Aufgaben zum Mathematik

P. Heiter
Blatt 9
24.09.2012
Aufgaben zum Mathematik-Trainingscamp 2012
Aufgabe 1
Diskutieren Sie, ob es es sich bei dem Kartenspiel Skat um ein Zufallsexperiment handelt.
Aufgabe 2
Es sei Ai := {1, 2, . . . , i}, i ∈ N. Bestimmen Sie jeweils
∞
[
Ai
und
i=1
∞
\
Ai .
i=1
Aufgabe 3
Berechnen Sie jeweils die Potenzmenge der folgenden Mengen M1 , M2 und M3
a) M1 = {a, b, c}
b) M2 = {1, 2, 3, 4}
c) M3 = {a, b} × {c, d}
Aufgabe 4
Sei Ω eine endliche Menge, d.h. |Ω| = n mit n ∈ N. Beweisen Sie
|P (Ω)| = 2n .
Aufgabe 5
Eine faire Münze wird zwei Mal hintereinander geworfen. Dabei tritt bei jedem Wurf entweder Kopf ( = ”0”) oder
Zahl ( = ”1”) ein. Modellieren Sie diesen Sachverhalt, d.h. bestimmen Sie den Ereignisraum Ω und die Menge aller
Ereignisse P (Ω).
Aufgabe 6
Sei Ω ein Ereignisraum und A, B, C, D ∈ P (Ω) nicht paarweise disjunkt. Beschreiben Sie mit Hilfe mengentheoretischer
Operationen folgende Ausdrücke
a) nur A tritt ein
b) genau ein Ereignis tritt ein
c) alle vier Eregnisse treten ein
d) kein Ereignis tritt ein
e) höchstens drei Ereignisse tretten ein
Aufgabe 8
Sei Ω ein Ereignisraum, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Beweisen Sie, dass P (∅) = 0.
Aufgabe 9
Sei Ω ein Ereignisraum, P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, A, B, Ai ∈ P (Ω) mit i ∈ N. Zeigen Sie
a) P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).
b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
S
P∞
c) P ( ∞
i=1 Ai ) ≤
i=1 P (Ai ).
Hinweis zu c): Definieren Sie A′1 = A1 und A′i := Ai \
Si−1
k=1
Ak für k = 2, 3, . . . .
Aufgabe 10
Bei dem Würfelspiel Kniffel würfelt jeder Spieler pro Runde mit jeweils sechs Würfel. Die Spielregeln sind u.a. hier
(http://de.wikipedia.org/wiki/Kniffel) einzusehen. Um auf dem folgenden Übungsblätt herauszufinden, wie groß die
Wahrscheinlichkeit auf einen 5er Pasch ist, muss dieses Spiel erst geeignet modelliert werden. Modellieren Sie das
Spiel Kniffel, d.h. bestimmen Sie den Ereignisraum Ω. Diskutieren Sie, welchen Ansatz man wählen könnte um oben
genannte Wahrscheinlichkeit auszurechnen und berechnen Sie diese.
Aufgabe 11
Sei Ω = {A, B, C} und P ein Wahrscheinlichkeitmaß. Warum gilt P (A) + P (B) + P (C) = 1 und was bedeutet es?
Angenommen es gelte P (A) = −0.2, P (B) = 0.4 und P (C) = 0.8. Dann gilt offensichtlich P (A) + P (B) + P (C) = 1.
Aber warum ist P dann kein Wahrscheinlichkeitsmaß mehr und aus welchem logischen Grund macht einer dieser
Werte keinen Sinn?
Aufgabe 12
Sei Ω ein Ereignisraum und A, B, C ∈ P (Ω). Interpretieren Sie
a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
c) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c
d) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
als logische Verknüpfung von Ereignissen und verifizieren Sie somit die Rechenregeln für Mengen.