{} }{} ,,{ = baba - Informatik

Theoretische Informatik und Logik
Übungsblatt 1 ( SS 2009 )
1.1)
a)
b)
(({a} ∪ {ε })({ε } ∪ {b})) ∪ {c} = {ε , a, ab, b, c}
{0} * ({0} ∪ {ε }) = {0} * {0} = {0} *
c)
({1} * {1} + ){1}* = {1} + {1}* = {1} +
d)
{ a , b , a b }{} = {}
e)
{a, b, ab} ∩ {} = {}
f)
{}* = {ε }
1.2)
a)
L1 ( L2 ∪ L3 ) = L1 L2 ∪ L1 L3
Verkettung distribuiert über Vereinigung
Distribuiert = z.B.: „Alle Philosophen sind Menschen“ => „Alle
Existenzphilosophen (Untergruppe von Philosoph) sind auch Menschen“
b)
L1 ( L2 L3 ) = ( L1 L2 ) L3
Verkettung ist assoziativ (Klammersetzung ist egal)
c)
L1 L2 = L2 L1
Verkettung ist nicht kommutativ
d)
L1 ∪ L2 = L2 ∪ L1
Vereinigung ist kommutativ
1.3)
T = {a, b, c} ⇒ Menge T
L1 ⊆ T * ⇒ L1 ist in T * entahlten
L2 = T * − L1 ⇒ L2 ist das Komplement von L1
a)
L1 ∪ L2 = T * = {ε , a, b, c}
Vereinigung
b)
L1 ∩ L2 = {}
Durchschnitt
c)
(( L2 − L1 ) − L2 )* = ( L2 − L2 )* = {}* = {ε }
Da L2 das Komplement von L1 ist, ist die Menge = L2
Sind L1 und L2 Mengen, dann ist das relative Komplement von L1 in L2 die
Menge aller Elemente aus L2 , welche nicht in L1 sind.
1.4)a)
Grammatik G mit der endlichen Menge an Variablen N = {S } sowie den Terminalen
T = {a, b} , den Regeln P = {S ⇒ a S b , S ⇒ b } und den Startsymbol S . N ∩ T = {}
m
3
3m
Induktionsanfang:
A(n) := {a S b , a
mn
S ⇒ a Sb
m
⇒a b
0
3n
m ( n −1)
b
3 ( n −1) + m
}
n=1
3
m
Induktionsvoraussetzung:
Es gilt A(m)∀m ≤ n
Induktionsbehauptung:
A(n + 1) := {a
m ( n +1)
Sb
3 ( n +1)
mn
,a b
3n + m
}
Induktionsbeweis:
A(n) :
a
m ( n −1)
b
3( n −1) + m
⇒ nichts
m ( n +1)
mn
3n
⇒a
mn
3n
⇒a b
a Sb
a Sb
mn
Sb
3( n +1)
3n+ m
b)
n
S ⇒ a Sb
mn
3n
⇒a b
mn
3n + m
1.5)a)
 n(n + 1) 
i =

∑
 2 
i =0
n
2
für alle n ≥ 0
3
a) Induktionsanfang:
n=1
 1(1 + 1) 
i =

∑
 2 
i =0
03 + 13 = 12
1
2
3
1=1
b) Induktionsvoraussetzung:
 n(n + 1) 
i3 = 

∑
 2 
i =0
n
2
n wird durch (n+1) ersetzt
c) Induktionsbehauptung:
 (n + 1)(n + 2) 
i =

∑
2


i =0
n +1
2
3
d) Induktionsbeweis:
n +1
∑i
3
=
3
+ (n + 1) 3 =
i =0
n
∑i
i =0
 n(n + 1) 
3

 + (n + 1) =
 2 
2
n 2 (n + 1) 2
3
2 n
+ (n + 1) = (n + 1) [ + (n + 1)] =
4
4
2
n 2 + 4n + 4 (n + 1) 2 (n + 2) 2  (n + 1)(n + 2) 
(n + 1)
=
=

4
4
2


2
2
b)
n
∑ qi =
i =0
1 − q n+1
1− q
für beliebiges q ≠ 1 und alle n ≥ 0 .
Direkter Beweis:
n
S = ∑ qi
i =0
S = q 0 + q 1 + q 2 + ... + q n
S
= 1 + q + q 2 + ... + q n
− q ⋅ S = − q − q − ... − q − q
2
n
n +1

addieren

S − q ⋅ S = 1 − q n +1
S (1 − q ) = 1 − q n +1
1 − q n +1
S=
1− q
Erklärung: Zuerst werden in die Summenformel Zahlen von Null bis n eingegeben. Daraus
ergibt sich S = q 0 + q1 + q 2 + ... + q n bzw. in ausgerechneter Form S = 1 + q + q 2 + ... + q n ,
dann wird links und rechst vom Istgleichzeichen mit –q multipliziert. Dann addiert man die
beiden Zeilen miteinander. Es kürzt sich allerhand und übrig bleibt S − q ⋅ S = 1 − q n+1 . So jetzt
S heraus heben und (1-q) auf die andere Seite bringen. => Direkter Beweis