Übungen zum Seminar Grundlagen der Mathematik Blatt

Übungen zum Seminar
Grundlagen der Mathematik
Blatt 3
Universität Ulm
Britta Dorn
Michaela Eskin-Hämmerle
Aufgabe 1 (6 + 2 = 8 Punkte)
a) Berechne folgende Summen bzw. Produkte :
(1)
10
X
k
(2)
k=1
(5)
5
X
k3
k=1
(6)
2
k
k=1
6
Y
(3)
(l − 2)
(7)
l=3
1000
X
(9)
4
Y
1000
X
5 (10)
k=−1000
k=−1000
4
Y
(k − 2)
k=1
13
X
k=17
5j (11)
k2
3
5 Q5
X
l=1 l
k=2
(4)
(8)
5
X
22
k=1
42
Y
l=713
2
k−1
l
42
5
Y
3!
(12)
j
j=1
b) Es sei n ∈ N. Es seien a1 , . . . , an+1 beliebige Zahlen ungleich Null.
Berechne
(1) die Summe
n
X
(ak − ak+1 ) .
k=1
n
Y
(2) das Produkt
k=1
ak
.
ak+1
Aufgabe 2 (1 + 1 + 2 = 4 Punkte)
Beweise folgende Aussagen indirekt:
a) In einer Gruppe, die aus n ≥ 2 Personen besteht, gibt es mindestens 2 Personen, die
innerhalb der Gruppe gleich viele Freunde haben.
b) Es gibt keine ganzen Zahlen m, n mit 28n + 42m = 100.
√
c) 3 ist irrational.
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Britta Dorn
Michaela Eskin-Hämmerle
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Grundlagen der Mathematik
Blatt 3
Aufgabe 3 (2 + 2 =4 Punkte)
Beweise durch vollständige Induktion, dass nachstehende Aussagen für alle n ∈ N gelten. Schreibe
dazu zuerst die in Punktschreibweise dargestellten Formeln in Summen- bzw. Produktschreibweise um.
a) 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2
b) 41 · 42 · 43 · . . . · 4n = 2n·(n+1)
Aufgabe 4 (2 + 2 =4 Punkte)
Was ist die Summe der ersten n geraden Zahlen?
a) Bestimme die Summe der ersten n geraden Zahlen für n = 1, 2, 3, 4 und leite daraus eine
Formel ab, mit der man die Summe der ersten n geraden Zahlen berechnen kann.
b) Beweise mit vollständiger Induktion, dass deine Formel aus a) stimmt.
Bonusaufgabe 1 (+ 2 Punkte)
Giuseppe Peano (1858-1932), der Mathematiker auf dem Bild, hat folgende Axiome1 über die
natürlichen Zahlen aufgestellt:
(I) 1 ist eine natürliche Zahl.
(II) Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n0 .
(III) 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
(IV) Jede natürliche Zahl ist höchstens Nachfolger einer natürlichen Zahl, d.h. aus n0 = m0 folgt
m = n.
(V) Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch
deren Nachfolger n0 enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Das Prinzip der vollständigen Induktion beruht auf Peanos Axiom V. Erkläre warum.
1
Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird. Axiome dürfen ohne
Beweis als wahr angenommen/festgelegt werden, weil sie weder beweisbar noch widerlegbar sind. Die Existenz
der leeren Menge ist zum Beispiel ein Axiom.
Universität Ulm
Britta Dorn
Michaela Eskin-Hämmerle
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Blatt 3
Bonusaufgabe 2 (+ 2 Punkte)
Du bist auf einer Party und lernst ein nettes Mädchen/einen netten Jungen kennen. Nun möchtest
du unbedingt ihren/seinen Geburtstag, ihr/sein Alter und ihre/seine Schuhgröße wissen ohne
einfach nur danach zu fragen.
In dieser Situation können dir folgende zwei Spiele hilfreich sein:
Sei m die Zahl des Monats (m ∈ {1, . . . , 12}) und t der GeburtsTAG (Beispiel: 13. Juni, das
heißt m = 6 und t = 13). Gehe nun vor wie folgt:
1) Multipliziere die Zahl des Monats mit 5.
2) Addiere dazu die Zahl 7.
3) Multipiziere das Ergebnis des vorhergehenden Schrittes mit 4.
4) Addiere die Zahl 13.
5) Multipiziere das Egebnis mit 5.
6) Addiere den GeburtsTAG
7) Subtrahiere die Zahl 205.
Lass dir das Ergebnis nennen. Die Hunderterstelle verrät uns den Monat, der Rest den Tag der
Geburt.
Zahlenbeispiel: Geburtstag 13. Juni
30 + 7 = 37; 4 · 37 = 148; 148 + 13 = 161; 5 · 161 = 805; 803 + 13 = 818; 818 − 205 = 613
Nun das Alter und die Schuhgröße:
1) Die Altersjahre mit 20 multiplizieren.
2) Die „Zahl“ des heutigen Tages addieren (zum Beispiel: 13. Juni, addiere 13).
3) Multipliziere das Ergebnis mit 5.
4) Addiere nun die Schuhgröße (zum Beispiel 38).
Von diesem Zwischenergebnis musst du nun im Kopf das Fünffache der Zahl des heutigen
Tages abziehen. Nun geben uns die Hunderter und die Tausender das gesuchte Alter, der Rest
die Schuhgröße an (zum Beispiel ergibt 2038 das Alter von 20 Jahren und eine Schuhgröße von
38 an).
Beantworte nun folgende Frage:
Wie funktionieren diese beiden „Spiele“?