Musterlösung zu Blatt 6, Vektor- und Matrizenrechnung I, WS 2007

Musterlösung zu Blatt 6, Vektor- und Matrizenrechnung I, WS 2007/08
Aufgabe 20: Für c ∈
R sei Mc die Menge aller Matrizen


x1 x2 x3
X =  x4 x5 x6  ∈
x7 x8 x9
R(3,3)
mit der Eigenschaft, daß alle Zeilensummen,
Spaltensummen und Diagonalsummen in X
S
gleich c sind. Die Elemente in M =
Mc (das ist die Vereinigungsmenge aller Mengen
R
R) heißen magische Quadrate.
c∈
Mc für c ∈
R
(a) Zeigen Sie: M ist ein Untervektorraum des Vektorraumes (3,3) , und Mc 6= ∅ für
alle c ∈ . Bestimmen Sie alle c ∈ , für die Mc ein Untervektorraum ist.
R
R
(b) Zeigen Sie: Für alle X ∈ Mc gilt c = 3x5 . Was folgt aus dieser Gleichung speziell
für die Gestalt der X aus M0 ?
9 2 4
(c)
i) Ergänzen Sie das folgende magische Quadrat:
Leider ist mir hier ein FaultPas unterlaufen... klappt so nicht. ;-)
8 3 4
Probieren Sie es mal mit
ii) Natürlich gibt es auch ”größere” magische Quadrate. Versuchen Sie einmal, ein
magisches Quadrat mit 4 Zeilen und 4 Spalten aus den Zahlen 1, 2, 3, . . . , 16
zu konstruieren.
(d) Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Matrizen B1 und B2 eine Basis von M0 bilden:




1 −1
0
0
1 −1
0
1 .
0
1  und B2 =  −1
B1 =  −1
0
1 −1
1 −1
0
Beweis.
Zu a):
(i): z.z.: M ist Untervektorraum von
R(3,3):
(UVR1) Die Nullmatrix 0 ∼ (3, 3) gehört zu M0 ⊂ M , also ist M 6= ∅.
(UVR2) X, Y ∈ M ⇒ Es gibt c, d ∈
R mit X ∈ Mc, Y
∈ Md ⇒ X + Y ∈ Mc+d ⊂ M
R, X ∈ M ⇒ α ∈ R und X ∈ Mc für ein c ∈ R ⇒ αX ∈ Mα c ⊂ M
Wegen (UVR1) - (UVR3) ist M Untervektorraum von R(3,3) .
(ii): Mc 6= ∅ für alle c ∈ R
: c c c 
3
3
3
Sei c ∈ R. Dann ist  3c 3c 3c  ∈ Mc .
c
c
c
(UVR3) α ∈
3
3
3
(iii): M0 ist Untervektorraum von M (oder
R(3,3)), denn:
(UVR1) Die Nullmatrix gehört zu M0 , also ist M0 6= ∅.
(UVR2) X, Y ∈ M0 ⇒ X + Y ∈ M0 (siehe (UV2) oben).
(UVR3) α ∈ , X ∈ M0 ⇒ αX ∈ M0 (siehe (UV3) oben)
R
Wegen (UVR1) - (UVR3) ist M0 Untervektorraum.
(iv): Für c 6= 0 ist Mc kein Untervektorraum, denn die Nullmatrix gehört dann wegen
c 6= 0 nicht zu Mc .
Zu b):


x1 x2 x3
(i): Sei also X ∈ Mc und X =  x4 x5 x6 . Dann folgt
x7 x8 x9

x1 + x5 + x9 = c 
x3 + x5 + x7 = c
⇒ Summe bilden: (x1 + x2 + x3 ) +3x5 + (x7 + x8 + x9 ) = 3c
|
{z
}
{z
}
|

x2 + x5 + x8 = c
=c
=c
⇒ 3x5 + 2c = 3c, also 3x5 = c.
(ii): Aussehen von X ∈ M0 : Mit (i) folgt x5 = 0, also ist X von der Gestalt


c b −d
c + b − d = 0 ⇒ b = −c + d
 a 0 −a  mit
,
c
+
a
+
d
=
0
⇒
a
=
−c
−
d
d −b −c


c
−c + d −d
0
c + d  mit c, d ∈ beliebig.
also X =  −c − d
d
c−d
−c
R
Zu c):


8 3 4

1 5 9 
(i):
6 7 2


1 7 10 16
 15 12 5 2 

(ii): 
 14 9 8 3 
4 6 11 13
Zu d): Jede Matrix X ∈ M0 hat nach (b) die Gestalt:

 
c
−c + d −d
c −c
0
c + d  =  −c 0
X =  −c − d
d
c−d
−c
0
c



1 −1 0
0
1 −1
1  + d ·  −1 0
1
= c ·  −1 0
0
1 −1
1 −1 0
 

0
0
d −d
c  +  −d 0
d 
−c
d −d 0

 = c B1 + d B2 ,
also M0 = span (B1
, B2 ). (∗)
 

c
−c + d −d
0 0 0
0
c + d  =  0 0 0  ⇒ c = 0, d = o.
c B1 + d B2 = 0 ⇒  −c − d
d
c−d
−c
0 0 0
Also sind B1 , B2 linear unabhängig. (∗∗)
Aus (∗), (∗∗)folgt, daß (B1 , B2 ) Basis von M0 ist.