Formale Grundlagen

Formale Grundlagen
7. Übungsaufgaben
2006-06-14, Lösungen
1. Wieviele Bäume mit 4 Knoten gibt es?
Lösung: Jeder Baum mit 4 Knoten ist isomorph zu einem der beiden folgenden:
und
2. Finden Sie einen aufspannenden Baum im Graphen der österreichischen
Bundesländer. (Eine Kante soll bedeuten, daß zwei Länder eine gemeinsame Grenze haben. Bei mangelhaften Geographiekenntinissen verwenden Sie den Graphen weiter unten, ohne Bewertungen.)
3. Finden Sie im selben Graphen einen aufspannenden Baum minimalen
Gewichts. Verwenden Sie etwa die folgende Bewertung:
255
V
198
226
T
345
127
S
301
K
Starten Sie in verschiedenen Knoten.
1
228
O
249
St
130
274
246
N
60
92
B
W
Lösung: Wir starten etwa in O. Am nächsten liegt dann S, dann kommt die
Verbindung ON dazu, dann NW, NB, SK, KSt, ST, VT.
255
V
198
S
226
T
127
301
O
249
130
274
N
60
W
92
345
K
228
St
246
B
Bei anderen Startpunkten sollten sich stets dasselbe Gerüst ergeben.
4. Zeichnen Sie ein Sechseck und verbinden Sie jeden Eckpunkt zusätzlich
mit dem 2 Seiten weiter entfernten Eckpunkt durch eine Kante. Ist
dieser Graph planar?
Lösung: Ja, die Sehnen zeichnen wir abwechselnd innen und außen.
5. Dasselbe für ein Fünfeck und ein Siebeneck!
Lösung: Bei Fünfeck ergibt sich damit gerade der K5 . Mit dem Siebeneck
erhalten wir ebenfalls keinen planaren Graphen.
6. Zeichnen Sie ein Sechseck und verbinden Sie jeden Eckpunkt mit dem
gegenüberliegenden. Finden Sie eine 2-Färbung für diesen Graphen.
Warum nennt man diesen Graphen einen vollständigen bipartiten Graphen.
7. Ist die Landkarte mit den österreichischen Bundesländern 2-färbbar?
Ist sie 3-färbbar?
Lösung: Wegen der vorhandenen Dreiecke, ist sie nicht 2-färbbar. Es ist
nicht schwer, mit Probieren eine 3-Färbung zu finden.
8. Wieviele Farben braucht man für die Landkarte der EU?
Lösung: 4. Luxembourg und seine Nachbarländer bilden einen K4 .
2
9. Finden Sie einen kürzesten Weg von c nach e im folgenden Graphen:
50
a
b
10
30
15
d
70
70
15
45
c
25
e
5
f
10
35
g
40
35
65
h
Lösung: Der kürzeste Weg von c nach c ist trivial. Wir betrachten die Nachbarknoten von c. Wir finden die direkten Wege von c nach a, d, g mit Längen
30, 70, 10; diese Werte werden bei den entsprechenden Knoten notiert, gemeinsam mit der Richtung, aus der der passende Weg kommt. Das Minimum
(10) liegt nun bei g; damit ist der direkte Weg von c nach g auch der kürzeste.
Wir betrachten nun die Nachbarknoten von g: der Knoten h kann via g durch
einen Weg der Gesamtlänge 75 erreicht werden; der Knoten f durch einen
der Länge 45; und der Knoten d durch einen der Länge 15, was deutlich
besser ist als der direkte Weg zu diesem Knoten mit Länge 70. Auch diese
neuen Werte werden zusammen mit der Richtung notiert. Wir fahren fort
und finden schließlich den eingezeichneten Weg der Länge 80 zum Knoten
e.
10. (a) Finden Sie auch einen kürzesten Weg von c nach b.
Lösung: Hier ist keine weitere Arbeit notwendig. Der gesuchte Weg
wurde bereits im vorigen Beispiel gefunden; er hat die Länge 65.
(b) Finden Sie auch einen kürzesten Weg von e nach c.
Lösung: Derselbe wie von von c nach e.
3
11. Finden Sie den maximalen Durchfluß im folgenden Netzwerk:
b
4
4
5
1
1
q
c
z
6
3
a
5
d
3
e
2
5
Lösung: Der maximale Durchfluß ist 9 und wird etwa folgendermaßen erreicht:
b
4
4
1
1
q
c
z
5
2
2
a
d
2
e
2
5
oder auch mit:
b
4
1
q
4
1
c
z
2
5
a
3
2
d
4
2
e
5
12. Verwenden Sie das Minimalgerüst von Beispiel 2 und wählen Sie darin
O als Wurzel. Zeichen sie diesen Baum dann in hierarchischer Form
(d.h. mit der Wurzel ganz oben).
Lösung:
O
S
N
T
K
V
St
B
W
13. Wiederholen Sie das vorige Beispiel mit einer anderen Wurzel und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Lösung: Wir wählen Wien:
W
N
B
O
S
T
K
V
St
5
14. Schreiben Sie die folgende Formel als Baum:
xn + y n = z n
Lösung:
=
+
ˆ
ˆ
x
z
ˆ
y
n
6
n
n