkalotten begrenzt, Radien ri können beiderseitig
unterschiedlich sein.
bikonvex
plankonvex
bikonkav
plankonkav, usw.
Hier: Dünne Linsen
Linsengleichung:
7
1 1
1
= (n − 1) + 
f
 r1 r2 
1 1 1
+ = ,
b g f
Konvention:
Hier alle ri positiv gezählt.
r2
r1
Bei symmetrischen Linsen: r1 = r2 = r
1
2
= (n − 1) ⋅
f
r
Ableitung der Linsengleichung durch Verwendung des Brechungsgesetzes, Näherung für
dünne Linsen und achsennahe Strahlen wie bei Spiegel.
Bildkonstruktion (siehe Seminar):
+L
ParallelMittelpunktG
ƒ
Brennpunktstrahlen
B b
= , g> f
G g
B: umgekehrt, reell
b
B
(diskutiere Fälle weiterhin: g = f , g < f )
Brechkraft
1
1
, f in m, 1 m;
= 1 dp (Brechkraft)
f
f
Bei zusammengesetzten Linsen, die sehr dicht aneinander sitzen:
1
1
=∑
f
k fk
Addition der Brechkräfte
Versuch
Falls Abstand a zwischen inneren Brennpunkten zweier Linsen (optisches System)
8
1
1
1
a
,
=
+
−
f
f1 f 2 f1 ⋅ f 2
a << f1, f2
(Mikroskop!)
Messung von Brennweiten
1. Kombination mit Sammellinse, deren f bekannt ist (Versuch)
2. Besselsche Methode (Versuch)
Es gibt zwei Zwischenstellungen der Linse zwischen Gegenstand und Schirm, bei denen die
Linse ein deutliches Bild des Gegenstandes auf dem Schirm entwirft (s. Versuch). Der
Abstand der beiden Stellungen der Linse sei e, der Abstand vom Gegenstand und Bild sei l.
Dann:
f =
l 2 − e2
4⋅l
(Bessel)
L
G
L
l
B②
e
B①
①
②
Positionen der Linse
Hauptebenen bei dicken Linsen
dicke Linse
H
H‘
d
H , H ′ können auch außerhalb der Linse liegen
0
H , H ′ sind brechende
Ebenen
H , H ′ symmetrisch zu
Punkt 0 (Def.)
Bildkonstruktion mit Hauptebenen
H
H‘
G
F
g
ƒ
0
ƒ
F‘
b
B
9
Es gilt die Abb. – Gleichung:
1 1 1
+ =
b g f
2.4. Optische Instrumente
➀ Lupe
Bildentstehung wie bei Einzellinse, g < f , virtuelles aufrechtes Bild
Vergrößerung:
s
s0
B b
Normalvergrößerung
V = = = 1+ 0 ,
G g
f
f
b = s 0 (b ist hier negativ zu zählen, da
virtuelles Bild),
s 0 = deutliche Sehweite ( s 0 ≈ 0,25 m )
Beachte: b ist negativ zu
zählen.
B
G
G
α0
α
ƒ b
Beachte: b ist negativ zu zäh
ƒ
g
α
=
Sehwinkelvergrößerung
α0
tan α
B s
v≈
= ⋅ 0 , hier: s = s 0
tan α 0 G s
v=
➁ Mikroskop
+ L1 (Objekt)
+ L2 (Okular)
optisches Intervall
G
F1
F1
F2
BZ
F2
B
- Meist B weit weg vom Okular
(virtuelles Bild), das als Lupe
wirkt
- Optisches Intervall ⇒ Tubuslänge a > 0
10
Vergrößerung:
v=
s0 ⋅ a
f1 ⋅ f 2
Bild in deutlicher Sehweite hinter Okular
Bsp.: f 1 = 2 mm, f 2 = 25 mm, a = 100 mm, s 0 = 250 mm , d. h. v = 500
<
wegen Beugung: v ≈ 2000 .
➂ Fernrohr
Zwei Linsen, deren innere Brennpunkte zusammen fallen
a) Kepler’sches oder astronomisches F.
2 Sammellinsen, L1 ( f 1 ), L2 ( f 2 ), f 1 , f 2 Brennweiten
f1 sehr groß, L2 (Okular) wie Lupe umgekehrtes Bild, + Prisma (Aufrecht)
b) Galilei’sches oder niederländisches F.
1 Sammellinse L1 ( f 1 ) und 1 Zerstreuungslinse L2 ( f 2 )
wie Opernglas. Aufrechtes Bild
Vergrößerung:
f
vF = 1
f2
3. Wellenoptik
3.1. Interferenz
3.1.1. Bedingungen
Interferenz:
Überlagerung von Teilwellen k im Punkt P zur Zeit t
E (r , t ) = ∑ E k (r , t )
k
Kohärenz:
Wellen sind kohärent, wenn Zeitabhängigkeit der Amplitude bis auf
Phasenverschiebung gleich ist.
Kohärenzlänge:
Mittlere Länge des von einem einzelnen Atom ausgesandten
Wellenzuges
L
L = c ⋅τ
zeitliche Kohärenz:
Phasendifferenz ∆ϕ = ϕ j − ϕ k
∆t : ∆ϕ ⋅ ∆t < 2 ⋅ π
zwischen
E j , Ek
im
Intervall
Intensitätsverteilung bei Interferenzerscheinungen:
räumlich strukturierte, zeitliche Konstante
Intensitätsverteilungen
11
Bedingungen:
Differenz der optischen Weglängen δ = n1 ⋅ s1 - n2 ⋅ s2 = (z1 - z2) ⋅ λ, z1 , z 2 - Zahlen, z1 − z 2 =
ganzzahlig, Phasendifferenz ∆ϕ
Maximale Verstärkung:
δ = z ⋅ λ, z = 0, 1, 2, ...
∆ϕ = z ⋅ 2 ⋅ π
Maximale Schwächung:
2⋅ z +1
⋅λ
2
∆ϕ = z ⋅ π
δ =
Demonstration: Moire – Muster
Fresnelsche Interferenzen:
Lichtquelle (L) in endlicher Entfernung, divergente Strahlungen
Fraunhofersche Interferenzen
L optisch ∞ entfernt, ebenso Beobachter vom Beobachtungspunkt, parallele Strahlen
3.1.2. Fresnelscher Spiegelversuch
Erläuterung: L (punktförmig), zwei ebene Spiegel S1 , S 2 mit kleinem Winkel ε . Beobachter:
L kommt von „virtuellen“ Lichtquellen L1 und L2 her, die sich überlagern (Interferenzen auf
Schirm).
Analytisch (Seminar)
Alle Punkte, für die δ einen konstanten Wert hat, liegen auf Parabel.
12
y
L1
L2
x
2d
Schirm
Versuch: Fresnelscher Spiegelversuch
Ähnliche Situation: Fresnelsches Doppelprisma
3.1.3. Fraunhofersche Interferenzen an planparalleler Platte
2
1
α
A
D
α
C
β
(
d
)
λ
2
,
δ = n ⋅ AB + BC − AD −
B
Reflexion an
dichtem Medium
δ = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 α −
λ
2
Maximale Verstärkung:

n 2 − sin 2 α =  z +

δ = z ⋅ λ,
1 λ
⋅
2 2⋅d
Maximale Schwächung
2⋅z +1
⋅λ,
2
z = 0, 1, 2, ...
n 2 − sin 2 α = (z + 1) ⋅
δ =
λ
2⋅d
Interferenzbild:
Im reflektierten Licht entsteht System von hellen und dunklen Ringen.
Versuche:
- Interferenz an dünnen Glimmerplättchen
- Interferenz an Deckglas; „Gütekontrolle“
Vielstrahlinterferenz an zwei planparallelen Grenzflächen
Überlagerung von sehr vielen Teilwellen
I Refl. = I 0 ⋅
F ⋅ sin 2 (∆ϕ 2 )
1 + F ⋅ sin 2 (∆ϕ 2 )
,
ITrans = 1 - IRefl.
13
4⋅ R
,
(1 − R )2
2 ⋅π
∆ϕ =
⋅δ ,
λ
F=
R – Reflexionsvermögen,
δ (s. o.) = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 α
Wirkungsweise des Fabry – Perot Interferometers (m kann sehr groß
sein!)
F* =
Finesse:
δ ⋅ν
∆ν
Maß für Auflösung (freier Frequenzbereich
ν 1 ,ν 1 + δ ⋅ν )
3.1.4. Versuche zu Fresnelschen Interferenzen
schwach gekrümmte Linse
- planparallele Platten
- keilförmige Schichten
- Newtonsche Ringe
schwach gekrümmte Linse
Glasplatte
3.1.5. Michelson – Versuch
Albert Abraham Michelson (1852 – 1931)
Sp 1
L
s1
Strahlteiler
⊗
s2
Sp 2
s1 − s 2 = δ
Durchlaß: δ = m ⋅ λ
Anwendung: Sehr genaue Messung der
Wellenlängen
Beobachter
14
3.2. Beugung (Diffraktion)
3.2.1. Huygenssches Prinzip
Erklärt Beugung an Hindernissen (Kanten, Spalt, Hindernisse wie kleine Öffnungen)
Huygens + Fresnel
In jeder Welle kann jeder Punkt als Mittelpunkt eines neuen Elementarwellensystems
angesehen werden. Zusätzlich gilt Superpositionsprinzip.
3.2.2. Fraunhofersche Beugung am Spalt
Joseph von Fraunhofer (1787 – 1826)
Augustin Jean Fresnel (1788 – 1827)
Christian Huygens
paralleles Licht
b
α
δ
S1
S2
S3
Entspr. dem H. – F. Prinzip zerlegt man in Teilbündel, z. B. zwei Teilbündel, die von S1 , S 2
bzw. S 2 , S 3 begrenzt werden.
Sei δ = λ . Dann findet man zu jedem Strahl im Bündel S1, S2 einen anderen Strahl im Bündel
S2, S3, der einen Gangunterschied von λ 2 besitzt.
Damit Auslöschung:
δ = z ⋅ λ,
z = 0,1,2,3,...
Analog Maximum der Helligkeit:
δ = (z -
2⋅ z −1
1
) ⋅λ =
⋅λ
2
2
Verallgemeinerung
Zerteile Spalt in sehr große Anzahl N von Strahlen im Abstand g, N ⋅ g = b , deren
1
Einzelintensität jeweils
- faches der Gesamtintensität ist. Die Summation führt für
N
N → ∞ auf:
2
 sin x 
,
I (x ) = I (α ) = I 0 ⋅ 
 x 
x=
π
⋅ b ⋅ sin α ,
λ
I Sp = I (x )
15
Spaltfunktion
3.2.3. Fraunhofersche Beugung am Doppelspalt
d
b
b
α
δ
δ = d ⋅ sin α
 z ⋅ λ , z = 0,1,2,...

δ = 2 ⋅ z +1
 2 ⋅ λ
maximum
minimum
Beachte: Unterschiede zum Einzelspalt
3.2.4. Beugung am Gitter
Große Anzahl (N ) paralleler Spalten gleichen Abstands (d ) und gleicher Breite (b ) . d heißt
Gitterkonstante.
Sei b << d , N sehr groß ( → ∞ ), Summation , Intensität I = I (α ) :
 N ⋅π ⋅ d

sin 2 
⋅ sin α 
 λ
=I
I (α ) = I 0 ⋅
G

2π ⋅ d
sin 
⋅ sin α 
 λ

Gitterfunktion
Sei endliche Spaltbreite
Gitterfunktion und Spaltfunktion sind zu multiplizieren
16
I Gesamt (α ) = I G ⋅ I Sp
H.M. = Hauptmaxima, N.M. = Nebenmaxima
gestrichelte Linie: Einfluß der Spaltfunktion
H.M. = Interferenzmaxima = Beugungsmaxima in z – ter Ordnung
Reflexionsgitter: Furchen in Oberflächen
Vorteil d. Formgebung d. Furchen, z. B. Konzentration der Intensität in einer bestimmten
Ordnung (Echelette – Gitter), z. B. Neigung der Furchen (Blaze – Gitter)
3.2.5. Kristallgitter
3D – Gitter von Kristallen, Beugung von z. B. Röntgenstrahlen (Max von Laue, 1879 – 1960)
an den Netzebenen (William Henry Bragg, 1862 – 1942; William Lawrence Bragg, 1890 –
1971)
ϑ
δ = 2 ⋅ ∆s = 2 ⋅ d ⋅ sin ϑ
∆s
maxima:
δ = z ⋅λ ,
∆s
z = 1,2,3,...
Bragg – Bedingung
17