Aufgabenblatt 2: Fehler und Differentiation Aufgabe 1: Aufgabe 2:

Numerik für Chemiker • Prof. Dr. B. Hartke, Universität Kiel, [email protected]
Aufgabenblatt 2: Fehler und Differentiation
Aufgabe 1:
(10 Punkte)
Gegeben sind die Funktionen y1 , y2 , y3 (y3 ist y2 in einer anderen Reihenfolge):
y1 (x) = (x − 1)7
y2 (x) = x7 − 7x6 + 21x5 − 35x4 + 35x3 − 21x2 + 7x − 1
y3 (x) = −1 + 7x − 21x2 + 35x3 − 35x4 + 21x5 − 7x6 + x7
(1)
(2)
(3)
a) Vergewissern Sie sich (z.B. mit Computeralgebra1 ), dass analytisch y1 = y2 gilt.
b) Berechnen Sie die Kondition von y1 .
c) Stellen Sie alle Funktionen grafisch dar für x ∈ [0.988, 1.012], in Schritten von 0.0001,
und speichern Sie die Ausgabe in eine Grafikdatei (abzugeben).
d) Was stellen Sie fest? Wie ist das Ergebnis zu erklären?
e) Warum wurde gerade das Intervall x ∈ [0.988, 1.012] gewählt?
Aufgabe 2:
(10 Punkte)
a) Implementieren Sie die im Skript angegebenen Formeln für Vorwärts-, Zentraldifferenzen und die Formel der Zentraldifferenz höherer Ordnung (Richardson-Extrapolation).
b) Berechnen Sie den relativen numerischen Fehler der Differentiation von sin(x) an
der Stelle x0 = 1 für 1000 verschiedene Schrittweiten h im Bereich von 100 bis
10−16 . Die Schrittweiten sind vorher zu korrigieren, damit x0 + h exakt dargestellt
wird (siehe Skript). Stellen Sie das Ergebnis der drei Formeln in einem log-log-Plot
dar.
c) Interpretieren Sie das Resultat. Können Sie die Skalierung des Fehlers bezüglich der
Schrittweite verifizieren? Was passiert bei sehr kleinen Schrittweiten und warum ist
dies unabhängig vom verwendeten Verfahren?
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