07. Vorlesung (05.11.2013)

1
Algorithmen und Datenstrukturen
Wintersemester 2013/14
7. Vorlesung
Zufall!
Prof. Dr. Alexander Wolff
Lehrstuhl für Informatik I
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
vorher gegessen hat.
Wer is(s)t zufriedener?
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
vorher gegessen hat.
Wer is(s)t zufriedener?
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
vorher gegessen hat.
Wer is(s)t zufriedener?
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
i
i =1
Wer is(s)t zufriedener?
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
i
i =1
Wer is(s)t zufriedener?
n
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
i
i =1
Wer is(s)t zufriedener?
n
=
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
n+1
i =1 i
Wer is(s)t zufriedener?
n
=
2
Das Kleingedruckte:
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
n+1
i =1 i
n
Wer is(s)t zufriedener?
1
Das Kleingedruckte:
=
2
n
2
n
2 +1
2
n
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
2
Ein Experiment
Ein Franke und ein Münchner gehen (unabhängig voneinander)
n mal in verschiedenen Restaurants essen und benoten nach
jedem Besuch ihr Essen.
Der Franke ist zufrieden, wenn er überdurchschnittlich gut isst,
d.h. wenn seine aktuelle Note über dem Mittel liegt.
Der Münchner ist zufrieden, wenn er besser isst als er jemals
Pn
vorher gegessen hat.
n+1
i =1 i
n
Wer is(s)t zufriedener?
1
Das Kleingedruckte:
=
2
n
2
n
2 +1
2
n
Die Reihenfolge der Restaurants ist zufällig. Beide Gourmets müssen ihr
Essen mit einer Zahl zwischen 1 (=sehr schlecht) und n (=sehr gut)
bewerten und dürfen jede Zahl nur einmal vergeben. Die Zahl n sei gerade.
Der Münchner ist beim ersten Essen zufrieden.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | =
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
P
Es gilt:
i ∈Ω 0 Pr[M = i ] =
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
P
Es gilt:
i ∈Ω 0 Pr[M = i ] = 1
3
Modellierung
Ein Ergebnis unseres Experiments entspricht einer Permutation
der Zahlen 1, 2, . . . , n.
Sei Sn die Menge all dieser Permutationen. ⇒ |Sn | = n!
Ergebnismenge Ω
Beobachtungsmenge Ω 0
Sei M : Sn → {1, . . . , n} eine Zufallsvariable, die angibt, wie
oft der Münchner zufrieden ist.
Uns interessiert der erwartete Wert von M ,
kurz: der Erwartungswert E [M ] von M .
P
Definition: E [M ] = i ∈Ω 0 i · Pr[M = i ]
(Def. für diskrete ZV)
gewichtetes Mittel“ der Werte in Ω 0
”
P
Es gilt:
i ∈Ω 0 Pr[M = i ] = 1
Problem:
Was ist Pr[M = 7]??
4-1
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
4-2
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
4-3
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
4-4
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] =
4-5
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1]
4-6
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
4-7
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
4-8
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
WK, dass i . Zahl die bisher größte ist ?
4-9
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
4-10
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
=
4-11
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
4-12
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
Voraussetzung:
Anz. der guten“ Ergebnisse
Alle Ergebnisse sind
”
=
Anz. aller Ergebnisse
gleich wahrscheinlich!
4-13
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
Voraussetzung:
Anz. der guten“ Ergebnisse
Alle Ergebnisse sind
”
=
Anz. aller Ergebnisse
gleich wahrscheinlich!
Anz. Perm., bei denen i . Zahl am größten
=
Anz. aller Permutationen von i Zahlen
4-14
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
Voraussetzung:
Anz. der guten“ Ergebnisse
Alle Ergebnisse sind
”
=
Anz. aller Ergebnisse
gleich wahrscheinlich!
Anz. Perm., bei denen i . Zahl am größten
(i − 1)!
=
=
Anz. aller Permutationen von i Zahlen
i!
4-15
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Mi = 1] = WK, dass i . Zahl die bisher größte ist
Voraussetzung:
Anz. der guten“ Ergebnisse
Alle Ergebnisse sind
”
=
Anz. aller Ergebnisse
gleich wahrscheinlich!
Anz. Perm., bei denen i . Zahl am größten
(i − 1)! 1
=
=
=
i
Anz. aller Permutationen von i Zahlen
i!
4-16
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] =
4-17
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
n+1
2
ist
4-18
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
=
n+1
2
ist
4-19
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
n+1
2
ist
4-20
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
=
n+1
2
ist
4-21
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
n+1
2
ist
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
=
Anz. Perm., bei denen i. Zahl > n/2
Anz. aller Permutationen von n Zahlen
4-22
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
n+1
2
ist
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
(n − 1)! ·
Anz. Perm., bei denen i. Zahl > n/2
=
=
Anz. aller Permutationen von n Zahlen
n!
n
2
4-23
Ein Trick
Definition: E [M ] =
P
i ∈Ω 0
i · Pr[M = i ]
Führe Indikator-Zufallsvariable ein (für i = 1, . . . , n):
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Sei Mi =
0 sonst.
laut Def.
⇒ E [Mi ] = 0 · Pr[Mi = 0] + 1 · Pr[Mi = 1] = Pr[Mi = 1]
i
Beispiel: Zahlenfolge = (7, 2, 8, 5, 9, 1, 4, 6, 3)
Pr[Fi = 1] = WK, dass i . Zahl größer als
n+1
2
ist
Anz. der guten“ Ergebnisse
”
=
Anz. aller Ergebnisse
(n − 1)! ·
Anz. Perm., bei denen i. Zahl > n/2
=
=
Anz. aller Permutationen von n Zahlen
n!
n
2
1
=
2
5
Zurück zum Erwartungswert
(
Mi =
⇒ M=
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
0 sonst.
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
⇒ E [M ] =
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
Linearität des Erwartungswerts
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
Linearität des Erwartungswerts
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
Linearität des Erwartungswerts
Indikatorvariable
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Linearität des Erwartungswerts
Indikatorvariable
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
Indikatorvariable
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
Indikatorvariable
≤
Summe zeichnen“!
”
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
Indikatorvariable
≤
beschränkte harmonische Reihe
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
beschränkte harmonische Reihe
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
=
beschränkte harmonische Reihe
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
Entsprechend...
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
Entsprechend...
Pn
E [F ] =
i =1 Pr[Fi = i ] =
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
Entsprechend...
Pn
Pn
E [F ] =
i =1 Pr[Fi = i ] =
i =1
1
2
=
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
Entsprechend...
Pn
Pn
E [F ] =
i =1 Pr[Fi = i ] =
i =1
1
2
n
=
2
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
Entsprechend...
Pn
Pn
E [F ] =
i =1 Pr[Fi = i ] =
i =1
M.a.W.: man kann erwarten,
1
2
n
=
2
5
Zurück zum Erwartungswert
(
1, falls Münchner nach dem i . Essen zufrieden,
Mi =
0 sonst.
Pn
(Anz. Male, die Münchener zufrieden ist.)
⇒ M=
i =1 Mi
P
P
P
⇒ E [M ] = E [ i Mi ] =
i E [Mi ] =
i Pr[Mi = 1]
Indikatorvariable
Linearität des Erwartungswerts
=
Pn
1
i =1 i
≤ 1+
Rn
1
dx
1 x
= 1 + ln n
beschränkte harmonische Reihe
Entsprechend...
Pn
Pn
E [F ] =
i =1 Pr[Fi = i ] =
i =1
1
2
n
=
2
M.a.W.: man kann erwarten,
dass der Franke exponentiell zufriedener ist als der Münchner!
;-)
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
Vergleiche
Verschiebungen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
TIS ≤ VIS ≤ TIS + (n − 1).
Vergleiche
Verschiebungen
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
TIS ≤ VIS ≤ TIS + (n − 1).
Vergleiche
Verschiebungen
Beob.
Statt der durchschnittlichen Laufzeit über alle
Permutationen können wir auch die erwartete
Laufzeit einer zufälligen Permutation betrachten.
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
TIS ≤ VIS ≤ TIS + (n − 1).
Vergleiche
Verschiebungen
Beob.
Warum?
Statt der durchschnittlichen Laufzeit über alle
Permutationen können wir auch die erwartete
Laufzeit einer zufälligen Permutation betrachten.
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
TIS ≤ VIS ≤ TIS + (n − 1).
Vergleiche
Verschiebungen
Beob.
Warum?
Betrachte Definition:
Statt der durchschnittlichen Laufzeit über alle
Permutationen können wir auch die erwartete
Laufzeit einer zufälligen Permutation betrachten.
6
Average-Case-Laufzeit von InsertionSort
Beob.
Hier:
Der durchschnittliche Fall“ ist i.A. schwer fassbar.
”
Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe A[1..n] (für festes n)?
Einfacher: Was ist die durchschnittliche Laufzeit über alle
Permutationen der Eingabe h1, 2, . . . , ni?
Wissen:
n − 1 ≤ VIS ≤ n(n − 1)/2
Beob.
Statt Vergleiche können wir auch die Anzahl der
Verschiebungen TIS zählen, denn es gilt immer
TIS ≤ VIS ≤ TIS + (n − 1).
Vergleiche
Verschiebungen
Beob.
Warum?
Betrachte Definition:
E [T ] =
Pn 2
i=0 i · Pr[T = i]
Statt der durchschnittlichen Laufzeit über alle
Permutationen können wir auch die erwartete
Laufzeit einer zufälligen Permutation betrachten.
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
⇒ T =
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
Pn
⇒ T =
j =2 Tj
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
Tij
⇒ T =
j =2 Tj =
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
Aber was ist E [Tij ]?
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
?
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
j −1
n X
X
⇒ E [T ] =
E [Tij ]
j =2 i =1
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
n
j −1
n X
X
X
j −1
⇒ E [T ] =
E [Tij ] =
2
j =2 i =1
j =2
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
n
n−1
j −1
n X
X
X
X
j −1
1
=
j
⇒ E [T ] =
E [Tij ] =
2
2
j =2 i =1
j =2
j =1
7
Erwartete Laufzeit von InsertionSort
T := Zufallsvariable für die Anz. von Verschiebungen,
die IS benötigt, um eine zufällige Permutation A[1..n]
von h1, 2, . . . , ni zu sortieren
Was wäre eine gute Indikatorvariable um T auszudrücken?
(
)
1 falls A[i ] > A[j ]
Tij :=
für 1 ≤ i < j ≤ n.
0 sonst.
Pj −1
⇒ Tj = i =1 Tij = Anz. Pos., um die A[j] n. li. verschoben wird.
PP
Pn
PP
Tij
⇒ T =
und E [T ] =
E [Tij ]
j =2 Tj =
1
Aber was ist E [Tij ]?
Laut Def. E [Tij ] = P [Tij = 1] =
2
n
n−1
j −1
n X
X
X
X
n(n − 1)
j −1
1
=
j =
⇒ E [T ] =
E [Tij ] =
4
2
2
j =2 i =1
j =2
j =1
8
Zusammenfassung InsertionSort
Satz. [alt]
Im besten Fall benötigt InsertionSort n − 1 ∈ Θ (n)
Vergleiche und 0 Verschiebungen.
Im schlechtesten Fall benötigt InsertionSort
n(n − 1)/2 ∈ Θ (n2 ) Vergleiche/Verschiebungen.
8
Zusammenfassung InsertionSort
Satz. [alt]
Im besten Fall benötigt InsertionSort n − 1 ∈ Θ (n)
Vergleiche und 0 Verschiebungen.
Im schlechtesten Fall benötigt InsertionSort
n(n − 1)/2 ∈ Θ (n2 ) Vergleiche/Verschiebungen.
Satz. [neu]
Im Durchschnitt benötigt InsertionSort
n(n − 1)/4 ∈ Θ (n2 ) Verschiebungen und
zwischen n(n − 1)/4 und n(n − 1)/4 + (n − 1),
d.h. Θ (n2 ), Vergleiche.
8
Zusammenfassung InsertionSort
Satz. [alt]
Im besten Fall benötigt InsertionSort n − 1 ∈ Θ (n)
Vergleiche und 0 Verschiebungen.
Im schlechtesten Fall benötigt InsertionSort
n(n − 1)/2 ∈ Θ (n2 ) Vergleiche/Verschiebungen.
Satz. [neu]
Im Durchschnitt benötigt InsertionSort
n(n − 1)/4 ∈ Θ (n2 ) Verschiebungen und
zwischen n(n − 1)/4 und n(n − 1)/4 + (n − 1),
d.h. Θ (n2 ), Vergleiche.
Kurz: Bei InsertionSort gilt
Average Case =asymptotisch Worst Case!
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
Tag Geburtstag haben?
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
Frage0 :
Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl X
von Pärchen hier im Hörsaal, die am gleichen Tag
Geburtstag haben?
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
Frage0 :
Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl X
von Pärchen hier im Hörsaal, die am gleichen Tag
Geburtstag haben?
Was wäre eine gute Indikatorvariable um X auszudrücken?
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
Frage0 :
Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl X
von Pärchen hier im Hörsaal, die am gleichen Tag
Geburtstag haben?
Was wäre eine gute Indikatorvariable um X auszudrücken?
(
)
1 falls i und j gleichen Geburtstag haben für
Xij :=
1 ≤ i < j ≤ k;
0 sonst.
k =Anz.Leute
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
Frage0 :
Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl X
von Pärchen hier im Hörsaal, die am gleichen Tag
Geburtstag haben?
Was wäre eine gute Indikatorvariable um X auszudrücken?
(
)
1 falls i und j gleichen Geburtstag haben für
Xij :=
1 ≤ i < j ≤ k;
0 sonst.
k =Anz.Leute
Dann gilt X =
9
Geburtstagswahrscheinlichkeiten
Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens zwei Leute hier im Hörsaal am gleichen
[siehe Abschnitt 5.4, CLRS]
Tag Geburtstag haben?
Frage0 :
Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl X
von Pärchen hier im Hörsaal, die am gleichen Tag
Geburtstag haben?
Was wäre eine gute Indikatorvariable um X auszudrücken?
(
)
1 falls i und j gleichen Geburtstag haben für
Xij :=
1 ≤ i < j ≤ k;
0 sonst.
k =Anz.Leute
Dann gilt X =
X
1≤i <j ≤k
Xij =
k X
k
X
i =1 j =i +1
Xij .
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
⇒ E [Xij ] =
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
t =1 Pr [Gi = Gj = t ] =
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
t =1 Pr [Gi = Gj = t ] =
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 =
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!
(Geht auch
einfacher!)
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!
Gesucht:
E [X ] =
(Geht auch
einfacher!)
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
(Geht auch
einfacher!)
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 
(Geht auch
einfacher!)

X
Xij  =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
k
1
=
·
2
n
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
Xij  =
1≤i <j ≤k
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
k (k − 1)
k
1
=
·
=
2
n
2n
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
k (k − 1)
k
1
≥1 ⇔
=
·
=
2
n
2n
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
k (k − 1)
k
1
≥ 1 ⇔ k (k − 1) ≥ 2n.
=
·
=
2
n
2n
10
Geburtstagserwartungen
Es gilt:
Geburtstag von Person i
(
)
X
1 falls Gi = Gj
Xij :=
und X =
Xij .
0 sonst.
1≤i <j ≤k
Annahme: Alle n Tage sind gleich wahrscheinlich Geburtstage.
Pn
n
⇒ E [Xij ] = Pr [Xij = 1] =
Pr
[
G
=
G
=
t
]
=
i
j
t =1
n2 = 1/n.
(Geht auch
einfacher!)
Ereignisse schließen sich gegenseitig aus!

Gesucht:
E [X ] = E 

X
1≤i <j ≤k
Xij  =
X
E [Xij ] =
1≤i <j ≤k
Linearität des Erwartungswerts!
k (k − 1)
k
1
≥ 1 ⇔ k (k − 1) ≥ 2n.
=
·
=
2
n
2n
Für ein Jahr mit n = 365 Tagen braucht man also nur k ≥ 28 Personen
um ein Pärchen mit gleichem Geburtstag erwarten zu können.