1. ¨Ubung Diskrete Strukturen - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2005
1. Übung Diskrete Strukturen
Aufgabe 1. a) Wieviele Wörter kann man durch Permutation der Buchstaben aus dem Wort
ABRAKADABRA bilden? (Die Wörter brauchen natürlich inhaltlich keinen Sinn zu ergeben!)
b)* Auf einer runden Platte werden im Kreis angeordnet 2 Langusten, 5 Garnelen und 10
Muscheln serviert. Wieviele Anordnungen gibt es? (Man kann die Platte natürlich drehen!)
c) Im Parlament eines Landes gibt es 401 Sitze und 3 Parteien. Wieviele Möglichkeiten der
Sitzverteilung gibt es, so dass keine Partei die absolute Mehrheit der Sitze besitzt?
Aufgabe 2.* Es sei X = {1, 2, 3, . . . , 100} und Y ⊆ X mit |Y | = 55. Zeigen Sie, dass a, b ∈ Y
existieren mit a − b = 9. Gilt dies auch falls |Y | = 54?
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass 1! + 2! + 3! + . . . + n! für n > 3 niemals eine Quadratzahl
ist.
Aufgabe 4.* Beweisen Sie die Aussage:
n ist Quadratzahl ⇔ Die Anzahl der Teiler von n (t(n)) ist ungerade.
Hinweis: Betrachten Sie die Primfaktorzerlegung von n.
Aufgabe 5. * Konstruieren Sie eine Folge von n2 verschiedenen Zahlen, die weder eine monoton steigende noch eine monoton fallende Teilfolge der Länge n + 1 enthält.
Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass für die Binomialkoeffizienten
à !
à !
Ã
!
Ã
!
³ ´
n
k
gilt:
à !
n
n
n
n
n
.
<
< ... < n = n > ... >
d2e
n
0
1
b2c
Anmerkung: Für gerades n fallen die beiden mittleren Koeffizienten zusammen.
Aufgabe 7. Als Produkt zweier Permutationen bezeichnet man deren Hintereinanderausführung
(von rechts nach links!).
a) Zeigen Sie: Jedes π ∈ Sn ist ein Produkt von 2-Zykeln.
b) Bestimmen Sie die Zykelschreibweise der Produkte:
i) (1,2,3,4)(5,4,3)(2,6,4), ii)* (1,3)(2,3,4)(4,5,6,1)(1,2), iii) (1,2,3)(1,3)(2,4)(1,3,2),
iv)* (1,5)(2,3)(1,3,5)(2,4)(1,5)(2,3).
c) Bestimmen Sie Umkehrabbildung und Typ von:
i) (1,3,5)(2,4,6)(7,8), ii)* (1,2)(3,4)(5,6), iii)* (1,7,5)(2,6,4,3).
d)* Finden Sie zwei Permutationen π1 , π2 ∈ S6 , die nicht kommutieren, d.h. für die gilt:
π1 π2 6= π2 π1 .
Aufgabe 8. Eine Permutation π, für die gilt ππ = id (id ist die identische Permutation) heißt
Involution.
a) Zeigen Sie: π ist Involution genau dann, wenn die Anzahl bi (π) der Zykeln der Länge i gleich
0 ist für alle i > 2.
b) Zeigen Sie die Rekursionsformel für die Gesamtzahl I(n) der Involutionen auf n Zahlen
(I(0) = 1, I(1) = 1):
I(n) = I(n − 1) + (n − 1)I(n − 2), für n ≥ 2
Hinweis: Teilen Sie die Menge der Involutionen ähnlich wie im Beweis der Rekursionsformel
von sn,k auf.
Aufgabe 9. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
a)
n
X
m=0
c)∗
Ã
Ã
!
Ã
m
n+1
=
k
k+1
n
X
r
r+s
=
n
k=0 k
!
!
à !Ã
(n, k ≥ 0) b) ∗
n
X
k=0
s
n−k
!
Ã
!
Ã
m+k
m+n+1
=
n
k
!
(m, n ≥ 0)
(r, s, n ∈ N, r + s ≥ n ≥ 0) (Vandermonde Identität)
Aufgabe 10. Beweisen Sie folgende Rekursion für die Partitionszahlen Pn,k :
Pn,k = Pn−k,1 + Pn−k,2 + . . . + Pn−k,k mit Pn,1 = Pn,n = 1.
Aufgabe 11.* Die Bellzahl B̃n ist die Anzahl aller Mengen–Partitionen einer Menge mit
P
n Elementen, d.h. B̃n := nk=0 Sn,k mit B̃0 = 1. (Die Sn,k sind die Stirlingzahlen 2. Art)
Zeigen Sie:
à !
n
X
n
B̃n+1 =
B̃k .
k=0 k
Aufgabe 12.* Beweisen Sie das folgende Analogon zum Binomischen Lehrsatz mit vollständiger Induktion (xn = x(x − 1)(x − 2) · · · (x − n + 1) die fallenden Faktoriellen):
n
(a + b) =
n
X
k=0
à !
n k n−k
a b .
k