Kapitel 8: Quadratische Kongruenzen

KAPITEL 8
Quadratische Kongruenzen
1. Quadratische Reste und Nichtreste
Definition 8.1. Es sei p eine ungerade Primzahl, a ∈ Z mit ggT(a, p) = 1. Falls
die Kongruenz x2 ≡ a mod p lösbar ist, nennt man a einen quadratischen Rest
von p. Falls die Kongruenz x2 ≡ a mod p nicht lösbar ist, nennt man a einen
quadratischen Nichtrest von p.
Satz 8.2 (Kriterium von Euler). Es sei p eine ungerade Primzahl, a ∈ Z mit
ggT(a, p) = 1. Es gilt:
p−1
a ist genau dann quadratischer Rest von p, wenn a 2 ≡ 1 mod p.
p−1
a ist genau dann quadratischer Nichtrest von p, wenn a 2 ≡ −1
mod p.
Definition 8.3 (Legendre Symbol). Es sei p eine ungerade Primzahl, a ∈ Z
mit ggT(a, p) = 1. Wir definieren
1
falls a quadratischer Rest von p
(a/p) :=
−1 falls a quadratischer Nichtrest von p
Satz 8.4. Falls p|a schreiben wir (a/p) = 0. Mit dieser Notation gilt: Die
Kongruenz x2 ≡ a mod p hat genau 1+(a/p) viele Lösungen in {0, 1, . . . , p−1}.
Lemma 8.5. Es sei p eine ungerade Primzahl, a, b ∈ Z mit ggT(a, p) =
ggT(b, p) = 1. Es gilt:
a) (ab/p) = (a/p)(b/p)
b) (1/p) = 1
p−1
1 falls p = 4k + 1
c) (−1/p) = (−1) 2 =
−1 falls p = 4k + 3
Satz 8.6. Es sei p eine ungerade Primzahl. Es gibt genau
Reste und p−1
2 quadratische Nichtreste in {1, . . . , p − 1}.
20
p−1
2
quadratische
2. Quadratische Reziprozität
Lemma 8.7 (Gaußsches Lemma). Sei p eine ungerade Primzahl und a ∈ Z mit
ggT(a, p) = 1. Ist n die Anzahl der Zahlen der Menge
p−1
S = {a, 2a, 3a, . . . ,
a},
2
deren Reste bei Division durch p größer als p2 sind, so gilt
(a/p) = (−1)n .
Korollar 8.8. Ist p eine ungerade Primzahl, so gilt
1 falls p = 8k + 1 oder p = 8k + 7
(2/p) :=
−1 falls p = 8k + 3 oder p = 8k + 5
Lemma 8.9. Ist p eine ungerade Primzahl und a eine ungerade ganze zu p
teilerfremde Zahl, so gilt
2 ak
p−1
t
(a/p) = (−1) mit t =
k=1
p
.
Satz 8.10 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz). Sind p und q verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt
(p/q)(q/p) = (−1)
p−1 q−1
2
2
3. Quadratische Kongruenz mit zusammengesetzten Modulen
Lemma 8.11. Ist p eine ungerade Primzahl, n ∈ N und a ∈ Z mit ggT(a, p) =
1, so hat die Kongruenz
x2 ≡ a mod pn
genau dann eine Lösung, wenn (a/p) = 1 gilt.
Lemma 8.12. Sei a ∈ Z ungerade und n ∈ N. Die Kongruenz
x2 ≡ a
mod 2n
hat genau in den folgenden drei Fällen eine Lösung:
1) n = 1.
2) n = 2 und a ≡ 1 mod 4.
3) n ≥ 3 und a ≡ 1 mod 8.
Lemma 8.13. Es seien m, n ∈ N teilerfremd und f ein Polynom mit Koeffizienten in Z. Dann gilt: Die Kongruenz f (x) ≡ 0 mod mn hat genau dann eine
Lösung, wenn beide Kongruenzen f (x) ≡ 0 mod m und f (x) ≡ 0 mod n eine
Lösung haben.
Satz 8.14. Es sei n = 2k0 pk11 . . . pkr r die Primfaktorzerlegung von n > 1 und
a ∈ Z mit ggT(a, n) = 1.
a) Ist die quadratische Kongruenz x2 ≡ a mod n lösbar, so gilt (a/pi ) =
1 für alle i = 1, 2, . . . , r.
b) Gilt (a/pi ) = 1 für alle i = 1, 2, . . . , r, so ist die quadratische Kongruenz genau dann lösbar, falls einer der drei folgenden Fälle eintritt:
1) 4 |n
2) a ≡ 1 mod 4 falls 4|n aber 8 |n
3) a ≡ 1 mod 8 falls 8|n