T3pBlatt06

Übungen zur Vorlesung
Elektrodynamik (T3p)
SoSe 2014
Blatt 6
Aufgabe 1: Multipolmoment zweier Ladungen
Die Ladung Q befinde sich bei (0, 0, a) und die Ladung −Q bei (0, 0, −a).
a) Zeigen Sie durch Berechnung von |~r − ~r 0 | und einer geeignete Entwicklung, dass für r >> r0
1
1
r0
1
r0
≈ [1 + cos(θ) + (3 cos2 (θ) − 1)( )2 ]
0
|~r − ~r |
r
r
2
r
(1)
gilt.
Eine allgemeine Entwicklung lautet:
∞
1X
1
=
0
|~r − ~r |
r
l=0
0 l
r
Pl (cos θ)
r
wobei θ den Winkel zwischen ~r und ~r 0 bezeichnet. Weiterhin können Sie die folgende Eigenschaft der Legendrepolynome brauchen:
Pl (−x) = (−1)l Pl (x)
b) Berechnen Sie alle sphärischen Multipolmomente.
c) Was passiert im Grenzwert a → 0? Erklären Sie das Ergebnis
d) Wie ändert sich Ihr Ergebnis aus b), wenn für die Ladung Q =
p
a
angenommen wird?
Aufgabe 2: Quadrupolmoment mit Zylindersymmetrie
Die Ladungsverteilung ρ(~r) besitze Zylindersymmetrie um die z-Achse.
a) Zeigen Sie, daß der kartesische Quadrupoltensor diagonal ist.
b) Verifizieren Sie: Qxx = Qyy = − 21 Qzz . D.h. der Quadrupoltensor hat nur eine einzige unabhängige Komponente. Für eine rotationssymmetrische Ladungsverteilung gibt es daher das
Quadrupolmoment.
Hinweis: Aufgrund der axialen Symmetrie ist es sinnvoll, für die Berechnung der Integrale der
kartesischen Multipolmomente Kugelkoordinaten zu benutzen.
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Aufgabe 3: Multipolmomente
a) Bestimmen Sie das erste nichtverschwindende (kartesische) Multipolmoment für die folgende
Ladungsverteilung:
Punktladungen Q, −2Q, Q längs der z-Achse im Abstand a voneinander. Um genauer zu
sein, seien die Ladungen Q bei (0, 0, a) und (0, 0, −a) und die Ladung −2Q bei (0, 0, 0).
b) Wie lautet das Potential bei großen Abständen in Kugelkoordinaten (benutzen Sie Ihr Ergebnis aus a) und drücken Sie das resultierende Potential in Kugelkoordinaten aus; es ist
keine Berechnung der sphärischen Multipolmomente gefragt)? Ist es zylindersymmetrisch?
Bei Fragen E-Mail an: [email protected]
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