Formelsammlung für das Modul „Theoretische Grundlagen der

TU Bergakademie Freiberg
Fakultät für Geowissenschaften, Geotechnik und Bergbau
Institut für Geotechnik
Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau
Formelsammlung für das Modul
„Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
(Stand: Mai 2014)
Prof. Dr.-Ing. habil. H. Konietzky
Dr.-Ing. A. Hausdorf
Dr. rer. nat. M. Herbst
Richtigkeitsvorbehalt:
Trotz gründlicher Überarbeitung können inhaltliche Fehler nicht völlig
ausgeschlossen werden. Deshalb erfolgt die Freigabe dieser Formelsammlung unter Ausschluss jeglicher Gewährleistung durch die Autoren und durch das Institut für Geotechnik.
Hinweise auf Fehler und Anregungen für inhaltliche und formale Verbesserungen nehmen die Autoren gern entgegen.
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Formelsammlung
„Theoretische Grundlagen der Geomechanik“
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Das Schädigungsmaß D kann als Skalar (isotrope Schädigung) oder als Tensor (anisotrope Schädigung) betrachtet werden.:
Inhaltsverzeichnis:
Lehrstuhl für Gebirgs- und Felsmechanik / Felsbau ......................................................... 1 D
anisotrope Schädigung:
ij  Dij n j dA  ~n  dA
1 Ebene Deformation und Deformationsfelder ................................................................. 4 1.1 Verschiebungen ......................................................................................................... 4 AP
AG
isotrope Schädigung:
1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung) ............................................. 4 1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation ................................................................ 8 1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen ...................................................... 9 1.5 Deformationstensor  ............................................................................................ 10 Für isotrope Schädigung unter einaxialer Belastung gilt:
 eff 

1 D
1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung) ............................................. 11 2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht ............................................................................. 12 2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors ................................... 13 2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz .................................................................. 14 2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen ................................................ 16 
F
F

A AG  AP
F
AG



AP 1  D
1
AG
2 Ebene Spannungsfelder .............................................................................................. 12 2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen ............................................................................... 12 weil
Für isotrope Schädigung unter mehraxialer Belastung gilt:
ijeff 
ij
1 D
2.6 Der Mohrsche Spannungskreis ................................................................................ 19 2.7 Invarianten des Spannungstensors .......................................................................... 21 2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen ............................................... 22 2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten ............................................................................... 23 3 Ebene Elastizitätstheorie ............................................................................................. 25 3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz ........................................................... 25 3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie ....................................................... 28 3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme ............................................................ 28 3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion ............................................................... 28 3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie ..................... 29 3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip ................ 29 3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten ..................... 30 4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität ............................................................. 33 4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen .................................... 33 4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes ............................. 33 5 Rheologisches Materialverhalten ................................................................................ 35 5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens ....................................................... 35 1/50
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften ................................................................. 36  da 
K ~ log 

 dN 
In den Regionen gilt:
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5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke ................................................................ 40 Region II (Paris-Erdogan-Beziehung):
6 Sickerströmung in Böden und Fels ............................................................................. 41 da
m
 C K 
dN
6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy ................................................................. 41 m und C sind Materialkonstanten, wobei m meist 4 gesetzt wird.
7. Bruch- und Schädigungsmechanik............................................................................. 43 6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar ............................................. 42 Region III (Gesetz nach Forman):
da
C  K 

dN 1  R  K c  K
n
wobei C und n Materialkonstanten sind.
Bereich I (Gesetz von Donahne):
da
m
 K K  K th 
dN
wobei: K th  1  R  K th, 0

Kth, 0 ist der Schwellwert für R = 0 und  ist ein Materialparameter
Eine alle drei Phasen (Formel wurde von Erdogan und Ratwani):
da C 1    K  K th 

dN
K c  1   K
m
n
wobei

K max  K min
K max  K min
und
c, m und n Materialkonstanten sind.
CDM (Continuum Damage Mechanics):
- Schädigungsmaß D (D = Schädigung, Damage)
- D als Volumengröße:
D
VPoren
VGesamt
V = Volumen
- D als Flächengröße für fiktiven Schnitt im Volumen:
D
A Poren, Risse
A Gesamt

AP
AG
D=0

keine Schädigung
D=1

Schädigung
0D1
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Literaturempfehlungen
Ermüdung durch Wechsellasten (sinusförmige Anregung):
Grundlagen Mechanik
Backhaus, G.:
„Deformationsgesetze”, Akademie-Verlag Berlin, 1983
Betten, J.:
“Kontinuumsmechanik”, Springer-Verlag, 1993
Becker, W.; Gross, D.:
„Mechanik elastischer Körper und Strukturen“
Springer-Verlag, 2002
Gross, D.; u. a.:
“Technische Mechanik 4”, Springer-Verlag, 2002
Kreißig, R.; Benedix, U.:
„Höhere technische Mechanik“, Springer-Verlag, 2002
Chandrasekharaiah, D.S.;
Debnath, L.:
„Continuum Mechanics“
Academic Press, 1994
Ottosen, N.S., Ristinmaa, M.
“The Mechanics of Constitutive Modeling”, Elsevier, 2005
K
K max
Km
K min
Bruchmechanische Grundparameter einer zyklischen Belastung
Dabei gilt:
Grundlagen Geomechanik
Obert, L.; Duvall, W. I.:
N: Anzahl der Zyklen
Rock Mechanics and the Design of Structures in Rock“
John Wiley & Sons, 1967
Jaeger, J.C.; Cook, N.G.W.
Zimmermann, R.W.
“Fundamentals of Rock Mechanics”
Blackwell Publishing, Fourth Edition, 2007
Bell, F. G. (Editor):
“Engineering in Rock Masses”,
Butterworth – Heinemann, 1992
Ramsay, J.G.; Lisle, R.J.:
“The techniques of modern structural geology,
Vol. 3: Applications of continuum mechanics in structural geology”, Academic Press, 2000
Hudson, J. A. (Editor)
“Comprehensive Rock Engineering”
Pergamon Press, 1993, Vol. I – V
Brady, B.H.G.; Braun, E.T.:
“Rock Mechanics for underground mining”,
George Allen & Unwin, 1985
Charlez, Ph. A.:
"Rock Mechanics”, Vol. I: Theoretical Fundamentals
Editions Technip, 1991
Pariseau, W.G.:
“Design Analysis in Rock Mechanics”, Taylor & Francis, 2007
Hudson, J.A.:
“Engineering Rock Mechanics”, Pergamon Press, 1997
Mandl, G.
“Faulting in brittle Rocks”, Springer-Verlag, 2000
Atkinson, B.K. (Ed.)
“Fracture Mechanics of Rocks”, Academic Press, 1987
Singh, R.N.
Ghose, A,K.
“Engineered Rock Structures in Mining and Civil
Constructions”, Taylor & Francis, 2006
Zeit
K: Spannungsintensitätsfaktor
Folgende Parameter finden Verwendung:
K  K max  K min
K max  K min
2
K min
R
K max
Km 
Der Zuwachs an Risslänge pro Belastungszyklus (da/dN) lässt sich im halblogarithmischen Diagramm darstellen:
log( da )
dN
I
K th
II
III
K c
K
Zeitschriften
wobei:
1. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science
Kth = Spannungsintensitätsamplitude, unter derer kein Risswachstum stattfindet
2. Rock Mechanics and Rock Engineering
3. Geotechnik
4. Felsbau
5. Bautechnik
Kc = Spannungsintensitätsamplitude erreicht den kritischen Wert und damit kritisches
Risswachstum
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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COD = crack opening displacement ()
1 Ebene Deformation und Deformationsfelder


4 1 
3E
2

1.1 Verschiebungen
K I2

y
4 GI


3 
3
GI     
4
bzw.
Exemplarische Äquivalenz der Parameter G, K und COD.
K

K
y
(x, y)
y

(x, y)
uy
u
ux
x
x

x

x
x
 
u = (ux, uy) = x  x
Differenz der Ortsvektoren
u = ( x - x, y - y)
Koordinatendifferenzen
1.2 Verformung von Linienelementen (ebene Betrachtung)
y
dl 
P
Das subkritische Risswachstum lässt sich über die sogenannte “Charles-Gleichung” be
schreiben:
v  v0  e
( H / RT )
K
x

dl 
P
x
n
x
wobei:
- Punkt P und infinitesimale Kreisumgebung
v0 = Materialkonstante
- Punkt P und infinitesimale elliptische Umgebung
n = Stress-Corrosion-Index
K
T = Temperatur
Verformung
K
R = Boltzmann-Konstante

H = Aktivierungsenthalpie
Logarithmiert man die Charles-Gleichung erhält man folgenden Ausdruck:

log v  n  log K  log v 0 e (H / RT )

Verzerrung des Koordinatennetzes: Die Lage benachbarter Punkte wird verändert!
Ein Linienelement in K hat vor der Deformation die Länge dl und den Orientierungswinkel (dl,x) = 
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(: Winkel zwischen dem Linienelement und der positiven x - Achse).
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Nach der Deformation gilt: dl  d l und Winkel (dl, x)  Winkel ( d l , x) und   
D. h., es sind eine absolute Längenänderung dl - d l und eine absolute Winkeländerung  -  möglich.
Allgemein: Jedes Linienelement kann bei einer ebenen Deformation Längenänderungen
und Winkeländerungen erfahren.
Definition relative Längenänderung: Die dimensionslose Größe
 
d l  dl 
0
dl 
0    2
In der Praxis treten wegen der 3-dimensionalen Belastung häufig gemischte Bruchmoden auf:
 =  (x,y,)
1
 ij 
heißt infinitesimale Dehnung (oder Zusammendrückung) eines beliebig gelegenen Li-
2r
K
I

FijI   K II FijII   K III FijIII 
wobei Fij() die zu den einzelnen Moden gehörenden Winkelfunktionen sind.
nienelementes. [Einheit (): dimensionslos, % oder ‰]
„Energiefreisetzungsrate“ oder „Risserweiterungskraft“ G [N7/m]:
Es gilt:
 () = 0
d l = dl
(keine Längenänderung)
 () > 0
d l > dl
(Dehnung)
 () < 0
d l < dl
(Zusammendrückung oder
GII  K II2
Stauchung)
d l = dx (dx: infinitesimal kleines Linienelement II zur x-Achse)
y
   0    x 
dx
2
dx



 EDZ



GI  K I2 / E
GII  K II2 / E
2
GIII  K III
/E



 ESZ



Für linear-elastisches Verhalten (linear-elastische Bruchmechanik) gilt (EDZ):
J
dx  dx ux

dx
x
2
E
1
2
GIII  K III

2G
Spezielle Linienelemente (Sonderfälle ohne Winkeländerung)
a) dl = dx:
1   
E

1  

GI  K I2 
1    K
E
2
2
I

 K II2 
1 2
K III
2G
Das J-lntegral entspricht physikalisch also der Energiefreisetzungsrate, ist aber allgemeiner definiert (pfadunabhängig, gültig auch für nicht-elastische Prozesse).
x
x
Es gilt:
x
G
dE
J
da
mit:
(relative Längenänderung in x-Richtung)
G = Energiefreisetzungsrate
: partielle Ableitung, da ux = f(x, y) gilt
J = J-Integral
E = Potenzielle Energie
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
bzw. in Zylinderkoordinaten:
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b) dl = dy:
3 


 5 cos  cos  
2 
2
 r 
   a 
 3 cos   cos 3  
   
2
2 
   4 2r 

3 

 r 

 sin  sin
2
2 

d l = dy (dy: infinitesimal kleines Linienelement II zur y-Achse)

dy  dy uy

      y 

2
dy
y


dy
y
dy
x
x
x
Das Rissfeld an der Spitze hat bezüglich seiner Komponenten folgenden Verlauf
(Mode-I):
(relative Längenänderung in y-Richtung)
Relative Winkeländerung (ohne Längenänderung)
Im Punkt werden 2 im unverformten Zustand senkrecht aufeinander stehende
Linienelemente betrachtet und die bei der
Verformung entstehenden Winkeländerungen beobachtet.
y

2
dl 2
dl 2 dl
1 1
dl 1
Winkel (d l1, dl1 ) = 1
x

x
Winkel (d l2 , dl 2 ) = 2
Winkel (dl1, dl2) =  / 2
12 = 1 + 2 (relative Winkeländerung)
Allgemein gilt:
KI     a  y
[ Pa m ]
y: Formfunktion, KI: Spanungsintensitätsfaktor
Spezialfall: dl1 = dx;
dy



3 
 cos 1  sin sin  
2
2
2 

 x 


KI 


3 
cos
1

sin
sin
 
 y  

2 
2
2  
2r 



 xy 
 sin  cos  cos 3  


2
2
2


dl2 = dy
dx
y
y
dy
 1 dy
y
dx
x
1 = x und 2 = y
12 = x + y
- Mode-II: Scherriss (in-plane shear)
- Mode-III: Torsionsriss (out-of-plane shear)
6/50
duy
dx
x
Neben dem Zugriss (Mode-I) gibt es noch zwei andere Grundtypen:
45/50
du x
y + dy
2
x + dx
x
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Vereinfachung:
Spannungsfeld auf Rissebene vot der Rissspitze:
Längs dx treten nur Verschiebungen in y-Richtung auf;
längs dy nur in x-Richtung


x




x

a
 x   1; y  0    
 1
2
a


 x

 a 1

  
Allgemein:
u x
u x
 dx 
 dy
x
y
u y
u y
du y 
 dx 
 dy
x
y
du x 
x

x
a
 y   1; y  0   
2

a
x
  1
a
 
uy

dx
x
dux
u
tan  2   2 
 x
dy
y
tan  1   1 
duy
 12   1   2 
ux uy

y
x
Satz: Zusammenhang zwischen Verschiebungen und Deformationsgrößen
Gegeben sei das Verschiebungsfeld
ux = ux (x, y)
uy = uy (x, y).
Dann lauten die zugehörigen Deformationsgrößen:
ux ( x  x )

x
x
uy ( y  y)
y 

y
y
ux uy ( x  x ) ( y  y)
 xy 



y
x
y
x
x 
Begriff: Gradienten des Verschiebungsfeldes sind die Deformationen x, y und xy.
Spannungsverlauf auf Rissebene (y=0)
In unmittelbarer Nähe der Rissspitze, d. h. für
r
 1 gilt näherungsweise:
a



3  
 cos 1  sin sin  
2
2
2 

 x 


a 
3  


cos
1
sin
sin

 y   


2r 
2 
2
2  


  xy 
3


 sin cos cos  


2
2
2


7/50
(11.2.1-5)
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Kt 
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
1.3 Fundamentalsatz der ebenen Deformation
g   w  (2ai )2
12v
Zusammenhang zwischen den Längen- und Winkeländerungen von Linienelementen
q
beliebiger Lage mit den Längen- und Winkeländerungen der Linienelemente parallel zu
3
g   w  (2ai )2
g   w  ai  2
 I  n  2ai  1,0 m 
 I  n  1,0 m
12v
3v
den Koordinatenrichtungen (x, y) in einem festen Körperpunkt
Gegeben sind die Deformationsgrößen
z'
v FT,x '  K T

 
 v FT,y'    0
v

 FT,z'   0
y'
0
KT
0
x, y und xy

in einem Körperpunkt x .
0 Ix ' 
 
0  Iy' 

0 Iz' 
Dann gilt für die relativen Längenänderungen () eines beliebig orientierten
Linienelementes dl in diesem Punkt:
   x  cos 2    xy  cos   sin    y  sin 2    
x'
mit:


sowie        x  sin2    xy  cos   sin    y  cos2    
2


vFT,*’: Vektorkomponenten der Filtergeschwindigkeit
Die Winkeländerungen zwischen zwei beliebigen Linienelementen (dl1  dl2)
KT:
Durchlässigkeitsmatrix
in diesem Punkt berechnen sich zu:
I *:
Vektorkomponenten des hydraulischen Gradienten


 ()   y   x  sin 2   xy  cos 2   
wobei  = Winkel (dl1, dx)
y
dl 2: 
7. Bruch- und Schädigungsmechanik
y
dy : y
dl 1: 
„Griffith“-Rissmodell: ebener riss der Länge 2a in unendlicher Scheibe:




  xx
Deformationstensor    
 1 
yx
 2
43/50
dx : x
x
1
 
 xy    x
2

1
 yy    xy
  2
8/50
1

 xy 
2

 y 

x
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Fundamentalsatz zeigt:
Die Beziehung zwischen K und k lautet:
 () +  ( + /2) = x + y =  +  = const. = spur 
(1. Invariante des Deformationstensors)
k
K
g  w
1.4 Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen
Während die oben genannten Permeabilitätskenngrößen die Abhängigkeit von der Vis-


d()
  2   x  sin   cos    xy  cos2   sin2   2   y  sin   cos 
d
d()
 ( y   x )  sin 2   xy  cos 2  0
d
kosität des Fluides implizit beinhalten, ist bei der Verwendung der ‚Intrinsic Permeability’
Kint die kinematische Viskosität ν als Parameter enthalten:
K int 
 Hauptdehnungsrichtungen: Richtungen, in denen 1 und 2 auftreten:
tan 21/ 2 
 xy
Kint:
Dimensionen:
x  y
Diese Gleichung ist für 2 Winkel erfüllt:
m2
v k
g
m2/s
ν:
g:
6.2 Durchströmung von Fels mit einer Trennflächenschar
1 = * und 2 = * + /2,
d. h., die beiden Richtungen 1 und 2 liefern die Extremwerte für ()!
h1
I
h2
2ai
Hauptdehnungen: Wie groß sind 1 und 2?
1
1
2
2
  x   y     x  y    xy
2
2
1
1
2
2
min ()   2    x   y     x  y    xy
2
2
F
d
max ()  1 
2ai
VFT / q
1 = max () und 2 = min () existieren, falls () nicht in allen Richtungen gleich groß
ist
L
Extremwerte der Längenänderungen treten in den Hauptdehnungsrichtungen 1 und 2
auf (1 und 2)
Aus
m/s2
d ()
 ( y   x )  sin 2   xy  cos 2  0   () folgt:
d
vFT 
q K t  I  n  (2ai )
2a

 Kt  i  I
F
nd
d
Die Hauptdehnungsrichtungen 1 und 2 sind winkeländerungsfrei,
d. h., es treten nur Längenänderungen ein.
9/50
Kt 
2ai
 KT
d
42/50
1,0
m
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
6 Sickerströmung in Böden und Fels
y
dl 1
6.1 Homogenes Modell - Gesetz nach Darcy
dl 2
 dl
1
dl 2
  

x
Dies bedeutet, es gibt im Kreis 2 Richtungen dl1 und dl2 (mit dl1  dl2 vor der DeformatiMan führt eine Filtergeschwindigkeit vF ein, die sich als Quotient aus strömender Wassermenge q und durchströmter Querschnittsfläche F ergibt.
vF 
on), die nach der Deformation den Richtungen d l1 und d l2 entsprechen und wiederum
senkrecht aufeinander stehen.
q
F
Nach dem empirischen Gesetz von Darcy ist diese Filtergeschwindigkeit proportional
zum vorhandenen Gradienten I.
vF  K F  I
1.5 Deformationstensor 
KF bezeichnet man als Durchlässigkeitsbeiwert, als die unter Umständen richtungsabhängige Durchlässigkeit des Ersatzmediums.
Die Kenntnis der 3 Größen x, y und xy ist notwendig und hinreichend für die allgemei-
h
I
L
ne Untersuchung des Deformationszustandes in einem Punkt.
Der Gradient I ist die Differenz der piezometrischen Höhen längs des Fließweges L.
Dimensionen:
I:
vF:
dimensionslos
m/s
KF:
Eine alternative Definition der Permeabilität basiert auf dem Druckgradienten:
m/s
Man fasst deshalb diese Größen in der symmetrischen Matrix

 x
   
 1 
xy
2
1

 xy   
xx
2
  


 y   xy

 xy 
;
 yy 
0


    1

0
2

zusammen, die Deformationstensor genannt wird.
q K
dP
dh
in Analogie zum Gefälle: q  k 
dx
dx
Dimensionen:
P:
Pa
K:
41/50
m/s
k:
m2
10/50
(Hauptachsendarstellung)
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
1.6 Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung)
5.3 Zeitabhängige Konvergenz einer Strecke
u = (ux, uy)
 
2 Verschiebungsgrößen

  xx

1
 yx
2
3 Deformationsgrößen im ebenen Fall
- gleiche Indizes  Längenänderungen
- gemischte Indizes  Winkeländerungen
-  ist eine auch im räumlichen Fall symmetrische Matrix
- vereinfachend: x = xx und y = yy
u x
;
x
y 
u y
y
 xy 
;
u x u y

y
x
Wir bilden:
 2 x
 3u x

;
2
y
xy 2
 2 y
x 2

1 
pa
E*
* E*  ur (t) = (1 + )  p  a
Maxwell
Kelvin
d
dt
E* 
1 d 1


E dt 
E* = E +  
d
dt
 u (t)  (1  )  p  a
1 d 1
 
E dt 
Zusammenhänge:
x 
1 
pa
E
* ur ( t ) 
1

 xy 
2

 yy 

Erläuterungen:
* ur 
 3u y
E + 
E  u    u  (1   )  p  a
pa
u  (1   ) 

1
(1   )
 u  u 
pa


u  (1   ) 
Verträglichkeitsbedingung:
pa
t c

2
 2  xy
 2 x   y


y 2
x 2
xy
u1 = A  e
u=
t = 0: u = c =
3 Deformationsgrößen
ux, uy
x, y und xy und Verträg-
 = 2 Größen
 = 3 - 1 = 2 Größen
Verschiebungsfeld
Deformationsfeld
x (x, y), y (x, y), xy (x, y)
uy (x, y)
und eine zu erfüllende
Zusatzbedingung
1 
p a
E
u ( t)  (1  )  p  a 
lichkeitsbedingung
ux (x, y)
u (t) 
t (1  )

pa

E
(1   )
t

 p  a  1  
E
 
Diagramm u (t) über t
t

u2 =
1  
 p a
 E

1 
p a + A  e
E
t

A
1
 (1   )  p  a
E
u (t) 

(1   )
 p  a  (1  e  )
E
t
Diagramm u (t) über t
u
u

t = 0; u = 0:
t
(Kompatibilitätsbedingung)
11/50
d
 u(t) = (1+)  p  a
dt
 1 d 1
u  (1   )       p  a
 E dt  
x 2 y
2 Verschiebungsgrößen
d
dt
40/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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LOONEN - Typ:
2 Ebene Spannungsfelder
2.1 Äußere Kräfte und Gleichgewicht
- bisher: Körper (Koordinatensystem, Rand, Wertevorrat im Inneren)
- neu: Rand wird belastet
(t)
0 /E

= const.
F
F

P3
P 2
F
F

y
= const.
P1 = (Px1 , Py1 )
t
t

x
Ebene Gleichgewichtsbedingungen:
n
m
 Px  R x  0
- :  Px = 0:
n
m
 Py  R y  0
- :  Py = 0:
-
Rx: Resultierende Kraft in x-Richtung
m 1
Ry: Resultierende Kraft in y-Richtung
m 1

n
n
m 1
m 1
m
: M = 0:  Mm   x m  Py  y m  Px
m
 0
Moment = Kraft * Abstand
2.2 Innere Kräfte auf Schnittflächen
- innere Kräfte sind die Folge einer äußeren Belastung (äußere Kraft als Ursache)
- innere Kräfte werden zur Definition der Spannung genutzt
T
K1
T
K2
2 Schnittufer
- belasteter Körper K befindet sich im Gleichgewicht
- nach der Schnittführung (Zerlegung in die beiden Teilkörper K1 und K2) sollen sich
beide Teilkörper ebenfalls im Gleichgewicht befinden,
- auf den Schnittufern existieren die Schnittkräfte T (resultierende Kraft, die
notwendig ist, um beide Körperhälften wieder zusammenzufügen).
39/50
12/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
BURGERS - Typ:
K1
ds
K
ds
ds
EM
ds
T
t = (tx, ty)
(t)
0
M
K
 (t)

- T: Resultierende Schnittkraft (Aufsummation der einzelnen Spannungsvektoren)
 Kelvin
- t: Spannungsvektoren (wirken an jedem Linienelement)
 Maxwell_viskos
0 /E
= const.
= const.
 Maxwell_elastisch
dT
 t   (t x , t y )
ds
t

- Innere Flächenkraft = Spannung
* Kriechkurve des BURGERS-Körpers
2.3 Normal- und Tangentialkomponente des Spannungsvektors
 (t) 
y
 ( t)   el   viskos  nachw.
t
t
m
ty
t

 
ds

n
tR 
tx

0 0


 t  0  (1  e tR )
E M M
EK
elastisch = Maxwell_elastisch
Viskos = Maxwell_viskos
K
EK
Kelvin = Nachwirkung
BINGHAM - Typ:
x
- t: Spannungsvektor (zerlegbar in tx und ty)
- : Winkel (n, x)
- n = (nx, ny) = (cos , sin )
Normalenrichtung
- m = (mx, my) = (- sin , cos )
Tangentenrichtung
Projektion von t (Zerlegung in Normalen- und Tangentenrichtung)

Diagramm  =  (t) für   F

(t)
 (t)
F

 F
 = t  n = tx  nx + ty  ny
F
 = t  m = tx  mx + ty  my
F
el.
 = tx  cos  + ty  sin 

t
t
 = - tx  sin  + ty  cos 
: Normalkomponente des Spannungsvektors
: Tangentialkomponente des Spannungsvektors
13/50
-
 
  F


E

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KELVIN - Körper:
 = |  |:
Normalspannung (z. B. Druck- bzw. Zugfestigkeit einer Probe als
= Parallelschaltung von Feder und Zylinder
Maximalwerte aufnehmbarer Normalspannungen beim Bruch)
 : ges = 1 + 2
1
 = |  |:
Schubspannung (z. B. Scherfestigkeit einer Probe als Maximalwert
 = E   +   
der aufnehmbaren Schubspannung beim Bruch)
(Nachwirkungskriechen)
Sonderfälle für die Lage des Linienelementes
2
Kriechen
y
( = 0 = const.):
ty

 elast
 viskos
(t)

max
t
t

R

  
0



  0 e


t


1  e  R



DGL
= const. = 0
e
t

ds = dx


 = 0: ds = dy

 1  e






x
 = tx  x (Normalspannung am Linienelement  = 0)
 = /2: ds = dx
R 
mit
 = ty  y (Normalspannung am Linienelement  = /2)
 = tx  xy (Schubspannung am Linienelement  = /2)
y
0
E
tx

Lösungsansatz:
t

R
ty
 = ty  xy (Schubspannung am Linienelement  = 0)
 t





t

R

E
     0



= 0
E

t


1  e  R


1 
0
 viskos       
e
 R E

0   elast   viskos
 elast



EE 0
E




ds = dy


0
tx


E

x

yx xy
y
d

Relaxieren:    E      
dt 


d

  E     
dt 

 (t)
x
2.4 Spannungstensor und Fundamentalsatz
Für 2 senkrecht aufeinander stehende und parallel zu den x-y-Koordinaten liegende Li-
= const.
  const.

t

  const.
  0

 E
nienelemente sind die Spannungsvektoren gegeben:
- Vektorpaar:  = (t,x, t,y)
 = x, y
- der ebene Spannungstensor hat dann die Form
 x
   
  yx
 xy 

 y 
spur  = x + y
37/50
14/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Geometrische Interpretation
5.2 Kombinationen und Grundeigenschaften
y

MAXWELL - Körper:
x
= Reihenschaltung von Feder und Zylinder
t x  yx
 xy
y
t y
Fundamentalsatz der Spannungstheorie:
y
x


Kriechen:
n
t
ty


2
1
x

  =  gesamt =  1 +  2
 
 xy

  0
(t)
tx
y
0 /E
x




0
t  0
 


0  0
 
= const. = 0
0 /·t
0 /E

t
Aus dem Kräftegleichgewicht resultiert folgende Beziehung:
tx = x  cos  + xy  sin 
E
 zeitunabhängige elastische Re aktion (Feder )
Relaxieren ( = const.):
ty = y  sin  + xy  cos 
 
 (t)
Vektoriell:
0
t =   n
 

E 
dy
ds
sin  
dx
ds
  A e

t
R
  0
Lösungsansatz:
mit
t

t  0;
bei

DGL
.
= const.  = 0
n = (nx, ny) = (cos , sin )
cos  
(lineares Fließen)
( = 0 = const.):
ds
 yx
 

E 
  0  e

R 

E
t
R
Weitere Schreibweise: Matrizenschreibweise
Spannungsvektor = Spannungstensor
 tx 
 
 ty 
 

 x

  xy

 xy 

 y 
15/50
 Einheitsvektor (Skalarprodukt)

Die Relaxationszeit R ist die Zeit, in der  auf den e-ten Teil von 0 abgefallen ist.
 cos  


 sin  
36/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Aufgabe: Für eine gegebene Normalenrichtung  ist der Spannungsvektor in der Form
(, ) zu ermitteln, wenn  gegeben ist
5 Rheologisches Materialverhalten
5.1 Modelle für Grundtypen des Materialverhaltens
Grundtyp
Name
HOOKE
(elast.
Feder)
Symbol Charakteristische Kurve
ST.
VENANT
(plast.
Reibklotz)
Formeln
Beschreibung des Verhaltens
streng proportionaler Zu-
=E

y

 = F:  =  (t)
F
Dimensionen: E [Pa];
 
t
 [-];


plastische Verformungen
nach Erreichen der Fließgrenze (belastungsabhängig)

 xy

y
x

2
 = x  cos  + 2  xy  sin   cos  + y  sin2 
 = ½ (x + y) + ½ (x - y)  cos 2  + xy  sin 2 
für  = 0:
(t)
| substituieren!
 yx

NEWTON
(Zylinder
mit viskoser
Flüssigkeit)
 = - tx  sin  + ty  cos 

und  (zeitunabhängig)
 < F:  = 0
| tx und ty mit Hilfe des Fundamentalsatzes
x
sammenhang zwischen 

 = tx  cos  + ty  sin 
0

  0 t


 = - ½ (x - y)  sin 2  + xy  cos 2 
viskose, zeitabhängige
Verformungen
2.5 Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen
: Viskosität
 [Pa];
 [1/s];
 [Pa  s]
 ( ) = x  cos2  + xy  sin 2  + y  sin2 
 ( ) = - ½ (x - y)  sin 2  + xy  cos 2 
Aufgabe: Gesucht sind die Richtungen, in denen  oder  Extremwerte annehmen
A.
Extremwerte für 
d
 - 2  x  sin   cos  + 2  xy  cos 2  + 2  y  sin   cos 
d
d
 (y - x)  sin 2  + 2  xy  cos 2  = 0 = 2   ()  siehe oben
d
tan 2 * 

2   xy
x  y
1* und 2* sind die in jedem Punkt des Spannungsfeldes senkrecht aufeinander stehenden Hauptnormalspannungsrichtungen, die schubspannungsfrei (frei von Winkeländerungen) sind. Es gilt:
2* = 1* +
35/50

2
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Lage der Winkel 1* (zu 1) und 2* (zu 2) in Abhängigkeit vom Spannungstensor  
a)
x y
 xy  0
x y
b)
 1 * 
x  y
 xy  0
2 * 
 1 *  0
 1 * 
(1  2 )

- u: einaxiale Druckfestigkeit; einaxiale Plastizitätsgrenze
2
- Gleichung des Kriteriums: 1 = u +   2
2 *  0
2

2 * 
4
Bemerkungen:

3

4
x  y
 
  1 *   0, 
 4
 3 
2 * ,  
x  y
  
 1 *  , 
4 2
3

 2 *   ,  
4

2 4 
- folgende Zusammenhänge gelten:
u 
2c  cos 
;
1  sin 

1  sin 
1  sin 
1   
Beispiele elasto-plastischer Spannungsfelder:
 Ideal elasto-plastisches Materialverhalten
Für die Hauptnormalspannungen 1 und 2 gilt:
1
  x   y  
2
1
2    x   y  
2
1 
1

2
1

2
x  y 2  4  xy 2
 max
F: einaxiale Fließgrenze
x  y 2  4  xy 2
 min
 = 0  max = const.
y
 x
   
  xy

 xy 

 y 
Material ohne innere Reibung
x
yx
 xy
y

y

x
 Traglast einer Halbebene (Lösung von Prandtl)

0


  1
0

2

elastische Lösung: p = p*
p* =   k
Hauptnormalspannungsrichtungen sind
1
schubspannungsfrei
2
1
plastische Lösung: p = p**
2

p** = (2 + )  k
x
[k = F / 2 (für ideale Plastizität)]
S  F  p * *  2c
S: Sicherheit
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Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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4 Ebene Grenzzustände - Bruch und Plastizität
B.
Extremwerte für 
d
 - (x - y)  cos 2  - 2  xy  sin 2  = 0
d
4.1 Charakterisierung des Materialverhaltens: Kennlinientypen
1 HOOKE
1
Verfestigung
tan 2  

2 elasto-plastisch (ideal plastisch)
h
c
s
i
t
s
a
3l
k
o
t
s
a
l
e
Entfestigung
1 und  2  1 
1
x  y
2 xy

sind die Hauptschubspannungsrichtungen.
2
Einsetzen von 1 und  2 in  () ergibt die Hauptschubspannungen
4.2 Lineare Mohr’sche Hüllkurve als Kriterium des Grenzzustandes

1

c



2





 2
x  y 2  4  xy 2
Aus dem Vergleich:
tan 2 * 


0
1

2
max =  ½ (1 - 2)



max  


2  max
x  y
tan 2  
und
1
folgt die Orthogonalitätsbedingung:
weil tan x  cot x = 1, gilt:
- Gleichung der Hüllgeraden:  =   tan  + c
tan 2 *  tan 2  1

bzw.
2

  * 
4
c: Kohäsion
2  2 * 
: Winkel der inneren Reibung
- Bruchwinkel  =
 

4 2
Festigkeits- oder Plastizitätskriterium im 1 - 2 – Diagramm:
1
y
 max

>1
 max
=1
1
u
2

x
2
33/50
18/50
x  y
2  max
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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2.6 Der Mohrsche Spannungskreis
C. Kreisförmiger Hohlraum mit konstantem Innendruck q
y
Wir drehen unser Koordinatensystem so,

dass die Koordinatenachsen mit den
x2
Hauptnormalspannungsrichtungen zu-
x1
1
x2
x

1
dx 2 


ds

2
schubspannungsfrei. Nach dem Funda
0
d. h. r  p
r = (q - p) 
a2
+p=p
r2
 a2 
a2
 +q
1 
2 

r2
r 

 = (p - q) 
a2
+p=p
r2
2
 a2 
 -q a
1 
2
2 

r
r


mentalsatz lässt sich jetzt auch für jedes
90- 
 dx 1
0
y  p
Die Linienelemente dx1 und dx2 sind jetzt

beliebige Linienelement ds der Spannungsvektor angeben.

Mit cos  
0
x  p
sammenfallen.
2
1
Randbedingungen:
x1
dx 2
dx
und sin   1 ergeben sich folgende Zusammenhänge für die Kräfteds
ds
Spezialfälle:
C1 Scheibe mit Kreisloch unter Innendruck
gleichgewichte in Normalen- und Tangentialenrichtung:
Randbedingungen: p = 0; q  0
 Fn = 0:
  ds - 1  cos   dx2 - 2  sin   dx1 = 0
 = 1  cos2  + 2  sin2 
 Ft = 0:
  ds - 1  sin   dx2 - 2  cos   dx1 = 0
a2
r2
a2
   q  2
r
r  q 
 = (1 - 2)  sin   cos 
C2 Kreisförmiger Hohlraum unter hydrostatischem Grundspannungszustand
Daraus folgt für die Spannungen:
 = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2)  cos 2 
Randbedingungen: p  0; q = 0
 = ½ (1 - 2)  sin 2 

a2 
r = p   1  2 
r 

 = Winkel (n, x1)

a2 
 = p   1  2 
r 

Beide Gleichungen für die Komponenten des Spannungsvektors  und  lassen sich wie
folgt verknüpfen:
[ - ½ (1 + 2)]2 + 2 = ¼ (1 - 2)2
19/50
32/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Lösungen der Bipotenzialgleichung in Polarkoordinaten:
Die Kreisgleichung lautet:
(r,) (r,) F = 0
Drehsymmetrische Spannungsfelder:
 d2
1 d   d2
1 d



 dr 2  r  dr   dr 2  r  dr  F(r )  0




allgemein:
x2 + y2 = r2 oder mit verschobenen Mittelpunkt x  x 0   y 2  r 2
speziell:
[ - 0]2 + 2 = max2
2
Kreismittelpunkt:
0 = ½  (1 + 2)
Kreisradius:
max = ½  (1 - 2)
d 4F 2 d 3F
1 d2F
  3  2  2 0
4
r dr
dr
r dr

P
 max
Spezielle Lösungen der Airy – Funktion bei Drehsymmetrie:

2 



1

M
A. Kreisscheibe unter konstantem Außendruck p

0
p: konstante Normalbelastung
r = p
 = 0 - max  cos 2  = 0 + max  cos 2 
 = p
weil: cos 2 = - cos 2 und  +  = 90 °
 = max  sin 2  = max  sin 2 
weil: sin x = sin (180° - x)
1 > 2
B. Kreisring unter konstantem Innen- und Außendruck
Randbedingungen:
 = 0:
Normale und 1 - Richtung sind identisch

= :
2
Normale und 2 - Richtung sind identisch
Außenradius r = b: r = p
b2  a2 q  p p  b2  q  a2
r = 2
 2 
b  a2
r
b2  a2
 =
31/50
b2  a2 p  q p  b2  q  a2
 2 
b2  a2
r
b2  a2
m
1
Innenradius r = a: r = q
2
n  

1
20/50
2
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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Zugeordnete rechtwinklige Schnitte:
3.5 Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie in Polarkoordinaten

P1
 xy
2
y

0
x

1

a) Koordinaten
(r, )
b) Feldgrößen
Verschiebungen
 xy
(ur, u)
Deformationen
(r, , r)
Spannungen
(r, , r)
P2
P1:
 = y = 0 - max  cos 2 
 = xy = max  sin 2 
P2:
 = x = 0 + max  cos 2 
Gleichgewichtsbedingungen:
r 1 r r   
0
 

r 
r
r
r 1   2r
 

0
r
r 
r
 = xy = max  sin 2 
Über Kompatibilitätsbedingung und HOOKE’sches Gesetz folgen:
x = ½ (1 + 2) + ½ (1 - 2)  cos 2 
(r,) (r + ) = 0
y = ½ (1 + 2) - ½ (1 - 2)  cos 2 
wobei gilt:
 = ½ (1 - 2)  sin 2 
(r,) =
(r,) : Delta - Operator bezüglich r und 
1 2
1 
2
 2 2  
2
r r
r
r 
 = 0:
x = 1 ; y = 2 ; xy = 0
Diese 3 Gleichungen lassen sich mit Hilfe des Airy - Ansatzes zu einer Gleichung
 = /2 :
x = 2 ; y = 1 ; xy = 0
zusammenfassen:
(r,) (r,) F = 0
F (r, )
Zusammenhang   
allgemeiner Fall:
a)  x   y
:
    1*
b)  x   y
:
  1 * 
Die Spannungskomponenten ergeben sich folgendermaßen aus dem Airy - Ansatz:

2
r 
1 F 1  2F



r r r 2 2
 
 2F
r 2
2.7 Invarianten des Spannungstensors
r  
 x
  
  xy
 xy 

 y 

Drehung des
Koordinate nsystems
21/50

 'x '
'  
 'x ' y '

r
 1 F 
1  2F
1 F
  
   
 
r r r 2 
 r  
'x ' y ' 

'y' 
30/50
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3.3 Allgemeine Formulierung des 1. RWP der ebenen Elastizitätstheorie
Erste Invariante (Spur der Matrix):
Zusammenfassung:
I1 = (x + y) = (’x’ + ’y’) = (1 + 2)
Gegeben sind ein belasteter und im Gleichgewicht befindlicher ebener elastischer Körper K und die Randbelastung
Zweite Invariante (Determinante der Matrix):
(px, py) oder (pn, pt) längs L.
I2 = det  = det
Gesucht ist das Spannungsfeld
x
 xy
 xy
y
I2 = x  y - xy2 = x’’  ’y’ - ’x’y’2 = 1  2
x (x, y), y (x, y) und xy (x, y)
in K, wobei die Spannungen die elastischen Grundgleichungen
2.8 Gleichgewichtsbedingungen und Randbedingungen
entweder
 x  yx

 0,
x
y
2
 F
oder
x 2
 y,
 y
y
2
 F
y 2

 x,
 xy
x
 0,
2


 x  y  0
 F
   xy ,
yx
y 
y
 F = 0
 y
y
mit L: Normalenrichtung längs L
 y
:  Yi = 0:
Wie findet man spezielle Lösungen eines RWP?
(2)
Bipotenzialgleichung
(3)
29/50
 dx
 x
 dx
x
x  dx
x
y
 dx  dy 
 xy
x
 dx dy  0
Die ebenen Gleichgewichtsbedingungen (Feldgleichungen) lauten:
(1)
 4F
 4F
 4F
 2 2 2  4  0
x 4
x y
y
x
 yx
 x
 dx dy 
 dx dy  0
x
y
 :  Xi = 0:
 Durch „Suchen“ von speziellen Lösungen (partikuläre Integrale) der
xy
y
x
Problem:
 dy
x 
dx
 yx
tx (L) = px = x  cos L + xy  sin L
3.4 Spezielle Lösungen der Bipotenzialgleichung und Superpositionsprinzip
y
 xy 
dass gilt:
ty (L) = py = y  sin L + xy  cos L
 yx
dy
 xy
y
erfüllen und auf den Rändern L von K vorgegebene Randwerte (px, py) annehmen, so
 F 
 yx 
y  dy
x
•
 dy
x  xy

0
x
y
 y
y

 xy
x
0
xy = yx
22/50
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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2.9 Feldgrößen in Polarkoordinaten
Zusammenhang E-Modul / Poissonzal (E/)  Schub- und Kompressionsmodul (G, K)
y
y = const.
r = const. (Kreise)
x
r
E
2 1   
E
K 
3 1  2  
G
y
2. Axialsymmetrische Probleme

 = const. (Strahlen)
x
x = const.
a) Karman - Versuch (gesteinsmechanischer Triaxialversuch)
- Hauptachsendarstellung
Polarkoordinaten:
z = 1
x = r  cos 


2
y
x
E  2 = E  3 = 2 -   (2 + 1)
E  2 = (1 - ) 2 -   1


r rd
E  1 = 1 - 22
r

2
- es bleiben 2 Gleichungen, da  = 0 ist:
Flächenelement und Spannungstensor:
 r
z
xy = xz = yz = 0
y = r  sin 
y
1
x = y = 2 = 3
1
dr
d

3.2 Feldgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie
x
3.2.1 Potentialgleichung der Spannungssumme
orthogonale Linienelemente:
dl1 = dr
dr: Zuwachs an Radius
dl2 = r  d
d: Zuwachs an Winkel
dl1  dl2
 r
  '  
 r
- : ist der Laplace - oder Delta - Operator (bilde die 2. partiellen Ableitungen nach den
r  

 
Normalspannungen: r, 
 2
2 
 2  2   x   y   0
 x
y 

 x   y   0
Ortskoordinaten)
Schubspannungen: r
3.2.2 Bipotentialgleichung und Airy - Funktion
Berechnung der Spannungen in Polarkoordinaten aus den entsprechenden Größen in
kartesischen Koordinaten:
Ansatz von Airy:
r = ½  (x + y) + ½  (x - y)  cos 2 + xy  sin 2
 aus F werden x, y und xy durch partielle Differenzierung erzeugt
 = ½  (x + y) - ½  (x - y)  cos 2 + xy  sin 2
r = - ½  (x - y)  sin 2 + xy  cos 2
23/50
 2F
 y ;
x 2
F = F (x, y)
 2F
 x ;
y 2
 2F
   xy
yx
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Beachte: Auch die Invarianten müssen in Polarkoordinaten gelten.
Sonderfälle - Spezialfälle der ebenen Elastizitätstheorie:
I1 = (r + ) = (x + y) = (1 + 2) = spur 
1. Scheibenproblem
I2 = (r   - r2) = (x  y - xy2) = 1  2 = det 
a) Ebener Verzerrungszustand (Verformungszustand)
Folglich gilt auch für die Hauptspannungen 1 und 2:
1/2 = ½  (r + )  ½ 
y
0 = ½  (r + )
x
max = ½ 
z
r   2  4r2
Hauptrichtungen 1 und 2:
- Merkmale:
• z = xz = yz = 0
z =   (x + y)
x 

1  

 x 
 y 
E 
1 

y 
1  2
E
tan 21/ 2 
2r
r  
ur
u
y
2
= ½  (1 - 2)
Verschiebungen und Verformungen in Polarkoordinaten
Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert:
 xy
r   2  4 r 2



 r
r

r



  y 
 x 
1 





x
1
   xy
G
2 Komponenten des Verschiebungsvektors:
u = (ur, u) ur: radiale Verschiebung
b) Ebener Spannungszustand
u: tangentiale Verschiebung
- Merkmale:
3 Komponenten des Deformationstensors:
• z = xz = yz = 0
• z = 

 x  y
E


 r
   
 1 
r
2

1 
 r 
2 
 

Dieses Ergebnis eingesetzt in das allgemeine HOOKE’sche Gesetz liefert:


x 
1
  x    y
E
y 
1
 y    x
E
 xy 

Zusammenhang Verschiebungen - Deformationen: (geometrische Ableitungen)
r =

ur
r
 
u 
1 

  ur 
r 
 
 r 
1
  xy
G
27/50
24/50
 u
1  ur

 u   
r  
 r
Formelsammlung „Theoretische Grundlagen der Geomechanik“ (Stand 05/2012)
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 z
Drehsymmetrie: Spezialfall, bei dem alle Ableitungen nach  = 0 werden sowie u = 0
ist:
r =
ur
r
 
z
ur
r
x
y
 r  0
Verträglichkeitsbedingung:
 2 r   r 
 2 r    

 2 r  r    
r
r r 

 r
2
 r 
r
r
 2
r
Fundamentalsatz der Deformationen: (sind die Komponenten des Deformationstensors
bekannt, so ist  für jede andere Richtung  bestimmbar; Analogie zum x-y-System)
() = r  cos2  + r  sin  cos  +   sin2 
Gleichgewichtsbedingungen für die Spannungskomponenten
(in Analogie zum x-y-System):
 r 1  r  r   
 

0
r
r 
r
 r 1   2 r
 

0
r
r 
r
3 Ebene Elastizitätstheorie
3.1 Elastische Materialien und HOOKE - Gesetz
(Allgemeines linear-elastisches Gesetz; 3-dimensional; später wieder 2-dimensional):
 xy
 xz 

 yz 
 zz 

Hinweis zur Indizierung:
Index 1  Kraftrichtung
Index 2  Richtung der Flächennormalen
6 Deformationsgrößen hängen im allgemeinsten Fall von 6 Spannungsgrößen ab:
x = a11x + a12y + a13z + a14xy + a15xz + a16yz
ij  A ijKl  Kl 3D
y = a21x + a22y + a23z + a24xy + a25xz + a26yz
z. B.
z = ...................................................................
11  A1111 11  A1112 12  A1113 13
xy= ...................................................................
A1121 21  A1122 22  A1123 23
xz= ...................................................................
A1131 31  A1132 32  A1133 33
  x   a11 a12
 

  y   a 21 a 22
   a
 z    31
  xy   a 41
 

  xz   a 51
  yz   a
  61 a 62

r r  

0
r
r
 yy
 zy

yz= ........................................................+ a66yz
Gleichgewichtsbedingung bei Drehsymmetrie:
  xx

     yx

 zx
y
x


  xx

     yx

 zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
(Spaltenvektor
für  und )
a13
a14
a15
a 33
a 44
a 63
a 64
a 55
a 65
a16    x 
  
  y 
  
 z
   xy 
  
  xz 
a 66    yz 
(Matrix der Materialparameter)  (Spaltenvektor für  und )
=
Volumendeformation:
v = x + y + z =
1  2
1
1
 x  y  z 
  x  y  z 
 KK
E
3K
3 K



HOOKE’sches Gesetz in Hauptachsenform:
E  1 = 1 -   (2 + 3)
E  2 = 2 -   (1 + 3)
E  3 = 3 -   (2 + 1)
25/50
aij = aji; i, j = 1,...,6
26/50
