6 Vertiefende Themen aus des Mechanik

6 Vertiefende Themen aus des Mechanik
6.1 Diagramme
6.1.1 Steigung einer Gerade; Änderungsrate
Im ersten Kapitel haben wir gelernt, was uns die Steigung (oft mit k bezeichnet) in einem s-t Diagramm
Δs
Δv
( k= =v̄ , also Geschwindigkeit) und in einem v-t Diagramm ( k= =ā , also
Δt
Δt
Δy
Beschleunigung) zeigt. Allgemein ist die Steigung k=
eine Änderungsrate: sie zeigt uns, wie
Δx
schnell sich die Größe auf der y-Achse in Bezug auf die Größe der x-Achse ändert. Was könnte uns
daher die Steigung in einem a-t Diagramm zeigen? Antwort: wie schnell sich die Beschleunigung in
Bezug auf die Zeit ändert! Beispielsweise kann man sagen, dass nach 3 Sekunden sich die
Beschleunigung mit einem Zeitrhythmus von 2m/s² pro Sekunde vergrößert (das
wäre dann 2m/s³!, diese Größe hat aber keinen besonderen Namen). So was
werden wir aber hier nicht weiter analysieren. Man könnte z.B. auch ein a-s
Diagramm machen (nebenstehendes Bild). So ein Diagramm zeigt uns, wie groß
die Beschleunigung an einem gewissen Punkt der Strecke ist. Am Anfang ist die
Beschleunigung 1m/s². Nach 2m ist sie aber doch 4m/s² und nach noch 2m (also
bei 4m) 7m/s². Dieses Diagramm ist eine Gerade, also ist die Änderungsrate der
Beschleunigung konstant (1,5m/s³). Das bedeutet dann, dass je 2 Meter die
a-s Diagramm
Beschleunigung um 3 m/s² größer wird (oder je 1m um 1,5m/s²).
Die Änderungsrate kommt in allerlei Diagrammen und in allen Bereichen der Wissenschaft vor. Sie ist
daher ein grundsätzlicher Begriff. Die Begriffe der Strecke, der Geschwindigkeit und der
Beschleunigung sind hilfreich, um zu verstehen, was uns die Änderungsrate in einem Diagramm (also
die Steigung) zeigt.
6.1.2 Die Tangente an eine Kurve
Bisher haben wir uns nur mit Geraden beschäftigt. Wie könnte man die Steigung bei irgendeine Kurve
berechnen oder begreifen?
Dafür braucht man erst den Begriff der Tangente. Für eine Kurve und eine Gerade gibt es folgende
Möglichkeiten:
1. Bild: Sekante an
einem Punkt
2. Bild: Sekante an
drei Punkte
3. Bild: Passante
4. Bild: Tangente am
Punkt A
Eine Gerade kann eine Kurve in einem (1. Bild) oder mehreren Punkten (2.Bild) schneiden. Dann
nennt man die Gerade eine Sekante der Kurve.
Eine Gerade kann eine Kurve überhaupt nicht treffen (3.Bild). Dann nennt man die Gerade eine
Passante der Kurve.
Eine Gerade kann eine Kurve an einem Punkt berühren (4.Bild). Dann nennt man die Gerade
Tangente der Kurve an diesem Punkt.
Was ist die Besonderheit im dritten Fall (4. Bild: Tangente)? Obwohl es nicht genau stimmt, sagen wir
es hier nur so: die Tangente geht nicht auf die andere Seite der Kurve (es gibt eine Ausnahme zu dieser
Regel, wir werden sie aber nicht hier analysieren). Man kann auch einfach die Definition benutzen: die
Tangente schneidet die Gerade nicht, sie „berührt“ sie nur (und das gilt immer, ohne Ausnahmen).
6.1.3 Steigung einer Kurve (allgemeiner)
Schauen wir jetzt die nebenstehende Kurve k an:
Man könnte sagen, dass sie immer steiler wird (von links nach rechts). Das
stimmt auch. Was ist dann mit ihrer Steigung? Sie sollte auch immer größer
werden. Das stimmt auch. Wie könnte man das aber visualisieren? Man benutzt
einfach die Tangente!
Lassen wir einen Punkt (Punkt B) sich auf der Kurve bewegen. Je mehr wir uns
nach rechts bewegen, desto steiler wird die Steigung der Tangente am Punkt B:
Kurve k
bewegt
Punkt B
nach
rechts!
sich
Es ist naheliegend zu vermuten: die Steigung der Tangente an einem Punkt ist die Steigung der
Kurve an diesem Punkt. Das kann man mit Hilfe der sogenannten 1.Ableitung (Stoff der 11.
Schulstufe) beweisen.
6.1.4 Steigung in einem s-t Diagramm und Beschleunigung
Im ersten Kapitel haben wir schon die Diagramme für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
gesehen. Das s-t Diagramm war eine sogenannte Parabel. Es gibt zweierlei Sorten der Parabel: eine die
hohl nach oben ist und einen sogenannten „Tiefpunkt“ hat (1.Bild) und eine, die nach unten hohl ist
und einen sogenannten „Hochpunkt“ hat (2.Bild).
Was ist mit der Steigung im Fall der
Parabel A? Ab dem Punkt A haben wir
schon gesehen (6.1.3), dass sie immer
größer wird. Was ist vor dem Punkt A?
Ganz links ist die Steigung „sehr“ negativ.
Je mehr wir uns nach rechts bewegen, desto
weniger negativ wird sie. Nach dem Punkt
A (Tiefpunkt) wird sie positiv sein (das
heißt aber dann, dass sie am Punkt A null
Parabel A: mit Tiefpunkt
Parabel B: mit Hochpunkt sein wird!). Eine „sehr“ negative Zahl ist
doch kleiner als eine „weniger“ negative
(hohl nach oben)
(hohl nach unten)
Zahl. -100 ist doch kleiner als -2! Dass
heißt aber dann, dass die Steigung bei der Parabel A auch für die Seite links vom Punkt A immer größer
(also weniger negativ) wird, wenn man sich von links nach rechts bewegt! Nehmen wir an, dass das
Diagramm ein s-t Diagramm ist. Die Steigung zeigt uns daher die Geschwindigkeit. Wenn die Steigung
immer größer wird, bedeutet es dann, dass die Geschwindigkeit immer größer wird. Aber immer
größere Geschwindigkeit bedeutet eine positive Beschleunigung! Wir haben im 1. Kapitel nur die
rechte Seite der Parabel A gesehen. Da ist sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung
positiv. Auf der linken Seite aber ist zwar die Geschwindigkeit negativ (Kurve geht nach unten) die
Beschleunigung aber ist, wie wir gerade erklärt haben, positiv! Die Geschwindigkeit wird immer
weniger negativ, also immer größer, also die Beschleunigung wird positiv sein (und konstant, weil wir
eine Parabel haben)!
Umgekehrt ist die Situation bei Parabel B. Nehmen wir wieder an, dass es um ein s-t Diagramm geht.
Wenn wir von ganz links anfangen und wir uns nach rechts bewegen, wird die Steigung immer weniger
positiv (bis sie am Punkt B null wird). Weniger positiv bedeutet aber, dass sie immer kleiner wird.
Immer kleinere Steigung bedeutet immer kleinere Geschwindigkeit, also eine negative Beschleunigung.
Die linke Hälfte also hat zwar eine positive Geschwindigkeit (die Kurve geht nach oben), die
Beschleunigung ist aber doch negativ. Auf der rechten Hälfte ist dann sowohl die Geschwindigkeit als
auch die Beschleunigung negativ (die Geschwindigkeit wird immer negativer, also immer kleiner, also
auch negative Beschleunigung).
Um zu verstehen, ob die Beschleunigung bei einem s-t Diagramm positiv oder negativ ist, gibt es
noch eine Weise. Man kann sich vorstellen, dass man sich auf der Kurve befindet und sich von links
nach rechts bewegt. Muss man dann links abbiegen, dann ist die Beschleunigung positiv, muss man
rechts abbiegen , ist sie negativ.
6.1.5 s-t Diagramm (Wiederholung) und Fläche in einem v-t Diagramm
Im ersten Kapitel haben wir schon gelernt, dass die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in einem v-t
Diagramm uns die zurückgelegte Strecke angibt. Die Erklärung ist einfach: Die Fläche z.B. eines
Rechtecks, ist eine Seite mal die andere. Für ein Rechteck in einem v-t Diagramm ist dann diese Fläche
die Größe der y-Achse (Geschwindigkeit v) mal die Größe der x-Achse (Zeit t). Dieses Produkt, v·t,
Geschwindigkeit mal Zeit, ist doch die Strecke.
Wir sollen aber vorsichtig sein. Das Ergebnis (die Fläche) zeigt uns nur die zurückgelegte Strecke,
also Δs. Es zeigt uns aber nicht, wo sich der bewegende Körper gerade befindet.
Nehmen wir den einfachen Fall einer gleichförmigen Bewegung und vergleichen wir das folgende Bild
und die folgenden s-t Diagramme:
1.Bild: positive Richtung
2. Diagramm
3. Diagramm
4. Diagramm
5. Diagramm
1. Diagramm
Der Koordinatenursprung ist immer der Bezugspunkt unsere Messungen. Dieser ist hier z.B. Wels. Wir
brauchen auch eine positive Richtung. Diese ist hier die Richtung vom Wels nach Linz (siehe 1.Bild).
Bewegt sich ein Fahrzeug in dieser Richtung, dann ist die Geschwindigkeit positiv. Vorsicht! Es kann
doch sein, dass die Geschwindigkeit positiv ist (positive Richtung) und doch das Fahrzeug Richtung
Wels (also zurück zum Ursprung) fährt (!), nämlich wenn das Fahrzeug sich in Salzburg befindet und
nach Wels fährt!
Fährt jetzt ein Fahrzeug von Wels aus nach Linz mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit,
dann fängt unsere Gerade am Koordinatenursprung und geht nach oben (positive Richtung). Das wird
schon eine Gerade sein, da die Geschwindigkeit, also die Steigung, konstant ist (wir haben eine
gleichförmige Bewegung angenommen). Diese Situation entspricht dem ersten Diagramm.
Fährt aber das Fahrzeug vom Wels nach Salzburg, ist das doch die negative Richtung, also die Gerade
muss nach unten sein (und auch im negativen Bereich: Salzburg ist „vor“ Wels). Diese Situation
entspricht dem zweiten Diagramm.
Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Wien, dann ist zwar die Gerade nach oben (positive Richtung),
ihr Anfangspunkt ist aber nicht mehr der Koordinatenursprung, sondern ein Punkt auf der positiven yAchse, da wo Linz auf der Achse dargestellt wird. Das entspricht dem dritten Diagramm.
Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Salzburg, dann ist die Gerade nach unten (negative Richtung)
und der Anfangspunkt steht da, wo Linz auf der y-Achse dargestellt wird. Wenn diese Gerade die xAchse schneidet, dann befindet sich das Fahrzeug im Wels und fährt weiter nach Salzburg (negativer
Bereich, negative Richtung). Das entspricht dem vierten Diagramm.
Fährt das Fahrzeug vom Salzburg nach Wels, dann ist die Gerade nach oben (positive Richtung) aber
doch im negativen Bereich (Salzburg ist „vor“ Wels“). Das entspricht dem fünften Diagramm. Wenn
die Gerade die x-Achse schneidet, befindet sich das Fahrzeug bei Wels und fährt weiter, sogar nach
Linz Richtung Wien.
Vorsicht: was der Koordinatenursprung und die positive Richtung ist, ist eine Sache der Definition. Wir
könnten auch als positive Richtung die Richtung nach Salzburg oder als Bezugspunkt Vöcklabruck
annehmen, dann wären alle Diagramme anders!
Vergleichen wir jetzt das 1. und das 3. Diagramm: Die zurückgelegte Strecke ist in beiden Fällen die
gleiche, im ersten Fall befindet sich aber das Fahrzeug am Ende im Linz, im zweiten Fall doch weiter
nach Linz! Der Grund liegt darin, dass der Anfangspunkt ein anderer war. Im ersten Diagramm ist Wels
der Startpunkt, im zweiten doch schon Linz.
Wir haben vorher gesagt, dass die zurückgelegte Strecke uns nicht besagt, wo sich der bewegende
Körper gerade befindet. Das ist genau was wir damit gemeint haben.
In einem v-t Diagramm kann man zwar die zurückgelegte Strecke durch die Fläche ablesen, nicht
aber wo der Körper angefangen und wo er gestoppt hat!
6.1.6 Fläche in einem v-t Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung und
entsprechende zurückgelegte Strecke
Im ersten Kapitel haben wir schon die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig
beschleunigte Bewegung gesehen: s = v1·t + ½ a·t². Wir haben auch gelernt, dass wir allgemein in
einem v-t Diagramm die zurückgelegte Strecke durch die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ablesen
können.
Wir haben auch gelernt, dass ein v-t Diagramm bei einer gleichmäßig
beschleunigte Bewegung wie das nebenstehende Diagramm aussieht.
Die Steigung in so einem Diagramm zeigt uns die Beschleunigung.
Die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung
ist konstant, daher ist auch die Steigung konstant. Wir haben also eine
Gerade (nach oben, wenn die Beschleunigung positiv ist, nach unten,
wenn sie negativ ist - also beim Bremsen). Die Gerade fängt bei v 1
an, also mit der Anfangsgeschwindigkeit. Dieses Diagramm können
wir benutzen, um die Formel für die Strecke bei einer gleichmäßig
v-t Diagramm mit konstanter a
beschleunigte Bewegung zu erzeugen.
Die Gesamtfläche ist die Fläche des Dreiecks AD plus die Fläche des Vierecks AV. Es gilt:
AD = ½ Δv · Δt
und
AV = v1 · Δt
Δv
und daher Δv =a⋅Δt also Δv =a⋅t
Δt
Die Gesamtfläche ist die zurückgelegte Strecke und daher:
s = AD + AV = ½ Δv · Δt + v1 · Δt = v1 · t + ½ Δv · Δt = v1 · t + ½ a · t · t
Hier ist Δt=t und
a=
also
s = v1·t + ½ a·t²
Damit haben wir die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte
Bewegung mit Hilfe des v-t Diagramms erzeugt!
6.1.7 Fläche in einem a-t, in einem s-t und ein einem allgemeineren Diagramm
Wir haben uns bisher nur mit der Fläche in einem v-t Diagramm beschäftigt. Im Gegenteil zur
Steigung, die als Änderungsrate immer einen physikalischen Sinn hat, ist das mit der Fläche zwischen
Kurve und x-Achse nicht immer der Fall.
Was ist mit der Fläche in einem a-t Diagramm? Laut Definition der
Fläche sollte sie a · t sein und das hat doch die Dimensionen der
Geschwindigkeit. So wie bei einem v-t Diagramm die Fläche uns die
Differenz Δs zeigt (also in diesem Fall zurückgelegte Strecke), ist es
auch bei einem a-t Diagramm: die Fläche in einem a-t Diagramm
zeigt uns die Differenz der Geschwindigkeit Δv (also
Bild 1
Geschwindigkeitsänderung).
In einem s-t Diagramm ist die Fläche, also das Produkt s · t, keine bekannte physikalische Größe.
Daher macht es nicht Sinn, die Fläche in einem s-t Diagramm zu benutzen.
Allgemein ist die (physikalische) Größe der Fläche zwischen
Gerade und x-Achse und zwischen zwei Werten von x das
Produkt der Größen der beide Achsen. In Physik ist dieses
Produkt oft aber nicht immer eine sinnvolle physikalische
Größe (wie z.B. in einem s-t Diagramm).
Die ganze Fläche zeigt uns dann die Änderung dieser Größe
zwischen den beiden Werten x1 und x2 auf der x-Achse
(Geschwindigkeitsänderung zwischen t1 und t2 in einem a-t
Diagramm, die Änderung der Strecke Δs zwischen t1 und t2 in
einem v-t Diagramm usw.). Bisher haben wir vorwiegend
Beispiele gesehen, wo der Wert für t 1 null war (am
Bild 3
Bild 2
Koordinatenursprung), das ist aber in der Regel nicht so!
Die Fläche zu berechnen ist im Fall einer linearen Funktion (Gerade, Bild 2) einfach (Summe der
Fläche eines Dreiecks und eines Vierecks). Allgemein (Bild 3) kann man die Fläche mit Hilfe des
Integrals (12. Schulstufe) berechnen.
6.1.8 Die Einheiten der Achsen und die Eigenschaften des Diagramms
Bisher haben wir fast immer Diagramme verglichen unter der Annahme, dass die Achsen-Einheiten
übereinstimmten. Das ist selbstverständlich nicht immer der Fall. Wenn man Steigung und Flächen bei
Diagrammen vergleicht, bei denen die Achsen-Einheiten nicht übereinstimmen, muss man in der Regel
die Steigungen bzw. die Flächen berechnen, um vergleichen zu können. Ein paar Beispiele werden das
eindeutig machen. Alle Diagramme sind v-t Diagramme.
Vergleichen wir zuerst die beiden Geraden im ersten Diagramm. Die Gerade f fängt bei 1m/s, p bei 3
m/s an. Gerade f hat eindeutig eine größere Steigung (also ist für diese Bewegung die Beschleunigung
größer). Die Fläche bis t=4s ist unter Gerade f weniger als unter Gerade p. Zwischen 4 und 8s ist sie
aber doch mehr unter Gerade f. Wenn man die Flächen zwischen 0 und 8s berechnet, sind sie sogar für
beide Geraden gleich groß (obwohl sie anders aussehen).
Diagramm 1
Diagramm 2
Diagramm 3
Diagramm 4
Vergleichen wir jetzt Diagramme 2 und 3. Wenn man nicht auf die Einheiten achtet, würde man sagen,
dass die Gerade in Diagramm 3 steiler ist und daher auch die Steigung. Das ist aber doch nicht so.
Eigentlich geht es um das gleiche Diagramm, nur ist die Skalierung der y-Achse anders: im Diagramm
3 ist auf der y-Achse 1m/s doppelt so viel wie im Diagramm 2. Die Geschwindigkeitsänderung ist in
beiden Diagrammen 1m/s je 2s, also ist die Steigung (und die Beschleunigung) 0,5m/s²! In der gleichen
Weise kann man zeigen, dass die Flächen unter beiden Gerade (zwischen z.B. 0 und 4s) auch gleich
groß sind!
Wenn wir Diagramme 3 und 4 vergleichen, würden wir ohne Rücksicht auf die Einheiten sagen, dass es
und die gleiche Gerade geht. Das ist aber doch falsch. In Diagramm 3 ist die Einheit für die Zeit (xAchse) Sekunde (s) und für die Geschwindigkeit (y-Achse) m/s. In Diagramm 4 sind die
entsprechenden Einheiten Stunde (h) bzw. km/h! Die Steigung in Diagramm 3 ist 1m/s je 2s und in
Diagramm 4 1km/h je h! Ist das gleich? Rechnen wir die Beschleunigung (Steigung) in Diagramm 4 in
m/s² um:
1 km/h
km
m
k=a=
=0,5⋅1 2 =0,5⋅1000
≈3,858⋅10−5 m/s 2 !!
2h
1h
36002 s 2
wobei die Steigung (und die Beschleunigung) in Diagramm 3 0,5m/s² ist! Der Vergleich ist
beeindruckend! Apropos: die Einheit km/h² für die Beschleunigung haben wir bisher nie gesehen und
werden auch nicht mehr sehen. Sie wird nie benutzt!
Genauso groß ist der Unterschied, wenn man die Flächen vergleicht. In Diagramm 3 ist die Fläche (also
die zurückgelegte Strecke) nach 4 Einheiten der x-Achse (also nach 4s) 16m/s · 4s= 64 m und in
Diagramm 4 16km/h · 4h= 64 km!
Die Folgerung ist eindeutig:
Wenn man Diagramme vergleichen will, muss man die Einheiten der Achsen berücksichtigen.