Ferienkurs Experimentalphysik 4

Ferienkurs Experimentalphysik 4
Vorlesung 3
Quantenmechansiche Addition von Drehimpulsen, Korrekturen der
einfachen Schrödingertheorie des Wasserstoffatoms,
Wasserstoffatom im Magnetfeld
Felix Bischoff, Christoph Kastl, Max v. Vopelius
26.08.2009
1 Quantenmechanische Addition von Drehimpulsen
Der quantenmechanische Drehimpulsoperator kann in Analogie zum klassischen Drehimpuls definiert werden, wenn man die klassischen Größen durch die entsprechenden
Operatoren ersetzt.
L̂ = r̂ × p̂ =
~
r×∇
i
Es stellt sich heraus, dass der so definierte Drehimpulsoperator die folgenden, sogenannten fundamentalen Kommutatorrelationen erfüllt:
i~L̂x = [L̂y , L̂z ]
i~L̂y = [L̂z , L̂x ]
i~L̂z = [L̂x , L̂y ]
Man kann diese Gleichungen verwenden um einen abstrakten Drehimpuls zu definieren:
ˆ für dessen Komponenten obige Kommutatorrelationen gelten,
Jeder Vektoroperator J,
ist ein Drehimpulsoperator. Die Eigenzustände des Operators sind durch zwei Quantenzahlen j und mj charakterisiert. Jˆ2 und Jˆz besitzen gemeinsame Eigenfunktionen, wobei
die Eigenwerte von folgender Form sind
Jˆ2 ~2 j(j + 1)
Jˆz
mj ~
j
ganz- oder halbzahlig
mj = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j
Es kann bisweilen notwendig sein, zwei Einzeldrehimpulse Jˆ1 und Jˆ2 zu einem Gesamtdrehimpuls Jˆ = Jˆ1 + Jˆ2 zu kombinieren. Es ist deshalb von Interesse, wie man die
Eigenschaften von Jˆ aus denen von Jˆ1 und Jˆ2 ableiten kann.
Als Drehimpulse erfüllen Jˆ1 und Jˆ2 die fundamentalen Vertauschungsrelationen. Zunächst
stellen wir fest, dass der durch Jˆ = Jˆ1 + Jˆ2 definierte Operator auch tatsächlich ein Drehimpulsoperator ist, das heißt die folgenden Relationen erfüllt:
i~Jˆx = [Jˆy , Jˆz ]
i~Jˆy = [Jˆz , Jˆx ]
i~Jˆz = [Jˆx , Jˆy ]
Jˆ besitzt deshalb alle Eigenschaften eines Drehimpulses. Die Eigenzustände des Opera-
1
tors sind durch die Quantenzahlen j und mj charakterisiert. Für jeden Drehimpuls gilt
natürlich
−j ≤ mj ≤ j
Es stellt sich nun die Frage welche Werte j annehmen kann. Man kann zeigen, dass gilt
|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2
Auf einen Beweis dieser Aussage wird an dieser Stelle verzichtet. Das Ergebnis ist jedoch
durchaus plausibel, da es exakt dem klassischen Vektormodell entspricht. j1 + j2 entspricht einer Parallelstellung der Vektoren j 1 und j 2 , |j1 − j2 | einer Antiparallelstellung.
Als Beispiel wollen wir die Quantenzahlen j und mj des Gesamtdrehimpulses eines
Elektrons mit Bahndrehimpuls l = 0, 1, 2 und Spin s = 21 betrachten.
l
s j
0
1
2
1
2
- 12 , 12
1
1
2
1
2
- 12 , 12
3
2
- 32 , - 21 , 12 , 32
3
2
- 32 , - 21 , 12 , 32
5
2
- 25 , - 32 , - 12 , 12 , 23 , 52
2
1
2
mj
2 Korrekturen der einfachen Theorie des
Wasserstoffatoms
2.1 Relativistische Korrektur der Energieterme
Zur Berechung der Energieverschiebung gehen wir statt von der klassische EnergieImpulsformel
p2
T =
2m
von der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung aus.
E 2 = E02 + c2 p2
Die kinetische Energie T eines Elektrons ergibt sich als Differenz zwischen Gesamtenergie
2
E und Ruheenergie E0 = m0 c2 .
q
T = p2 c2 + m20 c4 − m0 c2 =
s
p2
= m0 c2 1 + 2 2 − m0 c2
m0 c
Für p2 << m20 c2 können wir den Wurzelterm in eine Taylorreihe entwickeln. Wir berücksichtigen
Terme bis zur 4.Ordnung in p.
s
p2
1 p2
1 p4
1+ 2 2 =1+
−
+ O(p6 ) =
m0 c
2 m20 c2 8 m40 c4
1
p2
p4
2
+ O(p6 )
=
m0 c +
−
m 0 c2
2m0 8m30 c2
Einsetzen der Entwicklung ergibt
p2
p4
p2
p4
2
−
−
m
c
=
−
=
0
2m0 8m30 c2
2m0 8m30 c2
= T0 − ∆Erel
T = m 0 c2 +
Der zweite Term stellt die relativistische Korrektur der Energieterme dar. Zur Berechnung des Erwartungswertes der Energiekorrektur nehmen wir wie üblich die Ersetzung
p → −i~∇ vor
Z
~4
∗
h∆Erel i =
ψn,l,m ∇4 ψn,l,m
dr
3 2
8m0 c
= ··· =
2 2
3
1
Z α
3
−
+ O(α )
= En
n
4n l + 1/2
Für das Wasserstoffatom gilt natürlich Z = 1. Den dimensionslosen Faktor α bezeichnet
man als Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
α=
e2
1
≈
4π0 ~c
137
Die relativistische Energiekorrektur ist im wesentlichen von der Größenordnung α2 ≈
5 · 10−5 . Wir werden später sehen, dass auch die Energiekorrektur durch die Berücksichtigung
der Spin-Bahn-Kopplung, die sogenannte Feinstruktur, proportional zu α2 ist.
3
2.2 Magnetisches Moment
Ein Elektron mit Drehimpuls L erzeugt auf Grund seiner Ladung −e ein magnetisches
Dipolmoment µ. Diese Tatsache können wir in einem halbklassischen Modell beschreiben, in dem die Bewegung des Elektrons auf einer
p klassische Kreisbahn erfolgt, wobei
der Drehimpuls die Quantenbedingung |L| = ~ l(l + 1) erfüllt.
Ein auf einer Kreisbahn mit Frequenz ν = v/(2πr) umlaufendes Elektron stellt einen
elektrischen Strom
I = −e · ν = −
e·v
2πr
dar, der ein magnetisches Moment
µ = I · A = Iπr2 n̂ = −
evr
n̂
2
erzeugt. A ist der Flächenvektor senkrecht zur Umlauffläche. Der Bahndrehimpuls des
Elektrons ist gegeben durch
L = me r × p = me rv · n̂
Damit erhält man den Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und Bahndrehimpuls
µl = −
e
·L
2me
Definiert man das Bohrsche Magneton als
e~
2me
µB =
kann man für das magnetische Moment schreiben
µl =
µB
L
~
Es stellt sich heraus, dass für das magnetische Spinmoment des Elektrons gilt
µs = gs
µB
S
~
Der Faktor gs ≈ 2 heißt Landé-Faktor. Er kann mit einer relativistischen Quantenmechanik begründet werden.
4
2.3 Spin-Bahn-Kopplung
Die Wechselwirkung des magnetischen Moments µs mit dem Magnetfeld B l , das durch
die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt wird, wird als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet.
Zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung verwenden wir ein halbklassisches Modell. Wir
nehmen an, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn mit Radius p
r um den Kern bewegt.
Der Drehimpuls soll die quantenmechanische Bedingung |L| = ~ l(l + 1) erfüllen.
Abbildung 1: Im Ruhesystem des Kerns bewegt sich das Elektron um den Kern (links).
Im Ruhesystem des Elektrons kreist der Kern um das Elektron (rechts).[R.
Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4, 2003]
Um das Magnetfeld, das durch die Bahnbewegung verursacht wird, am Ort des Elektrons
zu bestimmen, machen wir folgende Überlegung: Im Ruhesystem des Elektrons bewegt
sich der Kern auf einer Kreisbahn um das Elektron, siehe Abb. 1. Diese Kernbewegung
entspricht einem Kreisstrom, dessen Magnetfeld B l mit Hilfe des Gesetzes von BiotSavart berechnet werden kann. Am Ort des Elektrons gilt:
µ0 · Z · e
µ0 · Z · e
· v × (−r) =
·r × v =
3
4πr
4πr3
µ0 · Z · e
=
·L
4πr3 me
Bl =
mit L = me · r × v. Man beachte, dass im Ruhesystem des Elektrons die Kernposition
durch −r gegeben ist.
Für die Energieaufspaltung durch die Wechselwirkung des magnetischen Spinmoments
mit dem Magnetfeld ergibt sich dann
∆ELS = −µs · B l = −gs
=
µB µ0 · Z · e
· (L · S)
·
~ 4πme r3
µ0 · Z · e 2
· (L · S)
4πm2e r3
mit gs ≈ 2.
Bei der Rücktransformation ins Ruhesystem des Elektrons ergibt sich bei genauer relativistischer Betrachtung aufgrund des Elektronenspins ein zusätzlicher Faktor 1/2 (Thomas-
5
Faktor).
En,l,s = En +
µ0 · Z · e2
· (L · S)
8πm2e r3
(1)
Durch den Kopplungsterm kommutieren Sz und Lz nicht mehr mit dem Hamiltonoperator, das heißt Sz und Lz sind keine Erhaltungsgrößen mehr. Deshalb geht man zur
Beschreibung des Systems über zum Gesamtdrehimpuls
J =L+S
Man kann zeigen, dass in diesem Fall J 2 und Jz Erhaltungsgrößen sind. Das System wird
dann durch die Quantenzahlen j und mj beschrieben.
[Jˆ2 , Ĥ] = 0
[Jˆz , Ĥ] = 0
Mit Hilfe von J können wir das Skalarprodukt L · S weiter auswerten. Durch Quadrieren
der Definitionsgleichung erhält man
→
J 2 = (L + S)2 = S 2 + 2 L · S + L2
1 2
J − L2 − S 2
S ·L =
2
1
= ~2 [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
2
Zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplungsenergie benötigen wir noch den Wert des Faktors 1/r3 in Gl. 1. Bei der Herleitung hatten wir Gebrauch von einer klassischen Betrachtung gemacht und angenommen, dass sich das Elektron in einem wohldefinierten
Abstand r auf einer Kreisbahn um das Proton bewegt. Quantenmechanisch gesehen befindet sich das Elektron natürlich nicht auf einer definierten Bahn und wir können nur
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem bestimmten Volumenelement
bestimmen. Wir können allerdings den Erwartungswert des Terms 1/r3 und somit die
mittlere Spin-Bahn-Kopplungskonstante ā berechnen.
Z
1
µ0 Ze2 ~2
φn,l,m 3 φn,l,m dr
ā =
2
8πme
r
Die Rechnung ergibt dann
∆ELS = −En
Z 2 α2
[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
2n · l(l + 1/2)(l + 1)
Berücksichtigt man sowohl die relativistischen Korrekturen als auch die Feinstruktur so
ergibt sich, dass die Energie der Zustände des Elektrons nicht von der Bahndrehimpuls-
6
quantenzahl l abhängt. Alle Zustände mit gleichen Quantenzahlen n und j haben die
gleiche Energie.
En,j = En + ∆Erel + ∆ELS =
Z 2 α2
1
3
= En 1 +
−
n
j + 1/2 4n
Abbildung 2: Aufspaltung durch Spin-Bahn-Kopplung. Niveaus mit gleichem j und n
sind energetisch entartet. [R. Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4,
2003]
2.4 Lamb-Verschiebung
Durch höchstauflösende Spektroskopie am Wasserstoffatom stellte es sich heraus, dass
durch die Berücksichtigung relativistischer Korrekturen und der Spin-Bahn-Kopplung
das Spektrum des Wasserstoffatoms immer noch nicht vollständig beschrieben werden
kann. Eine weitere Korrektur stellt die sogenannte Lamb-Verschiebung dar, die im Rahmen der Quantenelektrodynamik erklärt werden kann.
Die physikalische Ursache der Lamb-Verschiebung ist die Tatsache, dass das Elektron
innerhalb der Grenzen der Unschärferelation
∆E · ∆t ≥
~
2
virtuelle Photonen emittieren und absorbieren kann ohne die Energieerhaltung zu verletzen. Durch den Rückstoß bei der Emission und Absorption führt das Elektron eine
7
Zitterbewegung um den Kern aus, was zu einer Verschiebung der Energieniveaus in der
Größenordnung von 10−6 eV führt. Infolgedessen fallen Energieniveaus mit gleichem n
und j aber unterschiedlichem l nicht exakt zusammen.
2.5 Hyperfeinstruktur
Untersucht man die Feinstruktur des Wasserstoffatoms mit sehr hoher Auflösung, so
stellt man fest, dass die Feinstrukturkomponenten ihrerseits eine Substruktur besitzen.
Diese sehr kleine Aufspaltung, die man nur mit dopplerfreien spektroskopischen Methoden auflösen kann, nennt man die Hyperfeinstruktur der Spektrallinien.
Ursache der Hyperfeinstruktur ist die Tatsache, dass wir dem Kern ebenso wie dem
Elektron einen Eigendrehimpuls I zuordnen müssen, den sogenannten Kernspin. Analog
zur Spin-Bahn-Kopplung müssen wir deshalb die Wechselwirkung des Kernmoments mit
dem Magnetfeld, das durch den Gesamtdrehimpuls des Elektrons erzeugt wird, berechnen. Das magnetische Kernmoment ergibt sich zu
µI = gI
µK
·I
~
mit dem Kern-g-Faktor gI und mit dem Kernmagneton
µK =
e
~
2mp
Man sieht sofort
µK
me
1
=
=
µB
mp
1836
Da die Größe der Aufspaltung wesentlich vom Betrag des Kernmoments bestimmt wird,
ist die Aufspaltung aufgrund der Hyperfeinstruktur ungefähr um obigen Faktor kleiner
als aufgrund der Feinstruktur.
Die Energie im Magnetfeld B J des Elektrons beträgt
E = −µI · B j = −µI BJ cos (](J , I))
Für den Kosinus des Winkels zwischen J und I gilt
cos (](J , I)) =
J ·I
J ·I
Zur Auswertung des Skalarprodukts führen wir den Gesamtdrehimpuls F = J + I ein.
Die Hyperfeinenergie beträgt dann
∆EHFS =
A
[f (f + 1) − j(j + 1) − i(i + 1))]
2
8
mit der Hyperfeinkonstanten
gI µK Bj
A= p
j(j + 1)
Für das Proton gilt
1
i= ,
2
gI = 5.58
Der Gesamtdrehimpuls kann somit nur zwei Werte annehmen
f =j±
1
2
Jede Feinstrukturkomponente spaltet damit in zwei Hyperfeinstrukturkomponenten auf.
2.6 Vollständiges Termschema des Wasserstoffatoms
Abbildung 3: Vollständiges Termschema des Wasserstoffatoms mit allen bisher bekannten Wechselwirkungen. Die Fein- und Hyperfeinstruktur, sowie die LambVerschiebung sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht maßstabsgerecht gezeichnet [Gross, Vorlesung Experimentalphysik 4, 2003].
9
3 Verhalten im Magnetfeld
3.1 Normaler Zeeman-Effekt
Wir wollen nun den Einfluss eines äußeren Magnetfeldes auf die Niveaus des Wasserstoffatoms untersuchen. Der Spin des Elektrons soll zunächst noch vernachlässigt werden. In
einem äußeren Magnetfeld B ist die potentielle Energie eines magnetischen Dipols mit
dem magnetischen Moment µl gegeben durch
E = −µl · B
Im Falle des Elektrons mit Bahndrehimpuls L erhalten wir
E=
µB
L·B
~
Wir betrachten ein homogenes Magnetfeld in z-Richtung. In Richtung des Magnetfeldes
kann der Drehimpuls nur die diskreten Werte m~ annehmen
µB
m~B
~
= µB · m · B
E =
mit dem Bohrschen Magneton
µB = 9.274 · 10−24 JT−1
= 5.789 · 10−5 eVT−1
Der Abstand zweier benachbarter Linien ist
∆E = Em+1 − Em = µB · B(m + 1 − m) = µB · B ≈
≈ 5.8 · 10−5 eVT−1 · B
Die zu einer Quantenzahl l gehörenden entarteten Energieniveaus spalten in einem
äußeren Magnetfeld aufgrund des mit dem Bahndrehimpuls verknüpften magnetischen
Moments in 2l + 1 äquidistante Niveaus auf. Dieser Effekt heißt normaler ZeemannEffekt. Die Aufspaltung liegt in der Größenordnung von 10−5 eV.
Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass der Spin des Elektrons bisher vernachlässigt
wurde. Die obigen Betrachtungen gelten deshalb nur für Systeme mit S = 0.
10
3.2 Anormaler Zeeman-Effekt
Bei Berücksichtigung des Spins ist die Aufspaltung der Atomzustände in einem Magnetfeld im Allgemeinen komplizierter als dies in Abschnitt 3.1 durch den normalen
Zeeman-Effekt beschrieben wurde.
Das magnetische Moment setzt sich dann aus einem Bahn- und einem Spinmoment
zusammen.
µj = −
µB
(L + gs S)
~
Abbildung 4: Magnetisches Moment und Gesamtdrehimpuls sind für S 6= 0 nicht mehr
parallel.
Wie Abb. 4 zeigt, ist das magnetische Moment µj nicht antiparallel zum Drehimpuls J .
Der zeitliche Mittelwert des magnetischen Moments hµj i ist gleich der Projektion von
µj auf J .
J
=
|J |
µB L · J
S ·J
=−
+ gs
~
|J |
|J |
hµj i = µj ·
Mit J = L + S stellen wir die Skalarprodukte wieder als Summe von Betragsquadraten
dar
11
1 2
J + L2 + S 2
2
1
= ~2 [j(j + 1) + l(l + 1) − s(s + 1)]
2
L·J =
(2)
(3)
(4)
1 2
S ·J =
J − L2 + S 2
2
1
= ~2 [j(j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)]
2
(5)
(6)
(7)
mit gs ≈ 2 erhalten wir
3j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
p
· µB =
2 j(j + 1)
|J |
= −gj · µB
~
hµj i = −
(8)
(9)
Der Landé-Faktor gj ist definiert als
gj = 1 +
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2j(j + 1)
(10)
Die Zusatzenergie E in einem homogenen Magnetfeld, das in z-Richtung orientiert ist,
beträgt
E = −hµj iz B = mj · gj · µB
(11)
Damit erhalten wir die Aufspaltung zwischen zwei benachbarten Zeeman-Komponenten
zu
∆E = gj µB B
Die Aufspaltung ist für gegebenes j und l äquidistant. Im Gegensatz zum normalen
Zeeman-Effekt hängt hier die Größe der Aufspaltung von j und l ab, so dass im allgemeinenen mehr als drei Spektrallinien auftreten.
12
3.3 Paschen-Back-Effekt
Wir haben bisher den Fall betrachtet, dass das durch die Bahnbewegung des Elektrons erzeugte Magnetfeld viel größer ist als das externe Feld. In diesem Fall bleibt die Kopplung
von L und S zu J erhalten. Bei genügend starken Magnetfeldern ist die Wechselwirkung der beiden magnetischen Momente µl und µs mit dem Magnetfeld stärker als die
Spin-Bahn-Kopplung. S und L koppeln dann nicht mehr zum Gesamtdrehimpuls. Die
z-Komponenten orientieren sich unabhängig voneinander längs der Magnetfeldrichtung
gemäß den Quantisierungsregeln Lz = ml ~ und Sz = ms ~.
Die magnetische Zusatzenergie ist dann gegeben durch
µB
(L · B + gs S · B)
~
= µB (ml + gs ms )B
E=−
13