Ubungen zur Linearen Algebra 1 — Blatt 10

Übungen zur Linearen Algebra 1 — Blatt 10
Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. D. Vogel
Dr. A. Maurischat, Dr. D. Izychev
Wintersemester 2012/13,
Abgabe: Di 15.1.2013, 9.00 Uhr
In den Aufgaben sei stets n eine natürliche Zahl und Sn die Gruppe der Permutationen auf den
Zahlen 1 bis n.
35. Aufgabe: (4 Punkte) (Einfache Berechnung des Signums) 1
2 ... n
Für eine Permutation σ ∈ Sn geschrieben als σ(1)
σ(2) ... σ(n) verbinden wir jeweils für k =
1, . . . , n die Zahl k in der ersten Zeile mit der Zahl k in der zweiten Zeile durch eine gerade Linie.
Mit Kσ bezeichnen wir die Menge
Kσ := {(k, l) ∈ N × N | 1 ≤ k < l ≤ n und die Linien zu den Zahlen k und l kreuzen sich}.
Des weiteren bezeichnen wir mit
Fσ := {(i, j) ∈ N × N | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)}
die Menge der sogenannten Fehlstände von σ.
(a) Zeigen Sie, dass Kσ = σ(j), σ(i) | (i, j) ∈ Fσ für alle σ ∈ Sn gilt.
(b) Folgern Sie mit Hilfe des Beweises von Satz 1.5 dass sign(σ) = (−1)#Kσ gilt.
(c) Berechnen Sie nach Teil (b) das Signum der Permutationen
1
σ=
2
2
3
3
5
4
1
5
4
1
und ρ =
1
2
5
3
4
4
3
5
.
2
36. Aufgabe: (4 Punkte)
(Darstellung von Permutationen als Produkt von Nachbartranspositionen)
Wie in Aufgabe 35 bezeichne Fσ := {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)} die Menge der Fehlstände
einer Permutation σ ∈ Sn . Des weiteren bezeichnen wir mit τi,j (i 6= j) die Transposition mit
τ (i) = j und nennen τi,j eine Nachbartransposition, falls j = i + 1 oder j = i − 1 gilt.
Zeigen Sie für beliebiges σ ∈ Sn \ {id}:
(a) Es gibt ein i ∈ {1, . . . , n − 1} mit (i, i + 1) ∈ Fσ .
(b) Sei (i, i + 1) ∈ Fσ , dann gilt für ρ := σ ◦ τi,i+1 :
Fρ =
τi,i+1 (k), τi,i+1 (l) | (k, l) ∈ Fσ , (k, l) 6= (i, i + 1)
und insbesondere #Fρ = #Fσ − 1.
(c) σ lässt sich als Produkt von #Fσ Nachbartranspositionen schreiben.
Hinweis zu (c): Führen Sie den Beweis durch Induktion nach #Fσ und verwenden Sie dabei Teil
(b).
– bitte wenden –
37. Aufgabe: (4 Punkte) (Explizite Determinantenberechnung)
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:


1
2
3
0
0
3
2
1

(a) A = 
−3 0 −2 −1 ∈ M4 (R),
−1 −2 0
1
(b)

1
0

0

 ..
.

0
a
0
1
0
..
.
0
a
0
0
1
···
···
..
.
0 ···
a ···
0
0
0
..
.
1
a

b
b

b

..  ∈ Mn (K)
.

b
1
für beliebige n > 1 und a, b ∈ K, wobei K ein beliebiger Körper ist.
38. Aufgabe: (4 Punkte) Es seien K ein Körper und e1 , . . . , en die kanonische Basis von K n .
Wir betrachten die Abbildung ϕ : Sn → GLn (K) gegeben durch


eσ−1 (1)


ϕ(σ) :=  ...  .
eσ−1 (n)
(a) Zeigen Sie, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass ϕ−1 (SLn (K)) = An gilt.
Hinweis zu (a): Zeigen Sie zunächst, dass ϕ(τ σ) = ϕ(τ )ϕ(σ) für jede Transposition τ und jede
Permutation σ ist, und verwenden Sie die Tatsache, dass sich jede Permutation als Produkt von
Transpositionen schreiben lässt.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 1 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la1-ws2012