3. Übungsblatt

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Dr. F. Stoll
N. Stein
3. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. U. Semmelmann
Lineare Algebra und Analytische Geometrie II
Sommer 2015
Sei n ∈ N. Eine Fundamentaltransposition τ ∈ Sn ist eine Transposition, die zwei benachbarte
Zahlen vertauscht, d. h. es gibt ein k ∈ {1, . . . , n − 1}, sodass τ (k) = k + 1, τ (k + 1) = k ist
und τ (i) = i sonst. Wir schreiben τk für diese Permutation.
Aufgabe P 6.
Gegeben sei die Permutation σ =
1 2 3 4 5
2 5 4 1 3
∈ S5 .
(a) Bestimmen Sie das Signum der Permutation σ
• mit Hilfe der Definition als Determinante einer Permutationsmatrix,
Q σ(j)−σ(i)
• mit Hilfe der Formel
,
j−i
i<j
• indem Sie die Anzahl der Fehlstände zählen.
(b) Bestimmen Sie für 1 ≤ k ≤ 4 die Fehlstände und deren Anzahl von στk = σ ◦ τk . Was
fällt auf?
(c) Finden Sie Fundamentaltranspositionen τi1 , . . . , τi6 , sodass σ ◦ τi1 ◦ . . . ◦ τi5 ◦ τi6 = Id
ist. Bei der Wahl von τi1 und ähnlich für die weiteren Fundamentaltranspositionen kann
Teil (b) hilfreich sein!
(d) Schreiben Sie σ als Produkt von Fundamentaltranspositionen.
Aufgabe P 7.
(a) Bestimmen Sie alle Elemente der S3 und jeweils deren Signum.
(b) Geben Sie die Leibniz-Formel für 3 × 3-Matrizen an, indem Sie Ihre Ergebnisse aus (a)
verwenden. Unter welchem Namen haben Sie diese Formel bereits zuvor kennengelernt?
Aufgabe P 8.
Zeigen Sie mit der Leibniz-Formel, dass die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile (Nullspalte) Null ist.
Aufgabe P 9.
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ N. Zeigen Sie, dass eine Matrix A ∈ Mn (R)
genau dann invertierbar ist, wenn die Determinante det A in R invertierbar ist.
Sie können dafür die folgende Variante der ersten Cramerschen Regel verwenden, die für kommutative Ringe mit Eins gilt, der Beweis ist genau der gleiche wie der in LAAG 1: Ist A ∈ Mn (R)
e = (e
e=A
e · A = det(A) · In .
und A
aij ) mit e
aij = (−1)i+j det(Aji ), dann gilt A · A
3. Übungsblatt
Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 5. 4 Punkte
Sei K ein Körper. In der Vorlesung wurde die Abbildung φ : K[x] → Abb(K, K) : a 7→ e
a
betrachtet und gezeigt, dass φ genau dann injektiv ist, wenn K unendlich viele Elemente
besitzt.
(a) Zeigen Sie, dass φ genau dann surjektiv ist, wenn K endlich viele Elemente besitzt.
Hinweis: Aufgabe H4 kann nützlich sein!
(b) Sei K nun endlich mit |K| = n ∈ N. Seien a1 , . . . , an ∈ K die paarweise verschiedenen
Elemente von K. Finden Sie ein Polynom p ∈ K[x] mit p 6= 0 und pe = 0. Zeigen Sie
anschließend, dass Ker φ unendlich-dimensional ist.
Aufgabe H 6. 6 Punkte
Sei n ∈ N. Zu einer Permutation σ ∈ Sn sei F (σ) die Menge der Fehlstände von σ, d. h.
F (σ) = {(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j)}.
Außerdem wurde in der Vorlesung a(σ) = |F (σ)| definiert. Sei σ ∈ Sn und τk ∈ Sn eine
Fundamentaltransposition mit k ∈ {1, . . . , n − 1}.
(a) Zeigen Sie, dass man die Menge der Fehlstände von στk folgendermassen aus der Menge
der Fehlstände von σ erhält:
• Ist σ(k) > σ(k + 1), d. h. (k, k + 1) ∈ F (σ), dann ist
F (στk ) = {(τk (i), τk (j)) | (i, j) ∈ F (σ)}\{(k + 1, k)}
• Ist σ(k) < σ(k + 1), d. h. (k, k + 1) ∈
/ F (σ), dann ist
F (στk ) = {(τk (i), τk (j)) | (i, j) ∈ F (σ)} ∪ {(k, k + 1)}
Tipp: Untersuchen Sie für jedes Paar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, ob es in der rechten
bzw. linken Seite enthalten ist. Unterscheiden Sie dabei, ob {i, j} ∩ {k, k + 1} kein, ein
oder zwei Elemente enthält.(
a(σ) − 1 falls σ(k) > σ(k + 1)
(b) Folgern Sie, dass a(στk ) =
ist.
a(σ) + 1 falls σ(k) < σ(k + 1)
(c) σ lässt sich laut Vorlesung als Produkt von Fundamentaltranspositionen schreiben. Zeigen
Sie mit Hilfe von Teil (b), dass sich σ nicht als Produkt von k-vielen Fundamentaltranspositionen schreiben lässt, wobei k < a(σ) ist.
(d) Zeigen Sie ebenfalls mit Teil (b), dass sich σ als Produkt von genau a(σ)-vielen Fundamentaltranspositionen schreiben lässt.
Somit ist die kleinste Zahl k, sodass σ sich als Produkt von k-vielen Fundamentaltranspositionen
schreiben lässt, genau a(σ). Diese Zahl wird Länge von σ genannt.
Tipp: Wenn Sie Schwierigkeiten beim Verständnis der Aufgabe haben, dann schauen Sie sich
das Beispiel aus Aufgabe P6 und deren Lösung an.
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