Stochastik - Digitale Schule Bayern

Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
Stochastik - Zufallsexperiment, Ergebnisräume,
Ereignisräume, relative Häufigkeit
mit Hilfe von
Matheprisma - Genetik
http://www.matheprisma.de/Module/Genetik/index.htm
Arbeitsauftrag:
Arbeite zunächst die ersten 8 Seiten des Lernprogramms Genetik durch.
(http://www.matheprisma.de/Module/Genetik/index.htm). Wichtige Fachausdrücke
sind in roter Farbe notiert. Erstelle eine Zusammenfassung in der Art, dass du zu
jedem Fachausdruck schriftlich eine Erklärung notierst. Verlasse dich dabei nicht
nur auf das Lernprogramm als Quelle! Manche Fachausdrücke sind nicht oder nicht
sehr glücklich erklärt. Verwende als weitere Quellen insbesondere das Schulbuch.
Hinweis: Das Lernprogramm lässt sich zwar herunterladen, aber offline funktioniert
es lange nicht so zuverlässig, wie online!
Unterrichtskonzept LK Mathematik 2006/07, Peter Brichzin, Gymnasium Ottobrunn
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
1/10: Einleitung
2/10: ein Merkmalpaar - 1
Gen
Abschnitt auf der Desoxyribonukleinsäure (DNA), Träger
von Erbinformationen
Allel
Ausprägung/Zustandsform eines bestimmten Gens rezessiv (x) | dominant (X)
Das dominante Allel bestimmt ein Merkmal, z.B. die Farbe.
3/10: ein Merkmalpaar - 2
Hybrid
Träger von gemischten Allelen (gemischterbig)
4/10: ein Merkmalpaar - 3
Baumdiagramm
Ergebnisbaum: übersichtliche Darstellung der möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperiments
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
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5/10: Mathematisch - 1
Zufallsexperiment
(nicht erklärt im Lernprogramm z.B. Buch S.7)
Experiment (aus Wikipedia)
Ein Experiment (von lateinisch experimentum „Versuch, Beweis, Prüfung, Probe“) im
Sinne der Wissenschaft (Physik, Chemie, Medizin, Psychologie, Soziologie,
Wirtschaftswissenschaften, ...) ist eine methodisch angelegte
Untersuchungsanordnung. Es dient der zielgerichteten Untersuchung einer – unter
definierten Bedingungen (Rahmenbedingung) reproduzierbar hervorgerufenen –
Erscheinung.
Hängen Experimente (d.h. ihre Ergebnisse) stark vom Zufall ab, nennt die Vorgänge
Zufallsexperimente.
Ergebnisraum
(nicht erklärt im Lernprogramm z.B. Buch S.7)
Ergebnismenge Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
Mit folgenden Zielen für den Ergebnisraum
Er sollte nicht unnötig viele Elemente enthalten
Jedem Ausgang darf höchstens ein Element von  zugeordnet werden.
ist folgende Definition sinnvoll.
Eine Menge  : 1, 2 ,..., n heißt Ergebnisraum eines Zufallsexperiments, wenn


jedem Versuchsausgang höchstens ein Element i   zugeordnet ist. Die
Elemente i heißen Ergebnisse des Zufallexperiments.
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
Beachte:
Für ein und das selbe Zufallsexperiment kann es unterschiedliche Ergebnisräume
geben, je nach dem welche Gesichtspunkte wichtig sind. Z.B. Würfeln
1 : 1,2,3,4,5,6,Kante,Ecke
2 : 1,2,3,4,5,6
3 : 6,keine 6
4 : gerade Augenzahl , ungerade Augenzahl
Modellierung:
Von 1 über 2 nach 3 wird vergröbert.
Nenne verschiedene Situationen, in denen i
jeweils ein sinnvoller Ereignisraum ist!
Aufgaben S 15/2, 3 Nenne jeweils mindestens zwei sinnvolle Ergebnisräume!
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
k-stufiges Zufallsexperiment
k-malige Hintereinanderausführung eines einstufigen Zufallsexperiments
z.B. dreimaliges Werfen einer Münze
 : zzz,zzk,zkz,zkk,kzz,kzk,kkz,kkk
Hinweise:
- Die Ergebnisse eines k-stufigen Experiments sind k-Tupel (a1 | a2 | ... | ak),
wobei ai das Ergebnis des i-ten Teilexperiments ist.
- Ein n-Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, im
Gegensatz zu Mengen, deren Elemente keine feste Reihenfolge haben.
Beispiel oben: Der Ergebnisraum ist eine Menge aus Tupeln. Eine andere
Darstellung für den Ergebnisraum wäre
 : kkk,kkz,kzk,kzz,zkk,zkz,zzk,zzz
-
(Die Reihenfolge wurde umgedreht.)
Das Tupel kkz und zkk (Ebenfalls wurde die Reihenfolge umgedreht.) sind
NICHT identisch, sie beschreiben zwei unterschiedliche Ergebnisse des
Zufallsexperiments.
Woher kennst du bereits Tupel?
Jedes k-Tupel eines Zufallsexperiments stellt genau einen Pfad durch den
Baum vom Start bis zu einem Endpunkt dar.
Aufgabe S15/4 b und c mit klar beschrifteten Baumdiagramm
S 16/5 Suche einen Ereignisraum mit sechs Elementen
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
Zusatz: Mächtigkeit des Ergebnisraums und das Zählprinzip
Die Anzahl der Elemente einer endlichen Mächtigkeit A nennt man Mächtigkeit |A|.
Beispiele:
1) dreimaliges Werfen einer Münze
 : zzz,zzk,zkz,zkk,kzz,kzk,kkz,kkk ;   8;


2) zweimaliges Werfen eines Würfels
(11);(12);...;(16); 


(21);(22);...;(26);
 : 
 ;   36;
...


(61);(62);...;(66) 


Wie lässt sich die Mächtigkeit eines Ergebnisraums bestimmen, ohne immer den
gesamten Ergebnisraum zu notieren?
a) einstufiges Zufallsexperiment
  Anzahl der Elemente
b) mehrstufiges Zufallsexperiment
Wie viele Menüs kann man aus 2 Vorspeisen (Suppe, Lasagne), 3 Hauptspeisen
(Braten, Schnitzel, Fisch) und 2 Nachspeisen (Eis, Pudding) zusammenstellen?
i) Lösung mit dem Baumdiagramm:
methodischer Hinweis zum
Baumdiagramm:
+ funktioniert immer
+ ist sehr anschaulich
- ist aufwändig
Ergebnis: Es gibt zwölf Zusammenstellungen.
ii) Lösung mit dem Zählprinzip:
Anzahl der Möglichkeiten
Vorspeise Hauptspeise Nachspeise Gesamt
2
3
2
= 12
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
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allgemein:
Zählprinzip
Gibt es bei einem k-Tupel für die Besetzung
der ersten Stelle n1 Möglichkeiten für,
der zweiten Stelle n2 Möglichkeiten,
der dritten Stelle n3 Möglichkeiten,
...
der k-ten Stelle nk Möglichkeiten,
so gibt es insgesamt n1 n2 n3 ... nk verschiedene k-Tupel.
Aufgaben:
1) Wie viele Sitzordnungen sind bei einer Gruppe von 6 Schülern möglich, wenn
genau 6 Stühle zur Verfügung stehen?
2) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die nicht die Ziffer 1 und nicht die Ziffer 3
enthalten?
3) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die nur gerade Ziffern enthalten dürfen, aber
keine Ziffer mehrfach vorkommen darf?
4) Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es bei einem "Kniffelwurf" (Werfen mit 5
Würfeln)?
5) Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim Werfen mit n Würfeln?
6) Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es beim Lotto "6 aus 49", wenn die
Reihenfolge der Kugeln entscheidend wäre?
In Wirklichkeit ist die Reihenfolge nicht entscheidend. Vergrößert oder verkleinert
sich dadurch die eben berechnete Anzahl?
7) Wie viele mögliche Kombinationen gibt es bei einem vierstelligem Zahlenschloss?
Hinweise:
- Gibt es für jede Stelle n Möglichkeiten, so gibt es nk für das k-Tupel.
Beispiel: 5 maliges Würfeln mit einem Würfel n=65
- Jede Rechnung muss mit einer deutlichen Beschriftung "erklärt" werden!
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten für ein unterschiedliches Aussehen hat man,
wenn in einem Kleiderschrank 5 Hosen, 10 T-Shirts und 3 Paar Schuhe
vorhanden sind?
Anzahl der Möglichkeiten
Hose T-Shirt Schuhe Gesamt
5
10
3
= 150
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
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6/10: Mathematisch - 2
Ereignis, Ereignisraum
Definition (Buch S. 18)
- Jede Teilmenge A eines Ergebnisraums  heißt Ereignis.
- Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn ein Ergebnis  vorliegt, das in A
enthalten ist.
- Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum P()
Beispiel: Würfeln mit einem Tetraeder
 = {1; 2; 3; 4};
||= 4
A := Das Ergebnis ist eine gerade Zahl.
A = {2;4}
B := Das Ergebnis ist größer als Eins.
B := {2;3;4}
C := Das Ergebnis ist Drei.
C := {3}
C := Das Ergebnis ist größer als Fünf.
C := {}
1
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
2
3
4
4
Hinweise:
-  nennt man das sichere Ereignis.
- {} nennt man das unmögliche Ereignis.
- Jedes Ereignis, das aus nur einem Ergebnis  besteht nennt man
Elementarereignis, z.B. C
- Ist ||=m, so gilt | P()| = 2m ("Wenn der Ergebnisraum m Elemente hat, so
hat der Ereignisraum 2m Elemente" --> S. 21/5)
--> Ereignisalgebra zu einem späteren Zeitpunkt
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Stochastik Zufallsexperiment, Ergebnisraum, Ereignisraum, relative Häufigkeit
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Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Wahrscheinlichkeitsbaum: Stellt ein Baumdiagramm die möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperiments dar, so können für die einzelnen Ergebnisse die
Wahrscheinlichkeiten (am zugehörigen Ast) eingetragen werden.
Pfadregeln
1. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen
Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad,
der zu diesem Elementarereignis führt.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die dieses Ereignis bilden.
¼
¼
gelbe
Erbsen =
{CC, cC, Cc}
¾
¼
¼
grüne
Erbsen =
{cc}
¼
Berechne die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem
Verzweigungspunkt ausgehen. Führe dies an verschiedenen Stellen durch. Was fällt
auf?
Alle von einem Verzweigungspunkt ausgehenden 'ste tragen Wahrscheinlichkeiten
deren Summe gleich 1 ist.
komplexeres Beispiel: Urnenexperiment
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Ausfall
Ereignisbaum
7/10 und 8/10: zwei Merkmalpaare
Anwendungsaufgaben, keine neuen Fachbegriffe
9/10: Hardy-Weinberg-Gesetz
absolute / relative Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt.
Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der
Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments ist.
r e lative Häufigkeit 
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl
Aufgaben:
1) Würfle 20 mal. Wie groß ist deine absolute und deine relative Häufigkeit für die
Zahl Sechs?
2) Am Gymnasium Infohausen haben 250 Schüler und 100 Schülerinnen ein Handy.
Ist das viel oder wenig?
Hardy-Weinberg-Gesetz
Ab der zweiten Generation bleiben die relativen Häufigkeiten der Genotypen
unverändert.
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