1 Energietransport in Elektromagnetischen Feldern

Übungen zu “Klassische Theoretische Physik
für Lehramtskandidaten”, WS 2013/2014
Dr. Kaustuv moni Basu∗
Dozent (Elektrodynamik):
Dipl.-Phys. Patrick Neunteufel∗
Übungsblätter:
∗
12. Übung
1
AIfA, Auf dem Hügel 71 D-53123 Bonn
16.1.2014
Energietransport in Elektromagnetischen Feldern
In dieser Aufgabe soll die Energietransportgleichung von elektromagnetischen Feldern (Auch:
Poynting Theorem) hergeleitet werden:
Z
I
1
dW
d
1 2
1
2
(E × B) dS ,
=−
0 E + B
dV −
dt
dt V 2
µ0
µ0 S
wobei S die Oberfläche des Volumens V ist.
Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
a) Zeigen Sie zunächst, dass die innere Energie einer (isolierten) Ladungsverteilung geschrieben
werden kann als
Z
0
We =
E 2 dV ,
2 Vtot
R
dabei ist Vtot der gesamte Raum. Nutzen Sie dazu W = 21 ρΦ dV (Dies folgt als Verallgemeinerung für kontinuierliche Ladungsverteilungen
aus der Arbeit, die an einer Sammlung
P
1
von Punktladungen verrichtet wird: W = 2 i qi Φ(ri )), drücken Sie die Ladungsdichte ρ
mittels des (elektromagnetischen) Gaußschen Gesetzes durch E aus und erinnern
Sie sich an
H
∇Φ = −E. (Hinweis: Schließt ein Volumen den gesamten Raum ein, dann S ΦE · dS → 0.)
b) Zeigen Sie nun, dass der Energieinhalt eines (isolierten) magnetischen Feldes geschrieben
werden kann als
Z
1
Wm =
B 2 dV .
2µ0 Vtot
Erinnern Sie sich dazu, dass die magnetische Energie einer geschlossenen Leiterschleife Wm =
1
LI 2 ist, wobei L die Induktivität und I die Stromstärke ist. Verallgemeinern Sie zunächst
2
auf Stromdichten J (statt I). Nutzen Sie dann das Ampéresche Gesetz um JHzugunsten
von B zu eliminieren und die Tatsache, dass der magnetische Fluss Ψ = LI = P A dl ist.
In der letzten Gleichung ist A (muss im Folgenden nicht explizit eliminiert werden) das
Vektorpotential des magnetischen Feldes und P der Umfang der Leiterschleife.
c) Zeigen Sie als nächstes, dass die Leistung eines elektromagnetischen Feldes, die auf Ladungen
innerhalb eines Volumens V ausgeübt wird, durch
Z
dW
=
(E · J) dV
dt
V
ausgedrückt werden kann. Nutzen Sie dazu, dass die verrichtete Arbeit einer elektromagnetischen Kraft über eine Strecke l als F dl = q(E + v × B) dt = qE · v dt ist.
d) Nutzen Sie nun die drei hergeleiteten Formeln sowie die Ampéreschen und Faradayschen
Gesetze um zu zeigen, dass
1
1 2
1∂
2
0 E + B − ∇ · (E × B) .
E·J=−
2 ∂t
µ0
µ0
Das Poynting Theorem ergibt sich dann durch entsprechendes Einsetzen und Anwendung
des Gaußschen Satzes.
e) Wie lässt sich das Poynting Theorem in Worte fassen? Argumentieren Sie anhand des
hergeleiteten Theorems, warum der sog. Poynting Vektor
S=
1
(E × B)
µ0
ein Energiefluss pro Fläche ist.
13 Punkte
2
Elektromagnetische Segel
Gegeben sei eine dünne Membran vernachlässigbarer Masse aus ideal absorbierendem Material
(keine Reflexion) der Größe A. Es soll die Kraft berechnet werden, die ein elektromagnetisches
Feld auf die Membran ausübt.
a) Zeigen Sie zunächst, dass der in Aufgabe 1 eingeführte Poynting Vektor in zeitlicher Mittelung für ebene Wellen (Erinnerung: D.h. E(t, r) = E0 cos(ωt − k · r) und B(t, r) =
B0 cos(ωt − k · r))
0 c 2
E
hSi =
2 0
ist. (Hinweis: Für Ebene Welle gilt B0 = Ec0 .)
b) Leiten Sie mittels der obigen Darstellung des zeitlich gemittelten Poynting Vektors einen
Ausdruck für die auf die Membran wirkende Kraft her.
c) Schlagen Sie in der Literatur den Wert der Strahlungsleistung der Sonne nach (geben Sie
den gefundenen Wert in Ihrer Antwort an) und berechnen Sie den numerischen Wert der
Kraft, wenn sich die Membran lotrecht zur eintreffenden Strahlung in einem Abstand von
1.5 AU (AU bezeichnet die Astronomische Einheit) von der Sonne befindet und eine Fläche
von 1 km2 hat.
d) Wie groß wäre die Elektrische Feldstärke des Strahlungsfeldes der Sonne in dem Abstand
in dem sich die Membran befindet?
7 Punkte
Abgabe:
28.1.2014
Website: http://www.astro.uni-bonn.de/tp-l/