¨Ubungen zur Vorlesung ” ELEMENTARE STOCHASTIK“

Prof. Dr. G. Kersting
”
Blatt 9
SS 2012
Übungen zur Vorlesung
ELEMENTARE STOCHASTIK “
Abgabetermin: 22.6.2012
Aufgabe 36: R-Aufgabe. Wir wollen die Fehlstände einer rein zufälligen Permutation mit einer R Simulation untersuchen. Schreiben Sie ein
Programm, das für beliebiges n eine rein zufällige Permutation der Zahlen {1, ..., n} simuliert, die Anzahl der Fehlstände berechnet, an denen j für
j = 2, ..., n mit einem kleineren Element beteiligt ist, und schließlich die
Anzahl aller Fehlstände ausgibt.
Aufgabe 33. Seien X, Y unabhängige Zufallsvariable mit Zielbereich Z
und seien ρ(b) := P(Z = b) die Gewichte der Verteilung von Z := X − Y .
Zeigen Sie
�
ρ(b) =
P(X = a) · P(Y = a − b) , b ∈ Z .
(i) Wiederholen Sie das oben beschriebene Verfahren w = 10000 Mal für
n = 5.
Folgern Sie ρ(b) ≤ ρ(0) für den Fall, dass X und Y identisch in Ver��
�2
teilung
≤
a xa ya
� 2 �sind2 (wenden Sie auf die Summe die Ungleichung
x
y
an).
a
a
a
a
(ii) Erstellen Sie nun für n = 5, n = 10 und n = 15 Histogramme der Gesamtanzahl der Fehlstände (w = 10000 Wiederholungen). Gegen welche Verteilung scheinen die Gesamtanzahlen zu konvergieren? Hätten
Sie das erwartet? Begründen Sie Ihre Antwort.
a∈Z
Aufgabe 34. Der Kupon-Sammler. Aus einer Urne mit r Kugeln werden mit Zurücklegen Kugeln gezogen, und zwar so lange, bis jede Kugel
einmal gegriffen wurde. Sei X die Anzahl der nötigen Züge. Wir wollen
�
1 1
1�
E[X] = r 1 + + + · · · +
2 3
r
beweisen. Dazu betrachten wir auch Zufallsvariable 1 = T1 < T2 < · · · <
Tr = X, die Erfolgsmomente“, zu denen man eine vorher noch nicht gegrif”
fene, neue Kugel erwischt. Was ist die Verteilung und der Erwartungswert
von Ti+1 − Ti ? Wie bestimmt sich folglich der Erwartungswert von X?
Aufgabe 35: Fehlstände in rein zufälligen Permutationen.
(i) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer auf {0, 1, . . . , i − 1}
uniform verteilten Zufallsvariablen Yi .
Hinweis: 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
(ii) Zeigen Sie für die Anzahl aller Fehlstände Z in einer rein zufälligen
Permutation X = (X1 , . . . , Xn )
E[Z] =
n(n − 1)
,
4
Var[Z] =
2n3 + 3n2 − 5n
72
Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung Z = Y2 + · · · + Yn aus der Vorlesung.
Stellen Sie jeweils die Anzahlen der Fehlstände, an denen j, j = 2, ..., 5,
in den w Wiederholungen mit einem kleineren Partner beteiligt war, in
einem Stabdiagramm dar. Was ist der Bezug zur Aufgabe 35?