Montag 9.1.2017

Mathematik für Physiker I, WS 2016/2017
Montag 9.1
$Id: det.tex,v 1.25 2017/01/09 11:47:30 hk Exp $
§8
Determinanten
Wir kommen jetzt zum Begriff der Determinante. Determinanten sind merkwürdigerweise über hundert Jahre älter als Matrizen, und sie wurden auch ursprünglich nicht
im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen eingeführt, sondern bei der Behandlung von Polynomgleichungen n-ten Grades. Der Name Determinante“ kommt
”
dagegen aus ihrer Verwendung im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen,
und wir wollen erst einmal erwähnen was hier eigentlich determiniert“ wird. Ange”
nommen wir haben eine quadratische Matrix A über den reellen oder den komplexen
Zahlen. Wie wir noch sehen werden können dann zwei verschiedene Fälle auftreten,
entweder ist das lineare Gleichungssystem Ax = b für jede rechte Seite b eindeutig
lösbar oder es ist niemals eindeutig lösbar und es gibt sowohl rechte Seiten b für die
Ax = b nicht lösbar ist als auch rechte Seiten b für die Ax = b mehrere verschiedene
Lösungen hat, man nennt dieses Verhalten linearer Gleichungssysteme manchmal auch
die Fredholm-Alternative“. Ersteres tritt genau dann auf wenn die Determinante von
”
A von Null verschieden ist und letzteres genau dann wenn sie gleich Null ist. In diesem
Sinne bestimmt, also determiniert, die Determinante von A also das Lösbarkeitsverhalten linearer Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A.
Die Determinante einer n × n Matrix A über K = R oder K = C ist eine Zahl
det A ∈ K. Alternativ wird oft auch |A| anstelle von det A geschrieben. Wird dabei A
direkt in Matrixform (...) hingeschrieben, so läßt man die Klammern um die Matrix in
der Schreibweise |A| üblicherweise fort, schreibt also etwa
1 2 1 3 für die Determinante det A der Matrix
A=
1 2
1 3
.
Beachte das die Determinante nur für quadratische Matrizen definiert wird. Bevor
wir zur Definition der allgemeinen Determinante kommen, wollen wir sie zunächst in
den drei kleinen Fällen n = 1, 2, 3 explizit hinschreiben. Für 1 × 1 Matrizen ist die
Determinante einfach der eine Eintrag der Matrix, also det(a) = a für a ∈ K. Die
Determinante einer 2 × 2 Matrix wird durch die Formel
a b c d := ad − bc
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definiert. Beachte das uns der Ausdruck ad − bc bereits in §7 in der Formel
−1
1
a b
d −b
=
c d
a
ad − bc −c
für die Inverse eine 2 × 2 Matrix begegnet ist. Dies ist kein Zufall, wie wir sehen werden
gibt es auch für n × n Matrizen eine direkte Formel für die Einträge der inversen
Matrix A−1 in Termen gewisser Determinanten. Für n > 3 ist diese Formel allerdings
für praktische Zwecke nur selten hilfreich. Wir kommen nun zur Determinante einer
3 × 3 Matrix, und diese Formel ist bereits merklich komplizierter
a11 a12 a13 a21 a22 a23 := a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
a31 a32 a33 Es ist populär sich diese Formel mit Hilfe der sogenannten Regel von Sarrus zu merken.
Hierzu schreibt man sich die ersten beiden Spalten der 3 × 3 Matrix noch einmal rechts
neben die Matrix. Dann bildet man die drei Dreierprodukte entlang der drei Diagonalen
von links nach rechts und addiert diese. Anschließend bildet man die Dreierprodukte
auf den drei Gegendiagonalen von rechts nach links und zieht diese von der zuvor
gebildeten Summe ab. Die so erhaltene Zahl ist die Determinante der Matrix.
−
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
−
−
+
+
+
Natürlich sind Sie nicht verpflichtet die Regel von Sarrus zu verwenden, mit etwas
Konzentration und ein wenig Übung ist es leicht sich die beiden verdoppelten Spalten
im Kopf zu denken, ohne sie extra hinzuschreiben. Allerdings ist es am besten die Regel
von Sarrus gleich wieder zu vergessen, sie stellt sich als die mit Abstand umständlichste
Methode zur Berechnung der Determinante einer 3 × 3 Matrix heraus.
Für n = 2 und n = 3 hat die Determinante auch eine direkte geometrische Bedeutung. Die Determinante einer 2 × 2 Matrix, beziehungsweise genauer ihr Betrag,
ist die Fläche des von den beiden Spalten, oder Zeilen, aufgespannten Parallelograms.
Entsprechend ist der Betrag der Determinante für n = 3 gleich dem Volumen des
von den drei Spalten aufgespannten Parallelepipeds, dies ist das dreidimensionale Analogon zum Parallelogram und wird oft auch als ein Spat“ bezeichnet. Wir werden
”
diese geometrischen Interpretationen aber erst etwas später in diesem Semester begründen. Entsprechend kann dann auch die Determinante in höheren Dimensionen als
ein n-dimensionales Volumen aufgefasst werden. Bevor wir die exakte Definition dieser
höherdimensionalen Determinanten behandeln, wollen wir hier nur erwähnen das die
Sarrus-Regel sich nicht auf die Determinante von quadratischen Matrizen mit n ≥ 4
Zeilen und Spalten fortsetzt, beispielsweise ist die Determinante einer 4 × 4 Matrix eine
Summe aus 24 Summanden und nicht nur von 8 wie es die Sarrus Regel erwarten ließe.
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Die symmetrische Gruppe
Um die Determinante für größere Matrizen zu definieren, benötigen wir den Begriff
einer Permutation. Ist n ∈ N eine natürliche Zahl, so ist eine Permutation der Zahlen
1, 2, . . . , n definiert als eine bijektive Abbildung π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}. Bezeichnet
Sn die Menge all dieser Permutationen, so notieren wir ein Element π ∈ Sn als das Tupel
[π(1), . . . , π(n)] seiner Werte, so steht beispielsweise
π = [4, 1, 3, 5, 2] für die Bijektion π(1) = 4, π(2) = 1, π(3) = 3, π(4) = 5, π(5) = 2.
Da die Hintereinanderausführung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist,
können wir für π, η ∈ Sn ein Produkt π · η := π ◦ η als die Hintereinanderausführung
von π und η definieren. Ist zum Beispiel π wie oben und η = [5, 4, 3, 2, 1] so ist das
Produkt τ := π · η durch
τ (1) = π(η(1)) = π(5) = 2, τ (2) = π(η(2)) = π(4) = 5, τ (3) = π(η(3)) = π(3) = 3,
τ (4) = π(η(4)) = π(2) = 1, τ (5) = π(η(5)) = π(1) = 4
gegeben, also τ = [2, 5, 3, 1, 4]. Diese Multiplikation erfüllt dann einige Rechenregeln:
(G1) Das Assoziativgesetz π · (η · τ ) = (π · η) · τ für alle π, η, τ ∈ Sn . Dies ist nur ein
Spezialfall des allgemeinen Assoziativgesetzes der Hintereinanderausführung aus
§2.Lemma 1.
(G2) Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, nämlich die identische Abbildung 1 := idM . Diese erfüllt 1 · π = π · 1 = π für alle π ∈ Sn .
(G3) Jedes π ∈ Sn hat ein multiplikatives Inverses π −1 ∈ Sn mit π −1 · π = π · π −1 = 1.
Nach §2.Lemma 3 ist π −1 nämlich gerade die Umkehrabbildung zu π.
Man bezeichnet diese drei Eigenschaften als die Gruppenaxiome und nennt Sn eine
Gruppe. Wir sind hier nicht abstrakt an den Gruppenaxiomen interessiert, aber drei
Folgerungen aus diesen werden für uns sehr wichtig sein.
1. Ist η ∈ Sn und durchläuft π die Elemente von Sn , so durchläuft das Produkt η · π
ebenfalls genau alle Elemente von Sn . Etwas formaler gesagt, ist die Abbildung
f : Sn → Sn ; π 7→ η · π
bijektiv. In der Tat, um einzusehen das f bijektiv ist, ist einzusehen das es für
jedes τ ∈ Sn genau ein π ∈ Sn mit τ = η · π gibt, und die Gruppenaxiome sagen
uns das π = η −1 · τ dieses eindeutige Element von Sn ist.
2. Analog ist für jedes η ∈ Sn auch die Abbildung
g : Sn → Sn ; π 7→ π · η
bijektiv.
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3. Auch die Abbildung
h : Sn → Sn ; π 7→ π −1
ist bijektiv und wegen (π −1 )−1 = π für alle π ∈ Sn gleich ihrer eigenen Umkehrabbildung.
Man kann sich die symmetrische Gruppe Sn alternativ auch als die Menge aller möglichen Anordnungen der Zahlen 1, . . . , n vorstellen. Ist nämlich π ∈ Sn eine Permutation,
so kommt in der Liste
π(1), π(2), . . . , π(n)
jede Zahl zwischen 1 und n genau einmal vor, die Liste ist also eine Anordnung der
Zahlen 1, . . . , n. Haben wir umgekehrt eine solche Liste k1 , . . . , kn in der jede Zahl
zwischen 1 und n genau einmal vorkommt, so können wir durch π(i) := ki für i =
1, . . . , n eine zugehörige Permutation definieren. Schauen wir uns dies einmal an einem
Beispiel mit n = 4 an. Die Anordnung
π:
4, 3, 2, 1
entspricht der durch π(1) = 4, π(2) = 3, π(3) = 2 und π(4) = 1 gegebenen Permutation,
denn 4 ist das erste Element in unserer Aufzählung, 3 ist das zweite Element in der
Aufzählung, und so weiter. Ebenso entspricht
η:
3, 1, 4, 2
der Permutation η(1) = 3, η(2) = 1, η(3) = 4 und η(4) = 2. Für das Produkt τ :=
π · η = π ◦ η ist also
τ (1)
τ (2)
τ (3)
τ (4)
=
=
=
=
π(η(1)) = π(3) = 2,
π(η(2)) = π(1) = 4,
π(η(3)) = π(4) = 1,
π(η(4)) = π(2) = 3,
und als Aufzählung geschrieben ist damit
τ =π·η :
2, 4, 1, 3.
Mit der Interpretation von Permutationen als Auflistungen der Zahlen von 1 bist n ist
es auch leicht die Elemente der symmetrischen Gruppe zu zählen.
Lemma 8.1 (Elementeanzahl der Sn )
Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 hat die symmetrische Gruppe Sn genau n! viele Elemente.
Beweis: Für das erste Element der Aufzählung haben wir n Möglichkeiten, für das
zweite dann nur noch n − 1 Möglichkeiten, für das dritte n − 2 Möglichkeiten, und so
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weiter, bis für das letzte Element nur noch eine Möglichkeit verbleibt. Als Anzahl aller
möglichen Permutationen ergibt sich damit
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . 1 = 1 · 2 · . . . · n = n!.
Schreiben wir |M | für die Anzahl aller Elemente einer endlichen Menge M , so sind
also
|S1 | = 1, |S2 | = 2, |S3 | = 6, |S4 | = 24, |S5 | = 120, . . .
Die Elemente der symmetrischen Gruppe Sn können in zwei verschiedene Sorten eingeteilt werden, die geraden und die ungeraden Permutationen. Nehmen wir einmal an
wir haben eine Permutation π ∈ Sn gegeben. Dann sind π(1), π(2), . . . , π(n) genau die
Zahlen zwischen 1 und n nur in einer anderen Reihenfolge. Dies übeträgt sich dann
auch auf Paare von verschiedenen Zahlen zwischen 1 und n, d.h.
(π(1), π(2)), . . . , (π(1), π(n)), (π(2), π(1)), (π(2), π(3)), . . . , (π(2), π(n)),
. . . , (π(n − 1), π(1)), . . . , (π(n − 1), π(n))
sind wieder genau diese Paare, nur erneut in einer anderen Reihenfolge. Dies modifizieren wir noch etwas und betrachten nur noch die nach Größe geordneten Paare (i, j)
mit 1 ≤ i < j ≤ n, bei denen der zweite Eintrag also größer als der erste Eintrag ist.
Wenden wir unsere Permutation auf diese korrekt geordneten Paare an, so erhalten wir
(π(1), π(2)), . . . , (π(1), π(n)), (π(2), π(3)), . . . , (π(2), π(n)), . . . , (π(n − 1), π(n))
nur noch die Hälfte aller möglichen Paare. Diese umgeordneten Paare müssen aber
nicht mehr nach Größe geordnet sein, die Permutation kann ja auch richtig geordnete
Paare auf falsch geordnete Paare abbilden. Jedes Paar bei dem dies vorkommt nennen
wir einen Fehlstand von π, d.h.
(i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n ist Fehlstand von π :⇐⇒ π(i) > π(j).
Bilden wir nun das Produkt der Differenzen aller unserer obigen Paare, so erhalten wir
fast genau das Produkt aller Differenzen nach Größe geordneter Paare, es kommt nur
für jeden Fehlstand ein Minus Zeichen hinzu. Schreiben wir also F (π) für die Menge
aller Fehlstände von π, so ist
Y
Y
Y
(π(j) − π(i)) = (−1)|F (π)|
(j − i) = ±
(j − i).
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
Tritt in der obigen Formel das Pluszeichen auf, ist also |F (π)| gerade, so nennen wir
π eine gerade Permutation, und andernfalls heißt π eine ungerade Permutation. Zur
Verwendung in Rechnungen führen wir noch ein Symbol für das auftretende Vorzeichen
ein.
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Definition 8.1 (Vorzeichen einer Permutation)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1 und π ∈ Sn . Dann heißt
(−1)π := (−1)|F (π)| =
π(j) − π(i)
j−i
1≤i<j≤n
Y
das Vorzeichen von π.
Wir wollen drei Beispiele behandeln.
1. Wir fangen mit dem konkreten Beispiel n = 4 und der durch 3, 4, 1, 2 gegebenen
Permutation π an. Listen wir die nach Größe geordneten Paare und ihre Bilder
unter π auf, so ergibt sich
(i, j)
1, 2
1, 3
1, 4
2, 3
2, 4
3, 4
(π(i), π(j))
3, 4
3, 1 F
3, 2 F
4, 1 F
4, 2 F
1, 2,
wobei die Fehlstände mit dem Symbol F“ markiert sind. Wir haben in diesem
”
Beispiel also |F (π)| = 4 Fehlstände und somit (−1)π = 1, d.h. π ist eine gerade
Permutation.
2. Sei n ∈ N mit n ≥ 2 und bezeichne τ ∈ Sn die Transposition die zwei verschiedene Zahlen 1 ≤ i < j ≤ n miteinander vertauscht. Fehlstände von τ müssen i
oder j involvieren. Gehen wir die Möglichkeiten durch so ergeben sich genau die
folgenden Fehlstände von τ
F (τ ) = {(i, k)|i < k ≤ j} ∪ {(k, j)|i < k < j}
also |F (τ )| = (j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1 und insbesondere (−1)τ = −1,
d.h. Transpositionen sind immer ungerade.
3. Nun sei π eine Permutation die r ≥ 2 aufeinanderfolgende Ziffern zyklisch nach
rechts schiebt, beispielsweise die Ziffern von i bis i + r − 1 mit 1 ≤ i ≤ n − r + 1.
Es soll also π(k) = k für 1 ≤ k < i und für i + r ≤ k ≤ n, π(k) = k + 1 für
i ≤ k < i + r − 1 und π(i + r − 1) = i sein. Fehlstände von π müssen offenbar zwei
Ziffern zwischen i und i + r − 1 involvieren und i + r − 1 als rechte Komponente
haben, also
F (π) = {(k, i + r − 1)|i ≤ k < i + r − 1}, und somit |F (π)| = r − 1,
und folglich ist auch (−1)π = (−1)r−1 , ist also r gerade so ist π ungerade und ist
r ungerade so ist π gerade.
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Lemma 8.2 (Rechenregeln für das Vorzeichen einer Permutation)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1. Dann gelten:
(a) Ist id ∈ Sn die identische Permutation, so ist (−1)id = 1.
(b) Für alle π, η ∈ Sn ist (−1)πη = (−1)π (−1)η .
(c) Für jedes π ∈ Sn ist (−1)π
−1
= (−1)π .
Beweis: (a) Klar da die Identität keine Fehlstände hat.
(b) Es gilt
Y
Y
(π(η(j)) − π(η(i))) = (−1)|F (η)|
1≤i<j≤n
(π(j) − π(i))
1≤i<j≤n
= (−1)π (−1)η
Y
(j − i)
1≤i<j≤n
und somit ist
(−1)πη =
π(η(j)) − π(η(i))
= (−1)π (−1)η .
j−i
1≤i<j≤n
Y
(c) Nach (a) und (b) gilt
1 = (−1)ππ
8.2
−1
= (−1)π (−1)π
−1
=⇒ (−1)π
−1
=
1
= (−1)π .
(−1)π
Definition und Grundeigenschaften der Determinante
Wir definieren die allgemeine Determinante durch die sogenannte Leibniz-Formel.
Definition 8.2 (Definition der Determinante)
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und sei K ∈ {R, C}. Die Determinante einer n × n Matrix über
K wird durch die Formel
a11 · · · a1n X
.. . .
. (−1)π a1π(1) · . . . · anπ(n)
.
. .. :=
π∈Sn
an1 · · · ann definiert.
Die Determinante einer n×n Matrix ist also eine Summe mit |Sn | = n! vielen Summanden und jeder Summand ist ein Produkt aus n Matrixeinträgen und einem Vorzeichen.
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Für n = 1, 2, 3 stimmt dies mit der schon eingeführten Determinante überein. Schon
für n = 4 ist die Definition aber nicht direkt zum Berechnen der Determinante geeignet, man hat |S4 | = 24 viele Summanden in der Summe. Es gibt im wesentlichen
zwei Methoden Determinanten zu berechnen, zum einen über die sogenannte LaplaceEntwicklung, die wir im nächsten Abschnitt behandeln, und zum anderen über die
Umformung einer Determinante mittels elementarer Zeilen- und Spaltenoperationen.
Um den letzteren Weg zu begründen, müssen wir uns überlegen wie sich die Determinante bei Anwendung von Zeilenoperationen verhält, und hierfür wollen wir das
folgende Lemma formulieren und beweisen.
Lemma 8.3 (Grundeigenschaften der Determinante)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, K ∈ {R, C} und


a11 · · · a1n


A =  ... . . . ...  ∈ K n×n
an1 · · · ann
eine n × n Matrix über K. Dann gelten:
(a) Es ist det At = det A.
(b) Geht A0 aus A durch Multiplikation einer Zeile oder einer Spalte mit einer Konstanten c ∈ K hervor, so ist det A0 = c · det A.
(c) Sei α ∈ Sn eine Permutation und bezeichne A0 die Matrix, die aus A durch Permutation der Zeilen gemäß α hervorgeht, d.h. für 1 ≤ k ≤ n ist die k-te Zeile von
A0 gleich der α(k)-ten Zeile von A. Dann ist det A0 = (−1)α det A. Die analoge
Aussage gilt für Permutationen der Spalten von A.
(d) Geht A0 aus A durch Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten hervor, so ist det A0 =
− det A.
(e) Geht A0 aus A durch Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
hervor, so ist det A0 = det A. Die analoge Aussage gilt auch für Spalten statt
Zeilen.
(f ) Besteht eine Zeile oder eine Spalte von A nur aus Nullen, so ist det A = 0.
(g) Ist eine Zeile von A ein Vielfaches einer anderen Zeile von A, oder eine Spalte
von A ein Vielfaches einer anderen Spalte von A, so ist det A = 0.
Beweis: (a) Es gilt nach Lemma 2.(c)
X
X
det At =
(−1)π aπ(1)1 · . . . · aπ(n)n =
(−1)π aπ(1),π−1 (π(1)) · . . . · aπ(n),π−1 (π(n))
π∈Sn
=
X
π∈Sn
π −1
(−1)
a1,π−1 (1) · . . . · an,π−1 (n) =
π∈Sn
X
π∈Sn
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(−1)π a1π(1) · . . . · anπ(n) = det A.
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(b) Sei 1 ≤ i ≤ n und die i-te Zeile von A0 sei das c-fache der i-ten Zeile von A. Dann
ist
X
det A0 =
(−1)π a1π(1) · . . . · (caiπ(i) ) · . . . · anπ(n)
π∈Sn
=c
X
(−1)π a1π(1) · . . . · anπ(n) = c · det A.
π∈Sn
Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spalten.
(c) Es gilt nach Lemma 2.(b)
X
det A0 =
(−1)π aα(1),π(1) · . . . · aα(n),π(n)
π∈Sn
= (−1)α
X
−1
(−1)πα a1,π(α−1 (1)) · . . . · an,π(α−1 (n)) = (−1)α det A.
π∈Sn
Mit (a) folgt hieraus auch die Aussage über Spaltenpermutationen.
(d) Da Transpositionen ungerade Permutationen sind ist dies ein Spezialfall von (c).
(f ) Ist 1 ≤ i ≤ n und besteht die i-te Zeile von A nur aus Nullen, so ist für jedes
π ∈ Sn stets aiπ(i) = 0, also auch a1π(1) · . . . · anπ(n) = 0. Damit ist det A = 0. Mit (a)
folgt auch die Aussage über Spalten.
(g) Nach (a) reicht es die Aussage für Zeilen einzusehen, und nach (b) können wir
annehmen, dass A sogar zwei identische Zeilen hat. Dann ändert sich die Matrix bei
Vertauschen dieser beiden Zeilen nicht, und (d) ergibt det A = − det A, also det A = 0.
(e) Seien c ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n mit i 6= j und A0 gehe aus A durch Addition des c-fachen
der j-ten Zeile zur i-ten Zeile hervor. Dann ist
X
det A0 =
(−1)π a1π(1) · . . . · (aiπ(i) + cajπ(i) ) · . . . · anπ(n)
π∈Sn
= det A + c
X
(−1)π a1π(1) · . . . · ajπ(i) · . . . · anπ(n) .
π∈Sn
Die hintere Summe ist gerade die Determinante der Matrix A00 , die aus A durch Ersetzen
der i-ten Zeile durch die j-te Zeile entsteht. Da A00 zwei identische Zeilen hat, ist nach
(g) aber det A00 = 0, und dies zeigt det A0 = det A. Mit (a) folgt dann auch die Aussage
über Spaltenunformungen.
Wie schon bemerkt soll uns das Lemma eine Methode zur Berechnung von Determinanten liefern. Wir wissen das wir jede Matrix durch Anwendung der drei elementaren
Zeilenumformungen auf Stufenform bringen können, und das Lemma sagt uns wie sich
die Determinante bei Anwendung dieser Zeilenumformungen verhält. Damit kann die
Berechnung einer allgemeinen Determinante auf die Berechnung der Determinante einer
Matrix in Stufenform zurückgeführt werden. Etwas allgemeiner behandeln wir gleich
Determinanten von Dreiecksmatrizen.
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Lemma 8.4 (Determinante von Dreiecksmatrizen)
Seien n ∈ N mit n ≥ 1, K ∈ {R, C} und




a11
a11
∗




...
...
A=

 oder A = 
∗
ann
ann
eine obere oder eine untere Dreiecksmatrix. Dann ist
det A = a11 · . . . · ann .
Beweis: Schreibe wieder


a11 · · · a1n


A =  ... . . . ...  .
an1 · · · ann
Zunächst sei A eine obere Dreiecksmatrix, also aij = 0 für 1 ≤ j < i ≤ n. Sei π ∈
Sn . Gibt es dann ein 1 ≤ i ≤ n mit π(i) < i, so ist ai,π(i) = 0 und somit auch
a1,π(1) · . . . · an,π(n) = 0. Ist dagegen π(i) ≥ i für jedes 1 ≤ i ≤ n, so ist π(n) ≥ n, also
π(n) = n, und weiter π(n − 1) ≥ n − 1 also π(n − 1) = n − 1 oder π(n − 1) = n,
und wegen π(n − 1) 6= π(n) = n sogar π(n − 1) = n − 1. So fortfahrend folgt dann
π(i) = i für alle 1 ≤ i ≤ n. Es gibt in det A also höchstens einen von Null verschiedenen
Summanden, nämlich derjenige zur identischen Permutation und da diese Permutation
gerade ist, folgt
det A = a11 · . . . · ann .
Ist A eine untere Dreiecksmatrix, so ist At eine obere Dreiecksmatrix und mit Lemma
3.(a) folgt die Behauptung auch in diesem Fall.
Wir rechnen ein Beispiel.
1 2 −1
1
1 1
2 −1
1 2 −1
1 2
1 −1 0
0
2 −2 4
2
0
−1 2
= 0
= − 0
3
−1
4
2
0
0
2
3 0 −1
0
0 −6
2 −3
0 −6
2
1 2 −1
1
1 0 4
0
2
0 = −
=
−
0
0
0
2
−2
0 0
0
5 −3 1
0
−2
−3
2 −1
1 4
2
0 = −16.
0
2 −2 0
0
2 Man ist allerdings nicht gezwungen so stur den Gaußschen Algorithmus abzuarbeiten,
oft kann man sich die Arbeit durch Mischen von Zeilen- und Spaltenoperationen erleichtern. Dies geschieht etwa im folgenden Beispiel wo wir zuerst Vielfache der ersten
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Zeile von der dritten und vierten Zeile abziehen und anschließend die zweite und dritte
Spalte von der ersten Spalte subtrahieren
0 0
1 0
1 0 1 −1
1
−1
3
1
−1
3
3
4 1 3
3
7 −5 3
7 −5 0 1
7 −5 4 1
2 2 0
3 −6 = 0
3 −6 = 0 2 −2
1
0 = 0 2 −2
4 0 4 −3
0
1 −6 0
1 −6 0 0
6 0 0
1 1 0
0 1
0
8
1 1 1
0
8
1
8
1
nach Lemma 3.(f). Dies ist schon eine durchaus effektive Methode zur Berechnung von
Determinanten.
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