Übungen zum Seminar Grundlagen der Mathematik Blatt 5 Aufgabe 1

Universität Ulm
Britta Dorn
Kerstin Döbel
Übungen zum Seminar
Grundlagen der Mathematik
Blatt 5
Aufgabe 1 (1 + 2 + 2 = 5 Punkte)
Beweise folgende Aussagen
a) direkt:
Es seien n, m, l ∈ Z mit m ≤ n und ak ∈ R für k = m, . . . , n. Zeige folgende Summenrechenregel.
Indexverschiebung:
n
X
ak =
k=m
n+l
X
ak−l
k=m+l
b) direkt:
Eine Zahl ist ein Quadrat 1 , wenn die Exponenten in ihrer Primafaktorzerlegung gerade
sind 2 .
c) indirekt:
Es gibt keine ganzen Zahlen n, m mit 28m + 42n = 100.
Aufgabe 2 (1 + 5 +5 = 11 Punkte)
Beweise folgende Aussagen mittels vollständiger Induktion:
a) n! > 2n für n ≥ 4.
b) Eine Gerade zerlegt eine Ebene in zwei Gebiete.
In wieviele Gebiete kann die Ebene durch n Geraden zerlegt werden (n ∈ N0 )?
Zeige: Man kann die Ebene in höchstens
n2 +n+2
2
Gebiete zerlegen.
1
Eine Zahl a ∈ N heißt „Quadrat“, wenn es eine Zahl b ∈ N gibt, so dass b2 = a. Beispiel: die Zahl a = 9 ist ein
Quadrat, ihr zugehöriges b ist 3.
2
Beispiel: a = 441 = 32 · 72 , mit zugehörigem b = 21, denn b2 = a.
Nos mathematici sumus isti veri poetae sed quod fingimus nos et probare decet.
(Wir Mathematiker sind die wahren Dichter,
nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.)
Leopold Kronecker (1823 - 1891)
Universität Ulm
Britta Dorn
Kerstin Döbel
Übungen zum Seminar
Grundlagen der Mathematik
Blatt 5
c) Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem konvexen n-Eck (n ≥ 3)?
Zeige: Die Winkelsumme in einem konvexen n-Eck ist (n − 2) · 180◦ .
Aufgabe 3 (5 Punkte)
Beweise folgende Aussage mit vollständiger Induktion:
Eine n-elementige Menge besitzt 2n Teilmengen.
Bonusaufgabe (+ 4 Punkte [zur Entspannung])
Folgende Situation: Du bist auf einer Party und lernst ein nettes Mädchen/einen netten Jungen kennen. Nun möchtest du unbedingt ihren/seinen Geburtstag, ihr/sein Alter und ihre/seine
Schuhgröße wissen ohne einfach nur danach zu fragen.
In dieser Situation können dir folgende zwei Spiele hilfreich sein:
Sei m die Zahl des Monats (m ∈ {1, . . . , 12}) und t der GeburtsTAG (Beispiel: 13. Juni, das
heißt m = 6 und t = 13). Gehe nun vor wie folgt:
1) Multipliziere die Zahl des Monats mit 5.
2) Addiere dazu die Zahl 7.
3) Multipiziere das Ergebnis des vorhergehenden Schrittes mit 4.
4) Addiere die Zahl 13.
5) Multipiziere das Egebnis mit 5.
6) Addiere den GeburtsTAG
7) Subtrahiere die Zahl 205.
Lass dir das Ergebnis nennen. Die Hunderterstelle verrät uns den Monat, der Rest den Tag der
Geburt.
Zahlenbeispiel: Geburtstag 13. Juni
30 + 7 = 37; 4 · 37 = 148; 148 + 13 = 161; 5 · 161 = 805; 803 + 13 = 818; 818 − 205 = 613
Nun das Alter und die Schuhgröße:
1) Die Altersjahre mit 20 multiplizieren.
2) Die „Zahl“ des heutigen Tages addieren (zum Beispiel: 13. Juni, addiere 13).
3) Multipliziere das Ergebnis mit 5.
4) Addiere nun die Schuhgröße (zum Beispiel 38).
Von diesem Zwischenergebnis musst du nun im Kopf das Fünffache der Zahl des heutigen
Tages abziehen. Nun geben uns die Hunderter und die Tausender das gesuchte Alter, der Rest
die Schuhgröße an (zum Beispiel ergibt 2038 das Alter von 20 Jahren und eine Schuhgröße von
38 an).
Beantworte nun folgende Frage:
Wie funktionieren diese beiden „Spiele“?
Nos mathematici sumus isti veri poetae sed quod fingimus nos et probare decet.
(Wir Mathematiker sind die wahren Dichter,
nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.)
Leopold Kronecker (1823 - 1891)