Rechenbuch Metall
Werbung
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Metallberufe J. Dillinger F. Näher W. Escherich P. Schädlich U. Fischer B. Schellmann R. Gomeringer C. Scholer Rechenbuch Metall Lehr- und Übungsbuch 30. neu bearbeitete Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 10307 R. Kilgus H. Tyroller Autoren: Dillinger, Josef Studiendirektor München Escherich, Walter Studiendirektor München Fischer, Ulrich Ing. (grad.), Studiendirektor Reutlingen Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen Kilgus, Roland Dipl.-Gwl., Oberstudiendirektor Neckartenzlingen Näher, Friedrich Ing. (grad.), Oberstudiendirektor Balingen Schädlich, Peter Dipl.-Ing., Studiendirektor München Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Kißlegg Scholer, Claudius Dipl.-Ing, Dipl.-Gwl., Studiendirektor Metzingen Tyroller, Hans Oberstudiendirektor München Lektorat und Leitung des Arbeitskreises: Roland Kilgus, Neckartenzlingen Bildentwürfe: Die Autoren Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der aktuellen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt. 30. Auflage 2008 Druck 5 4 3 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. ISBN 978-3-8085-1850-2 Umschlaggestaltung: Michael M. Kappenstein, Frankfurt a.M., unter Verwendung eines Fotos der Firma TESA/Brown & Sharpe, CH-Renens Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2008 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt Druck: Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt 3 Vorwort Vorwort 1 Grundlagen der Das Rechenbuch Metall ist ein Lehr- und Übungsbuch für die Ausund Weiterbildung in Fertigungs- und Werkzeugberufen. Es vermittelt rechnerische Grund- und Fachkenntnisse, fördert und vertieft das Verständnis für technische Abläufe und technologische Zusammenhänge. Das Buch eignet sich sowohl für den unterrichtsbegleitenden Einsatz als auch zum Selbststudium. technischen Mathematik 7 ... 62 2 Mechanik Zielgruppen: Industriemechaniker Feinwerkmechaniker Zerspanungsmechaniker Werkzeugmechaniker Technische Zeichner 63 ... 100 schem methodischem Aufbau. Nach der Einführung in das Fachgebiet werden die notwendigen Formeln hergeleitet und erläutert. Nachfolgende Musterbeispiele zeigen die technische Anwendung. Daran schließen sich Übungsaufgaben an, die nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Besonders schwierige Aufgaben sind durch einen roten Punkt ( ) gekennzeichnet. 101 ... 117 Verfahrensmechaniker für s s Kunststoffund Kautschuks technik s und Technikers s Meisterausbildung s 3 Prüftechnik und Qualitätsmanagement Jeder Lernbereich bildet eine in sich geschlossene Einheit mit identi- Die Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung im Kapitel 8 stellen einen Querschnitt durch alle Stoffgebiete dar und können zur Leistungskontrolle und zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden. Gemischte Aufgaben beziehen sich auf mehrere Abschnitte des Buches. Die zur Lösung notwendigen Werte müssen Tabellenbüchern entnommen werden. Die Projektaufgaben im Kapitel 9 unterstützen in besonderer Weise die Unterrichtskonzeption nach Lernfeldern. Sie umfassen neben den fachmathematischen Aufgaben auch Fragen der Technologie, Werkstofftechnik, Steuerungstechnik und Arbeitsplanung. Die zahlreichen Bilder zu den Beispielen und Aufgaben sind in Form eines „Klebeanhanges“ erhältlich. Die „Lösungen“ zum Rechenbuch Metall ermöglichen nicht nur das Überprüfen der Ergebnisse, sondern enthalten außerdem den Lösungsweg der Aufgaben. 4 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung 118 ... 181 5 Werkstofftechnik 182 ... 200 6 Automatisierungstechnik 201 ... 219 Vorwort zur 30. Auflage Der Inhalt des Rechenbuches wurde dem Stand der Technik angepasst und auf die neuen Rahmenlehrpläne abgestimmt. Wo möglich, wurden Kapitel so gegliedert, dass sich die Lernfeldkonzeption im Unterricht umsetzen lässt. So wurden z.B. die Fertigungstechnik und die Fertigungsplanung in einem Kapitel zusammengefasst und die Berechnung der Schnittdaten, der Schnittleistung und der Hauptnutzungszeit direkt bei den Fertigungsverfahren Drehen, Bohren und Fräsen vorgenommen. In dem Kapitel „Technische Berechnungen“ sind die Umstellung von Formeln, das sichere Umrechnen von Einheiten und der anwendungsbezogene Einsatz des Taschenrechners neu konzipiert. Wesentlich erweitert wurde das Kapitel Qualitätsmanagement. Neu eingeführt wurden die Kapitel Spritzgießen, die Berechnung von Schraubenverbindungen sowie die Projektaufgaben Spritzgießwerkzeug, Maschinen- und Prozessfähigkeit und Elektropneumatik. Zusammen mit dem Buch wird eine CD ausgeliefert, auf der alle Bilder gespeichert sind. Für Anregungen und kritische Hinweise sind wir dankbar. Im Sommer 2008 Die Autoren 7 Elektrotechnik 220 ... 235 8 Aufgaben zur Wieder- holung und Vertiefung 236 ... 248 9 Projektaufgaben 249 ... 278 4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Mathematische und physikalische Begriffe 1 Grundlagen der technischen Mathematik 1.1 Zahlensysteme 1.1.1 Dezimales Zahlensystem 1.1.2 Duales Zahlensystem 1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem 1.2 Grundrechnungsarten 1.2.1 Variable 1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterme) 1.2.3 Strich- und Punktrechnungen 1.2.4 Bruchrechnen 1.2.5 Potenzieren 1.2.6 Radizieren (Wurzelziehen) 1.3 Technische Berechnungen 1.3.1 Formeln (Größengleichungen) 1.3.2 Zahlenwertgleichungen 1.3.3 Größen und Einheiten 1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte 1.3.5 Rechnen mit physikalischen Größen 1.3.6 Umrechnen von Einheiten 1.3.7 Umstellen von Formeln 1.3.8 Technische Berechnungen mit dem Taschenrechner 1.4 Berechnungen im Dreieck 1.4.1 Lehrsatz des Pythagoras 1.4.2 Winkelfunktionen s7INKELFUNKTIONENIMRECHTWINKLIGEN$REIECK s7INKELFUNKTIONENIMSCHIEFWINKLIGEN$REIECK 1.5 Allgemeine Berechnungen 1.5.1 Schlussrechnung (Dreisatzrechnung) 1.5.2 Prozentrechnung 1.5.3 Zeitberechnungen 1.5.4 Winkelberechnungen s7INKELARTEN 1.6 Längen, Flächen, Volumen 1.6.1 Längen s4EILUNGGERADER,ËNGEN s+REISUMFËNGEUND+REISTEILUNGEN s'ESTRECKTEUNDZUSAMMENGESETZTE,ËNGEN 1.6.2 Flächen s'ERADLINIGBEGRENZTE&LËCHEN s+REISFÚRMIGBEGRENZTE&LËCHENMIT"EISPIELEN s:USAMMENGESETZTE&LËCHEN s6ERSCHNITT 1.6.3 Volumen 1.6.4 Masse 1.6.5 Gewichtskraft 1.6.6 Gleich dicke Körper, Masseberechnung mit Hilfe von Tabellenwerten 1.6.7 Volumenänderung beim Umformen 1.7 Schaubilder 1.7.1 Flächenstreifen-Schaubild 1.7.2 Kreis-Schaubild 1.7.3 Grafische Darstellung von Funktionen und Messreihen 2 Mechanik 2.1 Bewegungen 2.1.1 Konstante Bewegungen s+ONSTANTEGERADLINIGE"EWEGUNGEN s$URCHSCHNITTSGESCHWINDIGKEIT s6ORSCHUBGESCHWINDIGKEIT s+REISFÚRMIGE"EWEGUNGEN 2.1.2 Beschleunigte und verzögerte Bewegungen s"ESCHLEUNIGUNGUND6ERZÚGERUNG s"ESCHLEUNIGUNGSUND6ERZÚGERUNGSWEG 2.2 Zahnradmaße 2.2.1 Stirnräder mit Geradverzahnung 2.2.2 Strinräder mit Schrägverzahnung 2.2.3 Achsabstand bei Zahnrädern 2.3 Übersetzungen bei Antrieben 2.3.1 Einfache Übersetzungen s:AHNRADMIT:WISCHENRAD s:AHNSTANGENTRIEB 6 7 7 7 7 8 9 9 9 9 12 13 15 17 17 17 18 18 19 19 22 25 28 28 31 31 35 37 37 38 39 40 40 42 42 42 44 45 46 46 48 50 51 52 53 53 55 58 59 59 59 60 63 63 63 63 63 64 66 68 68 68 70 70 71 72 74 74 75 75 2.3.2 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 4 4.1 4.1.1 4.1.2 Mehrfache Übersetzungen Kräfte Darstellung von Kräften Grafische Ermittlung von Kräften s:USAMMENSETZUNGVON+RËFTEN s:ERLEGUNGVON+RËFTEN Rechnerische Ermittlung von Kräften Hebel Drehmoment, Hebelgesetz Lagerkräfte s"AUTEILEMITZWEI,AGERSTELLEN s"AUTEILEMITEINER,AGERSTELLE Umfangskraft und Drehmoment Reibung Haft- und Gleitreibung Rollreibung Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad Mechanische Arbeit s(UBARBEIT s2EIBUNGSARBEIT s&EDER3PANNARBEIT Mechanische Energie s0OTENTIELLE%NERGIE s+INETISCHE%NERGIE Mechanische Leistung s-ECHANISCHE,EISTUNGALLGEMEIN s,EISTUNGBEI$REHBEWEGUNG Wirkungsgrad s7IRKUNGSGRADALLGEMEIN s'ESAMTWIRKUNGSGRAD Einfache Maschinen Schiefe Ebene Keil Schraube Prüftechnik und Qualitätsmanagement Maßtoleranzen und Passungen Maßtoleranzen Passungen Qualitätsmanagement Prozesskennwerte aus Stichprobenprüfung s-EDIANWERT-ODALWERTARITHMETISCHER Mittelwert s3PANNWEITE s3TANDARDABWEICHUNG s5RLISTE3TRICHLISTE(ËUlGKEITSVERTEILUNG Histogramm s3UMMENHËUlGKEIT7AHRSCHEINLICHKEITSNETZ Maschinen- und Prozessfähigkeit Statistische Prozesslenkung s5RLISTEUND5RWERTKARTE s(ISTOGRAMMDER(ËUlGKEITSVERTEILUNG s1UALITËTSREGELKARTE s-ITTELWERT3TANDARDABWEICHUNGSKARTE s-EDIAN3PANNWEITENKARTE s0ROZESSBEWERTUNG Statistische Berechnungen mit dem Taschenrechner Fertigungstechnik und Fertigungsplanung Spanende Fertigung Drehen s3CHNITTDATEN!NZAHLDER3CHNITTE s$REHZAHL s3CHNITTKRAFTFC s3CHNITTLEISTUNGUND!NTRIEBSLEISTUNG s(AUPTNUTZUNGSZEITMITKONSTANTER$REHZAHL Bohren s3CHNITTDATENUND$REHZAHL s3CHNITTKRAFT s3CHNITTLEISTUNGUND!NTRIEBSLEISTUNG s(AUPTNUTZUNGSZEIT"OHREN3ENKEN2EIBEN 77 79 79 79 79 80 81 83 83 85 85 85 87 89 89 89 91 91 91 91 91 92 92 92 94 94 94 95 95 95 98 98 98 100 101 101 101 103 105 105 105 106 106 107 107 109 113 113 113 114 114 115 115 117 118 118 118 118 119 120 121 123 125 125 126 127 128 Inhaltsverzeichnis 4.1.3 Fräsen (Stirnfräsen) s3CHNITTDATEN s3CHNITTKRAFT s3CHNITTLEISTUNGUND!NTRIEBSLEISTUNG s(AUPTNUTZUNGSZEIT 4.1.4 Indirektes Teilen 4.1.5 Koordinaten in NC-Programmen s'EOMETRISCHE'RUNDLAGEN s+OORDINATENMAE 4.1.6 Hauptnutzungszeit beim Schneiden und Abtragen 4.1.7 Kegelmaße s6ERJàNGUNGUND.EIGUNG s+EGELWINKEL 4.2 Trennen durch Schneiden 4.2.1 Schneidspalt 4.2.2 Streifenmaße, Streifenausnutzung 4.3 Umformen 4.3.1 Biegen s:USCHNITTERMITTLUNGBEI"IEGETEILEN s2àCKFEDERUNGBEIM"IEGEN 4.3.2 Tiefziehen s:USCHNITTDURCHMESSER s:IEHSTUFEN:IEHVERHËLTNISSE 4.4 Exzenter- und Kurbelpressen 4.4.1 Pressenauswahl 4.4.2 Schneidarbeit 4.5 Spritzgießen 4.5.1 Schwindung beim Spritzgießen 4.5.2 Kühlung beim Spritzgießen 4.5.3 Dosierung der Formmasse beim Spritzgießen 4.5.4 Kräfte beim Spritzgießen 4.6 Fügen 4.6.1 Schraubenverbindung s3CHRAUBENVERBINDUNGMITAXIALER"ETRIEBSKRAFT s3CHRAUBENVERBINDUNGOHNE"ETRIEBSKRAFT 4.6.2 Schmelzschweißen s.AHTQUERSCHNITTUND%LEKTRODENBEDARFBEIM Lichtbogenschweißen 4.7 Fertigungsplanung 4.7.1 Vorgabezeit 4.7.2 Kostenrechnung s%INFACHE+OSTENRECHNUNG s%RWEITERTE+OSTENRECHNUNG 4.7.3 Lohnberechnung 5 Werkstofftechnik 5.1 Wärmetechnik 5.1.1 Temperatur 5.1.2 Längen- und Volumenänderung 5.1.3 Schwindung beim Gießen 5.1.4 Wärmemenge s7ËRMEMENGEBEIM%RWËRMENUND!BKàHLEN s3CHMELZWËRME 5.2 Werkstoffprüfung 5.2.1 Zugversuch s+RAFT6ERLËNGERUNGSDIAGRAMM s7ERKSTOFFKENNWERTE s3PANNUNGS$EHNUNGS$IAGRAMM s$EHNGRENZE 5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz s"EI:UGBEANSPRUCHUNG s"EI&EDERN 5.3 Festigkeitsberechnung 5.3.1 Beanspruchung auf Zug 5.3.2 Beanspruchung auf Druck 5.3.3 Beanspruchung auf Flächenpressung 5.3.4 Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von Werkstoffen 5.3.5 Beanspruchung auf Biegung s"IEGESPANNUNG s"IEGEMOMENT s!XIALES7IDERSTANDSMOMENT 6 Automatisierungstechnik 6.1 Pneumatik und Hydraulik 6.1.1 Druck und Kolbenkräfte s$RUCKARTEN$RUCKEINHEITEN s,UFTDRUCKABSOLUTER$RUCKÄBERDRUCK s+OLBENKRËFTE 130 130 131 132 134 136 138 138 140 144 146 146 146 148 148 150 152 152 152 154 156 156 157 159 159 159 161 161 162 163 164 166 166 166 168 170 170 173 173 175 175 176 179 182 182 182 182 183 185 185 185 187 187 187 187 188 188 190 190 191 193 193 195 196 197 199 199 199 199 201 201 201 201 201 202 6.1.2 Prinzip der hydraulischen Presse s+OLBENKRËFTEUND+OLBENmËCHEN s+OLBENKRËFTEUND+OLBENWEGE 6.1.3 Kolben- und Durchflussgeschwindigkeiten 6.1.4 Leistungsberechnung in der Hydraulik 6.1.5 Luftverbrauch in der Pneumatik 6.2 Logische Verknüpfungen 6.2.1 Grundfunktionen s*!&UNKTION)DENTITËT s.)#(4&UNKTION.EGATION 6.2.2 Grundverknüpfungen s5.$&UNKTION s6ERKNàPFUNGSFUNKTIONEN s/$%2&UNKTION 6.2.3 Verknüpfungen mehrerer logischer Grundfunktionen 6.2.4 Speichern von Signalen s3ELBSTHALTESCHALTUNGEN 7 Elektrotechnik 7.1 Ohmsches Gesetz 7.2 Leiterwiderstand 7.3 Temperaturabhängige Widerstände 7.4 Schaltung von Widerständen 7.4.1 Reihenschaltung von Widerständen 7.4.2 Parallelschaltung von Widerständen 7.4.3 Gemischte Schaltung von Widerständen 7.5 Elektrische Leistung bei Gleichspannung 7.6 Wechselspannung und Wechselstrom 7.6.1 0ERIODENDAUER&REQUENZUND+REISFREQUENZ 7.6.2 Momentanwert von Spannung bzw. Strom 7.6.3 Effektivwert und Maximalwert von Spannung und Strom 7.7 Elektrische Leistung bei Wechselstrom und Drehstrom 7.7.1 Elektrische Leistung bei Wechselstrom 7.7.2 Elektrische Leistung bei Drehstrom 7.7.3 Wirkungsgrad 7.8 Elektrische Arbeit und Energiekosten 7.9 Transformator 8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung 8.1 Lehrsatz des Pythagoras, Winkelfunktionen 8.2 Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft 8.3 Dreh- und Längsbewegungen, Getriebe 8.4 Kräfte, Arbeit und Leistung 8.5 Maßtoleranzen, Passungen und Teilen 8.6 Qualitätsmanagement 8.7 Spanende Fertigung 8.8 Schneiden und Umformen 8.9 Fügen: Schraub-, Stift-, Passfeder- und Lötverbindungen 8.10 Wärmeausdehnung und Wärmemenge 8.11 Hydraulik und Pneumatik 8.12 Elektrische Antriebe und Steuerungen 8.13 Gemischte Aufgaben 9 Projektaufgaben 9.1 Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine 9.2 Hubeinheit 9.3 Zahnradpumpe 9.4 Hydraulische Spannklaue 9.5 Folgeschneidwerkzeug 9.6 Tiefziehwerkzeug 9.7 Spritzgießwerkzeug 9.8 Qualitätsmanagement am Beispiel eines Stirnradgetriebes 9.9 Pneumatische Steuerung 9.10 Elektropneumatik – Sortieren von Materialien Sachwortverzeichnis 5 205 205 205 207 209 211 213 213 213 213 214 214 214 215 215 217 217 220 220 221 222 223 223 224 225 227 229 229 229 230 232 232 232 232 234 235 236 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 249 252 255 258 261 264 267 270 273 276 279 6 Mathematische und physikalische Begriffe Mathematische und physikalische Begriffe Begriffe Erklärung Beispiele Größen und Einheiten Physikalische Größen 0HYSIKALISCHE'RÚENSINDOBJEKTIVMESSBARE%IGENSCHAFTEN von Zuständen und Vorgängen. Eine physikalische Größe ist das Produkt eines Zahlenwertes mit einer Einheit. Bei der Länge = 30 mm ist 30 der Zahlenwert und mm (Millimeter) die Einheit. Basisgröße Man unterscheidet Basisgrößen und Basiseinheiten. Sie sind im internationalen Einheitensystem (Sl = Système International) festgelegt. Basisgröße Basiseinheit Formelzeichen m Länge Masse Basiseinheit Zeichen Meter Kilogramm Abgeleitete Größen und abgeleitete Einheiten Die abgeleiteten Größen und deren Einheiten setzen sich aus den Basisgrößen und deren Einheiten zusammen. Umrechnung von Einheiten Einheiten können in größere oder kleinere Einheiten oder andere Maßsysteme umgerechnet werden. m kg Kraft = Masse · Beschleunigung 1 N 1 kg · 1 kg 1 kg · m kg · m 1 s2 s2 1000 g 1000 g 1 kg 1 1 dm3 10 d 0, 001 m3 Gleichungen und Formeln Gleichungen Gleichungen beschreiben die Abhängigkeit mathematischer oder physikalischer Größen voneinander. Formeln Technische oder physikalische Gleichungen mit Formelzeichen bezeichnet man als Formeln. 16 + 9 = 100 – 75 x + 15 = 25 s=v·t 7EG'ESCHWINDIGKEITs:EIT Formelzeichen Formelzeichen bestehen aus kursiv gedruckten Buchstaben und kennzeichnen Größen. Sie ersetzen Wörter und dienen zum Rechnen mit Formeln. Größengleichungen Größengleichungen stellen Beziehungen zwischen physikalischen Größen dar. Sie sind unabhängig von der Wahl der Einheit und können Zahlenwerte, z.B. T, mathematische Zeichen, z.B. , enthalten. Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung. Zahlenwertgleichungen Die Zahlenwerte aller Formelzeichen sind an vorgegebene Einheiten gebunden. Der Zahlenwert des Ergebnisses erhält die gewünschte Einheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte der GleiCHUNGINDENJEWEILSVORGESCHRIEBENEN%INHEITENEINGESETZT werden. Kennzeichnung in diesem Buch: graue Umrandung. m für Masse A für Fläche d P 4·A T Q ·p 600 P in kW Q in /min p in bar Zahlenwerte Konstanten Konstanten sind gleichbleibende Zahlenwerte oder Größen bei Berechnungen in der Mathematik und Physik. T = 3,141592654... (Kreiszahl) c £ 300 000 km/s (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) Koeffizienten Koeffizienten sind Größen, die den Einfluss einer Stoffeigenschaft auf einen physikalischen Vorgang kennzeichnen. E = 0,000012 1/K (E = Längenausdehnungskoeffizient für Stahl) Runden Es gilt DIN 1333: Ist die über die angegebene Stellenzahl hinausgehende Ziffer = 5 oder > 5, wird aufgerundet. Ist die Ziffer < 5, wird abgerundet. 25,5 N 18,79 kg 164,4 cm3 £ 26 N £ 18,8 kg £ 164 cm3 7 Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme 1 1.1 Grundlagen der technischen Mathematik Zahlensysteme Beim Rechnen wird allgemein das dezimale Zahlensystem verwendet. Die elektronische Datenverarbeitung (EDV) und die Automatisierungstechnik bauen jedoch auf dem dualen und hexadezimalen Zahlemsystem auf, weil die elektronischen Bauelemente nur binäre1) Informationen, d. h. die Zustände 0 und 1, verarbeiten können. Zahlensysteme setzen sich aus der Basis und den Zeichen zusammen (Tabelle 1). Bezeichnungen: z10 Kurzzeichen für eine Dezimalzahl2) z2 Kurzzeichen für eine Dualzahl3) z16 Kurzzeichen für eine Hexadezimalzahl2) 1.1.1 Dezimales Zahlensystem Beim dezimalen Zahlensystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Alle Zahlen können als Zehnerpotenzen geschrieben werden. Beispiel: Dezimalzahl z10 = 857 z10 = 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 = 800 + 50 + 7 = 857 Die Zehnerpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren (Tabelle 2). 1.1.2 Duales (binäres) Zahlensystem Beim dualen Zahlensystem werden lediglich die Ziffern „0“ und „1“ verwendet. Alle Zahlen werden als Potenzen der Basis 2 dargestellt (Tabelle 2). Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen Beispiel: Lösung: Die Dezimalzahl z10 = 14 ist in eine Dualzahl umzuwandeln. Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche Zweierpotenz dividiert (Tabelle 3). Der verbleibende Rest wird wiederum durch die höchstmögliche Zweierpotenz dividiert, usw. Die Zweierpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren: z2 = 1110 Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen Beispiel: Lösung: Die Dualzahl z2 = 1101 ist in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Sämtliche Ziffern der Dualzahl erhalten unterschiedliche Zweierpotenzen. Die letzte Ziffer wird mit der Potenz 20, die vorletzte mit 21, die davor mit 22 usw. multipliziert. Danach werden die Potenzwerte berechnet und addiert (Tabelle 4). 1) binär (lat.) aus zwei Einheiten bestehend 2) hexa (griech.) = sechs, dezimal (lat.) = 10 3) dual (lat.) aus zwei Einheiten bestehend Tabelle 1: Zahlensysteme Zahlensystem Dual Dezimal Hexadezimal Basis 2 10 16 Zeichen 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Tabelle 2: Dezimal-, Dual- und Hexadezimalzahlen Zahlen im Dezimalsystem Zehnerpotenzen 101 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Zahlen im Hexadezimalsystem Sechzehnerpotenzen 162 161 160 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 0 Zahlen im Dualsystem Zweierpotenzen 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 23 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 22 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 21 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 20 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Tabelle 3: Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl Rechenvorgang 14 : 23 = 14 : 8 = 1 (Rest 6) 23 1 16 : 22 = 16 : 4 = 1 (Rest 2) 22 10 : 1 = 10 : 1 = 0 (Rest 0) Ergebnis: z2 = 20 1 12 : 21 = 12 : 2 = 1 (Rest 0) 20 21 0 1 1 1 0 Tabelle 4: Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl z2 Zweierpotenz Potenzwert z10 = 1 1 0 1 1 · 23 1 · 22 0 · 21 1 · 20 8 4 0 1 + + + 8 4 0 1 z10 = 13 8 Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme 1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem Bei Mikroprozessoren verwendet man häufig auch das hexadezimale Zahlensystem. Bei diesem werden neben den Ziffern 0 bis 9 auch die Buchstaben A bis F benützt. Es hat den Vorteil, dass weniger Zeichen benötigt werden, als dies beim dezimalen und dualen Zahlensystem der Fall ist. Die Zahlen werden in Potenzen der Basis 16 angegeben (Tabelle 2, Seite 7), z. B. z16 = 1A (≙ z10 = 26). Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen Beispiel: Lösung: Tabelle 1: Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl Die Dezimalzahl z10 = 2007 ist in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln. Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche 16er-Potenz dividiert. Der verbleibende Rest wird wiederum durch die höchstmögliche 16er-Potenz dividiert usw. Ist der Rest schließlich nicht mehr ganzzahlig durch 16 teilbar, wird er in einer entsprechenden Hexadezimalziffer ausgedrückt (Tabelle 1). Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen Beispiel: Lösung: Die Hexadezimalzahl z16 = A2F ist in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Sämtliche Ziffern der Hexadezimalzahlen erhalten unterschiedliche 16er Potenzen gemäß Tabelle 2. Die letzte Ziffer wird mit der Potenz 160, die vorletzte mit der Potenz 161, die davor mit der Potenz 162 usw. multipliziert. Danach werden die Potenzwerte berechnet und addiert. Aufgaben Rechenvorgang 162 7 2007 : 162 = 7 Rest 215 16er-Potenzen 161 160 215 : 161 = 13 (≙ D) Rest 7 7: 160 D =7 7 z16 = 7 D 7 Tabelle 2: Umwandlung einer Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl z16 A1) 2 16er-Potenz 10 · 162 2 · 161 Potenzwert 2560 32 Dezimalzahl z10 = 2560 + 32 + 15 = 2607 1) A ¥ 10; F2) 15 · 160 15 2) F ¥ 15 Zahlensysteme 1. Umwandlung von Dezimalzahlen (Tabelle 3). Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie in Hexadezimalzahlen umzuwandeln. Tabelle 3 a b c d e f g h i Dezimalzahl 24 30 48 64 100 144 150 255 2000 2. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 4). Wandeln sie die folgenden Dualzahlen in Dezimalzahlen um. Tabelle 4 Dualzahl a b c d e f 100 10 10 1 11 11 11 00 11 11 11 00 00 11 11 11 11 3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen (Tabelle 5). Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzahlen und in Dualzahlen umzuwandeln. Tabelle 5 a b c d e f Hexadezimalzahl 68 A0 96 8F ED FF 4. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 6). Die Dualzahlen sind in Hexadezimalzahlen umzuwandeln. Tabelle 6 a b c d e f Dualzahlen 10 10 10 11 10 00 11 00 11 00 11 10 00 11 10 01 00 10 10 00 01 11 9 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 1.2 Grundrechnungsarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. In diesem Abschnitt werden außerdem das Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und das Bruchrechnen behandelt. Die Einführung der Rechenregeln wird mit Zahlenbeispielen erläutert. Die daraus abgeleiteten Beispiele aus der Algebra führen in das technische Rechnen mit Formeln ein. 1.2.1 Variable In der Algebra werden Variable (Platzhalter) eingesetzt, die beliebige Zahlenwerte darstellen können (Tabelle 1). Als Variable werden meist Kleinbuchstaben verwendet. Tabelle 1: Schreibweisen von Variablen Zeichen Das Multiplikationszeichen zwischen Zahl und Variable kann weggelassen werden Der Faktor 1 wird meist nicht geschrieben Beispiele 3 · a = 3a a · b = ab 1·b=b 1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm) Mathematische Ausdrücke können mit Klammern zusammengefasst werden. Die in Klammern stehenden Werte müssen zuerst berechnet werden. Die Rechenregeln sind in Tabelle 2 beschrieben. Tabelle 2: Klammerausdrücke Rechenregel Pluszeichen vor der Klammer Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben unverändert. Zahlenbeispiel 16 + (9 – 5) = 16 + 9 – 5 = 20 Algebraisches Beispiel a + (b – c) = a+b–c Minuszeichen vor der Klammer Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur aufgelöst (weggelassen) werden, wenn alle Glieder in der Klammer entgegengesetzte Vorzeichen erhalten. 16 – (9 – 5) = 16 – 9 + 5 = 12 a – (b – c) = a–b+c 1.2.3 Strich- und Punktrechnungen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können auf Grund ihrer Rechenzeichen in Strich(–, +) und Punktrechnungen (·, :) unterteilt werden. Strichrechnungen Zu den Strichrechnungen zählen die Addition und die Subtraktion. Die Rechenregeln für Strichrechnungen können Tabelle 3 entnommen werden. Tabelle 3: Rechenregeln für die Strichrechnungen Rechenregel Vertauschungsgesetz Zahlen und Buchstaben können vertauscht werden. Zusammenfassung Einzelne Glieder können zu Teilsummen zusammengefasst werden. Summieren von Variablen Nur gleiche Variable können addiert oder subtrahiert werden. Zahlenbeispiel 3–9+7 = 7+3–9 = –9 + 3 + 7 = 1 3+7–9 = (3 + 7) – 9 – Algebraisches Beispiel a–b+c = a+c–b = –b + a + c a+b–c = (a + b) – c 18a – 3a + 2b – 5b = 15a – 3b 10 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten Punktrechnungen Multiplikationen und Divisionen bezeichnet man als Punktrechnungen. Die Rechenregeln für die Multiplikation sind in der Tabelle 1 zusammengestellt. Tabelle 1: Rechenregeln für die Multiplikation Rechenregel Vertauschungsgesetz: Faktoren dürfen vertauscht werden. Zahlenbeispiel 3·4·5=4·3·5 = 5·3·4=5·4·3 Vorzeichenregeln 2 · 5 = 10 Gleiche Vorzeichen (–2) · (–5) = +10 = 10 Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird das Produkt positiv; + mal + = +; – mal – = + 3 · (–8) = –24 Ungleiche Vorzeichen (–3) · 8 = –24 Haben zwei Faktoren verschiedene Vorzeichen, so wird das Produkt negativ; – mal + = –; + mal – = – Algebraisches Beispiel a·b·c=b·a·c = c·a·b=c·b·a a · x = ax (–a) · (–x) = +ax = ax a · (–x) = –ax (–a) · x = –ax Produkte mit Klammern 7 · (4 + 5) a · (b + 2b) Faktor mit Klammer: = a · 3b Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multi- = 7 · 4 + 7 · 5 = 63 = 3ab pliziert, in dem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Wenn möglich, sollte man oder: 7 · (4 + 5) zuerst den Inhalt der Klammer zusammenfassen = 7 · 9 = 63 und dann den Wert der Klammer mit dem Faktor multiplizieren. (3 + 5) · (10 – 7) (a + b) · (c – d) Klammer mit Klammer Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multi- = 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7) = ac – ad + bc – bd pliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer = 30 – 21 + 50 – 35 mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. = 24 oder: Bei Zahlen können auch zuerst die Klammeraus(3 + 5) · (10 – 7) drücke berechnet und danach kann das Produkt = 8 · 3 = 24 gebildet werden. Die Rechenregeln für die Division sind in Tabelle 2 dargestellt. Das Rechenzeichen für die Division ist der Doppelpunkt (:) oder der Bruchstrich. Tabelle 2: Rechenregeln für die Division Rechenregel Bruchstrich entspricht Klammer Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusammen wie eine Klammer und ersetzt das Divisionszeichen. Vertauschungsgesetz gilt nicht! Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden. Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel 34 (3 4) : 2 3, 5 2 a b a b 2 2 2 3:4 w 4:3 3 4 w 4 3 a :b w b :a a b w b a Vorzeichenregel Gleiche Vorzeichen 15 15 : 3 5 Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, so ist das 3 Ergebnis positiv. 15 + geteilt durch + = + (15) : (3) +5 3 – geteilt durch – = + Ungleiche Vorzeichen 15 15 : (3) –5 Haben Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen, so ist –3 das Ergebnis negativ. 15 + geteilt durch – = – (15) : 3 –5 3 – geteilt durch + = – Klammerausdrücke (16 – 4) : 4 Klammer geteilt durch Wert Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buchstabe, = 16 : 4 – 4 : 4 Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes einzelne Glied in = 4 – 1 = 3 oder der Klammer durch diesen Wert dividiert. Man kann auch den (16 – 4) = 12 : 4 = 3 Klammerausdruck erst berechnen und danach dividieren. a a b b –a a –b b a a – –b b –a a – b b a –b a b a – –1 b b b b Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 11 Gemischte Punkt- und Strichrechnungen Kommen in einer Rechnung sowohl Strich- als auch Punktrechnungen oder Klammern vor, so ist die Reihenfolge der Lösungsschritte zu beachten. Die Rechenregeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt. Tabelle 1: Rechenregeln für gemischte Punkt- und Strichrechnungen Reihenfolge der Lösungsschritte Zahlenbeispiele Algebraische Beispiele 1. Punktrechnungen 2. Strichrechnungen 8 · 4 – 18 · 3 = 32 – 54 = –22 3a · 2b – 4a · 6b = 6ab – 24ab = –18ab 16 20 18 446 2 4 5 3 16a 3b 6c 4a 3 3 4a 4 b 2c 8 · (3 – 2) + 4 (16 – 5) = 8 · 1 + 4 · 11 = 8 + 44 = 52 a · (3x + 5x) – b · (12y – 2y) = a · 8x – b · 10y = 8ax – 10by Klammerausdrücke sowie gemischte Punkt- und Strichrechnungen: 1. Klammern 2. Punktrechnungen 3. Strichrechnungen Aufgaben Gemischte Punkt- und Strichrechnungen Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 5 sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma zu runden. 1. a) 217,583 – 27,14 · 0,043 + 12 c) 7,1 + 16,27 + 14,13 · 17,0203 e) 857 – 3,52 · 97,25 – 16,386 + 1,1 b) 16,25 + 14,12 · 6,21 d) 74,24 – 1,258 · 12,8 f) 119,2 + 327,351 – 7,04 · 7,36 2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2 b) 34,89 + 241,17 : 21,35 – 12,46 : 2,2 3. a) 243 : 0,04 – 92,17 – 13,325 + 124,3 : 3,5 b) 507 : 0,05 – 261,17 – 114,325 + 142,3 : 18,4 4. a) 18 · (–5) + (–3) · (–7) 96 65 c) 16 15 b) 120 : (–6) – (–15) : 5 148 85 d) 37 17 5. 24, 75 15 38, 7 2, 08 44, 2 · 13,1 12, 6 0, 36 20, 05 1, 7 15,1 3, 7 c) (23, 7 2, 8) · 16, 9 a) 23, 4 8, 6 13, 8 22, 7 · 20, 6 2, 4 27 3, 5 25 · (20,1 16, 58) d) (34, 85 2, 97) · 4, 6 b) 34, 2 · Die Ergebnisse der Aufgaben 6 bis 8 sind zu berechnen. 6. a) 3a · 4b – 10a · 2b c) –8m · 2n + 7,5m · (–2n) 7. 30x 15x 10y 2y 7, 5x 33x c) 2, 5y 22y a) 8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x) b) 25x · (–10y) + 13x · (–5y) d) (–16a) · (–5c) – (–5a) · (–2c) 12m 30m 15n 1, 5n 2x 15x d) 8y 60y b) b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x) 12 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 1.2.4 Bruchrechnen Der Bruchterm ist ein Zahlenverhältnis und besteht aus dem Zähler Zähler 3 Bruchterm 0, 75 und dem Nenner. Der Nenner ist die Bezugsgröße und gibt die GeNenner 4 samtheit der Teile an. Der Zähler bezeichnet die Anzahl der Teile. Das Bruchrechnen wird in der technischen Mathematik z. B. bei Teilkopf-, Kegel- oder Wechselräderberechnungen angewandt. Es wird hier nur so weit behandelt, als es für die genannten Anwendungen notwendig ist. In Tabelle 1 sind verschiedene Arten von Brüchen aufgeführt. Tabelle 1: Brucharten Art Beispiel Kennzeichen Wert Echter Bruch 1 3 Zähler < Nenner <1 Unechter Bruch 5 4 Zähler > Nenner >1 1 4 Ganze Zahl und ein echter Bruch >1 Dezimalkomma <1 Gemischte Zahl Dezimalbruch 1 0,75 Bild 1 1 3 5 2 4 1 Erweitern, Kürzen und Umwandlung von Bruchtermen Brüche können erweitert, gekürzt oder umgewandelt werden. Dabei bleibt ihr Wert unverändert (Tabelle 2). Tabelle 2: Rechenregeln für Bruchterme Rechenregel Erweitern Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert. Kürzen Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (bzw. denselben Buchstaben) dividiert. Summen oder Differenzen Summen oder Differenzen sind vor dem Kürzen oder Erweitern zu berechnen. Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel 1 1· 6 6 4 4 · 6 24 a a·c b b·c 6 6:6 1 24 24 : 6 4 a · c (a · c ) : c a b · c (b · c ) : c b 18 24 3 6 3 260 20 280 140 140 c b c b kann nicht gekürzt werden. Umwandlung eines Bruches in einen Dezimalbruch 3 3 : 8 0, 375 Ein Bruch wird in einen Dezimalbruch umgewandelt, in8 dem man den Zähler durch den Nenner dividiert. Umwandlung eines Dezimalbruches in einen Bruch Ein endlicher Dezimalbruch wird in einen Bruch verwan48 12 0, 48 delt, indem man in den Zähler alle Ziffern nach dem 100 25 Komma schreibt. Der Nenner erhält eine 1 mit so vielen Nullen wie der Zähler Stellen hat. Aufgaben Bruchrechnen 1. Die folgenden Brüche sind so zu erweitern, dass sich der Nenner 24 ergibt. a) 3/4 b) 1/2 c) 5/4 d) 5/12 e) 6/8 2. Die folgenden Brüche sind so weit als möglich zu kürzen. a) 3/21 b) 4/48 c) 33/66 d) 36/45 e) 40/132 3. Die folgenden Brüche sind in Dezimalbrüche umzuwandeln. a) 3/21 b) 4/48 c) 33/66 d) 36/45 e) 40/132 4. Die folgenden Dezimalbrüche sind in Brüche zu verwandeln. a) 0,9375 b) 0,375 c) 0,85 d) 0,2 e) 0,333 – – 13 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 1.2.5 Potenzieren 5 · 5 · 5 = 53 = 125 Basis Bild 1: Potenz Potenzen mit positiven Exponenten Beispiele: Fläche des Quadrats (Bild 2) A = · = 2 = 5 mm · 5 mm = (5 mm)2 = 25 mm2 Volumen des Würfels V = · · = 3 (Bild 3) = 5 mm · 5 mm · 5 mm = (5 mm)3 = 125 mm3 Potenzwert ; 2 2 5 5 Man unterscheidet Potenzen mit positiven und Potenzen mit negativen Exponenten. Exponent ; Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz (Bild 1) besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. 5 ; Bild 2: Quadrat ; Bruch: 33 3 · 3 · 3 27 b3 b · b · b b3 Klammer: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2 Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben werden. 1 42 42 1 a n ; an 153 1 ; 153 1 min1; min ; 5 Bild 3: Würfel Werte Potenzen mit negativen Exponenten Beispiele: 5 ; (5a)2 = 52 · a2 = 5 · 5 · a · a = 25a2 3 3 ; oder 5 (5a)2 = 5a · 5a = 25a2 Beispiele: Produkt: 5 Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis von Potenzen sein. 15 km · h1 15 km h 1 kWg· h g · kW · h Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen) Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden (Bild 4 und Tabelle 1). Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1 und 10 angegeben. Beispiele: 4 200 000 = 4,2 · 1 000 000 = 4,2 · 106 0,000 0042 = 4,2 · 0,000 001 = 4,2 · 10–6 Die Schreibweise 4,2 · 106 ist übersichtlicher als 0,42 · 107 oder 42 · 105. <1 1 1 1 1000 100 10 >1 1 10 100 1000 10 – 3 10 – 2 10 – 1 100 101 102 103 Bild 4: Zehnerpotenzen Tabelle 1: Zehnerpotenzen Schreibweise als ausgeschrieZehner- Vorsatz bene Zahl potenz bei Einheiten 1 000 000 106 Mega (M) 100 000 105 – 104 10 000 – 103 1 000 kilo (k) 102 100 hekto (h) 101 10 deka (da) 100 1 – 10–1 0,1 deci (d) 10–2 0,01 centi (c) 10–3 0,001 milli (m) 10–4 0,000 1 – 10–5 0,000 01 – 10–6 0,000 001 mikro (μ) 14 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten Beim Rechnen mit Potenzen gelten besondere Regeln (Tabelle 1): Tabelle 1: Potenzieren Rechenregel 1. Addition und Subtraktion von Potenzen Potenzen dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl denselben Exponenten als auch dieselbe Basis haben. 2. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. 3. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. 4. Division von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. 5. Division von Potenzen mit gleichen Exponenten Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält. 6. Multiplikation von Potenzen mit einem Faktor Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst der Wert der Potenz berechnet werden. 7. Potenzwert mit dem Exponenten Null Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert 1. Zahlenbeispiel 2 · 52 + 4 · 52 = 52 · (2 + 4) = 52 · 6 2 1 1 3 2 32 32 32 Algebraisches Beispiel axn + bx n a3 + a3 = 2a3 = (a + b) · xn 7 4 3 3 · d n dn dn dn x4 · x2 = x·x·x·x·x·x = x6 oder: oder: 32 · 33 = 3(2 + 3) = 35 x4 · x2 = x (4 + 2) = x 6 42 · 62 = (4 · 6)2 = 242 = 576 6x 2 · 3y 2 = 18x 2y 2 = 18(x · y)2 43 : 42 = 43 – 2 = 41 = 4 a b a b xn xn xn (a b) · x n 32 · 33 = 3·3·3·3·3 = 35 43 4 · 4 · 4 4 4·4 42 oder: Formel x n · y n = (xy)n m3 m · m · m m m ·m m2 oder : m 3 : m2 xm · xn = xm + n m3 m 3 · m 2 m2 m 32 m1 m xm x m · x n xn x mn 2 152 ¤ 15 ³ 52 32 ¥¦ 3 ´µ a3 ¤ a ³ b 3 ¥¦ b ´µ 3 an ¤ a ³ b n ¥¦ b ´µ n 25 6 · 103 = 6 · 1000 = 6000 7 · 102 – – 7 0, 07 100 104 1044 100 1 104 (m + n)0 = 1 a0 = 1 a «0 15 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten 1.2.6 Radizieren (Wurzelziehen) Das Radizieren1) oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten (Bild 1). Der Radikand steht unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll. Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Der Radikand erhält im Exponenten einen Bruch. Der Zähler entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten. Wurzelexponent Wert der Wurzel 2 16 = 4 Radikand Bild 1: Darstellung einer Wurzel 1 Beispiel: Schreibweisen einer Wurzel 9 2 91 9 2 n Quadratwurzel 16 (sprich Quadrat-Wurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet, man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16 ergibt. 16 = 4, denn 4 · 4 = 16 Beispiel: Quadratwurzel Der Wurzelexponent 2 bei der Quadratwurzel wird meist weggelassen. Beispiel: 2 16 16 4 2 1 a n a1 a 2 2 2 a 2 a 2 a1 a 42 4 · 4 16 4 Kubikwurzel 3 27 (sprich 3. Wurzel aus 27 oder Kubikwurzel aus 27) bedeutet, Kubikwurzel dass man eine Zahl sucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 27 ergibt. Beispiel: 3 3 3 a 3 a 3 a1 a 27 = 3, denn 3 · 3 · 3 = 27 Tabelle 1: Radizieren Rechenregel Zahlenbeispiel 1. Addition und Subtraktion von Wurzeln 2 6 3 6 Wurzeln dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche (2 3) 6 Exponenten und Radikanden haben. 5 6 Man addiert (subtrahiert) die Faktoren und behält die Wurzel bei. 2. Radizieren eines Produktes 9 · 16 144 12 Ist der Radikand ein Produkt, so kann oder die Wurzel entweder aus dem Produkt 9 · 16 9 · 16 oder aus jedem einzelnen Faktor ge 3 · 4 12 zogen werden. 3. Radizieren einer Summe oder 9 16 25 5 Differenz oder Ist der Radikand eine Summe oder 52 42 25 16 eine Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden. 93 4. Radizieren eines Quotienten 9 0, 36 0, 6 Ist der Radikand ein Quotient (Bruch), 25 so kann die Wurzel aus dem Quotioder enten oder aus Zähler und Nenner 9 9 3 getrennt gezogen werden. 0, 6 25 25 5 1) radix (lateinisch) Wurzel Algebraisches Beispiel Formel 8 m 3 m (8 3) m 5 m a m b m (a b) m 3 a ·b 3a · 3b n ab n a · n b 3 a b 3 (a b) n a b n (a b) 4 a b n a na b nb 4 4 a b 16 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten Aufgaben Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen) 1. Potenzschreibweise. Die Ausdrücke der Aufgaben a bis f sind in Potenzform zu schreiben. a) 4a · 2a · a b) 16 dm · 2 dm · 4 dm d) 6a 5b 1 · · b 2 3a 5 e) 0, 5 cm · c) 2,5 m · 6 m · 1,3 m f) 16 m2 : 8 m 1 3 cm · cm 10 4 2. Zehnerpotenzen. Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln. a) 100; 1000; 0,01; 0,001; 1 000 000; 1/1 000 000 b) 55 420; 1 647 978; 356 763; 33 200 c) 0,033; 0,756; 0,0021; 0,000 02; 0,000 000 1 d) 1/10; 5/100; 7/1000; 33/100; 321/1000 3. Potenzschreibweise. Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen. a) Lichtgeschwindigkeit c = 299 790 000 m/s b) Umfang des Äquators U = 40 076 594 m c) Mittlerer Abstand der Erde von der Sonne R = 149,5 Millionen km d) Oberflächen der Erde O = 510 100 933 km2 4. Addition und Subtraktion. Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu subtrahieren. a) 5b 3 + 7b 3 + 3b 3 c) 15x 4 y – 3x 2 y 3 b) 9m 3 – 9n 3 + 12n 3 – 5m 3 – n 3 – 5x 4y d) 2,6a 2 + 5,9a 3 – 3,1a 3 + 19,7a 2 – a 3 5. Multiplikation und Division. Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren. a) 42 · 43 b) a 5 · a 4 f) 51a 4 b 3 : 17a 2 b 3 g) c) 2x 2 · 4x · 5x 3 493 h) 73 572 d) 0,5b 3 · 1,3b 2 i) 192 6, 8a 2 e) 441x 6 : 21x 2 k) 0,17a 2 (4a)x ax 6. Berechnung von Wurzeln. Folgende Wurzeln sind zu berechnen bzw. vereinfacht zu schreiben. a) 49 ; 100 ; b) a2 ; 9a 4 ; 121; a· 3 169 ; 8m 3 ; 3 1000 ; a) x = 8; y=6 25 ; 49 (a b)2 ; 7. Wurzeln mit Variablen. Wie groß ist 1, 21; 0, 36 ; 225 ; 16 3 0, 008 a2 ; b2 9c 2 4b 2 x 2 y 2 für die folgenden Werte? b) x = 10 m; y = 7,5 m c) x = 0,48 cm; c 2 b 2 für die folgenden Werte? b = 12 b) c = 2,5 m; b = 1,5 m y = 0,36 cm Wie groß ist a) c = 15; c) c = 0,2 dm; b = 0,16 dm 8. Addition und Subtraktion. Die Wurzeln sind zu addieren bzw. zu subtrahieren. a) a a; b) 2 m 7 m ; c) 2m b 3n b d) 5 9 3 9 ; e) c c 2 c 9. Multiplikation und Division. Die Ausdrücke sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren. a) 4· 9 e) 4x 2 · y2 b) 42 · 7 c) 5a · 20a d) 16 · 49 f) 81m4 · n2 g) 32 : 8 h) 7ax : 7a 17 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 1.3 Technische Berechnungen Technische Zusammenhänge werden häufig in mathematischen Formeln ausgedrückt, die dann zur Lösung von Problemstellungen, zum Beispiel zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Kräften, Beanspruchungen und Zeiten, angewandt werden. Beispiel: Formel zur Berechnung der mechanischen Leistung P F ·s t 1.3.1 Formeln (Größengleichungen) Formeln bestehen aus Formelzeichen Operatoren (Rechenvorschriften) Beispiele: P für die Leistung s für den Weg t für die Zeit = ist gleich (Gleichheitszeichen) · Multiplikation – (Bruchstrich), Division T (Zahl Pi = 3,141592654...) 4,10,112... Tabelle 1: Rechnen mit Formeln Lösungsschritt Ausgangsformel Rechengang P F ·s t Beim Lösen von Aufgaben gelten die allgemeinen Rechenregeln der Mathematik (Seite 9). Anstelle der Platzhalter werden bekannte physikalische Größen (Seite 18) in die Formel eingesetzt. Anschließend kann die gesuchte Größe berechnet werden. Das Ergebnis ist ein Zahlenwert mit einer Einheit (eine sog. Größe), zum Beispiel: 4 m; 12,6 s; 145 N/mm2. Die Einheiten werden vor, während oder nach der Berechnung so umgeformt, dass der Rechengang möglich wird oder im Ergebnis die gewünschte Einheit steht (Seite 19). Einsetzen 220 N · 0, 5 m der beP 12 s kannten Größen BerechN·m nung der 9,16 gesuchten s Größe Umrechnung der N·m 1 W · s · 9,16 Einheit s N·m N·m = 9,16 W s in W (Watt) 1. Beispiel: Leistung. Wie groß ist die Leistung in W (Watt) für die Kraft F = 220 N, den Weg s = 0,5 m und die Zeit t = 12 s? Lösung: siehe Tabelle 1. Tabelle 2: Formelumstellung Konstanten Zahlen Beschreibung Umstellung von Formeln Steht in einer Formel die gesuchte Größe nicht allein auf einer Seite, so kann sie erst nach einer Umstellung der Formel berechnet werden (Seite 22). 2. Beispiel: Formelumstellung. Die Formel für die mechanische Leistung P ist nach der Zeit t umzustellen. Lösung: siehe Tabelle 2. 1.3.2 Zahlenwertgleichungen In Zahlenwertgleichungen sind die üblichen Umrechnungen von Einheiten bereits in die Formeln eingearbeitet. Beachte: Die Zahlenwerte der Größen dürfen nur in den vorgeschriebenen Einheiten in die Gleichung eingegeben werden. Die Einheiten der einzelnen Größen werden bei der Berechnung nicht mitgeführt. Die Einheit der gesuchten Größe (Ergebnis) ist vorgegeben. s s s 3. Beispiel: Drehmoment M. Die Hauptspindel einer Drehmaschine wird mit der Leistung P = 25 kW angetrieben. Wie groß ist das Drehmoment bei einer Drehzahl n = 710/min? Lösung: 9549 · P 9549 · 25 M N·m 336, 23 N·m n 710 Lösungsschritt F ·s t P Formel beide Formelseiten mit t multiplizieren, rechte Seite kürzen beide Formelseiten durch P dividieren, linke Seite kürzen P ·t F ·s ·t t P ·t F ·s P P umgestellte Formel: t F ·s P Beipiel: Zahlenwertgleichung Drehmoment M 9549 · P n vorgeschriebene Einheiten Bezeichnung Einheit M Drehmoment N·m P Leistung kW n Drehzahl 1/min 18 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 1.3.3 Größen und Einheiten In technischen Berechnungen sind die Formelzeichen aller Formeln Platzhalter für physikalische Größen (Bild 1). Sie bestehen aus einem s s Beispiel: Längenangabe Beispiel: Längenangabe 125 mm Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt wird, und aus einer Einheit, zum Beispiel m, kg, s, N. Die Größen, ihre Kurzzeichen und ihre Einheiten sind in DIN 1301 festgelegt (Tabelle 1). Tabelle 1: Größen und Einheiten (Auszug) Größe Bezeichnung Formelzeichen Länge Fläche Volumen Winkel Masse Dichte Kraft Gewichtskraft Leistung Zeit Drehzahl Beschleunigung A V E, F ... m V F FG P t n a Kurzzeichen m m2 m3 ° kg kg/m3 N N N · m/s s 1/min m/s2 Zahlenwert Bild 1: Physikalische Größe Basiseinheit der Größe Name Meter Quadratmeter Kubikmeter Grad Kilogramm Kilogramm pro Kubikmeter Newton Newton Newton mal Meter pro Sekunde Sekunde Eins pro Minute Meter pro Sekunde2 In allen Kapiteln des Rechenbuches sind die nötigen Formelzeichen und ihre Einheiten unter „Bezeichnungen“ zusammengefasst. Beispiel: Längenangabe Beispiel: Längenangabe 15 μm Kennzahl K Große und kleine Zahlenwerte in physikalischen Größen lassen sich durch Vorsatzzeichen übersichtlicher darstellen (Tabelle 2). Die Vorsatzzeichen stehen ohne Zwischenraum vor der Einheit, zum Beispiel μm, kN, mm, cm. Bezeichnungen Z Zahlenwert der physikalischen Größe K Kennzahl der physikalischen Größe x Umrechnungsfaktor Aus der Kennzahl K und dem Umrechnungsfaktor x (Tabelle 2) kann der Zahlenwert der physikalischen Größe berechnet werden. 1. Beispiel: Das Lager eine NC-Drehmaschine wird mit der Kraft F = 12 kN belastet. Wie groß ist die Kraft in N? Z = x · K; x = 103 nach Tabelle 2 Z = x · K =103 · 12 = 12 000 F = 12 000 N 2. Beispiel: Die Masse einer Stange von 2355 g ist in kg zu berechnen. Lösung: Z = x · K; x = 103 nach Tabelle 2 Z = 103 · 2355 = 2,355 m = 2,355 kg Vorsatzzeichen Einheit Bild 2: Schreibweise mit Vorsatzzeichen Zahlenwert 1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte Lösung: Einheit Z=x·K Tabelle 2: Vorsatzzeichen und Umrechnungsfaktoren Vorsatzzeichen P n μ m c d da h k M G T Bezeichnung PikoNanoMikroMilliZentiDeziDekaHektoKiloMegaGigaTera- Faktor x 10–12 10–9 10–6 10–3 10–2 10–1 101 102 103 106 109 1012 19 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 1.3.5 Rechnen mit physikalischen Größen Eine physikalische Größe wird mathematisch wie ein Produkt behandelt. Der Zahlenwert und die dazu gehörende Einheit bilden die Faktoren. Beim Rechnen mit physikalischen Größen gelten die gleichen Regeln wie bei allen mathematischen Berechnungen. Beispiel: Formplatte (Bild 1). Für die Ermittlung der Gesamtfläche A der Formplatte wurden die Teilflächen A1 = 415 mm2, A2 = 1,455 cm2 und A3 = 78,5 mm2 berechnet Wie groß ist die Gesamtfläche A? Lösung: A = A1 + A2 – A3 = 415 mm2 + 145,5 mm2 – 78,5 mm2 = (415 + 145,5 – 78,5) mm2 = 482 mm2 2. Multiplizieren und Dividieren physikalischer Größen Physikalische Größen werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die Zahlenwerte und Einheiten jeweils miteinander multipliziert bzw. dividiert. Beispiel: Lösung: A3 Bild 1: Formplatte F 1 = 215 N 95 1. Addieren und Subtrahieren physikalischer Größen Physikalische Größen können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Einheiten gleich sind. Man addiert bzw. subtrahiert die Zahlenwerte und behält die Einheit bei. A2 A1 Umlenkhebel (Bild 2). Am Umlenkhebel greift die Kraft F1 = 215 N an. Wie groß ist die Kraft F2 für 1 = 95 mm und 2 = 12 cm? F2 F1 · 1 2 Bild 2: Umlenkhebel 215 N · 95 mm N · mm m 170, 2 N 170, 2 120 mm mm 3. Potenzieren und Radizieren physikalischer Größen Physikalische Größen werden potenziert bzw. radiziert, indem man die Zahlenwerte und Einheiten jeweils potenziert bzw. radiziert. Beispiel: Kräfte beim Zerspanen (Bild 3). Auf einen Stechdrehmeißel wirken beim Einstechdrehen die Schnittkraft Fc = 1,6 kN und die Vorschubkraft Ff = 500 N. Wie groß ist die Resultierende aus den Kräften Fc und Ff? Lösung: Fr2 Fc2 Ff2 Fr Fc2 Ff2 (1600 N)2 (5 500 N)2 Fr (16002 5002 ) · N2 2810000 · N2 16 676 N F2 120 F f = 500 N Fc = 1600 N Fr Bild 3: Kräfte beim Zerspanen 1.3.6 Umrechnen von Einheiten Berechnungen mit Längen, Flächen, Volumen, Kräften ... sind nur dann möglich, wenn sich ihre Einheiten jeweils auf dieselbe Basis beziehen, zum Beispiel mm, mm2, mm3 oder N. Zur Erfüllung dieser Bedingung müssen Einheiten häufig umgerechnet werden. Dies erfolgt durch Multiplikation der vorgegebenen Einheiten mit Umrechnungsfaktoren (Tabelle 1). Tabelle 1: Umrechnung von Einheiten Größe Längen Umrechnungsfaktoren Größe Zeit Umrechnungsfaktoren Flächen 100 mm2 100 cm2 1 dm2 106 mm2 2 2 2 1 m2 1 cm 1 dm 100 cm Winkel 60’ 60” 3600” 1º ` 1º 1 1º 60’ Volumen 1000 mm3 1000 cm3 1 dm3 103 mm3 1 cm3 1 dm3 1000 cm3 1 m3 Zoll 10 mm 1000 mm 1m 1 km 1 cm 1m 1000 mm 1000 m 60 min 3600 s 60 s 1 min 1h 1h 1 min 60 s 1 inch 25, 4 mm; 1 mm 1 inch 25, 4 20 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen Vereinfachte Umrechnungen häufig vorkommender Einheiten sind in Tabelle 1 dargestellt. Tabelle 1: Umrechnung von Einheiten Länge Fläche 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm m dm 1 Stelle 1m cm 1 Stelle 101 dm = mm 102 cm = m2 1 Stelle dm2 103 mm 1 m2 = cm2 2 Stellen 2 Stellen 102 dm2 = = Volumen mm2 2 Stellen 104 cm2 = Masse 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3 1 t = 1000 kg = 1 000 000 g = 1 000 000 000 mg m3 t dm3 3 Stellen 1 m3 = cm3 3 Stellen 103 dm3 mm3 3 Stellen 106 cm3 = 106 mm2 = kg 3 Stellen 109 mm3 1 t g 3 Stellen 103 kg = 106 g = Hohlmaß mg 3 Stellen = 109 mg Kraft Den Inhalt von Gefäßen misst man in Litern. 1 d = 0,1 dm3 1 = 1 dm3 1 m = 0,001 dm3 = 1 cm3 1 c = 0,01 dm3 1 MN = 1000 kN = 1 000 000 N 1 MN = 103 kN = 106 N Beispiele für die Umrechnung von Einheiten Größen Umrechnung in größere Einheiten Länge 185,4 mm 185,4 mm = = ? cm 18,54 cm 1 Stelle 1 Stelle 67,5 m = 67,5 m = ? dm 675 dm Fläche 185,4 mm2 = 185,4 mm2 = ? cm2 1,854 cm2 2 Stellen 2 Stellen 67,5 m2 = 67,5 m2 = ? dm2 6750 dm2 Volumen ? cm3 185,4 mm3 = 185,4 mm3 = 0,1854 cm3 3 Stellen 3 Stellen 67,5 m3 = ? dm3 67,5 m3 = 67 500 dm3 Beispiel: Lösung: inch mm 127 mm ? inches Umrechnung in kleinere Einheiten Beispiel: 3 25, 4 mm 1 inch 1 mm 127 mm 1 inch 25, 4 127 · 1 inches 25, 4 = 5 inches Lösung: 1 inches ? mm 4 1 inch 25, 4 mm 1 13 inches 3 inches 4 4 25, 4 mm · 13 4 82, 55 mm
