1. Logik - Mathematik, TU Dortmund

technische universität dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. H. M. Möller
Dortmund, den 28. 10. 2011
Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg
Die wichtigsten Sätze und Definitionen der Vorlesung im Oktober
1. Logik
“Definition”. Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, dem jeder den
Wahrheitswert “wahr” (TRUE) oder “falsch” (FALSE) zuordnen kann.
Aussagen werden verknüpft.
A ⇒ B heißt “Aus A folgt B” oder “Wenn A gilt, dann auch B”
A ⇔ B heißt “A und B sind äquivalent” oder “Genau dann, wenn A gilt,
dann gilt auch B”
A ∨ B heißt “A oder B”, d.h., “Mindestens eine der Aussagen ist wahr”
A ∧ B heißt “A und B”, d.h., “Beide Aussagen sind wahr”
¬A ist die Verneinung von A.
Behauptung. A ⇔ B ist äquivalent zu (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
Beweis mit Wahrheitstafel
A
w
w
f
f
B A ⇔ B A ⇒ B B ⇒ A (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
w
w
w
w
w
f
f
f
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
w
w
A ⇔ B und (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) haben also die selben Wahrheitswerte,
egal, welche Wahrheitswerte A und B haben.
Bemerkung (übernommen aus Vorlesung Lineare Algebra des WS09/10).
Das Wesen einer mathematischen Theorie besteht darin, mathematische Strukturen anhand von Axiomen aufzustellen und hieraus weitere Aussagen herzuleiten. Die Axiome sind Aussagen, deren Gültigkeit vorausgesetzt wird
(Wahrheitswert TRUE) und die in einer Definition der Struktur zusammengefasst werden. Die weiteren Aussagen (sog. Sätze, Theoreme, Lemmata) sind
kompliziertere Aussagen, die durch logische Schlüsse aus den Axiomen hergeleitet werden. Die Herleitung nennt man Beweis.
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Beweismethoden:
(a) Direkter Beweis (A ⇒ B)
Man zeigt, dass aus der Voraussetzung A die Behauptung B folgt, indem man
z.B. Wahrheitstafeln benutzt und/oder zusätzliche Aussagen A1 , A2 , . . . , As
einschaltet und die Gültigkeit der Aussagen
A ⇒ A1 , A1 ⇒ A2 , . . . , As−1 ⇒ As , As ⇒ B
beweist.
(b) Indirekter Beweis (¬B ⇒ ¬A)
A ⇒ B ist äquivalent zu ¬B ⇒ ¬A. Letzteres beweist man dann direkt wie
in (a).
(c) Widerspruchsbeweis
Man nimmt an, dass ¬B wahr ist. Das führt man durch logische Schlüsse
zu einer Aussage, die im Widerspruch steht zur Voraussetzung A oder zur
Annahme, dass ¬B wahr ist, oder zu einem Axiom.
(d) Aufteilen der Äquivalenz
Man zeigt statt A ⇔ B, dass A ⇒ B und B ⇒ A gelten.
(e) Ringschluss
Wenn behauptet wird, dass A, B und C äquivalente Aussagen sind, dann
zeigt man nur A ⇒ B, B ⇒ C und C ⇒ A.
Eine weitere Beweismethode ist die vollständige Induktion.
Sei N := {1, 2, 3, . . .} und A(n) eine Aussage, die von n ∈ N abhängt. Wenn
man zeigt
(i) A(1) ist wahr
(Induktionsanfang)
und
(ii) Für jedes n ∈ N gilt A(n) ⇒ A(n + 1),
(Induktionsschritt)
dann ist A(n) für alle n ∈ N wahr
(Induktionsprinzip).
Varianten der vollständigen Induktion
Variante 1 n0 ∈ Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, A(n) ist eine Aussage für jedes n ≥ n0 . Wenn der Induktionsanfang A(n0 ) wahr ist und der
Induktionsschritt
für alle n ≥ n0 gilt A(n) ⇒ A(n + 1)
gilt, dann ist A(n) wahr für alle n ≥ n0 .
Variante 2 Wenn A(1) und A(2) wahr sind und für beliebige n ∈ N die
Aussage
Wenn A(n) und A(n + 1) gelten, dann auch A(n + 2)
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wahr ist, dann ist A(n) wahr für alle n ∈ N.
Variante 3 Wenn A(1) wahr ist und wenn für beliebige n ∈ N die Aussage
Wenn A(1), A(2), . . . , A(n) gelten, dann auch A(n + 1)
wahr ist, dann ist A(n) wahr für alle n ∈ N.
Mit der Verwendung von Quantoren kann man Aussagen, Formeln,. . . kompakter schreiben.
∀ heißt “für alle”
∃ heißt “es gibt ein” oder “es existiert ein”
6 ∃ heißt “es gibt kein” oder “es existiert kein”
Zum Beispiel lautet der Induktionsschritt
∀n ∈ N : A(n) ⇒ A(n + 1).
2. Mengen und Abbildungen
“Definition”. (G. Cantor) Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen.
Mengenschreibweise (aufzählend) z.B.
M = {1, 3, 5, 7, . . .} oder = {1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, . . .}
oder (beschreibend)
M = {k ∈ N | k ungerade } oder = {2k − 1 | k ∈ N}.
Häufig verwendete Mengen
N = {1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen Zahlen,
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} natürliche Zahlen mit Null,
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} Menge der ganzen Zahlen,
| m ∈ Z, n ∈ N} Menge der rationalen Zahlen,
Q = {m
n
R Menge der reellen Zahlen,
C Menge der komplexen Zahlen,
∅ leere Menge.
Definition. Eine Menge M heißt endlich, wenn sie nur endlich vielen Elementen besitzt. |M | (oder #M ) ist die Anzahl der Elemente, wenn M endlich
ist.
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Definition. Seien M und N Mengen. Wenn gilt
x ∈ N ⇒ x ∈ M,
dann heißt N Teilmenge von M , kurz N ⊆ M . Gilt N ⊆ M und N 6= M ,
dann heißt N echte Teilmengevon M . Man schreibt dann N ⊂ M oder
N M oder N & M .
Aus dieser Definition folgt ∅ ⊆ M für alle Mengen M .
Definition. Seien M und N Mengen. Dann definiert man
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N } (Durchschnitt von M und N )
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N } (Vereinigung von M und N )
M \ N := {x | x ∈ M ∧ x 6∈ N } (Komplement von N in M )
Die Menge der Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, führt zu
einem Paradoxon. Um eine derartige Komplikation zu vermeiden, betrachtet
man gern Systeme von Mengen, die in einer festen Obermenge Ω enthalten
sind. Dann kann man auch das Komplement einer Menge als Komplement
in Ω definieren,
{M := Ω \ M.
Satz Seien L, M, N Teilmengen von Ω. Dann gelten die folgenden Regeln
(R1)
(R2)
(R3)
(R4)
(R5)
(M )
M ∪ N := N ∪ M,
L ∪ (M ∪ N ) = (L ∪ M ) ∪ N,
M ∪ (M ∩ N ) = M,
L ∪ (M ∩ N ) = (L ∪ M ) ∩ (L ∪ N ),
M ∪ {M = Ω,
{(M ∩ N ) = {M ∪ {N,
M ∩ N = N ∩ M,
L ∩ (M ∩ N ) = (L ∩ M ) ∩ N,
M ∩ (M ∪ N ) = M,
L ∩ (M ∪ N ) = (L ∩ M ) ∪ (L ∩ N ),
M ∩ {M = ∅
{(M ∪ N ) = {M ∩ {N.
Bemerkung Wenn man im ebengenannten Satz den Begriff Menge durch
Aussage ersetzt, ∩ durch ∧ und ∪ durch ∨, sowie Ω durch die Tautologie
(immer wahr) und ∅ durch die Negation der Tautologie (immer falsch), sowie das Komplement durch die Negation, so bleiben die Regeln (R1),...,(R5)
gültig. Man sagt, dass die Teilmengen eine festen Menge (mit den Operationen ∩ und ∪) eine Boolesche Algebra bilden sowie auch die Menge aller
Aussagen (mit den Operationen ∧ und ∨). Vertauscht man ∪ und ∩ in den
Regeln und vertauscht gleichzeitig Ω und ∅, dann bekommt man wieder eine
Boolesche Algebra (die man als dual zur gegebenen Booleschen Algebra bezeichnet), weil sie ebenfalls die Regeln (R1),...,(R5) erfüllt.
Die Regeln (M) werden de-Morgansche Gesetze genannt. Sie sind eine Folge
der Regeln (R1),...,(R5).
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Definition und Satz Die Menge aller Teilmengen einer Menge Ω heißt
Potenzmenge von Ω und wird mit P(Ω) bezeichnet, also
P(Ω) := {M | M ⊆ Ω}.
Wenn Ω endliche Menge mit n := |Ω| ist, dann ist P(Ω) ebenfalls endlich
und es gilt |P(Ω)| = 2n .
Beispiel Sei Ω eine Menge mit n = 4 Elementen, also etwa Ω := {a, b, c, d}.
Dann gilt
P(Ω) = {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d},
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}.
Den Schlüssel zum Beweis des ebengenannten Satzes (mit Induktion nach n)
findet man mit folgender Überlegung. Die Elemente von P({a, b, c, d}), die
b ∈ Ω nicht enthalten, bilden die Menge P({a, c, d}) mit 23 Elementen. Wenn
man aus den restlichen Elementen (das sind die Teilmengen, die b enthalten,)
das b herausnimmt, bekommt man wieder die Menge P({a, c, d}). Die restlichen Elemente in P(Ω) sind also genau so viele wie in P({a, c, d}), nämlich
23 . P(Ω) hat also 23 + 23 = 24 Elemente.
Definition Seien A und B Mengen. Die Menge
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
heißt kartesisches Produkt von A und B. Die Elemente (a, b) ∈ A × B werden
geordnete Paare genannt. Allgemein wird für beliebige Mengen A1 , A2 , . . . , An ,
n ∈ N, die Menge
A1 × A2 × . . . × An := {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An }
kartesisches Produkt von A1 , A2 , . . . , An genannt und (a1 , a2 , . . . , an ) n-Tupel.
Wenn Ai = A für i = 1, . . . , n gilt, schreibt man auch An statt A×A×. . .×A.
Satz Sind M und N endliche Mengen, dann gelten die beiden folgenden
Aussagen
i) |M ∪ N | + |M ∩ N | = |M | + |N |,
ii) |M × N | = |M | · |N |.
Abbildungen
Definition Seien X und Y Mengen. Eine Abbildung f ordnet jedem x ∈ X
ein y ∈ Y eindeutig zu,
f : X → Y, x 7→ y
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Beispiele
i) f : R → R, x 7→ x2 − 1
ii) g : {−1, 0, 1, 2} → R, x 7→ x2 − 1
iii) h : R → R, x 7→ (x + 1)(x − 1)
iv) idX : X → Y, x 7→ x (hier ist X ⊆ Y vorausgesetzt!)
Beachte, dass die Abbildungen f und h gleich sind, dagegen g nicht trotz
gleicher Abbildungsvorschrift x 7→ x2 − 1.
Wenn X endliche Menge ist, kann man eine Abbildung f : X → Y, x 7→ f (x)
auch durch Pfeildiagramme darstellen. Andernfalls hilft oft der Graph der
Abbildung f ,
{(x, y) ∈ X × Y | y = f (x)}.
Zur Abbildung f : X → Y, x 7→ f (x) und Teilmenge M ⊆ X ist das Bild von
M (unter f ) definiert durch
f (M ) := {f (x) | x ∈ M },
und, wenn N ⊆ Y , dann nennt man
f −1 (N ) := {x ∈ X | f (x) ∈ N }
das Urbild von N (unter f ). Wenn N nur aus einem Element besteht, N =
{y}, dann schreibt man das Urbild von N kurz f −1 (y) und nennt es Faser
von y in X.
Definition Sei f : X → Y eine Abbildung.
f heißt injektiv, wenn aus f (x) = f (x0 ) folgt x = x0 .
f heißt surjektiv, wenn zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X existiert mit f (x) = y.
f heißt bijektiv, wenn es zugleich injektiv und surjektiv ist.
Das Apfel-Lemma Sind M und N endliche Mengen mit |M | = |N | und
f : M → N eine Abbildung, dann sind die folgenden drei Aussagen äquivalent
i) f ist injektiv.
ii) f ist surjektiv.
iii) f ist bijektiv.
Den Beweis veranschaulicht man sich am besten, indem man sich als M eine
Menge von Personen und als N eine Menge von Äpfeln vorstellt (G. Fischer).
Definition Seien f : X → Y und g : Z → X Abbildungen. Dann heißt die
Abbildung h : Z → Y, z 7→ f (g(z)) Komposition oder Verkettung von f und
g. Für h schreibt man f ◦ g und sagt f nach g, also
f ◦ g : Z → Y, f ◦ g(z) := f (g(z)).
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Ist f : X → Y bijektiv, dann besteht für alle y ∈ Y die Faser f −1 (y) jeweils
aus genau einem Element x. Man definiert dann
f −1 : Y → X, f −1 (y) := x.
f −1 wird als Umkehrabbildung zu f oder kurz invers zu f bezeichnet.
Offenbar gilt bei bijektivem f : X → Y
f ◦ f −1 = idY ,
f −1 ◦ f = idX .
f −1 ist ebenfalls bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist (f −1 )−1 = f .
Man beachte, dass nur für bijektive Abbildungen f die Umkehrabbildung
f −1 existiert. Dagegen sind die Urbildmengen f −1 (N ) für beliebige Abbildungen f erklärt.
Satz Seien X und Y nicht-leere Mengen und sei f : X → Y eine Abbildung.
Dann gelten die folgenden drei Aussagen.
i) f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g : Y → X gibt mit
g ◦ f = idX .
ii) f ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g : Y → X gibt mit
f ◦ g = idY .
iii) f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : Y → X gibt mit
f ◦ g = idY und g ◦ f = idX .
Bemerkung Sind f : X → Y und g : Z → X bijektive Abbildungen, dann
ist f ◦ g : Z → Y bijektiv und es gilt (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .
Mächtigkeit von Mengen
Apfel-Lemma (Teil 2) Sind X und Y endliche Mengen, dann gilt
i) Es gibt eine surjektive Abbildung f : X → Y genau dann wenn |X| ≥ |Y |.
ii) Es gibt eine injektive Abbildung f : X → Y genau dann wenn |X| ≤ |Y |.
iii) Es gibt eine bijektive Abbildung f : X → Y genau dann wenn |X| = |Y |.
Definition Seien X und Y Mengen. X und Y heißen gleichmächtig, wenn
es eine bijektive Abbildung zwischen X und Y gibt. X heißt abzählbar, wenn
X und N gleichmächtig sind oder wenn X endliche Menge ist.
Beispiel Die Mengen N0 und Z sind abzählbar. Mit dem Cantorschen Abzählverfahren zeigt man, dass auch Q, die Menge der rationalen Zahlen abzählbar
ist. Dagegen ist R nicht abzählbar.
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Äquivalenzrelationen
Eine Relation auf einer Menge M ist dadurch erklärt, dass man festlegt, ob
zwischen je zwei Elementen von M die Relation besteht oder nicht. Durch
Vorgabe einer Teilmenge X von M × M kann man also eine Relation dadurch bestimmen, dass man sagt a steht in der Relation zu b genau dann,
wenn (a, b) ∈ X. Wenn a zu b in der Relation stehen, schreibt man kurz a ∼ b.
Beispiele
i) M eine Menge von Personen, Relation “kleiner als”
ii) M eine Menge von Personen, Relation “kleiner als oder gleichgroß ”
iii) M = N, Relation “ist ein Teiler von”
iv) M = P(Ω), Relation “ist Teilmenge von”
Definition Eine Relation auf einer Menge X heißt Äquivalenzrelation, wenn
für alle x, y, z ∈ X gilt
(A1) x ∼ x
(Reflexivität)
(A2) x ∼ y ⇒ y ∼ x
(Symmetrie)
(A3) (x ∼ y) ∧ (y ∼ z) ⇒ x ∼ z (Transitivität)
Beispiel
X Menge von Personen, Relation “ ist genauso groß wie ”
Definition Für jedes m ∈ Z ist eine Relation auf Z durch
a ∼m b :⇔ a − b ist Vielfaches von m
festgelegt, d.h., für a, b ∈ Z gilt a ∼m b genau dann, wenn es ein q ∈ Z gibt
mit a − b = q · m. Diese Relation wird Kongruenz modulo m genannt. Man
schreibt auch a ≡ b(mod m), wenn a ∼m b.
Satz Für jedes m ∈ Z ist die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation.
Satz Definiert man auf Z × N eine Relation durch
(z1 , n1 ) ∼ (z2 , n2 ) :⇔ z1 · n2 = z2 · n1 ,
dann ist dies eine Äquivalenzrelation.
Bemerkung Diese Relation auf Z × N ist eng verbunden mit den Brüchen,
denn man sieht sofort, dass gilt
(z1 , n1 ) ∼ (z2 , n2 ) ⇔
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z2
z1
= .
n1
n2
Definition Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M und x ∈ M . Die Menge Rx
der zu x in Relation stehenden y ∈ M ,
Rx := {y ∈ M | x ∼ y},
wird Äquivalenzklasse von x genannt. Statt Rx schreibt man auch [x]∼ .
Bemerkung 1 Rx = Ry ist äquivalent zu x ∼ y.
Bemerkung 2 Rx ∩ Ry 6= ∅ ⇒ Rx = Ry
Satz Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M . Dann gilt
[
M=
Rx ,
Rx ∩ Ry = ∅ wenn Rx 6= Ry .
x∈M
Man schreibt M/ ∼ für die Menge aller Äquivalenzklassen. Im Fall der
Kongruenzen modulo m schreibt man meistens Z/mZ oder kürzer Zm statt
Z/ ∼m .
Beispiel Z/mZ besteht aus den Äquivalenzklassen [0]m , [1]m , . . . , [|m| − 1]m
falls m 6= 0. Dabei ist
[k]m = {k + q · m | q ∈ Z}.
Bei der Äquivalenzrelation auf Z × N ist die Äquivalenzklasse [(z, n)]∼ gleich
{(z 0 , n0 ) ∈ Z × N |
z
z0
= 0 }.
n
n
Definition Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf M und N ⊆ M , so dass für
jede Äquivalenzklasse Rx die Menge Rx ∩ N aus genau einem Element besteht, dann nennt man N ein Repräsentantensystem bezüglich ∼.
Beispiel In Z/mZ ist die Menge {0, 1, . . . , |m|−1} ein Repräsentantensystem
falls m 6= 0. In Z × N/ ∼ nimmt man in der Regel als Repräsentantensystem
die Elemente (z, n), bei denen z und n keinen gemeinsamen Teiler (außer 1)
haben.
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