¨Ubungsblatt 6 zur Elektrodynamik Prof. K. Hornberger, S

Übungsblatt 6 zur Elektrodynamik
Prof. K. Hornberger, S. Nimmrichter, B. Stickler
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Donnerstag 04.12.2014 12:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 16 — Zwei Ladungen, ein Feld, null Stress
(10 Punkte)
Wir betrachten zwei starr verbundene, entgegengesetzt geladene Punktmassen m mit Ladungen ±Q
und Abstand d in einem statischen elektrischen Feld E(r).
(a) Berechnen Sie, wie sich der Schwerpunktsimpuls und der Eigendrehimpuls mit der Zeit in einem
homogenen Feld ändern.
(b) Bestimmen Sie die Kraft und das Eigendrehmoment eines beliebigen statischen Feldes E(R) auf
einen elementaren Punktdipol p am Ort R, indem Sie den Grenzfall d → 0 durchführen.
(c) Berechnen Sie das Drehmoment auf einen elementaren Punktdipol p mit Abstandsvektor a = an
zu einer metallischen Platte. Gibt es Konfigurationen, in denen das Drehmoment verschwindet?
Aufgabe 17 — Kann die Mulipolentwicklung Sünde sein?
(12 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass das Quadrupolmoment einer Ladungsverteilung %(r) unabhängig von der
Wahl des Koordinatenursprungs ist, wenn das Monopol- und das Dipolmoment verschwinden.
(b) Bestimmen Sie das Quadrupolmoment des Teufels. Es ergibt sich durch rituelle Anbringung von
5 unschuldig positiven Ladungen Q = 133.2 e an den Spitzen, sowie von einer blasphemisch negativen Ladung −5Q in der Mitte eines brennenden Pentagramms. Die Spitzen des Pentagramms
liegen auf einem Kreis mit Radius R. Fertigen Sie eine Skizze an, die Ihre Koordinatenwahl
anzeigt. Wie lautet die Verallgemeinerung auf einen komplizierteren Teufel, d.h. auf einen regelmäßigen Stern mit N Spitzen der Ladung Q und mit Ladung −N Q im Zentrum?
P
2πi`n
= 0 für ` = ±1, ±2, . . .
Hinweis: Geometrische Summe, insbesondere N
n=1 exp
N
(c) Bestimmen Sie das Quadrupolmoment einer homogen geladenen Zigarre unter Verwendung der
Koordinaten aus Aufgabe 8.
Hinweis: Mit Symmetrieargumenten können Sie in der sphäroidalen Koordinatendarstellung zeigen, dass die Quadrupolmatrix diagonal ist, und alle bis auf eine explizite Rechnung umgehen.
Aufgabe 18 — Manchmal ist ein Atomkern eben eine Zigarre
(12 Punkte)
Betrachten Sie die folgende mittlere Ladungsverteilung eines Elektrons in Kugelkoordinaten, der ein
bestimmtes Orbital um einen Atomkern der Ladungszahl Z entspricht:
Z 5e 2 2
r
%(r) = −
r sin θ exp −Z
64πa5
a
Hierbei bezeichnet a ≈ 0.5 Å den Bohrschen Radius.
(a) Drücken Sie die sphärischen Quadrupolmomente q20 , q21 , q22 einer beliebigen Ladungsverteilung
durch die Komponenten des kartesischen Quadrupoltensors Qij aus1 .
(b) Bestimmen Sie alle von Null verschiedenen sphärischen Multipolmomente q`m für das Elektron.
Stellen Sie dazu %(r) mit einer Summe von Kugelflächenfunktionen (siehe unten) dar.
(c) Berechnen Sie die Energie der Ladungsdichte %(r) im Coulombfeld des Kerns, der zunächst als
Punktladung Ze im Ursprung angenommen wird.
(d) In Wirklichkeit ist auch die Kernladung endlich ausgedehnt, im Gegensatz zur Elektronenladung
aber auf der Femtometerskala. Ein Atomkern kann außerdem Verformungen aufweisen, die sich
näherungsweise durch ein Quadrupolmoment Qzz 6= 0 beschreiben lassen. Berechnen Sie die
Feldenergie des Elektrons in Gegenwart eines zigarrenförmigen (d.h. prolat verformten) Kerns2
mit Qzz > 0.
Hinweis: Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges
orthogonales Funktionensystem auf
q
1
und
der Kugeloberfläche. Insbesondere lautet Y00 (θ, ϕ) = 4π
r
r
r
r
3
3 z
3
3 x + iy
Y10 (θ, ϕ) =
cos θ =
, Y11 (θ, ϕ) = −
sin θeiϕ = −
,
4π
4π r
8π
8π r
r
r
2
5
5
z
2
Y20 (θ, ϕ) =
3 cos θ − 1 =
3 2 −1 ,
16π
16π
r
r
r
15
15 z(x + iy)
Y21 (θ, ϕ) = −
sin θ cos θeiϕ = −
,
8π
8π
r2
r
r
15
15 (x + iy)2
Y22 (θ, ϕ) =
sin2 θe2iϕ =
,
32π
32π
r2
wobei (x, y, z) die kartesischen Komponenten eines Vektors r in Richtung (θ, ϕ) sind. Es gilt ferner
∗
Y`,−m (θ, ϕ) = (−1)m Y`m
(θ, ϕ), sowie die Orthonormalitätseigenschaft
Z
2π
Z
dϕ
0
π
dθ sin θ Y`m (θ, ϕ)Y`∗0 m0 (θ, ϕ) = δ``0 δmm0 .
0
∗
Da die Ladungsverteilung reell ist, gilt für die Multipolmomente mit negativem m-Index q`,−m = (−1)m q`m
.
Die gleiche Rechnung gilt für einen abgeplatteten, d.h. oblat verformten Kern; es ändert sich lediglich das Vorzeichen des Quadrupolmoments Qzz . Die Energiekorrektur der Elektronenniveaus durch Kerndeformation ist messbar,
ausgeprägte Zigarrenkerne findet man z.B. bei den seltenen Erden.
1
2