Dr. F. Stoll N. Stein 3. Übungsblatt zur Vorlesung Prof. Dr. U. Semmelmann Lineare Algebra und Analytische Geometrie II Sommer 2015 Sei n ∈ N. Eine Fundamentaltransposition τ ∈ Sn ist eine Transposition, die zwei benachbarte Zahlen vertauscht, d. h. es gibt ein k ∈ {1, . . . , n − 1}, sodass τ (k) = k + 1, τ (k + 1) = k ist und τ (i) = i sonst. Wir schreiben τk für diese Permutation. Aufgabe P 6. Gegeben sei die Permutation σ = 1 2 3 4 5 2 5 4 1 3 ∈ S5 . (a) Bestimmen Sie das Signum der Permutation σ • mit Hilfe der Definition als Determinante einer Permutationsmatrix, Q σ(j)−σ(i) • mit Hilfe der Formel , j−i i<j • indem Sie die Anzahl der Fehlstände zählen. (b) Bestimmen Sie für 1 ≤ k ≤ 4 die Fehlstände und deren Anzahl von στk = σ ◦ τk . Was fällt auf? (c) Finden Sie Fundamentaltranspositionen τi1 , . . . , τi6 , sodass σ ◦ τi1 ◦ . . . ◦ τi5 ◦ τi6 = Id ist. Bei der Wahl von τi1 und ähnlich für die weiteren Fundamentaltranspositionen kann Teil (b) hilfreich sein! (d) Schreiben Sie σ als Produkt von Fundamentaltranspositionen. Aufgabe P 7. (a) Bestimmen Sie alle Elemente der S3 und jeweils deren Signum. (b) Geben Sie die Leibniz-Formel für 3 × 3-Matrizen an, indem Sie Ihre Ergebnisse aus (a) verwenden. Unter welchem Namen haben Sie diese Formel bereits zuvor kennengelernt? Aufgabe P 8. Zeigen Sie mit der Leibniz-Formel, dass die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile (Nullspalte) Null ist. Aufgabe P 9. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ N. Zeigen Sie, dass eine Matrix A ∈ Mn (R) genau dann invertierbar ist, wenn die Determinante det A in R invertierbar ist. Sie können dafür die folgende Variante der ersten Cramerschen Regel verwenden, die für kommutative Ringe mit Eins gilt, der Beweis ist genau der gleiche wie der in LAAG 1: Ist A ∈ Mn (R) e = (e e=A e · A = det(A) · In . und A aij ) mit e aij = (−1)i+j det(Aji ), dann gilt A · A 3. Übungsblatt Lineare Algebra und Analytische Geometrie Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung): Aufgabe H 5. 4 Punkte Sei K ein Körper. In der Vorlesung wurde die Abbildung φ : K[x] → Abb(K, K) : a 7→ e a betrachtet und gezeigt, dass φ genau dann injektiv ist, wenn K unendlich viele Elemente besitzt. (a) Zeigen Sie, dass φ genau dann surjektiv ist, wenn K endlich viele Elemente besitzt. Hinweis: Aufgabe H4 kann nützlich sein! (b) Sei K nun endlich mit |K| = n ∈ N. Seien a1 , . . . , an ∈ K die paarweise verschiedenen Elemente von K. Finden Sie ein Polynom p ∈ K[x] mit p 6= 0 und pe = 0. Zeigen Sie anschließend, dass Ker φ unendlich-dimensional ist. Aufgabe H 6. 6 Punkte Sei n ∈ N. Zu einer Permutation σ ∈ Sn sei F (σ) die Menge der Fehlstände von σ, d. h. F (σ) = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)}. Außerdem wurde in der Vorlesung a(σ) = |F (σ)| definiert. Sei σ ∈ Sn und τk ∈ Sn eine Fundamentaltransposition mit k ∈ {1, . . . , n − 1}. (a) Zeigen Sie, dass man die Menge der Fehlstände von στk folgendermassen aus der Menge der Fehlstände von σ erhält: • Ist σ(k) > σ(k + 1), d. h. (k, k + 1) ∈ F (σ), dann ist F (στk ) = {(τk (i), τk (j)) | (i, j) ∈ F (σ)}\{(k + 1, k)} • Ist σ(k) < σ(k + 1), d. h. (k, k + 1) ∈ / F (σ), dann ist F (στk ) = {(τk (i), τk (j)) | (i, j) ∈ F (σ)} ∪ {(k, k + 1)} Tipp: Untersuchen Sie für jedes Paar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, ob es in der rechten bzw. linken Seite enthalten ist. Unterscheiden Sie dabei, ob {i, j} ∩ {k, k + 1} kein, ein oder zwei Elemente enthält.( a(σ) − 1 falls σ(k) > σ(k + 1) (b) Folgern Sie, dass a(στk ) = ist. a(σ) + 1 falls σ(k) < σ(k + 1) (c) σ lässt sich laut Vorlesung als Produkt von Fundamentaltranspositionen schreiben. Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (b), dass sich σ nicht als Produkt von k-vielen Fundamentaltranspositionen schreiben lässt, wobei k < a(σ) ist. (d) Zeigen Sie ebenfalls mit Teil (b), dass sich σ als Produkt von genau a(σ)-vielen Fundamentaltranspositionen schreiben lässt. Somit ist die kleinste Zahl k, sodass σ sich als Produkt von k-vielen Fundamentaltranspositionen schreiben lässt, genau a(σ). Diese Zahl wird Länge von σ genannt. Tipp: Wenn Sie Schwierigkeiten beim Verständnis der Aufgabe haben, dann schauen Sie sich das Beispiel aus Aufgabe P6 und deren Lösung an.