Physikalische Größen und Einheiten

Anleitungen zum
Physikalischen Praktikum
für Anfänger (Hauptfach)
Teil 2
Themen:
Mechanik,
Elektrizitätslehre,
Physik mit dem Computer
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
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Physikalischen Praktikum für Anfänger - Teil 2
Einführung
Zum Studium der Physik gehö rt neben dem Besuch von Fachvorlesungen auch die Teilnahme an physikalischen Praktika. Diese sollen einerseits dazu dienen, den in den Vorlesungen erworbenen theoretischen
Stoff auch praktisch anzuwenden; darü ber hinaus wird in ihnen jedoch auch noch weiteres Fachwissen
vermittelt.
Das Physikalische Praktikum fü r Anfänger (Hauptfach) besteht gegenwärtig aus zwei Teilen, die im 3. und
4. Semester zu absolvieren sind. Der Teil 1 enth ält dabei die Themengebiete Optik, Wärmelehre und Atomphysik, während der Teil 2 die Themengebiete Mechanik, Elektrizit ätslehre und Physik mit dem Computer
umfasst.
In der vorliegenden Sammlung sind die Versuchsanleitungen zu Teil 2 mit den Themen Mechanik,
Elektrizitätslehre und Physik mit dem Computer zusammengefasst, wobei zu jedem Thema noch eine
spezielle Einfü hrung, eine Aufzählung der behandelten Versuche und eine Reihe von Literaturhinweisen
gegeben wird.
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach)
Grundlagen
Physikalische Größen und Einheiten
1 Physikalische Größen
Alle Gleichungen in den Versuchsanleitungen sind mathematische Verknüpfungen physikalischer
Größen (siehe auch DIN 1313). Jede physikalische Größe ist das Produkt eines Zahlenwertes mit einer
Einheit (z.B. Weg = 1 Meter oder elektrische Spannung = 1 Volt).
In physikalischen und technischen Abhandlungen werden die Bezeichnungen der verwendeten Größen
durch ein Symbol - das Formelzeichen - ersetzt. Viele dieser Formelzeichen (siehe auch Anhang 1) von
physikalisch-technischen Größen sind international standardisiert (DIN 1304, bzw. ISO 31). Zur
besseren Unterscheidung werden alle Formelzeichen, die für physikalische Größen stehen, in den
Versuchsanleitungen, wie auch in Büchern und Zeitschriften, kursiv gedruckt (DIN 1338).
Alle physikalischen Größen werden als Potenzprodukte der 7 Basisgrößen (Länge, Masse, Zeit,
elektrische Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke) dargestellt. Dieses Potenzprodukt
bezeichnet man als Dimension der jeweiligen Größe. Sie darf nicht mit der Einheit der Größe verwechselt werden und ist unabhängig vom Maßsystem.
Das Messen physikalisch-technischer Größen bedeutet einen Vergleich mit willkürlich, aber
zweckmäßig festgelegten Maßeinheiten. Diese bilden in ihrer Gesamtheit ein Maß- oder Einheitensystem. Im Laufe der Zeit wurden viele Maßsysteme entwickelt, die aber häufig nur für bestimmte
Teilbereiche der Physik oder Technik geeignet waren. Heute hat man sich weltweit auf die Verwen dung
des Internationalen Maßsystems (SI) geeinigt. Mit Einführung dieses Systems werden auf dem Gebiet
der Einheiten erstmals klare Verhältnisse geschaffen und deren Anzahl erheblich reduziert.
2 Gleichungen
Zur Verknüpfung physikalischer Größen sollten
grundsätzlich nur Größengleichungen verwendet
werden. In ihnen steht jedes Formelzeichen
(ausgenommen sind die mathematschen Symbole
B, e, ln, sin etc.) für eine physikalische Größe und
ist damit also das Produkt eines Zahlenwertes mit
einer Einheit. Solche Gleichungen sind deshalb
unabhängig von der verwendeten Einheit und
gelten prinzipiell.
I/mA
20
10
1
2
3
4 U/V
Abb. 1: Achsenbeschriftung in einem Diagramm
Bei Gleichungen, die Konstanten, Tabellenwerte
o.ä. enthalten, ist es in der Regel zweckmäßig bestimmte Einheiten einzusetzen. Diese Glei chungen
nennt man zugeschnittene Größengleichungen. Die zu verwendenden Einheiten werden durch einen
Bruchstrich vom Formelzeichen abgetrennt. So schreibt man z.B. die Gleichung

m
V
=
⋅ 3,
(1)
−3
kg
kg dm dm
da die Dichte in Tabellen üblicherweise in kg · dm -3 angegeben wird. Nach Einsetzen der Größen mit
Einheiten kürzen sich die Einheiten weg.
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Physikalische Größen und Einheiten
Auch die Beschriftung von Tabellenköpfen und Koordinatenachsen erfolgt im Sinne von
zugeschnittenen Größengleichungen. Der an den entsprechenden Stellen stehende Quotient aus
physikalischer Größe und Einheit ist der Zahlenwert der betreffenden Größe. In der Tabelle oder an der
Koordinatenachse dürfen demzufolge auch nur Zahlenwerte stehen (siehe Abb.1).
Hinweis: Die Angabe von Einheiten innerhalb eckiger Klammern ist grundsätzlich falsch und darf
nicht verwendet werden!
3 Das Internationale Einheitensystem (SI)
3.1 Basiseinheiten
Das Internationale Einheitensystem (SI - Système International d'Unités, ISO 1000, DIN 1301) ist das
für die Anwendung in allen Ländern empfohlene System von Einheiten für physikalische und
technische Größen. Das SI umfasst die Basiseinheiten und die aus ihnen kohärent abgeleiteten Einheiten sowie einige ergänzende Einheiten.
Die Basiseinheiten sind die Einheiten der bereits erwähnten 7 Basisgrößen (Tab.1).
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
elektr. Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Formelzeichen
l,s,r
m
t
I
T
n
I
Basiseinheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
Einheitenzeichen
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabelle 1: SI-Basiseinheiten
3.2 Kohärent abgeleitete Einheiten
Kohärent abgeleitete Einheiten werden als Potenzprodukte mit dem Zahlenfaktor 1 aus den Basiseinheiten gebildet. Die wichtigsten von ihnen haben eigene Namen (z.B. Watt, Joule, Lux, Newton
etc.). Jeder dieser Einheiten ist ein Einheitenzeichen zugeordnet (DIN 1301, siehe auch Anhang 1). Die
Kurzzeichen der von Personennamen abgeleiteten Einheitennamen werden immer groß, die anderen
klein geschrieben (z.B. W, J, N, aber lx etc.).
Ein allgemeines Zeichen für eine Einheit ist das in eckige Klammern gesetzte Symbol dieser Größe,
z.B. ist [l] = Längeneinheit (z.B. Meter), [U] = Einheit der elektr. Spannung (z.B. Volt).
Die meisten Einheiten des früheren „Technischen Maßsystems” sind inkohärent abgeleitet, also nur mit
Hilfe von Zahlenfaktoren auf die Basiseinheiten zurückzuführen und damit SI-fremd. Dazu gehört z.B.
das Kilopond: 1 kp = 9,81 kg · m · s-2.
Vorsatz
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Zeichen
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Bedeutung
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Vorsatz
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yokto
Tabelle 2: Einheitenvorsätze
Zeichen
d
c
m
:
n
p
f
a
z
y
Bedeutung
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
Physikalische Größen und Einheiten
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Für den praktischen Gebrauch sind die SI-Einheiten häufig zu groß oder zu klein. Es dürfen dann von
ihnen dezimale Vielfache oder Teile durch besondere Vorsätze (Tab. 2) gebildet werden, sofern dies
nicht im Einzelfall ausdrücklich ausgeschlossen ist (z.B. bei kg).
Da Einheiten mit Vorsatz inkohärent sind, gelten sie nicht als SI-Einheiten, sind aber gesetzliche und
damit gültige Einheiten.
3.3 Gesetzliche Einheiten
Folgende Einheiten wurden als gesetzlich festgelegt und dürfen deshalb in Wissenschaft und Technik
verwendet werden1:
1. die SI-Einheiten (Basiseinheiten nach Tab. 1 und abgeleitete Einheiten),
2. SI-Einheiten mit Vorsatz nach Tab. 2 für dezimale Vielfache und Teile,
3. SI-fremde Einheiten für bestimmte Anwendungen.
Zu den letzteren gehören z.B. Einheiten wie Bar, Minute, Stunde, sowie die in speziellen Bereichen
verwendeten Einheiten wie Seemeile, Lichtjahr, Hektar, etc. Die gesetzlich zulässigen Einheiten der
wichtigsten im Praktikum benutzten physikalischen Größen sind im Anhang 1 aufgeführt.
4 Zahlen
4.1 Schreibweise
Für die Zahlenangaben bei physikalischen oder technischen Meßgrößen gelten eine Reihe von Regeln
die in verschiedenen DIN-Normen festgelegt sind (DIN 1333 und DIN 5477).
Als Dezimalzeichen ist vorzugsweise das Komma zu verwenden (alternativ kann auch noch der Punkt
benutzt werden). Zur besseren Lesbarkeit von Zahlenangaben dürfen die Zahlen vom Dezimalzeichen
ausgehend in Gruppen von jeweils 3 Ziffern aufgeteilt werden. Die Trennung dieser Gruppen erfolgt
durch ein Leerzeichen. Punkt oder Komma sind hier nicht erlaubt.
Bei der Angabe von Messwerten sollte die Zahlenangabe durch Wahl eines passenden Vorsatzes vor die
Einheit (siehe Tab. 2) immer so erfolgen, dass sich ein Zahlenwert in dem Bereich 0,1 ... 1000 ergibt.
Wird die Schreibweise mit Zehnerpotenzen verwendet, ist ein durch 3 teilbarer Exponent zu
bevorzugen.
Bsp.:
m = 0,827 35 · 106 g oder m = 827,35 · 103 g
(nicht m = 8,273 5 · 105 g)
4.2 Runden
Beim Runden wird die letzte Stelle, die nach dem Runden bei der Zahl verbleibt, Rundestelle genannt.
Für das Runden gilt folgende Regel (DIN 1333):
-
Steht rechts neben der Rundestelle eine der Ziffern 0 bis 4, so wird abgerundet,
steht rechts neben der Rundestelle eine der Ziffern 5 bis 9, so wird aufgerundet.
Bsp.:
zu rundende Zahl:
Rundestelle:
Rundeverfahren:
gerundete Zahl:
8,579 413
8
Abrunden
8,579
8,579 613
8
Aufrunden
8,580
4.3 Messunsicherheiten
Messwerte sind grundsätzlich mit einer Unsicherheit behaftet. Diese Unsicherheit wird entweder
explizit angegeben (siehe dazu auch die Hinweise zur „Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung” in den
Praktikumsunterlagen) oder durch geeignetes Runden deutlich gemacht.
1
Gesetz über Einheiten im Messwesen vom 22. Februar 1985 (BGBl. I S. 408), letzte Änderung vom 10. März 2000 BGBl. I S. 214
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Physikalische Größen und Einheiten
Bei der Angabe von Messwerten mit Unsicherheiten gelten folgende Rundungsregeln:
Die Unsicherheit wird an der ersten von 0 verschiedenen Stelle gerundet, außer wenn diese ein 1
oder 2 ist. In diesem Fall ist an der Stelle rechts daneben zu runden.
Unsicherheiten werden immer aufgerundet.
Der Messwert wird an der gleichen Stelle gerundet wie die Unsicherheit.
Bsp.:
Ergebnis einer Messung mit Fehlerabschätzung:
Rundung der Unsicherheit an der 2. Stelle:
Rundung des Messwertes an der gleichen Stelle:
Endergebnis:
U = 5,384 12 V ± 0,046 9 V
)U = 0,05 V
U = 5,38 V
U = (5,38 ± 0,05) V
Soll die Unsicherheit nicht explizit angegeben werden, so ist an der Stelle zu runden, die um eins weiter
links steht als oben beschrieben, um Ziffern mit zweifelhafter Sicherheit an der letzten Stelle zu
vermeiden. Bei Rundungen links vom Dezimalzeichen ist mit einer entsprechenden Anzahl Nullen aufzufüllen.
Bei der Umrechnung von Größenwerten, die in veralteten Einheiten angegeben sind, verfährt man nach
den gleichen Regeln.
Bsp.:
Messwert:
Umrechnung:
Rundung:
P = (75,0 ± 0,5) PS
P = (55,1625 ± 0,3678) kW
P = (55,2 ± 0,4) kW
Der Zahlenwert von Größenverhältnissen (Quotienten aus Größen gleicher Dimension) darf durch
Abspalten eines Faktor 10-2 oder 10-3 umgeformt werden. Statt des Faktors 10 -2 schreibt man dann das
Zeichen % (Prozent), statt 10-3 das Zeichen ‰ (Promille). Unsicherheiten werden häufig unter Benutzung dieser Zeichen angegeben. Dabei muss immer eindeutig sein, auf welchen Wert sich diese Angabe
bezieht. Da Angaben in Prozent oder Promille immer dimensionslos sind, ist bei der Verwendung auf
die richtige Schreibweise zu achten.
Bsp.:
m = (8,580 ± 0,004) kg = 8,580 kg · (1 ± 0,05%)
Literatur:
Krötzsch:
Walcher:
Walther (Hrsg.):
German, Drath:
Physikalisches Praktikum, Kap. 1.1, 1.2, 1.5
Praktikum der Physik, Kap. 1.1 (Teubner, Stuttgart)
Technische Formeln für die Praxis (Fachbuchverlag Leipzig)
Handbuch SI-Einheiten (Vieweg, Braunschweig)
J. Rathlev – Juli 2012
Physikalische Größen und Einheiten
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Anhang 1: Übersicht über wichtige gesetzliche Einheiten
Mechanische Einheiten
Größe
Einheit
Zeichen
Arbeit, Energie
Beschleunigung
Formelzeichen
W
a
Joule = N · m = W · s = kg · m 2 · s-2
m · s-2
J
Dichte
D
kg · m-3
kg · dm-3 = g · cm -3 = 103 kg · m-3
Drehimpuls
L
N · m · s = kg · m 2 · s-1
Drehmoment, Kraftmoment
M
N · m = kg · m2 · s-2
Drehzahl
n
Druck, mech. Spannung
Elastizitätsmodul
Fläche
p
E
A
Frequenz
Geschwindigkeit
f
v
s-1
min-1
Pascal = N · m-2
Pascal = N · m-2
m2
Ar = 100 m2
Hektar = 100 a = 104 m2
Hertz = s-1
m · s-1
Impuls
p
N · s = kg · m · s-1
Kompressionsmodul
Kraft
Kreisfrequenz
K
F
T
Länge
Leistung, Energiestrom
Masse
l,s,r
P
m
Raumwinkel
Schubmodul, Torsionsmodul
Trägheitsmoment
S
G
J
Viskosität (dynamisch)
0
Volumen
V
Winkel (eben)
",$,(,..
Winkelgeschwindigkeit
T
Zeit
t
Vorsatz
ja
a
ha
Hz
nein
nein
ja
ja
ja
nein
nein
ja
Pascal = N · m-2
Newton = kg · m · s-2
s-1
Pa
N
ja
ja
Meter (Basiseinheit)
Watt = kg · m2 · s-3
Kilogramm (Basiseinheit)
Gramm = 10-3 kg
Tonne = 103 kg
Steradiant = m2 · m-2 = 1
Pascal = N · m-2
kg · m2
m
W
kg
g
t
sr
Pa
ja
ja
nein
ja
ja
ja
ja
(P)
ja
ja
ja
ja
nein
ja
Pa · s = kg · (m · s)-1
(Poise = 0,1 Pa · s)
m3
Liter = dm3 = 10-3 m3
Radiant = m · m-1 = 1
Grad = 1,745329 · 10-2 rad
rad · s-1 = s-1
Sekunde (Basiseinheit)
Minute = 60 s
Stunde = 60 min = 3600 s
Tag = 24 h = 1440 min = 86400 s
Pa
Pa
l
rad
°
s
min
h
d
ja
-
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Physikalische Größen und Einheiten
Elektrische Einheiten
Größe
Formelzeichen
Einheit
Zeichen
Vorsatz
Dielektrizitätskonstante
,
F · m-1 = s4 · A2 · kg-1 · m-3
Feldstärke
E
V · m-1 = kg · m · s-3 · A-1
Kapazität
C
Farad = C · V-1 = s4 · A2 · kg-1 · m-2
F
ja
Ladung
Q
Coulomb = A · s
C
ja
Leitwert
G
Siemens = S-1 = s3 · A2 · kg-1 · m-2
S
ja
Spannung, Potentialdifferenz
U
Volt = W · A-1 = kg · m2 · s-3 · A-1
V
ja
spezifischer Widerstand
D
S · m = kg · m · s · A
Stromdichte
J
A · m-2
Stromstärke
I
Ampere (Basiseinheit)
A
ja
Verschiebungsdichte
D
C · m-2 = A · s · m-2
Widerstand
R
Ohm = V · A-1 = kg · m2 · s-3 · A-2
S
ja
Einheit
Zeichen
Vorsatz
Feldstärke
Formelzeichen
H
(Oe)
Fluss
M
B
Wb
(M)
T
(G)
ja
Induktion, Flussdichte
A · m-1
(Oersted = 79,577 A · m -1)
Weber = V · s = kg · m2 · s-2 · A-1
(Maxwell =10-8 Wb)
Tesla = Wb · m-2 = kg · s-2 · A-1
(Gauß = 10-4 T)
Induktivität
L
Henry = Wb · A-1 = kg · m2 · s-2 · A-2
H
ja
Permeabilität
:
H · m = kg · m · s · A
Formelzeichen
t
T
Einheit
Zeichen
Grad Celsius (t = T - 273,15 K)
°C
K
Vorsatz
nein
ja
K
ja
J
ja
3
-3
-2
Magnetische Einheiten
Größe
-1
-2
ja
-2
Einheiten aus der Wärmelehre
Größe
Celsius-Temperatur
Temperatur
Temperaturdifferenz
Wärmekapazität
Wärmekapazität (spez.)
Wärmeleitfähigkeit
)T
C
c
8
Wärmemenge
Q
Kelvin (Basiseinheit)
Kelvin
J · K-1 = W · s · K-1 = kg · m2 · s-2 · K-1
J · (kg · K)-1 = m2 · s-2 · K-1
W · (m · K)-1 = kg · m · s-3 · K-1
Joule = W · s = N · m = kg · m 2 · s-2 · K-1
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Einheiten aus der Optik
Größe
Formelzeichen
Einheit
Zeichen
Vorsatz
Beleuchtungsstärke
Leuchtdichte
E
Lux = lm m-2 = cd sr m-2
cd m-2
(Stilb = cd cm -2 = 104 cd m-2)
Candela (Basiseinheit)
Lumen = cd sr
lx
ja
(sb)
cd
lm
ja
ja
ja
Einheit
Zeichen
Aktivität
Formelzeichen
A
Becquerel = s-1
(Curie = 3,7 @ 1010 Bq)
Bq
(Ci)
Vorsatz
ja
ja
Äquivalentdosis
Dq
Sievert = J kg-1
(Rem = 10-2 Sv)
Sv
(rem)
ja
ja
Energiedosis
D
Gray = J kg-1 = m2 s-2
(Rad = 10-2 Gy)
Gy
(rd)
ja
ja
Ionendosis
X
C kg-1 = A s kg-1
(Röntgen = 2,56@ 10-4 C kg-1)
(R)
ja
Einheit
Zeichen
Vorsatz
Molare Masse
Formelzeichen
M
Molares Volumen
Vm
m3 mol-1
Molare Wärmekapazität
Cm
J mol-1 K-1 = kg m 2 s-2 mol-1 K-1
Stoffmenge
n
Mol (Basiseinheit)
Mol
ja
Lichtstärke
Lichtstrom
L
I
M
Einheiten aus der Atomphysik
Größe
Einheiten aus der Chemie
Größe
kg mol-1
Die in Klammern gesetzten Einheiten sind nicht mehr zulässige Einheiten und dürfen deshalb auch nicht
mehr verwendet werden. In der letzten Spalte ist unter Vorsatz vermerkt, ob mit der jeweiligen Einheit ein
Vorsatz nach Tab. 2 benutzt werden darf (ja) oder nicht (nein).
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Physikalische Größen und Einheiten
Anhang 2: Umrechnungen von Einheiten
In den nachfolgenden Tabellen (gesetzliche Einheiten sind fett hervorgehoben) sind die wichtigsten
Umrechnungsfaktoren zwischen den SI-Einheiten und anderen älteren, aber häufig in Tabellen werken
noch verwendeten Einheiten aufgeführt. Nach Möglichkeit sollten diese Einheiten heute nicht mehr
verwendet werden. Bei der Rechnung mit Größen in diesen Einheiten sollte man sich immer an den
Grundsatz halten, in allen Gleichungen die Einheiten der Größen mitzuschreiben. So können auch bei
Verwendung veralteter Einheiten keine Fehler entstehen.
Kraft
N
1
9,81
9,81 · 103
9,81 · 10-3
10-5
kp
0,102
1
103
10-3
1,02 · 10-6
Mp
1,02 · 10-4
10-3
1
10-6
1,02 · 10-9
p
102
103
106
1
1,02 · 10-3
dyn
105
9,81 · 105
9,91 · 108
981
1
Arbeit, Energie
kp · m
0,102
1
3,67 · 105
427
1,02 · 10-8
1,63 · 10-20
kWh
2,78 · 10-7
2,72 · 10-6
1
1,16 · 10-3
2,78 · 10-14
4,45 · 10-26
kcal
2,39 · 10-4
2,34 · 10-3
860
1
2,39 · 10-11
3,83 · 10-23
erg
107
9,81 · 107
3,6 · 1013
4,19 · 1010
1
1,6 · 10-12
eV
6,24 · 1018
6,12 · 1019
2,25 · 1025
2,61 · 1022
6,24 · 1011
1
kW
10-3
1
9,81 · 10-3
0,7355
4,19 · 10-3
1,16 · 10-3
kp · m · s-1
0,102
102
1
75
0,427
0,119
PS
1,36 · 10-3
1,36
1,33 · 10-2
1
5,69 · 10-3
1,58 · 10-3
cal · s-1
0,239
239
2,34
175,7
1
0,278
kcal · h-1
0,86
860
8,43
632
3,6
1
Pa = N · m-2
at = kp· cm-2
atm
bar
Torr
1
9,81 · 104
1,013 · 105
105
133
9,81
1,02 · 10-5
1
1,033
1,02
1,36 · 10-3
10-4
9,87 · 10-6
0,968
1
0,987
1,32 · 10-3
9,68 · 105
10-5
0,981
1,013
1
1,33 · 10-3
9,81 · 10-5
7,5 · 10-3
736
760
750
1
7,36 · 10-2
mm WS =
kp · m-2
0,102
104
1,033 · 104
1,02 · 104
13,6
1
J
1
9,81
3,6 · 106
4187
10-7
1,6 · 10-19
Leistung
W
1
103
9,81
735,5
4,187
1,16
Druck
Physikalische Größen und Einheiten
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Anhang 3: wichtige physikalische Konstanten
Lichtgeschwindigkeit (Vakuum)
c0
= 299 792,458 · 103 m · s-1 (exakt)
elektrische Feldkonstante (= (μ0·c2)-1)
,0
= 8,854 187 817 62.. · 10-12 F · m-1 (exakt)
magnetische Feldkonstante (= 4π·10-7 H · m-1)
:0
= 1,256 637 061 44.. · 10-6 H · m-1 (exakt)
Normalfallbeschleunigung
gn
= 9,806 65 m · s-2 (exakt)
Gravitationskonstante
(
= 6,673 84 (80) · 10-11 N · m2 · kg-2
Gaskonstante, molare
R
= 8,314 4621 (75) J · mol-1 · K-1
Avogadro-Konstante
NA
= 6,022 141 29 (27) · 1023 mol-1
Loschmidt-Konstante (0°C, 101,325 kPa)
NL
= 2,686 7805 (24) · 1025 m-3
Boltzmann-Konstante
kb
= 1,380 6488 (13) · 10-23 J · K-1
Stephan-Boltzmann-Konstante
F
= 5,670 373 (21) · 10-8 W · m-2 · K-4
Normvolumen, molares (0°C, 101,325 kPa)
Vmn
= 22,413 968 (20) · 10-3 m3 · mol-1
magnetisches Flussquant
Φ0
= 2,067 833 758 (46) · 10–15 Wb
Josephson-Konstante
K1
= 483 597,870 (11) · 109 Hz · V–1
Faraday-Konstante
F
= 96 485,3365 (21) C · mol-1
von-Klitzing-Konstante
RK
= 25 812,807 4434 (84) Ω
Planck-Konstante
h
= 6,626 069 57 (29) · 10-34 J · s
Rydberg-Konstante
R∞
= 1,097 373 156 8539 (55) · 107 m-1
Feinstruktur-Konstante (inverse)
α-1
= 137,035 999 074 (44)
Compton-Wellenlänge
λC
= 2,426 310 2389 (16) · 10-12 m
elektrische Elementarladung
e
= 1,602 176 565 (35) · 10-19 C
Elektronruhemasse
me
= 9,109 382 91 (40) · 10-31 kg
Elektronenradius
re
= 2,817 940 3267 (27) · 10-15 m
Atomare Masseneinheit
u
= 1,660 538 921 (73) · 10-27 kg
Protonenruhemasse
mp
= 1,672 621 777 (74) · 10-27 kg
Neutronenruhemasse
mn
= 1,674 927 351 (74) · 10-27 kg
Spez. Elektronenladung
e0 · me-1
= -1,758 820 088 (39) · 1011 C · kg-1
Die Zahlenwerte dieser Übersicht entstammen der NIST Reference of Constants, Units and Uncertainty
(http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html) und stellen die aktuellsten Werte (2010 CODATA) dar.
Die Ziffern in Klammern hinter einem Zahlenwert bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen
des Wertes. Die Unsicherheit ist als einfache Standardabweichung gegeben (Beispiel: Die Angabe
6,672 59 (85) ist gleichbedeutend mit 6,672 59 ± 0,000 85).
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach)
Grundlagen
Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung
1 Fehlerabschätzung
1.1 Allgemeines
Jeder physikalische Messwert ist mit einem Messfehler behaftet. Nach DIN wird dieser auch Abweichung
genannt. Man unterscheidet nach systematischen und zufälligen Messfehlern. Nur die zufälligen Fehler
können durch mehrfaches Messen desselben Messwertes einer statistischen Behandlung unterzogen werden
(siehe Kap. 2).
Systematische Fehler haben zahlreiche Ursachen:
• fehlerbehaftete Messinstrumente
• fehlerbehaftete Bauteile und Bauteiletoleranzen
• ungünstige Messaufbauten
• Unterschiede zwischen idealen und realen Bauelementen und Messgeräten.
Grundsätzlich sollte jeder Versuchsaufbau dahingehend überprüft werden, ob es Alternativaufbauten gibt,
mit denen bestimmte systematische Fehler vermieden oder zumindest kleiner gehalten werden können.
Leider kommt es dabei immer wieder vor, dass auch von erfahrenen Experimentatoren nicht alle Ursachen
für systematische Fehler erkannt werden, so dass die Versuchsergebnisse mit größeren Fehlern als
angenommen behaftet sind.
Einige Fehler, wie z.B. der Messfehler bei Strom- und Spannungsmessung, hervorgerufen durch die
endlichen Innenwiderstände der Messgeräte, können auch rechnerisch korrigiert werden.
Grundsätzlich nicht korrigierbar oder zu umgehen sind die Fehler, die durch die Herstellertoleranzen der
verwendeten Messgeräte oder Bauteile hervorgerufen werden. Genauere Messungen wären nur durch eine
höherwertige Geräteausstattung zu erreichen.
Bei der Durchführung von physikalischen Messungen ist es deshalb immer erforderlich, die möglichen
Ursachen für Abweichungen vom tatsächlichen Messwert zu erkennen und ihre Größen quantitativ
abzuschätzen. Alle Messwerte und daraus abgeleitete Größen sind mit entsprechenden Fehlerangaben (nach
DIN Unsicherheiten genannt) zu versehen. Wenn wie in den meisten Praktikumsversuchen ein Messwert x
nur einmal bestimmt wird, genügt es, die Summe aller möglichen Abweichungen (z.B Messgeräte- und
Bauteiletoleranzen, Ablesefehler) zu bilden. Sie bildet dann eine obere Grenze für die Unsicherheit ∆x des
Messwerts:
Ergebnis : x ±  x .
(1)
Häufig wird anstelle von ∆x der relative Fehler r (meist in Prozent) angegeben:
r =
x
.
x
(2)
Dabei muss immer klargestellt sein, auf welchen Grundwert sich diese relative Angabe bezieht. Da relative
Angaben naturgemäß dimensionslos sind, ist bei der Angabe des Messwertes mit relativem Fehler folgende
Schreibweise anzuwenden:
Ergebnis : x⋅1±r % .
(3)
Bei der Notierung der Zahlenwerte von Messergebnissen ist außerdem immer darauf zu achten, dass dem
Fehler entsprechend gerundet wird (siehe dazu die Hinweise „Physikalische Größen und Einheiten” in den
Praktikumsunterlagen).
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung
Bei der Berechnung der Fehler von Messwerten, die mit Zeigermessinstrumenten oder Digitalmultimetern
bestimmt wurden, ist zu beachten, dass sich die prozentuale Fehlerangabe hier immer auf den Vollausschlag
des gerade gewählten Bereichs bezieht. Bei einer Fehlerangabe von 1% und einem Messbereich von 10 V ist
der Absolutfehler also unabhängig von der Ablesung immer 0,1 V. Beträgt der Messwert 5 V, so ist der
relative Fehler des Messwertes bereits 2%. Man sollte es also bei Messgeräten mit umschaltbaren Bereichen
vermeiden, im unteren Teil der Skala abzulesen, da die relativen Fehler hier sehr groß werden (im o.a.
Beispiel sind es bei 1 V bereits 10%).
1.2 Fehlerfortpflanzung
Muss eine abgeleitete Größe aus mehreren Messgrößen berechnet werden, so ist natürlich auch für sie eine
Messunsicherheit anzugeben. Wenn die zu berechnende Größe
z = f  x 1 , , x n 
(4)
ist und die ∆xi die maximalen Fehler (Messunsicherheiten) der einzelnen Messgrößen sind, ergibt sich für
den Gesamtfehler ∆z im ungünstigsten Fall
z =
∣ ∣
∣ ∣
∂f
∂f
 x1   
 xn .
∂ x1
∂ xn
(5)
Die partiellen Ableitungen stellen also Gewichtsfaktoren für die Fortpflanzung der einzelnen Fehler dar.
Aus diesem Grund sollte man sich diese Faktoren grundsätzlich immer bereits vor der Messung berechnen.
Nur so kann man erkennen, welche Messgrößen sich mit ihren Fehlern besonders stark auf das Endergebnis
auswirken. Diese müssen dann nach Möglichkeit besonders genau ermittelt werden.
Bei Potenzprodukten
n
z =
∏ Ai x ai
(6)
i
i=1
gestaltet sich die Fehlerfortpflanzung besonders einfach, wenn mit den relativen Fehlern gerechnet wird. Es
wird dann
z
r =
=
z
n
x
∑∣ a i∣ x i =
i =1
i
n
∑∣ ai∣ r i .
(7)
i=1
Sind die ai = 1 oder -1 (gewöhnliche Produkte und Quotienten), ist der gesamte relative Fehler also einfach
die Summe der relativen Fehler der Einzelmessungen.
1.3 grafische Darstellungen
y
∆ xi
Bei grafischen Darstellungen von Messwerten sind in der
Regel die Messwerte auf beiden Koordinatenachsen mit
Fehlern behaftet. Für jeden Messpunkt i muss die yi
abgeschätzte obere Fehlergrenze sowohl für xi als auch für
yi bestimmt werden. Die so ermittelten Fehler ∆xi und ∆yi
werden in Form eines Fehlerbalkens an dem Messpunkt
(xi , yi) eingetragen (Abb. 1).
∆ yi
x
xi
Abb. 1: Fehlerbalken
Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung
Seite 3
2 Fehlerrechnung
2.1 Allgemeines
Um zufällige Fehler (z.B. Schwankungen des Messwertes durch äußere Störeinflüsse) zu reduzieren, wird
die Messung eines Wertes mehrfach wiederholt. Auf die so gewonnenen Messreihen werden dann die
Methoden der Fehlerrechnung angewendet. Sie basieren in der Regel auf dem Gaußschen Prinzip der
kleinsten Fehlerquadrate. Hier sollen nur die beiden wichtigsten Methoden kurz erläutert werden.
Weiterführendes findet man in der angegeben Literatur.
Hinweis: Die Fehlerrechnung darf nicht auf systematische Fehler angewendet werden.
2.2 Mittelwert
Die einfachste Methode der Fehlerrechnung ist die Bildung des arithmetischen Mittelwertes aus den n
Werten einer solchen Messreihe:
x =
n
1
n
∑ xi .
(8)
i=1
Ein Maß für die zufälligen Abweichungen der Einzelmesswerte vom wahren Messwert ist die mittlere
quadratische Abweichung oder Standardabweichung der Einzelmessung:
 =

n
1
 x i − x 2 .
∑
n−1 i =1
(9)
Für den Mittelwert ergibt sich daraus ein mittlerer quadratischer Fehler (Standardabweichung) von:
M =

.
n
(10)
Das Endergebnis ist dann wie folgt anzugeben:
Endergebnis : x± M .
(11)
Bei genügend großem n (>5) besagt die Vertrauensgrenze ±σM, dass mit einer Sicherheit von ca. 68% der
wahre Messwert in dem angegebenen Intervall liegt. Wird z.B. eine Sicherheit von 95% gefordert ist das
Intervall auf ±2σM zu vergrößern, bei 99% sind es etwa ±3 σM.
2.3 Lineare Regression
Häufig soll der Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen ausgemessen werden. Um die
zufälligen Fehler zu reduzieren, nimmt man eine Messreihe mit n Messwertepaaren auf. Besonders leicht
wird die Behandlung der zufälligen Fehler, wenn dieser Zusammenhang linear ist (z.B. Spannung und Strom
an einem ohmschen Widerstand).
y = b⋅x  a .
(12)
Die Koeffizienten a und b werden nach dem Verfahren der linearen Regression bestimmt. Für die
rechnerische Behandlung haben viele Taschenrechner bereits ein eingebautes Programm, das sich
problemlos nutzen lässt. Die Berechnung erfolgt nach folgenden Formeln:
b =
∑ ( x i−x )( y i− y)
∑ ( xi −x)2
und a = y−b⋅x .
(13)
Seite 4
Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung
Die jeweiligen Fehler berechnen sich zu:
Δb =
√
n ∑ ( yi −a−mxi) 2
2
( n−2)(n ∑ x 2i −(∑ x i ) )
und Δ a =
√
∑ x 2i ∑ ( y i−a−mxi )2
2
(n−2)(n ∑ x2i −( ∑ xi ) )
(14)
Dabei sind xi und yi die Messwertepaare und x und y die Mittelwerte der beiden Messwertereihen. Alle
Summationen sind für i = 1,..., n durchzuführen.
Häufig wird der empirische Korrelationskoeffizient rxy angegeben. Je näher er bei 1 liegt, um so besser wird
die Abhängigkeit nach (12) erfüllt:
r xy =
∑  x i−x  y i− y  .
 ∑  xi −x 2  yi − y 2
(15)
2.4 Grafische lineare Regression
Meist empfiehlt es sich wegen der größeren Anschaulichkeit, zusätzlich zur Rechnung auch eine grafische
Darstellung anzufertigen und die lineare Regression daran vorzunehmen. Dazu wird einfach zwischen den
grafisch aufgetragenen Messpunkten mit dem Lineal eine nach Augenmaß geschätzte Ausgleichsgerade hin durch gelegt. Das Verfahren reicht für die im Praktikum erzielbaren Genauigkeiten durchaus aus und hat
gegenüber der rechnerischen Behandlung folgende Vorteile:
•
Bestimmte Punkte können bei der grafischen Regression sehr einfach stärker gewichtet werden. Dies gilt
z.B. für den Nullpunkt, wenn ein Widerstand aus Strom- und Spannungsmessungen nach dem Ohmschen
Gesetz über die Steigung der Ausgleichsgeraden bestimmt werden soll.
•
Abweichungen vom theoretisch zu erwartenden linearen Zusammenhang können leicht erkannt werden.
Die Regression beschränkt man dann auf die Bereiche, die im Rahmen der Messgenauigkeit noch als
linear anzusehen sind (z.B. bei der Ausmessung des Scheinwiderstandes einer realen Spule mit
Eisenkern). Eine rein rechnerische Regression kann hierüber keine Aussage machen. Das Ergebnis würde
unter Umständen völlig verfälscht.
Literatur:
Krötzsch:
Walcher:
Frohne, Ueckert:
Kreyszig:
Bronstein:
Physikalisches Praktikum, Kap. 1.3, 1.4
Praktikum der Physik, Kap. 1.2
Grundlagen der elektrischen Messtechnik
Statistische Methoden und ihre Anwendungen
Taschenbuch der Mathematik
8.2013/VdM
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach)
Grundlagen
Einführung in die komplexe Berechnung von Netzwerken
Unter einem elektrischen Netzwerk versteht man eine Schaltung aus beliebigen elektrischen Bauelementen. Die theoretische Berechnung ist dabei ganz wesentlich von den Eigenschaften dieser Komponenten
abhängig. Man teilt sie üblicherweise in vier Gruppen ein (siehe Tab. 1). Als aktive Bauelemente bezeichnet man diejenigen, die elektrische Energie abgeben können (z.B. Batterien). Alle anderen bezeichnet man
als passive Bauelemente. Die Unterscheidung nach linear und nichtlinear ergibt sich aus der funktionalen
Abhängigkeit zwischen Strom und
Spannung an diesem Bauelement. Dielinear
nichtlinear
ser Zusammenhang wird auch häufig
passiv
R, C, L
z.B. Dioden
als Kennlinie bezeichnet.
aktiv
Strom - und Spanz.B. Röhren und
Wir wollen uns hier auf die Gruppe der
nungsquellen
Transistoren
passiven linearen Bauelemente
beschränken. Zu ihr gehören WiderTab. 1: elektrische Bauelem ente
stand R, Kondensator C und Spule L.
Für daraus aufgebaute Netzwerke ist eine theoretische Berechnung mit relativen einfachen Mitteln
möglich. Außerdem setzen wir voraus, dass es sich immer um ideale Bauelemente handelt. Auf den
Unterschied zu realen Bauelementen und die Darstellung dieser durch Ersatzschaltbilder wird in den
Versuchen näher eingegangen.
1 Gleichstromschaltungen
Bei Gleichstrom ist nur die Verwendung von ohmschen Widerständen sinnvoll.
Kondensatoren stellen eine Unterbrechung, Spulen einen Kurzschluss dar. Der
Zusammenhang zwischen Strom I und Spannung U beim Widerstand R wird
durch das Ohmsche Gesetz beschrieben:
(1)
Die Kennlinie des Widerstands ist eine Gerade mit der Steigung R (siehe Abb. 1).
Schaltet man Widerstände zu einem Netzwerk zusammen, so gelten für die Spannungen und Ströme innerhalb des Netzwerks die Kirchhoffschen Gesetze. In Abb.
2 ist ein Ausschnitt aus einem Netzwerk dargestellt. Der Punkt, an dem mehrere
Zweige des Netzwerks zusammentreffen, wird Knoten genannt.
Abb. 1: Kennlinie eines W iderstands
Das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotenregel) beschreibt den Zusammenhang der Ströme an einem
Knoten. Wenn man in den Knoten hineinfließende Ströme mit einem anderen Vorzeichen versieht als die
herausfließenden, so muss die Summe aller Ströme an diesem Knoten Null ergeben:
(2)
Das zweite Kirchhoffsche Gesetz (Maschenregel) beschreibt den Zusammenhang der Spannungen
innerhalb einer Masche. Darunter versteht man einen beliebigen geschlossenen Weg durch das Netzwerk.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
Elektrische Netzwerke
Anfangs- und Endpunkt dieses Weges ist einer der Knoten. Da Spannungen Potentialdifferenzen sind,
muss ihre Summe in der Masche Null ergeben:
(3)
Schreibt man nun für ein gegebenes Netzwerk mit n
Widerständen alle Knoten- und Maschengleichungen nach
(2) und (3) auf und stellt außerdem die Zusammenhänge
zwischen den Spannungen und Strömen für die einzelnen
Zweige über das Ohmsche Gesetz (1) her, so erhält man ein
lineares Gleichungssystem. Die Spannungen und Ströme
bilden die Unbekannten dieses Gleichungssystems. Die
Anzahl der benötigten Knoten- und Maschengleichungen
ergibt sich aus der Bedingung, dass man immer genau so
viele Gleichungen wie Unbekannte zur Lösung benötigt.
Bei n Widerständen müssen sich also 2n Gleichungen erAbb. 2: Ausschnitt aus einem
geben. Die Hälfte davon ergibt sich aus der Anwendung des
W iderstandsnetzwerk
Ohmschen Gesetzes auf die Widerstände, die andere Hälfte
aus den Knoten und Maschen. Dabei ist es wichtig, darauf
zu achten, dass nur verschiedene Knoten und Maschen notiert werden, da sonst das Gleichungssystem
wegen einer verschwindenden Determinante nicht lösbar ist.
Generell kann man also festhalten, dass ein lineares Netzwerk durch ein immer lösbares lineares Gleichungssystem beschrieben wird.
Da die Beachtung der Zählrichtungen der Spannungen und Ströme bei der Aufstellung der benötigten Gleichungen sehr wichtig ist, sollte man nach folgenden Schema verfahren (siehe auch Abb. 2):
1. Alle Widerstände werden mit einer willkürlichen Nummerierung versehen (1,..,n).
2. Für jeden Widerstand wird das Ohmsche Gesetz notiert (n Gleichungen).
Beispiel:
(4)
3. Für jeden Zweig wird eine willkürliche Festlegung der Stromrichtung durch einen Pfeil vorgenommen.
4. An jeden Zweig wird ein Spannungspfeil in der gleichen Richtung wie der zuvor eingetragene Strompfeil eingezeichnet.
5. Für jeden Knoten bis auf einen (dieser ist durch die anderen mitbestimmt) wird die Knotengleichung
aufgestellt. Dabei werden in den Knoten fließende Ströme mit einem positiven Vorzeichen, herausfließende Ströme mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Beispiel: (siehe Knoten K1 in Abb. 2)
(5)
6. Zum Aufstellen der Maschengleichungen gibt man sich zunächst für jede Masche einen willkürlich
gewählten Umlaufsinn vor. Alle Spannungen, deren Richtungspfeile in Richtung des Umlaufsinns
weisen, erhalten ein positives Vorzeichen, die anderen ein negatives.
(6)
Beispiel: (siehe Masche M1 in Abb. 2):
7. Das Gleichungssystem wird gelöst.
Elektrische Netzwerke
Seite 3
2 Wechselstromschaltungen
Bei Wechselströmen können auch Kondensatoren und Spulen in die Schaltung eingesetzt werden. Der
Zusammenhang zwischen Strom und Spannung wird hier durch lineare Differentialgleichungen beschrieben:
(7)
Die Kapazität des Kondensators C und die Induktivität der Spule L sind Konstante.
Zur Beschreibung eines Wechselstromnetzwerks müssen also neben den Kirchhoffschen Gesetzen (2) und
(3), sowie dem Ohmschen Gesetzes (1) für Widerstände noch die Gleichungen (7) für Kondensatoren und
Spulen berücksichtigt werden. Insgesamt ergibt sich daraus ein lineares Differentialgleichungssystem.
Eine einfache Lösung wie bei der Gleichstromschaltung ist hier also nicht mehr möglich.
Es lassen sich aber grundsätzliche Aussagen über die Form der Lösungsfunktionen
machen. Wir wollen dies am Beispiel eines Zweipols erläutern. Einen Zweipol erhält
man, wenn man irgendeinen Zweig eines Netzwerks auftrennt und die beiden Trennstellen als Anschlüsse betrachtet (siehe Abb. 3). Legt man jetzt an diese beiden
Anschlüsse eine Wechselspannung U(t) an, so wird ein Wechselstrom I(t) fließen,
der durch folgende lineare Differentialgleichung beschrieben werden kann:
(8)
Abb. 3: elektrischer Zweipol
Die konstanten Koeffizienten a i und b i berechnen sich aus den Bauelementen des Zweipols. Die Lösung
(9)
einer solchen inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Der Lösungsanteil Ihom der homogenen Differentialgleichung beschreibt dabei das Einschwingverhalten. Dazu gehören
z.B. die Ein- und Ausschaltvorgänge. Wegen der im Netzwerk immer vorhanden Ohmschen Widerstände
klingt dieser Lösungsanteil mehr oder weniger schnell mit der Zeit ab. Es bleibt dann nur noch der Anteil
Isp übrig, der das stationäre Verhalten beschreibt. Dieser Anteil hängt natürlich ganz wesentlich von der
anregenden Zeitfunktion U(t) ab.
Wir wollen uns im folgenden auf die Beschreibung des stationären Verhaltens beschränken, da das
Einschwingen meist sehr schnell abgeklungen ist. Näher wird auf solche Einschwingvorgänge (z.B. Aufund Entladen eines Kondensators) in dem Versuch 3.2 (RC-Kombination und Schwingkreis) eingegangen.
3 Sinusförmige Wechselspannungen
In der Praxis der Messtechnik haben die sinusförmigen Signale eine große Bedeutung. Wir wollen uns
deshalb zunächst ausschließlich darauf beschränken. Wenn man an einen Kondensator eine sinusförmige
(10)
Spannung anlegt, so berechnet sich der Strom nach (7) zu:
(11)
Man sieht, dass sich an der zeitlichen Form nichts ändert, d.h. sinusförmige Signale bleiben in linearen
Seite 4
Elektrische Netzwerke
Netzwerken immer sinusförmig. Es ändern sich nur Amplitude und Phase:
(12)
Für
den
Kondensator ergibt sich daraus ein frequenzabhängiger Wechselstromwiderstand
und eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom von -90°.
Zur Beschreibung der sinusförmigen Signale in linearen Netzwerken würden also Größen genügen, die
ausschließlich die Informationen über Amplitude und Phase enthalten. Die zeitliche Abhängigkeit ändert
sich nicht. Diese Erkenntnis führt uns zur Definition von komplexen Größen zur Beschreibung der
Spannungen und Ströme.
4 Definition von komplexen Spannungen und Strömen
Eine komplexe Zahl (im folgenden durch einen Unterstrich gekennzeichnet)
wird durch Angabe von Real- und Imaginärteil beschrieben:
(14)
Die imaginäre Einheit
wird in der Elektrotechnik üblicherweise mit j
bezeichnet, um eine Verwechslung mit dem Symbol I für den Strom zu vermeiden. Eine sehr anschauliche Darstellung einer komplexen Zahl erhält man
durch Eintragen als Punkt mit den Koordinaten (a,b) in die komplexe Ebene
(siehe auch Abb. 4). Verbindet man diesen Punkt mit dem Nullpunkt, so ergibt
sich ein die komplexe Zahl z beschreibender Zeiger (nicht Vektor). Dieser
Abb. 4: Kom plexe Ebene
Zeiger wird andererseits aber auch durch Angabe seiner Länge r und seines
Drehwinkels n gegenüber der reellen Achse beschrieben (Polarkoordinaten). Es
gelten dabei die Zusammenhänge:
(16)
bzw.
(17)
Die zu z komplex konjugierte Zahl erhält man durch Spiegelung an der reellen Achse:
(18)
Die Größe r in Gl. (14) nennt man auch den Betrag der komplexen Zahl. Die allgemeine Definition für den
Betrag ist
(19)
Zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion wird durch die Eulerschen
Formeln ein Zusammenhang hergestellt :
(20)
Damit kann eine komplexe Zahl auch durch ihre Polarkoordinaten dargestellt werden:
Elektrische Netzwerke
Seite 5
(21)
Aus dieser Beziehung wird ersichtlich, wie sich eine physikalische Größe, die durch Angabe von Amplitude und Phase beschrieben werden muss, durch eine komplexe Größe darstellen lässt. Der Amplitude
ordnet man die Zeigerlänge r, dem Phasenwinkel n den Drehwinkel gegenüber der reellen Achse zu.
Sinusförmige Spannungen und Strömen (siehe Gl. (10) und (11)) lassen sich damit also durch komplexe, zeitunabhängige Größen beschreiben:
(22)
Mit diesen neu definierten Größen lässt sich nun die Berechnung von linearen Netzwerken bei Wechselspannungen erheblich vereinfachen.
5 Komplexe Berechnung von Netzwerken
Zunächst müssen die Kirchhoffschen Gesetze für die komplexen Größen formuliert werden. Aus den Gl.
(18) erhält man für den Sinus durch Subtraktion
(23)
Mit
in Gl. (10) für die Spannung U(t), bzw.
in Gl. (11) für den Strom I(t) ergeben
sich unter Berücksichtigung von Gl. (20)
(26)
Durch Einsetzen dieser Ausdrücke für die Spannungen, bzw. Ströme in die Kirchhoffschen Gleichungen
(2), bzw. (3) erhält man
(27)
In diesen Ausdrücken müssen die Koeffizienten vor
und
jeweils Null ergeben, so dass sich
daraus die Formulierungen der Kirchhoffschen Gesetze für die komplexen Größen ergeben:
(30)
Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für die komplex konjugierten Größen.
Genauso lässt sich auch das Ohmsche Gesetz für die komplexen Größen formulieren und durch geeignete
Zuordnung von komplexen Widerständen auch für Kondensatoren und Spulen anwenden. Wir wollen die
Ableitung am Beispiel des Kondensators nachvollziehen. Dazu setzen wir die Spannung U(t) nach Gl. (22)
in die Gl. (7a) ein. Der Strom berechnet sich dann zu
Seite 6
Elektrische Netzwerke
(31)
Durch einen Koeffizientenvergleich mit I(t) in Gl. (22) ergibt sich ein Zusammenhang zwischen den
komplexen Größen für Spannung und Strom:
(32)
Dies entspricht dem Ohmschen Gesetz, wenn man dem Kondensator einen komplexen Widerstand
(33)
zuordnet. Eine ähnliche Überlegung führt zu dem komplexen Widerstand der Spule:
(34)
Damit sind nun alle Voraussetzungen geschaffen, um lineare Netzwerke komplex zu berechnen. Da die
Zusammenhänge zwischen den so definierten komplexen Größen (Spannung, Strom und Widerstand)
genauso aussehen wie die Zusammenhänge zwischen den reellen Größen bei Gleichstromschaltungen
(siehe Kap. 1), können Wechselstromnetzwerke unter den genannten Voraussetzungen also auch durch
lineare Gleichungssysteme (allerdings im Komplexen) beschrieben werden. Es sind keine Differentialgleichungen mehr zu lösen. Alle Methoden der Netzwerkberechnung, wie sie bei Gleichstromschaltungen
verwendet werden (z.B. Netzwerktransformationen, Spannungsteiler und Brückenschaltungen), lassen sich
somit direkt auf Wechselstromnetzwerke übertragen. Es müssen nur jeweils die entsprechenden komplexen Größen eingesetzt werden.
6 Zweipole
Eine einfache Anwendung findet die komplexe Darstellung bei der Beschreibung von linearen Zweipolen
(siehe auch Abb. 3). Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung wird durch das Ohmsche Gesetz
für die komplexen Größen beschrieben:
(35)
Setzt man hier für die komplexe Spannung und den komplexen Strom die Definitionen nach Gl.(20) ein
und löst nach R auf, so erhält man
(36)
Die Größe R s ist der Betrag des komplexen Widerstands und heißt auch Scheinwiderstand. Er berechnet
sich als Quotient der Amplituden von Spannung und Strom. n ist die Phasenverschiebung zwischen
Spannung und Strom. Zur vollständigen Beschreibung eines Zweipols genügt es also, seinen komplexen
Widerstand anzugeben.
Da die komplexen Widerstände von Spule und Kondensator frequenzabhängig sind, wird der komplexe
Widerstand eines Zweipols sich auch mit T ändern. Diese Abhängigkeit lässt sich sehr anschaulich in einem Diagramm darstellen. Üblicherweise werden dazu zwei verschiedene Darstellungsformen verwendet:
Ortskurve und Bodediagramm.
Die Ortskurve ist eine Darstellung des komplexen Widerstands in der komplexen Ebene mit der Frequenz
Elektrische Netzwerke
Seite 7
als Parameter. Das Bodediagramm stellt in zwei Teildiagrammen die Abhängigkeiten von Scheinwiderstand und Phasenverschiebung von der Frequenz dar. Dabei werden in der Regel für die Frequenz und den
Scheinwiderstand logarithmische Maßstäbe verwendet. In den nachfolgenden Beispielen soll dies weiter
verdeutlicht werden.
6.1 Serienschwingkreis
Einen Serienschwingkreis erhält man durch Reihenschaltung von R, L und C (siehe Abb. 5). Der komplexe
Widerstand berechnet sich als Summe der drei Einzelwiderstände:
(37)
Man erkennt sofort, dass für die Frequenz
der Imaginärteil verschwindet. Diese Frequenz
nennt man die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Für Scheinwiderstand und Phasenverschiebung
ergeben sich:
(39)
Die Frequenzabhängigkeiten dieser Größen sind in der Ortskurve nach Abb. 6, bzw. dem Bodediagramm
nach Abb.7 dargestellt. Im Bodediagramm werden für Frequenz und Scheinwiderstand logarithmische
Maßstäbe verwendet. Zu beachten ist, dass die Achsenbeschriftung üblicherweise mit den Zahlenwerten
der Frequenz, bzw. dem Widerstand oder, wie in Abb. 7 mit normierten Werten erfolgt (nicht mit den
Logarithmen dieser Werte). Man sieht, dass bei der Resonanzfrequenz die Phasenverschiebung 0 wird und
der Scheinwiderstand ein Minimum annimmt.
Abb. 5: Serienschwingkreis
Abb. 6: Ortskurve
Abb. 7: Bodediagram m
Seite 8
Elektrische Netzwerke
6.2 Parallelschwingkreis
Eine Parallelschaltung von R, L und C ergibt einen Parallelschwingkreis (Abb. 8). Sein
komplexer Leitwert (der Kehrwert des Widerstands) berechnet sich als Summe der
Einzelleitwerte
(40)
Daraus erhält man für den komplexen Widerstand
(41)
Abb. 8: Parallelschwingkreis
Hierbei wurde angenommen, dass es sich jeweils um ideale Bauelemente handelt. In der Praxis hat man
es dagegen immer mit realen Bauelementen zu tun, deren Eigenschaften sich von denen der idealen
unterscheiden. Bei der Spule muss zum Beispiel der ohmsche Widerstand der Wicklung berücksichtigt
werden. Eine reale Spule ist deshalb durch die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand
zu beschreiben (siehe auch die Versuche 3.1 und 3.3). Diese Darstellung nennt man dann ein Ersatzschaltbild.
Für einen Parallelschwingkreis mit idealen Bauelementen erhält man für den Scheinwiderstand und die
Phasenverschiebung
(42)
Die Resonanzfrequenz berechnet sich wie beim Serienschwingkreis.
Abb. 9: Ortskurve
Abb. 10: Bodediagram m
Für die Ortskurve ergibt sich ein Kreis mit dem Radius R/2 um den Punkt R/2 auf der reellen Achse
(Abb. 9). Dies lässt sich leicht aus dem von den Zeigern gebildeten Dreieck zwischen Nullpunkt, Punkt
auf der Ortskurve und Punkt bei R/2 auf der reellen Achse ableiten. Die Länge des Zeigers von R/2 nach
R berechnet sich zu
Elektrische Netzwerke
Seite 9
(43)
Sie ist von T unabhängig. Damit ist die Ortskurve ein Kreis.
Das Bodediagramm ist in Abb. 10 dargestellt. Bei der Resonanzfrequenz nimmt hier der Scheinwiderstand
ein Maximum an.
7 Vierpole
Als Vierpol bezeichnet man ein Netzwerk aus linearen Bauelementen mit vier äußeren Anschlüssen (siehe Abb.11).
Das linke Klemmenpaar wird üblicherweise als Eingang,
das rechte als Ausgang bezeichnet. Sowohl am Eingang als
auch am Ausgang können jeweils eine Spannung und ein
Strom gemessen werden. Gibt man zwei dieser vier Größen
Abb. 11: Vierpol
vor, so lassen sich die beiden anderen aus den Eigenschaften des Vierpols bestimmen. Der Zusammenhang ist als lineares Gleichungssystem darstellbar (siehe auch
Versuch 3.6, Vierpole). Je nachdem, welche beiden der vier Größen vorgegeben werden, gibt es sechs
verschiedene Darstellungsformen. Häufig benutzt wird die Kettenform
(44)
Eine bei Vierpolen wichtige Größe ist der Kehrwert von a11 . Man nennt ihn auch das Leerlaufspannungsübertragungsverhalten A. Bei Wechselstromvierpolen ist dies eine komplexe Größe und eine Funktion der
Frequenz T.
7.1 Wien-Brücke
Als Beispiel für einen Vierpol soll die Schaltung nach Abb.
12 dienen. Sie ist aus zwei jeweils gleichen Widerständen
und Kondensatoren aufgebaut und unter dem Namen „WienBrücke” bekannt. Fasst man die Serienschaltung und die
Parallelschaltungen von R und C jeweils zu komplexen
Widerständen zusammen, erhält man das Ersatzschaltbild
nach Abb. 13. Es stellt einen Spannungsteiler dar. Für seine
beiden komplexen Widerstände R1 und R2 ergeben sich
Abb. 12: W ien-Brücke
Abb. 13: Ersatzschaltbild
(45)
Die Ausgangsspannung U a des Spannungsteilers berechnet sich zu
(46)
Damit erhält man für das komplexe Übertragungsverhalten der Wien-Brücke
Seite 10
Elektrische Netzwerke
(47)
Dieser Ausdruck sieht dem des komplexen Widerstand des Parallelschwingkreises sehr ähnlich. Die Ortskurve ist auch hier ein Kreis. Die Ausgangsspannung nimmt bei der Frequenz
ein Maximum
an. Sie beträgt hier genau 1/3 der Eingangsspannung. Die Phasenverschiebung ist bei dieser Frequenz 0.
Die Wien-Brücke lässt sich also ähnlich wie ein Parallelschwingkreis zur Frequenzselektion benutzen. Ihr
Vorteil ist, dass man für ihren Aufbau keine Spule benötigt. Sie wird deshalb in der Praxis in Geräten zur
Erzeugung von sinusförmigen Spannungen mit veränderlicher Frequenz (RC-Generatoren ) häufig benutzt.
7.2 Tiefpass 2. Ordnung
Als weiteres Beispiel für einen Vierpol soll die Schaltung nach Abb. 14 dienen. Sie stellt einen frequenzabhängigen Spannungsteiler dar. Da hohe Frequenzen stärker geschwächt werden als tiefe nennt, man
diese elektrische Filterschaltung auch „Tiefpass”.
Zur Ableitung des Übertragungsverhaltens setzen wir für
(49)
in die oben bereits benutzte Formel (39) für den Spannungsteiler ein:
(50)
Da die Frequenz im Nenner quadratisch auftritt, nennt
man diese Schaltung einen Tiefpass 2.Ordnung. Der Amplitudenabfall ist bei hohen Frequenzen im logarithmischen
Maßstab doppelt so steil wie bei einem Tiefpass 1.Ordnung
(einfaches RC-Glied, siehe auch Versuch 3.5).
Ein weiterer Unterschied fällt bei der Dimensionierung der
Abb. 14: Tiefpass 2. Ordnung
Schaltung auf. Bei einem Filter 1.Ordnung kann man durch
Wahl von R und C nur die Grenzfrequenz, d.h. die Frequenz, bei der die Amplitude auf den
-ten Teil,
des Maximalwertes abgefallen ist, einstellen:
(52)
Da das Filter 2.Ordnung aus drei Bauelemeneten aufgebaut ist, gibt es einen weiteren Parameter, mit dem
das Verhalten der Schaltung beeinflusst werden kann. Wir wollen folgende Umbenennungen einführen:
(53)
T 0 ist die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises aus L und C, D die durch den Widerstand R hervorgerufene Dämpfung. Setzen wir diese Größen in Gl. (42) ein, so erhalten wir
Elektrische Netzwerke
Seite 11
(54)
Dieser Ausdruck lässt sich durch Normieren
auf die Resonanzfrequenz noch übersichtlicher
gestalten. Wir führen dazu folgende Größen
ein:
(55)
Für das komplexe Übertragungsverhalten ergibt sich damit der einfache Ausdruck:
Abb. 15: Frequenzgang beim Tiefpass 2.Ordnung
(56)
Daraus erhalten wir den Amplituden- und den Phasenfrequenzgang:
(57)
(58)
Der Einfluss der Dämpfung D auf den Amplitudenfrequenzgang ist in Abb. 15 dargestellt. Bei kleinen
Werten von D erkennt man eine deutliche Amplitudenerhöhung im Bereich um die Resonanzfrequenz des
aus L und C gebildeten Schwingkreises. In diesem Fall wird der Nenner von Gl. (48) kleiner als 1.
Durch geeignete Wahl der Dämpfung lässt sich diese Resonanz völlig unterdrücken. Der optimale Fall
ergibt sich, wenn in Gl. (48) die Klammer im Nenner verschwindet, d.h.
. 1,4 wird. Man erhält
dann
(60)
7.3 Vergleich zu mechanischen Systemen
Der Einsatz der komplexen Berechnung muss nicht auf elektrische Netzwerke beschränkt bleiben, sondern
kann auf alle physikalischen Systeme, die sich durch lineare Differentialgleichungen (siehe Gl. (8)) beschreiben lassen, angewandt werden. Im folgenden soll ein Beispiel aus der Mechanik behandelt werden,
dessen komplexe Beschreibung identisch ist mit dem Tiefpass aus 7.2. Es handelt sich um ein FederMasse-System (Abb. 16), dessen Bewegungsgleichung sich aus dem zweiten Newtonschen Axiom ergibt:
(61)
Seite 12
Elektrische Netzwerke
Der anregenden Kraft F(t) sind die zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft der Feder (siehe Hookesches Gesetz) und die geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft entgegen gerichtet. Es sind dabei
x(t) die Auslenkung der Masse m, k die Federkonstante und r die Reibungskonstante. Mit den Abkürzungen
(62)
lässt sich Gl. (51) umformen:
(63)
Diese Differentialgleichung ist identisch mit der, den Tiefpass (Abb. 12) beschreibenden:
(64)
Dabei wurden die Abkürzungen nach Gl. (53) verwendet.
Auf diese Weise lassen sich elektrische Ersatzschaltbilder zu mechanischen Systemen konstruieren. Durch
Vergleich der Gl. (53) und (62) erkennt man die Analogien: Die Spule entspricht der Masse, der Kondensator der Feder (mit dem Kehrwert der Kapazität) und der Widerstand der Reibung. Die oben gemachten
Überlegungen zum dynamischen Verhalten bei sinusförmiger Anregung (Gl. 60) lassen sich somit auf das
mechanische System direkt übertragen. Auch hier ist die geeignete Wahl einer Dämpfung unbedingt
notwendig, um mechanische Resonanzen zu unterdrücken.
In der Praxis wird dieses Verfahren häufig, insbesondere bei elektromechanischen Systemen (wie z.B.
Lautsprecher) angewandt, um ihr Verhalten theoretisch besser verstehen zu können.
1.2000/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
Mechanik
1 Vorbemerkung
Die Mechanik zählt zu den ältesten Teilgebieten der Physik. In ihrer Frühzeit war sie eng mit der
Entwicklung der Technik verknüpft und trat demzufolge meistens im Zusammenhang mit einer
entsprechenden technischen Anwendung in Erscheinung. Seit dem Mittelalter, insbesondere durch die
Arbeiten von Galilei und Newton, setzte eine konzentrierte und axiomatische Entwicklung dieses
Gebietes ein, dessen Grundprinzipien sich in abgewandelter Form auch in vielen anderen Teilbereichen
der Physik wiederfinden.
Die Entwicklung der Mechanik in der Neuzeit hat dann zu sehr leistungsfähigen, aber zum Teil auch
recht komplexen technischen Anwendungen geführt, die sich aus diesem Grunde nicht gut für eine
Bearbeitung in einem physikalischen Anfängerpraktikum eignen. Im vorliegenden Praktikumsteil
werden daher überwiegend solche Versuche durchgeführt, die sich mit grundlegenden Größen,
grundlegenden Prinzipien oder grundlegenden Methoden der Mechanik befassen.
2 Literatur
Im Gegensatz zu den in den Gruppen 3 und 4 angesprochenen Teilbereichen elektrische Netzwerke und
Elektronik wird das Gebiet der Mechanik in nahezu allen Lehrbüchern der Physik hinreichend
gründlich behandelt. Dementsprechend sind auch alle Lehrbücher der Physik für die Vorbereitung der
Praktikumsversuche geeignet. Es ist sicherlich nicht möglich, an dieser Stelle alle in Frage kommenden
Bücher aufzuzählen; man kann jedoch beispielsweise die folgenden Lehrbücher empfehlen:
Meschede:
Bergmann, Schaefer:
Tipler:
Hering, Martin, Stohrer:
Walcher:
Geschke:
Gehrtsen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York
Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. I: Mechanik, Akustik, Wärme.
W. de Gruyter-Verlag, Berlin, New York
Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Spektrum Akademischer
Verlag
Physik für Ingenieure. VDI-Verlag, Düsseldorf
Praktikum der Physik. Verlag B. G. Teubner
Physikalisches Praktikum. Verlag B. G. Teubner
3 Versuche
Es werden die folgenden Versuche behandelt:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Kugelstoß
Trägheitsmoment
Reversionspendel
Torsionsmodul
Pohlsches Pendel
Quinckesches Interferenzrohr
Aräometer
Schallgeschwindigkeit in Metallen
7.2014/Ra,VdM
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.1 Kugelstoß
1 Einführung
Stöße sind kurzzeitige Wechselwirkungen zwischen zwei Körpern, wobei die Körper nach dem Stoß ein
anderes Bewegungsverhalten zeigen als vorher. Stöße kommen sowohl im makrophysikalischen als auch im
mikrophysikalischen Bereich von Natur und Technik vor. Insbesondere im atomaren und subatomaren
Gebiet hat die Anwendung von Stoßbetrachtungen viel zur Aufklärung der Struktur der Materie beigetragen.
Ein besonders wichtiger Fall bei der Behandlung von Stößen ist der elastische Stoß. Hierbei werden die
stoßenden Körper als ideal reflektierend angenommen, so dass für den Stoßvorgang keine
Deformationsenergie in Ansatz gebracht werden muss. Die rechnerische Behandlung des Stoßes erfolgt
dabei in der Regel so, daß man den Bewegungsvorgang in zwei zeitlich getrennte Abschnitte, nämlich
einmal vor und einmal nach dem Stoß, unterteilt und hierbei jeweils die Erhaltungssätze von Impuls und
Energie anwendet.
Da bei der üblichen theoretischen Behandlung von
Stößen keine Reibungskräfte
berücksichtigt werden, erfordert die praktische Durchfühφ0
φ1
rung von Stoßversuchen einen
D
2
gewissen technischen Auf1
wand. Um Reibungskräfte zu
Δh
vermeiden, müssen die ExHilfsebene
perimente in der Regel auf
Luftkissenbahnen bzw. -fläh = 92mm
chen ablaufen. Im vorliegenden Fall soll nun dieser
Registrierebene
auch mit einer größeren räuml
=
65mm
w
lichen Ausdehnung und einer
Abbildung 1: Seitenansicht des Experimentiergeräts
gewissen
Geräuschbelästigung verbundene technische Mehraufwand nicht betrieben werden. Hier wird die weitgehende Ausschaltung
der Reibung dadurch erreicht, dass sich die stoßenden und gestoßenen Körper durch die Luft bewegen. Da
dies im Schwerefeld der Erde geschieht, kommen hierbei neben den Stoßgesetzen auch die Fallgesetze zur
Anwendung, wodurch die rechnerische Behandlung etwas aufwendiger wird.
Hierzu wird die in den Abb. 1 und 2 gezeigte Experimentiereinrichtung verwendet. Zur Verfügung steht
eine horizontale Registrierebene, über der auf konusförmigen Stützen zwei gleiche Kugeln positioniert sind.
Die stoßende Kugel 1 erhält ihre Anfangsgeschwindigkeit durch ein Pendel, das um den variablen Anfangswinkel φ0 ausgelenkt werden kann und die Kugel auf der Stütze 1 mit der festen Höhe h im Winkel φ1 trifft.
Die durch das Pendel angestoßene Kugel 1 bewegt sich auf einer Wurfparabel, in deren Scheitel sie die
Kugel 2 stößt. Die beiden Kugeln durchlaufen dann die Wurfweiten w1 und w2 und treffen in der Registrierebene auf. Zur Variation des Stoßwinkels α in der Horizontalebene kann die Stütze 2 auf einem Kreis,
dessen Radius D gleich dem Kugeldurchmesser ist, verschoben werden.
Zur Justierung des Parabelscheitels kann eine Hilfsebene in der Höhe h aufgesetzt werden. Die Höhendifferenz Δh zwischen Stütze 2 und Stütze 1 ist durch ein Gewinde einstellbar. Die Aufschlagpunkte der
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.1 Kugelstoß
Kugeln werden auf der Registrier- bzw. Hilfsebene mit Kohlepapier markiert. Die technischen Daten für die
bei dem Versuch verwendeten Geräteteile sind in Tabelle 1 aufgeführt.
2 Versuchsdurchführung
Zunächst ist die Stoßrichtung des Pendels so zu justieren,
dass die Kugel 1 in Pendelrichtung gestoßen wird. Stellen
Sie dann den Auslenkwinkel φ0 des Stoßpendels so ein,
dass die Kugel 2 von Kugel 1 horizontal fliegend
gestoßen wird. Dabei ist der endliche Durchmesser der
Kugeln zu berücksichtigen! Zur Justierung wird die
Hilfsebene aufgesetzt. Die Aufschlagpunkte der Kugel 1
werden mit Kohlepapier markiert.
α
w2
Pendel
2
1
1
w1
Abbildung 2: Aufsicht des Experimentiergeräts
Stellen Sie nun die errechnete Höhe Δh (Aufg. 1) ein, und
suchen Sie die Position der Stütze 2, bei der die Kugel 2 unter α = 90° gestoßen wird. Dazu ist die Stütze 2
mit aufgesetzter Kugel in 2 symmetrische Positionen zu schwenken. Die Aufschlagpunkte sollten dann
ebenfalls symmetrisch zur Mittenposition (α = 90°) liegen.
Führen Sie mit aufgesetzter Kugel 2 Stoßversuche bei verschiedenen Winkeln α durch. In der
Registrierebene sind mit Kohlepapier die Aufschlagpunkte beider Kugeln zu markieren. Die Messung der
Schwingungsweitenverringerung zur Berechnung des Trägheitsmomentes erfolgt mit Hilfe des Schleppzeigers.
Kugeldurchmesser
Kugelmasse
Höhe der Stütze 1
Gewindesteigung der Stütze 2
horizontaler Abstand zwischen den Stützen
D = 16 mm
m = 16,5 g
h = 92 mm
Δh = 0,5 mm/Umdrehung
l = 65 mm
Tabelle 1: Technische Daten des Experimentiergeräts
Aufgaben:
2.1 Berechnen Sie die Höhe Δh der Stütze 2 über der Hilfsebene in Abhängigkeit von dem Abschusswinkel
φ1 und von dem Horizontalabstand l der beiden Stützen. Bestimmen Sie den Fehler von Δh.
2.2 Weisen Sie durch Rechnung und durch experimentelle Variation des horizontalen Stoßwinkels α nach,
dass die Aufschlagpunkte beider Kugeln im Falle gleicher Kugelmassen auf einem Kreis liegen. Der
Stoßwinkel α soll jeweils um 20° variiert werden.
2.3 Messen Sie die Schwingungsdauer des Stoßpendels und seine Schwingungsweitenverringerung nach
dem Stoß, und berechnen Sie das Trägheitsmoment des Pendels bezüglich der Drehachse. Bestimmen
Sie den Fehler dieses Trägheitsmomentes aufgrund vernünftiger Abschätzungen der Messapparatur.
2.4 Die in Frage kommenden Fehlerquellen sind zu diskutieren. Insbesondere ist zu begründen, warum die
Aufschlagpunkte nicht auf einem Kreis liegen, sondern offensichtlich jede Kugel ihren eigenen Kreis
der Aufschlagpunkte beschreibt.
Literatur:
Bergmann, Schäfer:
Meschede:
Hering, Martin, Stohrer:
Lehrbuch der Experimentalphysik I, Kap. 47
Physik, Kap. 1.5
Physik für Ingenieure, Kap 2.7
Geräte:
Fertig montierte Experimentierplatte mit Pendel, Stützen und Kugeln
9.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.2 Trägheitsmoment
1 Einführung
Bei der Entwicklung der Mechanik lassen sich bei den Bewegungsgleichungen und Erhaltungssätzen
für Translations- und Rotationsbewegungen völlig analoge Gesetzmäßigkeiten herleiten. Hierbei stößt
man jedoch auf eine Besonderheit der Rotationsbewegung, an der ein grundsätzlicher Unterschied
gegenüber der Translationsbewegung offenbar wird.
Die kinetische Energie eines Massenpunktes beträgt Wkin = ½ ∙ m ∙ v2. Geht man nun zu einem starren
Körper aus n Massenpunkten über, so sind bei einer Translationsbewegung die Geschwindigkeiten aller
Massenpunkte gleich: vi = v. Daher erhält man für seine kinetische Energie die Beziehung
n
W kin , trans =
1 2
1
⋅ v ⋅ ∑ m i = ⋅ M ⋅ v2 .
2
2
i=1
(1)
Bei der Rotationsbewegung hingegen haben die Massenpunkte mi bei gleicher Winkelgeschwindigkeit
wegen
(2)
in verschiedenen Abständen ri jeweils verschiedene Bahngeschwindigkeiten vi. Daraus ergibt sich dann
bei der Rotationsbewegung des starren Körpers für die kinetische Energie die Beziehung
v = ⋅ r
n
W kin ,rot =
n
1
1
2
2
2
⋅∑ m ⋅ v = ⋅  ⋅∑ m i ⋅ r i .
2 i=1 i i
2
i=1
(3)
Den Ausdruck
n
I =
∑ m ⋅r
i
2
i
(4)
i =1
nennt man das Trägheitsmoment des starren Körpers. Hat er eine kontinuierliche Massenverteilung
muss die Summation durch das Integral ersetzt werden:
m
I =
∫r
2
d m.
(5)
0
Damit erhält man aus (3) für die Rotationsbewegung eine der Formel (1) ähnliche Beziehung
W kin ,rot =
1
⋅ I ⋅ 2 .
2
(6)
Bei einem starren Körper tritt das Trägheitsmoment in allen Formeln der Rotationsbewegung an die
Stelle der Masse bei den entsprechenden Gleichungen für die Translation. Es ist ein Maß für das
Beharrungsvermögen eines Körpers bei Rotation und deswegen von besonderer Bedeutung für die
Auslegung von Maschinen bzw. den in ihnen verwendeten rotierenden Teilen .
2 Bestimmung des Trägheitsmoments
Die Bestimmung von Trägheitsmomenten ist nicht unproblematisch. In Fällen mit regelmäßiger
Geometrie kann man das Trägheitsmoment eines Körpers nach Gl. (5) berechnen. In anderen Fällen
sind auch grafische Lösungen möglich.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.2 Trägheitsmoment
Bei unregelmäßig geformten Körpern ist man dagegen auf eine experimentelle Bestimmung des
Trägheitsmomentes angewiesen, die sich beispielsweise mit Hilfe der harmonischen Drehschwingung
durchführen lässt. Hierzu benutzt man einen Drehtisch, der sich mit Hilfe einer Spiralfeder zur
Erzeugung eines rücktreibenden Momentes D in harmonische Drehschwingungen mit der Schwingungsdauer
T = 2 ⋅

I
D
(7)
versetzen lässt. Hierbei ist I das Trägheitsmoment des Drehtisches um die Drehachse. Bei Aufsetzen
eines Probekörpers addieren sich einfach die Trägheitsmomente. Wenn der Körper nicht zentral,
sondern im Abstand r von der Drehachse angebracht wird, dann gilt nach dem Steinerschen Satz
I r = I s  m ⋅ r2.
(8)
Dabei ist Ir das Trägheitsmoment um eine Achse, die von der Schwerpunktachse des Probekörpers den
Abstand r aufweist. Is ist das Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse und m die Masse des
Körpers.
Mit Hilfe einer solchen Drehtischanordnung, bei der die Möglichkeit des Aufsetzens von Probekörpern
in verschiedenen Abständen r von der Drehachse gegeben ist, sollen nun die Trägheitsmomente einiger
Körper bestimmt werden.
Aufgaben:
2.1 Prüfen Prüfen Sie zunächst die waagerechte Lage des Drehtisches.
2.2 Unter Berücksichtigung der praktischen Gegebenheiten ist der Auslenkwinkel des Drehtisches zu
optimieren. Begründen Sie die Wahl Ihrer Auslenkung.
2.3 Berechnen Sie das Trägheitsmoment des zylindrischen Körpers, der für die Kalibrierung des Dreh tisches verwendet werden soll.
2.4 Legen Sie den zylindrischen Körper in verschiedenen Abständen r von der Drehachse auf die
Platte des Drehtisches, und messen Sie die dazugehörigen Schwingungsdauern T.
2.5 Ermitteln Sie durch Anwendung des Steinerschen Satzes das Gesamtträgheitsmoment, und leiten
Sie eine Beziehung zwischen T2 und r2 her.
2.6 Stellen Sie den linearen Zusammenhang zwischen T 2 und r 2 grafisch dar, und bestimmen Sie aus
der Zeichnung Trägheitsmoment IT und Richtmoment DT des Drehtisches.
2.7 Warum ist es wichtig, Trägheits- und Richtmoment des Drehtisches genau zu kennen?
Literatur
Bergmann, Schaefer:
Meschede:
Tipler:
Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1
Gehrtsen Physik, Kap. 2
Physik, Teil 1, Kap. 9
Geräte
1 Drehtisch, 1 Lichtschranke mit Stoppuhr
Probekörper
Auflegbarer, zylindrischer Körper mit
Masse
Durchmesser
Höhe
m = (0,4073 ± 0,0002) kg
d = 47,2 mm
h = 28,0 mm
12.2011/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.3 Reversionspendel
1 Einführung
Die harmonische Drehschwingung ist eine in der Technik und in der Natur häufig vorkommende Art
der Bewegung. Zu ihrer mathematischen Formulierung gelangt man durch Gleichsetzen des sich aus der
Newtonschen Bewegungsgleichung ergebenden Drehmoments mit einem - beispielsweise durch eine
Spiralfeder realisierten - rücktreibenden Richtmoment. Die hieraus resultierende Differentialgleichung
besitzt dann für kleine Winkel φ eine Lösung der Form
φ (t) = φ 0⋅sin(ωt) ,
(1)
die die Bewegung einer harmonischen Drehschwingung beschreibt.
φ
Eine sehr einfache Möglichkeit zur Realisierung eines rücktreibenden Momentes
besteht in der Ausnutzung der Schwerkraft. So stellen alle an einem Punkt
oberhalb des Schwerpunktes im Schwerefeld der Erde drehbar aufgehängten
Körper ein Pendel dar, das bei entsprechendem Anstoß eine harmonische Drehschwingung ausführt.
m
Eine idealisierte Form eines solchen Pendels ist das mathematische oder Faden pendel. Es besteht aus einer punktförmig angenommenen Masse m, die an einem
masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (siehe Abb. 1). Hierfür ergibt der
Ansatz über die Drehmomente die Differentialgleichung:
Abbildung 1:
Mathematisches
Pendel
2
d φ
m l 2⋅ 2 = −m⋅l⋅g⋅sin φ ,
(2)
dt
in der sich unter der Annahme kleiner Drehwinkel sin φ ≈ φ setzen lässt. Das führt dann zu der in (1)
dargestellten harmonischen Drehschwingung. Dabei gilt:
2 =
g
l
bzw.
T = 2

l
.
g
Mit Hilfe von (3) lässt sich somit aus der Schwingungsdauer T des Pendels
relativ einfach die Erdbeschleunigung g bestimmen. In der Praxis erweist es
sich jedoch als schwierig, die Fadenlänge l genau zu ermitteln.
Eine genauere Bestimmung der Erdbeschleunigung kann mit einer
besonderen Ausführung eines physikalischen Pendels, dem so genannten
Reversionspendel, durchgeführt werden. Für ein physikalisches Pendel in
Form eines im Punkt A aufgehängten homogenen Stabes (siehe Abb. 2)
ergibt sich unter den gleichen Annahmen wie oben für die
Schwingungsdauer T:
(3)
A
a
φ
lr

S
b
A'
J
(4) Abbildung 2: Physikalisches
.
m⋅g⋅a
Pendel
Hierin ist a der Abstand zwischen A und dem Schwerpunkt S und J das
Trägheitsmoment des Stabes. Das Trägheitsmoment J für eine Drehung um
den Punkt A berechnet sich nach dem Steinerschen Satz zu
T = 2
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.3 Reversionspendel
2
(5)
J = J S  m⋅a ,
wobei JS das auf den Schwerpunkt bezogene Trägheitsmoment darstellt. Somit erhält man für die
Schwingungsdauer des physikalischen Pendels:

2
J S  m⋅a
(6)
.
m⋅g⋅a
Vergleicht man diesen Ausdruck mit (3), so ist ersichtlich, dass bezüglich der Schwingungsdauer das
physikalische Pendel einem mathematischen Pendel mit der Fadenlänge
T = 2
J S  m⋅a2
(7)
m⋅a
entspricht. Daher wird diese Länge lr auch reduzierte Pendellänge genannt. Der Punkt A', der auf der
Verlängerung von AS im Abstand lr von A - bzw. b von S - liegt, heißt Schwingungsmittelpunkt. Lässt
man den Stab um den Punkt A' schwingen, so erhält man für die Periodendauer entsprechend Gl.(6):
lr =

J S  m⋅b2
(8)
.
m⋅g⋅b
Unter Benutzung der Definition für die reduzierte Pendellänge lässt sich nun zeigen, dass das Pendel
um beide Aufhängepunkte gleichschnell schwingt, und man erhält mit a + b = lr:
T = 2

lr
.
g
Diese Eigenschaft nutzt man bei dem Reversionspendel aus. Hier sind
die Aufhängepunkte A und A' als scharfe Schneiden S 1 und S2
ausgebildet, deren Abstand lr sich sehr genau messen lässt (Abb. 3).
Auf der Pendelstange sind zwei verschiebbare Massen angebracht.
Durch Variation der Abstände dieser Massen lässt sich nun eine
Einstellung finden, bei der die Schwingungsdauern um beide Schneiden S1 und S2 genau gleich sind, so dass man dann durch Messung der
Schwingungsdauer nach (9) die Erdbeschleunigung sehr genau
bestimmen kann.
TS = TS = 2
1
2 Versuchsdurchführung
2
(9)
a
S1
b
S
lr
S2
Zur Messung der Schwingungsdauer steht eine durch eine Lichtschranke gesteuerte sehr genaue digitale Stoppuhr zur Verfügung. Die Abbildung 3: Reversionspendel
Präzision der Anordnung ist so hoch, dass man eine Veränderung der Schwingungsdauer in
Abhängigkeit von der Schwingungsamplitude feststellen kann. Führen Sie deshalb den Versuch mit
stets gleicher Anfangsauslenkung des Pendels durch.
Aufgaben:
2.1 Bestimmen Sie die Schwingungsdauern TSi (i = 1,2) um die Schneiden Si in Abhängigkeit der
Abstände ri zwischen den Schneiden Si und der 1000g-Masse. ri wird dabei in Schritten von 10 cm
verändert. Der Abstand p zwischen Pendelende und 1400g-Masse wird dabei zu p = 15 cm gewählt
(siehe auch Abb. 4).
2.2 In einer grafischen Darstellung wird TSi gegen ri aufgetragen. Dabei schneiden sich die zwei zueinander gehörenden parabelartigen Kurven in zwei Punkten (TS1 = TS2).
1.3 Reversionspendel
Seite 3
2.3 Zur genaueren Bestimmung der zu den Schnittpunkten gehörenden Schwingungsdauer ist die Umgebung eines der beiden
Schnittpunkte noch einmal auszumessen, wobei r1 in Schritten
von 1 cm variiert wird. In einer grafischen Darstellung mit vergrößertem Maßstab ist unter der Annahme eines näherungsweise linearen Verlaufes der Kurven in der Umgebung des
Schnittpunkts dieser genau zu bestimmen.
2.4 Berechnen Sie aus der sich so ergebenden Schwingungsdauer T
die Erdbeschleunigung g.
2.5 Führen Sie eine Fehlerrechnung durch. Benutzen Sie dabei für
die Definition der Zeitunsicherheit Δt ein statistisches Verfahren. Überlegen Sie, inwieweit die Unsicherheit in der
Bestimmung des Abstandes ri in die Fehlerbetrachtung mit
eingeht! Bestimmen Sie grafisch aus den Unsicherheiten für die
Schwingungsdauern T(ri) die resultierende Unsicherheit der
Schwingungsdauer T im Schnittpunkt. Hieraus ergibt sich dann
der Fehler für den Wert g der Erdbeschleunigung. Könnte man
die Ortsunsicherheit Δri durch geschicktes Vorgehen noch
weiter verringern?
p
1400 g
r1
S1
r2
1000 g
S2
Abbildung 4: Aufbau des
Reversionspendels im Versuch
Literatur:
Bergmann, Schaefer:
Meschede:
Krötzsch:
Walcher:
Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd.I, Kap. 36
Gerthsen Physik, Kap. 2.3
Physikalisches Praktikum, Kap. 3
Praktikum der Physik, Kap. 2.7
Geräte:
Fertig montiertes Reversionspendel mit lr = (1,0000 ± 0,0001) m, digitale Stoppuhr mit Lichtschranke
7.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.4 Torsionsmodul
1 Einführung
Ein großer Teil der Mechanik befasst sich mit der Dynamik von Massenpunkten und starren Körpern, wobei
die auftretenden Bewegungsabläufe untersucht werden. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die starren Körper
in ihrer Form keine Veränderung erfahren.
Ein kleineres Teilgebiet der Mechanik betrachtet nun den Fall,
dass an einem festen Körper unter der Einwirkung von Kräften
Deformationen in Form von Dehnung, Kompression oder
Scherung auftreten. Der letztere Fall soll nun in dem vorliegenden Versuch näher untersucht werden.
F
A
Die bei der Scherung auftretenden Vorgänge sind dabei in Abb.
α
1 dargestellt. Parallel zu der Seitenfläche A des rechteckigen
Volumenelementes eines elastischen festen Körpers greift eine
Kraft F an, die die dazu senkrechten Flächen um einen Winkel
α verdreht. Man bezeichnet die so bewirkte Gestaltsänderung
Abbildung 1: Scherung eines
als Schub oder Scherung. Die parallel zur Fläche angreifende
Volumenelements
Kraft nennt man Schubkraft, den Quotienten F/A aus Schubkraft
und Fläche Schubspannung τ. Bei genügend kleiner Deformation ist die Schubspannung τ dem Winkel α
proportional:
F
 =
= G⋅.
A
dr
(1)
r
Dabei ist α der Scherwinkel im Bogenmaß. G heißt Schub-, Scherungs- oder Torsionsmodul und ist eine Materialkonstante.
Im Praktikumsversuch wird nun ein zylindrischer Draht mit dem
Radius R und der Länge L an einem Ende fest eingespannt und am
anderen Ende durch ein dort angreifendes Drehmoment N um den
Winkel φ längs seiner Achse gedreht (tordiert). Jedes zur Torsionsachse parallele Volumenelement L⋅dA erfährt dabei eine Scherung.
Der Scherwinkel α ergibt sich zu
r
 = ⋅ .
L
F
φ
α
L
(2)
Dabei ist r der zu dem Volumenelement gehö rende Radius (siehe
auch Abb. 2). Die fü r die Deformation dieses Volumenelementes Abbildung 2: Torsion eines Zylinders
erforderliche Kraft ist nach Gleichung (1)
dF = d A =  r dr.
(3)
Zur Verdrillung des aus diesen Volumenelementen ü ber den gesamten Umfang zusammengesetzten Rohres
mit Radius r und Wanddickte dr muss also ein Drehmoment
d N = r⋅⋅2 ⋅r⋅d r
(4)
angreifen. Durch Integration ü ber den gesamten Radius R erhält man das nach einer Torsion des Drahtes
rü cktreibende Drehmoment
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.4 Torsionsmodul
R
R
4
2 ⋅G⋅ 3

R
*
N = −∫2 ⋅⋅r ⋅d r = −
r ⋅d r = − ⋅G⋅ ⋅ = −D ⋅.
∫
L
2
L
0
0
*
2
(5)
Wird am unteren Ende des Drahtes eine Masse angebracht, erhält man ein Torsionspendel, das in Drehschwingungen versetzt werden kann. Die Größe des Richtmomentes D* und damit auch der Torsionsmodul
des Drahtes lassen sich durch Messen der Schwingungsdauer dieses Pendels bestimmen. Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung fü r das Drehmoment berechnet sich die Periodendauer der Schwingung mit
dem Trägheitsmoment I des Pendels zu

T = 2 ⋅
I
.
D*
(6)
2 Versuchsdurchführung
Der Torsionsmodul G eines Drahtes soll mit einem Torsionspendel bestimmt werden. Da das Trägheitsmoment des Torsionspendels nicht bekannt ist, wird eine Masse mit einem bekannten Tr ägheitsmoment der
Messanordnung hinzugefü gt. Aus den Messungen mit und ohne Zusatzmasse wird der gesuchte Torsionsmodul berechnet.
Aufgaben:
2.1 Leiten Sie die Gleichung (6) her, und geben Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen
Periodendauer und Torsionsmodul an.
2.2 Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Richtmoment, Tr ägheitsmoment der Zusatzmasse und den
beiden Periodendauern ab.
2.3 Leiten Sie die Formel fü r das Trägheitsmoment einer Ringscheibe her. Berechnen Sie daraus das
Trägheitsmoment der ringfö rmigen Zusatzmasse.
2.4 Bestimmen Sie die optimale Auslenkung des Torsionspendels, und geben Sie eine Begrü ndung fü r den
von Ihnen gewählten Auslenkwinkel. Messen Sie die Periodendauern mit und ohne Zusatzmasse.
2.5 Nehmen Sie fü r den Drahtdurchmesser eine Messreihe aus mindestens 15 Werten auf, und bestimmen
Sie sowohl den systematischen als auch den zufälligen Fehler.
2.6 Berechnen Sie das Richtmoment D* des Torsionspendels und den Torsionsmodul des Drahtes. Geben
Sie das Trägheitsmoment des Torsionspendels an.
2.7 Fü hren Sie eine Fehlerrechnung fü r die experimentell bestimmten Größen Richtmoment D*,
Torsionsmodul G und Trägheitsmoment des Torsionspendels I durch.
Literatur
Krö tzsch:
Meschede:
Bergmann-Schäfer:
Walcher:
Physikalisches Praktikum, Kap. 5.2
Gerthsen Physik, Kap. 3.4.2
Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1
Praktikum der Physik, Kap. 2.4
Geräteliste
Torsionspendel bestehend aus Draht und Vollscheibe, ringfö rmige Zusatzmasse (m = 2247 g), Stativ mit
Zeiger, Stoppuhr, Bandmaß, Schieblehre, Mikrometerschraube
7.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger - Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.5 Pohlsches Pendel
1 Einleitung
In diesem Versuch werden Sie die Eigenschaften des gedämpften, angeregten harmonischen Oszillators am Beispiel des Pohlschen Pendels kennenlernen. Das Pohlsche Pendel ist ein dem Federpendel analoges Drehpendel.
In der Bewegungsgleichung des gedämpften, angeregten Federpendels
m · ẍ + D · x + b · ẋ = F0 · cos (ω t)
(1)
muß man die Strecke x durch den Winkel ϕ ersetzen, um die Bewegungsgleichungen des Drehpendels zu
erhalten.
I · ϕ̈ + Dr · ϕ + br · ϕ̇ = M0 · cos (ω t)
(2)
Statt Masse m und Kraft F gehen das Trägheitsmoment I und das Drehmoment M in die Gleichung ein. Von
besonderem Interesse in diesem Versuch ist das Verhalten der Schwingungsamplitude bei verschieden starken
Dämpfungen und verschiedenen Frequenzen der anregenden Kraft.
Zur Vorbereitung (siehe Literatur weiter unten) bearbeiten Sie bitte folgende Aufgaben:
1. Erklären Sie die Begriffe Resonanz und Resonanzkatastrophe.
2. Geben Sie Schwingungsfrequenz des freien, gedämpften Oszillators an.
3. Geben Sie die Zeitabhängigkeit der Amplitude des gedämpften, angeregten Oszillators an (Einschwingphase).
4. Skizzieren die Schwingungsamplitude als Funktion der Frequenz bei verschiedenen Dämpfungen. Geben
Sie die Frequenz an, bei der die Amplitude maximal wird.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
2
Versuch 1.5 - Pohlsches Pendel
2 Aufbau
Der Versuch besteht aus folgenden
Komponenten:
• Drehpendel
• Spulenpaar
• Elektromotor
• Netzgerät
• Multimeter
• Stoppuhr
Abbildung 1: Kompletter Versuchsaufbau.
Das Drehpendel besteht aus einer um ihren Schwerpunkt rotierenden Scheibe aus Kupfer. Eine Spiralfeder
verbindet die Scheibe mit der Achse. Eine Markierung an der Scheibe zeigt dessen Auslenkung auf einer darum
befindlichen Skala an. Die Skala ist mit willkürlichen Einheiten 0 . . . 20 WE in 0, 2 WE-Schritten beschriftet.
Wenn Sie das Pendel schwingen lassen, können Sie die Amplitude am Umkehrpunkt auf bis zu 0, 2 WE ablesen.
Mittels zweier Spulen, durch die das Rad hindurchschwingt, kann man eine zusätzliche Dämpfung erzeugen. Das, durch die Spulen räumlich inhomogene erzeugte Magnetfeld, zusammen mit der Bewegung
der Kupferscheibe, verursachen induzierte Ströme in der Scheibe (Wirbelströme). Dadurch entseht eine
Kraft, die gegen die Bewegung wirkt, es entsteht also eine Dämpfung. Dieses Prinzip der Dämpfung nennt
man Wirbelstrombremse. Der Spulenstrom bestimmt die Dämpfungskonstante und darf bis zu 1 A betragen.
Achten Sie darauf, die Spule nicht durch einen zu hohen Strom zu überhitzen. Kurzfristig ist es möglich,
den Spulenstrom auf 1, 6 A zu stellen. Die Dämpfungskonstante ist dann so groß, dass man den aperiodischen
Grenzfall der Schwingung beobachten kann.
Abbildung 2: Das Gestänge, welches die Kraft vom
Motor auf die Feder überträgt. Nach Lockern
der Schraube hinter der senkrechten Stange
kann die untere Stange verschoben werden.
Dadurch ändert sich der Winkel, um die der
Exzenter die Feder verdreht. Zu sehen sind
hier auch die Spulen.
Versuch 1.5 - Pohlsches Pendel
3
Die Spulen und der Elektromotor werden über ein Netzgerät mit Strom versorgt. Der rechte Ausgang ist
mit dem Spulenpaar verbunden, der Linke mit dem Motor. Achten Sie darauf, das Netzgerät nur ein- und
auszuschalten, wenn alle vier Potentiometer auf Null stehen. Um einen Strom durch die Spulen zu schicken,
regeln Sie zuerst die Spannungsbegrenzug hoch und stellen dann den Strom ein. Strom und Spannung werden
au dem Netzgerät angezeigt. Um den Exzenter anzutreiben, stellen Sie die Potentiometer am Motor auf
Null. Regeln Sie dann die Strombegrenzung am Netzgerät hoch und stellen Sie dann die Spannung auf 20V.
Sie können dann mittels der Regler am Motor diesen mit einer Spannung 0 V ≤ U ≤ 20 V betreiben. Die
Kreisfrequenz des Motors bzw. Exzenters verhält sich direkt proportional zu dieser Spannung. Mit dem
Multimeter können Sie die Spannung messen.
Sie können die Amplitude der anregenden Kraft verändern, indem sie die Hebellänge am Gestänge verstellen
(Abb. 2). Dazu lockern Sie die Schraube und verschieben Sie die untere Stange. Je nach Position der Verbindung
wird die Feder durch den Exzenter um einen mehr oder weniger großen Winkel verdreht. Mit der Stoppuhr
können sie die Schwingungsdauer und die Zeit zum Abklingen der Amplitude messen.
3 Aufgaben
1. Messen Sie die Auslenkung in Abhängigkteit der Zeit für die Spulenströme I = 0 A, I = 0, 2 A, I = 0, 5 A
und I = 0, 8 A. Lenken Sie dazu das Rad auf 18 Einheiten aus und lassen Sie es los. Messen Sie mit der
Stoppuhr die Zeit bis zum Erreichen eines Amplitudenwertes.
a) Bestimmen Sie aus den Ergebnissen die jeweiligen Schwingungsfrequenzen.
b) Stellen Sie den Logarithmus der Amplituden als Funktion der Zeit graphisch dar (Millimeterpapier)
und berechnen Sie aus dem Geradenanstieg die Dämpfungskonstante.
c) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz des Pendels.
2. Nehmen Sie Resonanzkurven auf. Stellen Sie die Eingangsspannung des Motors am Netzgerät auf 20 V.
Stellen Sie dann den Spulenstrom auf jeweils I = 0, 2 A, I = 0, 5 A und I = 0, 8 A. Ändern Sie die Motorspannung beginnend von U = 2 V in Schritten von 1 V. Messen Sie im Bereich 8, 5 V ≤ U ≤ 9, 5 V in
0,25 V-Schritten. Notieren Sie zu jedem Wert der Motorspannung den Amplitudenwert. Schätzen Sie die
Unsicherheit der Amplitudenwerte ab. Worauf müssen Sie achten, wenn Sie bei kleiner Dämpfung nahe
der Resonanzfrequenz anregen? Stellen Sie jede Resonanzkurve graphisch dar (Millimeterpapier). Lesen Sie aus der Grafik die Frequenz der maximalen Amplitude ab und schätzen Sie deren Unsicherheit ab.
Literatur:
1. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Mechanik und Wärme. Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006. 4. Auflage. S. 354ff.
2. Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1 Mechanik, Akustik, Wärme. Walter
de Gruyter Berlin New York 2008. 12. Auflagge. S. 172ff.
10.2014/Wo
Physikalisches Praktikum für Anfänger - Teil 1
Gruppe 1 - Mechanik
1.6 Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen mit dem Quincke’schen
Interferenzrohr
1 Grundlagen
Schallwellen breiten sich in Gasen als elastische Longitudinalwellen aus. Für ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit
c hat Pierre-Simon de LAPLACE 1816 die Beziehung
r
p
c= κ
(LAPLACE’sche Formel)
(1)
ρ
abgeleitet, wobei p den Druck, ρ die Dichte und κ den Adiabatenexponenten bedeuten, der sich aus den spezifischen Wärmen bei konstantem Druck c p und bei konstantem Volumen cV gemäß
κ=
cp
cV
(2)
berechnet. LAPLACE ging dabei von der damals neuartigen Vorstellung aus, dass die schnell aufeinander folgenden Kompressionen und Dilatationen in den elastischen Schallwellen adiabatisch erfolgen und daher zu
entsprechenden Erwärmungen bzw. Abkühlungen des Mediums führen. Damit war die Ursache für die erheblichen Diskrepanzen zwischen zahlreichen experimentellen Ergebnissen und den nach der von Isaac NEWTON
1710 angegebenen Formel
r
p
c=
(NEWTON’sche Formel)
(3)
ρ
berechneten Werten gefunden. NEWTON war bei seiner Ableitung von isothermen Vorgängen in der Schallwelle ausgegangen.
2 Messapparatur
Kernstück der Apparatur, wie sie in Abbildung 1 dargestellt ist, bildet das von Georg QUINCKE 1866 zur
Untersuchung akustischer Interferenzen entworfene QUINCKE’sche Interferenzrohr. Es besteht aus zwei
Rohrbögen, von denen der eine posaunenartig ausgezogen werden kann.
Der Generator G erzeugt eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz f und betreibt den elektroakustischen Wandler S als Schallsender. Die von ihm ausgehende Druckwelle spaltet sich am Reflektor R1 in zwei
Teilwellen auf. Sie durchlaufen die beiden verschiedenen Wege s1 und s2 und überlagern sich nach Spiegelung
an R2 vor dem Schallempfänger E.
Dieser wandelt die Summe der beiden Teildrucke in eine ihr proportionale Spannung um, die nach Passieren
des Verstärkers V schließlich am Instrument J abgelesen werden kann.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
2 Versuch 1.6 - Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen mit dem Quincke’schen Interferenzrohr
Abbildung 1: Schema des Versuchaufbaus mit dem QUINCKE’schen Interferenzrohr.
Der Gangunterschied der am Empfänger interferierenden Teilwellen kann durch Verändern von s2 variiert
werden. An der Noniusskala N wird diese Veränderung gemessen. Besonders gut lassen sich die Interferenzminima auswerten. Aus der Messung ihrer Abstände gemäß
λ
mit n = 0, 1, 2, 3, . . .
2
kann zunächst die Schallwellenlänge λ ermittelt und dann nach
s2 − s1 = (2n + 1)
c=λ· f
(4)
(5)
die Schallgeschwindigkeit c berechnet werden.
Die Frequenz des Schallsenders ist für alle Messungen konstant und beträgt
f =(8000±0,8)Hz
Aufgaben: (Alle Werte müssen mit Fehler angegeben werden)
1. Man ermittle die Schallgeschwindigkeiten c0 unter Normalbedingungen (0o C, Atmosphärendruck) für
die ein-, zwei- und dreiatomigen Gase Helium, Luft, Kohlendioxid. Dazu bestimme man bei den jeweils
bestehenden Raumtemperaturen T (in Grad Celsius) zunächst die Schallgeschwindigkeit c mit Hilfe der
Formeln (4) und (5) wobei man den maximal möglichen Hub des posaunenartigen Auszugs ausnutze.
Zu den Werten für Normalbedingungen gelangt man dann über die Beziehung
c0 = √
c
1 + αT
, α=
1
273, 16 ◦C
2. Mit den eben ermittelten Schallgeschwindigkeiten berechne man aus der Gleichung 1 und der Zustandsgleichung für ideale Gase für die drei Gase die Adiabatenexponenten κ .
Versuch 1.6 - Messung der Schallgeschwindigkeit in Gasen mit dem Quincke’schen Interferenzrohr 3
3. Wieviele Freiheitsgraden haben die Moleküle von den drei untersuchten Gasen? Welche sind diese Freiheitsgraden?
4. Man stelle für die drei Gase die Resultate für c0 und κ tabellarisch zusammen und füge zu Vergleichszwecken noch die nach der gaskinetischen Theorie unter Berücksichtigung des Gleichverteilungsgesetzes
zu erwartenden Werte für κ hinzu.
5. Bestimmen Sie die Werte für Cp und Cv für alle drei Gase.
Vorsicht!
Um bei der Verschiebungsmessung immer eine vollständige Füllung des Interferenzrohres mit dem gewählten reinen Gas sicherzustellen, soll stets eine leichte, die Schallgeschwindigkeit nicht störende Gasströmung
bestehen. Das Gas tritt ein bei a und tritt aus bei b1 , b2 , b3 (siehe Abbildung1). Bei den Verschiebungsmessungen achte man darauf, das Vergrößern des Posaunenauszuges so langsam vorzunehmen, dass unter keinen
Umständen Luft durch die kleinen Gasaustrittsöffnungen b1 , b2 , b3 des Interferenzrohres angesaugt wird!
Die jeweiligen Gasventile sehr vorsichtig öffnen und nach dem Versuch sorgfältig wieder verschließen!
3 Hinweise zur Aufgabenstellung
Zu 1: Zur genauen und schnellen Wellenlängenbestimmung ist es am günstigsten, die genauen Lagen der beiden Schallintensitätsminima nahe bei maximal und minimal möglichem Posaunenauszug mit höchstmöglicher
Präzision einzustellen und auf der Noniusskala abzulesen, sowie sämtliche auf dieser Strecke liegenden Minima nur zu zählen. Der Abstand dieser beiden Extremlagen sei die Verschiebung δ . Die Anzahl sämtlicher
Minima auf dieser Verschiebung sei m. Dann ist δ = (m − 1) λ2 und somit die gesuchte Wellenlänge
2δ
mit m = 2, 3, 4 . . .
(6)
m−1
Es ist zweckmässig, zuerst mit der reichlich vorhandenen Pressluft zu beginnen, um sich mit den praktischen
Details des Experiments vertraut zu machen und um sich zu trainieren, höchste Präzision zu erreichen. Danach
messe man mit CO2 und schließlich mit He. Beim Gaswechsel achte man auf sorgfältigen Austausch der
Füllgase, so dass stabile Messungen der Minima möglich sind. Für jedes Gas führe man zügig hintereinander
3 höchstpräzise Verschiebungsmessungen aus, mittele über die je drei oben erläuterten Endlagenwerte
und bestimme daraus die Wellenlänge. Da in aller Regel die Raumtemperatur leicht ansteigt, messe man
unmittelbar vor Beginn und nach Beendigung der Verschiebungsmessreihe möglichst genau die Anfangsund Endtemperatur. Mit dem Mittelwert dieser Temperaturen berechne man die Schallgeschwindigkeit c0 bei
Normalbedingungen.
λ=
Zu 2: Zur Berechnung des Molekulargewichts der Luft berücksichtige man eine Volumenzusammensetztung
von 79% N2 und 21 % O2 .
Zu 3 und 4: Für die Differenz der molaren spezifischen Wärmen bei konstantem Druck und konstantem
Volumen gilt c p − cV = R.
Pro Freiheitsgrad, f , gibt es einen Beitrag von 1/2 R zur molaren spezifischen Wärme cV .
6.2013/VdM
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 – Mechanik
1.7 Aräometer
1 Einführung
Die Dichte eines Materials ist als Quotient von Masse und Volumen definiert. Ihre experimentelle
Bestimmung erfordert in der Regel eine messtechnische Erfassung von
Masse und Volumen, die mit teilweise umständlichen Arbeitsvorgängen
verbunden sein kann.
Bei Flüssigkeiten lässt sich die Dichte - zumindest für die Alltagspraxis auf eine etwas bequemere Weise ermitteln, indem man die Gesetzmäßigkeiten der Hydrostatik ausnutzt. Danach taucht ein Körper, der in
einer Flüssigkeit schwimmt, bis zu einer ganz bestimmten Tiefe h ein, die
von den Dichtewerten des Körpers und der Flüssigkeit abhängt. Hierzu
benutzt man ein Aräometer, das auch als Senkwaage bezeichnet wird. Ein
Aräometer ist ein luftgefüllter, stabförmiger Tauchkörper aus Glas, dessen
unteres Ende mit einem Gewicht (vielfach Bleischrot) beschwert ist.
Dieser Körper taucht in eine Flüssigkeit bis zu einer bestimmten Tiefe
ein, und die über die Flüssigkeitsoberfläche hinausragende Höhe h ist
dann ein Maß für die Dichte ρ der untersuchten Flüssigkeit. Der Kehrwert
der Dichte 1/ρ hängt bei geeigneter Form des Gerätes linear zusammen
mit der Höhe h, die das Aräometer aus der Flüssigkeit ragt:
1
V
A
=
−
⋅h.
M
M

Flüssigkeitsspiegel
h
165
14,9
13
30
99
(1)
Dabei sind V = Gesamtvolumen, M = Gesamtmasse und A = Querschnitt
des Aräometers im Skalenbereich von h.
11
14,9
Aufgabe:
1.1 Leiten Sie Gleichung (1) her.
2 Kalibrierung des Aräometers
Das Aräometer kann durch Rechnung oder experimentell durch Messungen in Flüssigkeiten mit bekannter Dichte kalibriert werden.
13
30
Abb. 1 : Abmessungen des
Aräometers
Aufgaben:
2.1 Bestimmen Sie das Volumen V des Aräometers experimentell durch Verdrängungsmessung und geben
Sie den dabei entstehenden Fehler an.
Im Prinzip kann man das Volumen auch mit Hilfe der in der Skizze (Abb. 1) angegebenen Abmessungen rechnerisch ermitteln. Aber da das Aräometer von einem Glasbläser angefertigt wurde und
daher relativ große Abweichungen von den Sollwerten aufweist, würde der Fehler hierbei größer
ausfallen.
2.2 Berechnen Sie nun die Gesamtmasse M des Aräometers. Im vorliegenden Versuch soll das Aräometer
für Messungen in verschiedenen Alkohol-Wasser-Gemischen verwendet werden. Die Masse M ist so zu
wählen, dass der Dichteunterschied zwischen Wasser und Alkohol (Werte s. Abb. 2) der maximalen
Skalenlänge von Δh = 147 mm entspricht. Stellen Sie diesen Wert durch Einfüllen von Stahlkugeln in
das Aräometer bei gleichzeitiger Wägung ein.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.7 Aräometer
Vorsicht: Achten Sie beim Einfüllen der Kugeln darauf, dass das Aräometer nicht beschädigt wird!
2.3 Berechnen Sie mit den eingestellten Werten entsprechend Gl. (1) eine theoretische Kalibriergerade:
1
= a 0−a1⋅h.

(2)
Bestimmen Sie a0 und a1, tragen Sie diese in ein Diagramm ein und zeichnen Sie die Fehlerbalken.
3 Messungen an verschiedenen Flüssigkeiten
Über die Dichtebestimmung mit dem Aräometer soll der Alkoholgehalt von vier
Gemischen (A, B, C, D) mit verschiedenen Konzentrationen ausgemessen werden
Alkohol-Wasser-
Aufgaben:
3.1 Messen Sie mit dem Aräometer die Werte für h in den Flüssigkeiten A, B, C und D und bestimmen Sie
mit Hilfe der Kalibriergeraden die dazugehörigen Werte der 1/ρ und ρ.
3.2 Geben Sie danach mit Hilfe des Diagramms in Abb.2 den Alkoholgehalt mit Fehlern als Masse- und
Volumenanteil in Prozent an.
3.3 Für kleine Werte von h kann man statt der Gl. (1) die folgende praktische Näherung benutzen:
 = b0b1⋅h.
(3)
Tragen Sie entsprechend der Näherungsformel (2) die Werte von ρ als Funktion von h in einer Grafik
auf, bestimmen Sie b0 und b1 und beurteilen Sie die Genauigkeit dieser Darstellung.
Hinweis: Säubern Sie das Aräometer jedesmal, bevor Sie es in ein Gemisch tauchen. Verschließen Sie die
Standzylinder sofort nach Gebrauch.
Literatur:
Meschede:
Hering, Martin, Stohrer:
Gerthsen Physik
Physik für Ingenieure
9.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 1 - Mechanik
1.8 Schallgeschwindigkeit in Metallen
1 Einführung
In festen elastischen Medien sind sowohl Longitudinalwellen (Verdichtungswellen) als auch Trans versalwellen (Verformungen) möglich. Dies entspricht der Eigenschaft fester Stoffe, dass sie auf zwei
verschiedene Arten elastisch deformiert werden können. Entweder verändert sich das Volumen oder die
Gestalt. Die Volumenänderungen hängen von dem Elastizitätsmodul E, die Gestaltsänderungen hingegen
von dem Schub- oder Torsionsmodul G (siehe auch Versuch 1.4) ab. Da bei Longitudinalwellen nur Verdichtungen und Verdünnungen erzeugt werden, sind sie in allen Medien möglich, die eine Volumen elastizität besitzen, d.h. neben festen auch in flüssigen und gasförmigen Stoffen.
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von longitudinalen Wellen in Stäben (zur Unterscheidung von
Longitudinalwellen im unbegrenzten Medium werden diese auch Dehnungswellen genannt) liefert die
Theorie den Ausdruck:
c =

E
.

(1)
ρ ist Dichte des Materials. Diese Gleichung gilt jedoch nur, solange die Querabmessungen des Stabes klein
gegen die Wellenlänge sind. Im Gegensatz hierzu liefert die Theorie für ein unendlich ausgedehntes festes
Medium einen komplizierteren Ausdruck für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen Welle:
c =

1−
E
⋅
.
 1⋅1−2  
(2)
Hier bei ist μ die Poisson-Zahl. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen Welle in einem
unendlich ausgedehnten festen Medium ergibt sich also ein größerer Wert als in einem seitlich begrenzten
Stab.
2 Versuchsaufbau und -durchführung
Mit einem Impulsgenerator werden periodische Spannungsimpulse mit einer steilen negativen Vorderflanke
erzeugt. Diese Impulse werden an Bariumtitanatkristalle gelegt, die auf die Endflächen von vier Metall stäben geklebt sind. Durch den piezo-elektrischen Effekt werden die Impulse in mechanische Impulse in
Längsrichtung der Stäbe umgeformt. Diese Impulse durchlaufen die Stäbe mit Schallgeschwindigkeit, wer den an einer Störung (offenes Ende oder aufgesetzte Masse) reflektiert und im Kristall wieder in Spannungs impulse umgewandelt. Startimpuls und reflektierter Impuls können mit einem Oszilloskop beobachtet, und
die Laufzeit gemessen werden. Das reflektierte Signal besteht aus einem ganzen Schwanz von Schwin gungen, die durch Eigenschwingungen des Kristalls nach der Impulsanregung entstehen. Die Antwort auf
die anregende Flanke ist der Einsatzpunkt dieser Schwingungen mit dem richtigen Vorzeichen. Um den
Einsatzpunkt der erregenden Flanke beobachten zu können, wird das Oszilloskop durch einen Impuls
getriggert, der dem eigentlichen Signal vorausläuft (Triggerausgang des Generators). Zur Kalibrierung der
Zeitachse des Oszilloskops steht ein Signal mit einer Frequenz von 7,8125 kHz zur Verfügung. Um den
Schirm des Ozilloskops voll auszunutzen, sind eine geeignete Zeitablenkung, x-Verstärkung und x-Ver schiebung am Oszilloskop einzustellen.
Aufgaben:
2.1 Kalibrieren Sie die Zeitachse des Oszilloskops. Messen Sie dazu die Laufzeit über die volle Stablänge,
und nutzen Sie die Schirmbreite voll aus. Bestimmen Sie die Zahl der abgebildeten Perioden des
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
1.8 Schallgeschwindigkeit in Metallen
Kalibriersignals pro Längeneinheit auf dem Bildschirm. Daraus ergibt sich der Kalibrierfaktor
(Zeit/Länge) mit zugehörigem Fehler. Vernachlässigen Sie den Frequenzfehler des Kalibrieroszillators.
Berechnen Sie aus den ermittelten Messwerten zur Kontrolle die Schallgeschwindigkeit.
2.2 Messen Sie die Laufzeit des Echos mit einer angeschraubten
Masse in verschiedenen Positionen. Verändern Sie die Kalibrierung hierbei nicht.
Hinweis: Die Schrauben der Masse müssen möglichst fest
angezogen werden, um ein sichtbares Signal zu erhalten
2.3 Tragen Sie die Messpunkte mit Fehlerbalken in ein Diagramm ein, und ermitteln Sie die Schallgeschwindigkeiten
nach dem Verfahren der linearen Regression (grafisch und
rechnerisch).
Material
ρ in kg/m3
Aluminium
Eisen
Messing
Kupfer
(2,70 ± 0,05) ∙103
(7,86 ± 0,05) ∙103
(8,400 ± 0,005) ∙103
(8,940 ± 0,005) ∙103
Tabelle 1: Dichtewerte der
verschiedenen Metalle
2.4 Berechnen Sie die Elastizitätsmodule und deren Fehler.
Literatur:
Bergmann, Schäfer:
Meschede:
Hering, Martin, Stohrer:
Walcher:
Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 (Mechanik, Akustik, Wärme)
Gerthsen Physik
Physik für Ingenieure
Praktikum der Physik, Kap. 2.7
Geräte:
Messstrecke (4 Stäbe aus verschiedenen Metalle mit Piezokristallen), Impulsgenerator, Oszilloskop,
Messband
9.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2
Elektrizitätslehre
1 Vorbemerkung
In diesem Teil des Praktikums werden die Elektrizitätslehre und die daraus von Faraday und Maxwell
entwickelten Vorstellungen der elektrischen und magnetischen Felder behandelt. Im Vordergrund steht
dabei die messtechnische Erfassung einiger Grundgrößen dieser Felder. Außerdem werden Entladevorgänge, Schwingungen und Frequenzgänge von Wechselspannungen untersucht.
Drei der Versuche beziehen sich auf elektrische Felder. Dazu gehört ein Versuch über die Erfassung
elektrischer Feldlinien und Potentiale mit Hilfe des elektrolytischen Troges. Weiterhin werden an einer
Wechselstrommessbrücke Kapazitäten und Dielektrizitätskonstanten bestimmt, sowie mit Hilfe einer
empfindlichen Waage die mit dem elektrischen Feld zweier Leiter verbundene mechanische Kraft gemessen
und zur Eichung von Spannungen benutzt.
Einige weitere Versuche befassen sich mit magnetischen Feldern. Dabei werden mit Hilfe des Hall-Effektes
und der Hall-Spannung die Beweglichkeiten und Ladungsträgerdichten in Halbleitern gemessen und die
Hysteresiskurve eines ferromagnetischen Körpers bestimmt. Zwei Versuche beschäftigen sich mit
Messungen des Erdmagnetfelds mit Hilfe eines Erdinduktors bzw. einer rotierenden Spule.
Außerdem wird in zwei Versuchen untersucht, wie bei einer Entladung eines Kondensators gedämpfte
Schwingungen erzeugt werden können und wie der frequenzabhängige Einfluss von Schwingkreisen auf
Wechselspannungen aussieht. In diesen Versuchen wird auch der Umgang mit einem Oszilloskop als Messgerät geübt.
2 Literatur
Die Grundlagen der Elektrizitätslehre und der elektrischen und magnetischen Felder werden in allen
klassischen Lehrbüchern der Physik dargestellt; hierzu gehören die schon in Gruppe 1 erwähnten Bücher:
Meschede:
Bergmann, Schaefer:
Tipler:
Hering, Martin, Stohrer:
Walcher:
Geschke:
Gehrtsen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York
Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd.2. Elektromagnetismus. W. de GruyterVerlag, Berlin, New York
Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure. Spektrum Akademischer Verlag
Physik für Ingenieure. VDI-Verlag, Düsseldorf
Praktikum der Physik. Verlag B. G. Teubner
Physikalisches Praktikum. Verlag B. G. Teubner
Weitere, für die Versuchsdurchführung erforderliche Grundkenntnisse, die in den Büchern nicht ausreichend behandelt werden, sind in den Versuchsanleitungen ausführlich dargestellt.
3 Versuche
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Elektrolytischer Trog
Wechselstromwiderstand einer Spule
Kapazität und Dielektrikum
Erdinduktor und Helmholtzspule
Halleffekt
Ferromagnetische Permeabilität
Wechselstrombrücke
Messung des Erdmagnetfeldes mit rotierender Spule
Frequenzgänge von Schwingkreisen
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
10.2009/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.1 Elektrolytischer Trog
1 Einführung
Elektrische Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld 
E . Ist die Ladung räumlich verteilt, so wird sie
durch die Raumladungsdichte ρ r  beschrieben. Der Zusammenhang mit dem elektrischen Feld E ist
im Vakuum durch die Maxwell-Gleichung
 = 
div D
bzw.
div 
E =  / 0
(1)
gegeben. Da das elektrische Feld ein konservatives Vektorfeld ist, lässt es sich auf ein skalares Potenzial V
zurückführen. Dabei gilt die Beziehung

E = − grad V .
(2)
Die Verknüpfung der beiden Gleichungen (1) und (2) liefert dann für die Abhängigkeit des elektrischen
Potenzials V von der Raumladung ρ die Poisson-Gleichung
div grad V = − /0
bzw.
 V = −  /0 .
(3)
Eine der Hauptaufgaben der Elektrostatik besteht nun darin, zu einer vorgegebenen räumlichen Ladungs verteilung ρ r  das zugehörige räumliche Potenzialfeld V  r  zu bestimmen. Eine geschlossene Lösung der
Differentialgleichung (3) ist nur bei relativ einfachen Ladungsanordnungen möglich. Für viele andere
spezielle Fälle gibt es auch Näherungslösungen. Bei komplizierten Ladungsverteilungen wird das Auffinden
von Lösungen aber meist mathematisch sehr aufwendig oder kann nur noch numerisch erfolgen.
In solchen Fällen bevorzugt man eine experimentelle Lösung des Problems, indem der räumliche Verlauf
des elektrischen Feldes und des Potenzials in einem Versuchsaufbau ausgemessen wird. Dabei werden
Äquipotenzialflächen bzw. -linien nicht im Vakuum, sondern in einem Behälter mit einem schwach
leitenden Medium, den als Elektrolytischen Trog bezeichnet, untersucht. Im vorliegenden Versuch wird als
schwach leitender Elektrolyt Leitungswasser verwendet. Die verschiedenen räumlichen Ladungsverteilungen werden durch Einbringen von geeignet geformten Elektroden, an denen unterschiedliche
Potenziale liegen, realisiert. Entsprechend der vorgegebenen Potenzialdifferenz stellt sich nach Gl.(2) ein
elektrisches Feld ein. Das ohmsche Gesetz in seiner Urform liefert dann eine Proportionalität zwischen
E:
Stromdichtevektor j und elektrischem Feldvektor 
j =  E
.
(4)
Der Proportionalitätsfaktor σ heißt spezifische Leitfähigkeit. Dieser Zusammenhang wird für die
experimentelle Auffindung des Feldverlaufes ausgenutzt.
2 Messmethode
Die Äquipotenzialflächen bzw. -linien werden im Elektrolytischen Trog
mit Hilfe der Poggendorfschen Kompensationsmethode gemessen (siehe
Abb. 1). Durch das Anzeigeinstrument fließt genau dann kein Strom,
wenn an den Punkten 1 und 2 gleiches Potenzial herrscht. Der Abgleich
wird durch Verstellen des Potenziometers hergestellt. Da die Potenzialmessung stromlos erfolgt, ergibt sich im Gegensatz zur Messung mit
einem üblichen Voltmeter kein Messfehler durch Belastung mit dem
endlichem Innenwiderstand.
I
1
U0
2
UTrog
Abbildung 1:
Kompensationsschaltung
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
2.1 Elektrolytischer Trog
Im Versuch wird das Potenziometer durch einen Spannungsteiler mit 20 gleichen Widerständen ersetzt. Die
Spannung UTrog wird mit einer Sonde an einem bestimmten Punkt des Troges abgegriffen. Zum Ausmessen
einer Potenziallinie wird am Spannungsteiler ein bestimmtes Potenzial vorgegeben und die zugehörige
Äquipotenziallinie mit demselben Potenzial im Trog mit der Sonde „verfolgt”.
Der Elektrolyt wird durch Leitungswasser
gebildet. Als Messspannung muss eine
tonfrequente Wechselspannung verwendet
werden. Bei Benutzung einer Gleichspannung würde sich an den Elektroden
eine sogenannte Debye-Schicht ausbilden,
die zwar nur wenige Nanometer dick ist,
aber einen Spannungsabfall im Bereich von
1 Volt erzeugt. Elektrolyse-Effekte spielen
wegen der kleinen Spannungen nur eine
untergeordnete Rolle.
Wechselspannungsquelle
Spannungsteiler
Oszilloskop
Y1
Y2
Sonde
Die Benutzung einer Wechselspannung hat
zwar den Nachteil, dass die Information
Elektrode
Elektrode
über die Richtung des Stromes und damit
das Vorzeichen der Potenzialdifferenz
verloren geht. Da aber nur der Nulldurchgang der Potenzialdifferenz gesucht
wird, ist eine Ermittlung des Vorzeichens
Abbildung 2: Versuchsaufbau des Elektrolytischen Trogs
bei den Messungen nicht erforderlich. Der
komplette Versuchsaufbau ist in Abb. 2 dargestellt. Als Nullanzeigeinstrument wird ein Oszilloskop
verwendet.
Zur Vereinfachung der Messungen kann man Symmetrien der auszumessenden Felder durch Einfügen von
Metall- bzw. Isolatorflächen in den Versuchsaufbau ausnutzen.
Metallflächen :
Wegen der hohen elektrischen Leitfähigkeit herrscht auf der metallischen Oberfläche stets konstantes
Potenzial. Man kann demnach in ein Feld parallel zu den Äquipotenzialflächen - also senkrecht zu den
Feldlinien - Metallflächen einfügen, ohne das Feld zu verändern. Liegt die Metallfläche auf Nullpotenzial,
so verhält sich die Anordnung so, als ob eine spiegelbildliche Elektrodenanordnung jenseits der Platte läge.
Diese „Spiegelungsregel” wird beispielsweise bei der Zweidrahtleitung ausgenutzt.
Isolatorflächen :
Da wegen der geringen Leitfähigkeit alle Feldlinien an der Oberfläche verlaufen, stehen die
Äquipotenziallinien senkrecht auf ihr. Man kann also parallel zu den Feldlinien Isolatorflächen ein führen,
ohne den Feldverlauf zu ändern. Auf diese Art kann man auch - z.B. aus kugelsymmetrischen Feldern Sektoren oder Teile „herausschneiden”. Der Aufbau für den Zylinder- bzw. Kugelkondensator basiert auf
dieser Überlegung.
2.1 Elektrolytischer Trog
Seite 3
3 Messungen an den Modellen
3.1 Zylinderkondensator
Durch Ausnutzung der o.g. Symmetrieregeln entspricht der Aufbau nach Abb. 3
mit flachem Trogboden einem Zylinderkondensator. Nach der Theorie folgt für
das Potenzial dieses Kondensators :
Abbildung 3: Modell für
den Zylinder- und
Kugelkondensator
V r  = a 1  b1 ln r /cm .
(5)
Aufgaben:
3.1.1 Messen Sie die Radien r, bei denen die abgreifbaren Potenziale auftreten.
3.1.2 Tragen Sie V(r) gegen ln(r/cm) auf, und bestimmen Sie a1 und b1.
3.2 Kugelkondensator
Der Aufbau für den Kugelkondensator entspricht dem für den Zylinderkondensator, nur dass hier der
schräge Boden benutzt wird, wobei die „Uferlinie“ des Wassers direkt an der Isolatorfläche (in Abb.3 an der
gestrichelten Linie) liegen muss. Für das Potenzial des Kugelkondensators gilt :
V r  = a 2  b2 /r .
(6)
Aufgaben:
3.2.1 Messen Sie die Radien r, bei denen die abgreifbaren Potenziale auftreten.
3.2.2 Tragen Sie V(r) gegen 1/r auf, und bestimmen Sie a2 und b2 .
3.3 Zweidrahtleitung
Das Feld der Zweidrahtleitung erstreckt sich auf beiden Seiten bis in das Unendliche. In
dem Modell hierfür wird nur ein „Draht” benutzt, und die Mittelebene durch eine
Metallfläche gebildet. Außerdem werden zwei viertelkreisförmige Feldlinien durch
Isolatorflächen dargestellt.
x
Abbildung 4:
Modell der
Zweidrahtleitung
Aufgaben :
3.3.1 Zeichnen Sie die Äquipotenziallinien im Inneren des Modells mit Hilfe der Plot-Einrichtung.
3.3.2 Bestimmen Sie aus dieser Grafik das elektrische Feld (z.B. in Potenzialeinheiten pro mm) entlang der
Metallfläche als Funktion der Koordinate x, und tragen Sie dies in ein Diagramm ein.
3.4 Quadrupolstruktur
−
y
Die Quadrupolstruktur ist die Urform der Anordnungen, die dem
+ x +
Massenspektrometer und verschiedenen Formen von Ionen- und Atom-„Fallen”
−
zugrunde liegt. In dem Modell werden die kleineren Zylinder über Kreuz mit der
Spannungsquelle verbunden. Die äußere Umrandung besitzt dann ein Potenzial, das
Abbildung 5: Modell
dem Mittelwert der Spannungen entspricht.
der Quadrupolstruktur
Aufgaben :
3.4.1 Zeichnen Sie die Äquipotenziallinien für den zentralen Bereich der Struktur mit Hilfe der
Ploteinrichtung.
3.4.2 Bestimmen Sie aus dieser grafischen Darstellung den Potenzialverlauf V(x) und V(y) entlang der
Symmetrielinien, und tragen Sie beide Potenziale gegen die gemeinsame Abszisse x oder y auf.
(Hinweis : Nach der Theorie sind die Äquipotenziallinien im zentralen Bereich Hyperbeln mit
orthogonalen Asymptoten; V(x) und V(y) sind Parabeln, woraus folgt, dass die beiden elektrischen
Feldkomponenten Ex (x) und Ey (y) proportional zu x bzw. y anwachsen. )
3.4.3 Messen Sie mit Hilfe des feiner abgestuften Spannungsteilers das Potenzial V(0) im Zentrum der
Figur - dem so genannten Sattelpunkt des Potenzials.
Seite 4
2.1 Elektrolytischer Trog
Literatur :
Meschede:
Küpfmüller, K:
Pregla, R.:
Gerthsen Physik, Kap. 6.1.3, 6.1.4.
Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, 2. Kap. (9.,14.)
Grundlagen der Elektrotechnik, Kap.1
Geräte :
1 elektrolytischer Trog mit Sonde und Plot-Einrichtung, Oszilloskop, 1 ebener Boden, 1 schräger Boden,
2 Spannungsteiler, 3 Elektroden-Modelle (Zylinder- und Kugelkondensator, Zweidrahtleitung, Quadrupol)
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.2 Wechselstromwiderstand einer Spule
1 Einführung
Eine ideale Spule hat bei Wechselstrom einen frequenzabhängigen Widerstand der Größe ωL. Außerdem
sind Strom- und Spannung um 90° gegeneinander phasenverschoben. Verwendet man komplexe Größen
zur Beschreibung dieser Verhältnisse (siehe dazu auch die den Anleitungen beiliegende Einführung in
die komplexe Berechnung von Netzwerken), kann ihr der komplexe Widerstand jωL zugeordnet werden.
In der Realität besitzt allerdings jede Spule auch einen Wirkwiderstand, der durch den
R
L
ohmschen Widerstand des aufgewickelten Drahtes hervorgerufen wird. Eine reale
Spule muss also im Ersatzschaltbild durch die Reihenschaltung eines ohmschen
Abb. 1:
Widerstandes mit einer idealen Spule dargestellt werden. Sie hat dann den komplexen Ersatzschaltbild
Widerstand (siehe Abb. 1):
RL = R + j ω L.
(1)
2 Bestimmung aus Scheinwiderstand und Wirkwiderstand
Der Scheinwiderstand Rs eines Zweipols ist der Betrag des komplexen Widerstands. Legt man an einen
Zweipol (im Versuch ist es die reale Spule) eine sinusförmige Wechselspannung fester Frequenz an, so
kann Rs leicht durch Strom- und Spannungsmessung bestimmt werden. Der Wirkwiderstand (der Realteil
des komplexen Widerstandes) lässt sich bei der Spule mit einem Gleichstromohmmeter bestimmen.
Bei der Messung des Scheinwiderstandes gibt es zwei Möglichkeiten, Volt- und Amperemeter zu
schalten. Bei der Wahl der Schaltung sind die Innenwiderstände der Messgeräte zu berücksichtigen.
Als Spannungsquelle wird ein Stelltransformator verwendet, der aus dem Netz gespeist wird und eine
einstellbareSpannung von 0 .. 20 V abgibt. Die Frequenz der Messspannung beträgt 50 Hz.
Da die auszumessende Spule einen Kern aus ferromagnetischem Material besitzt, ist ihre Induktivität
keine Konstante, sondern vom durchfließenden Strom abhängig (siehe auch Kap. 4 des Versuchs). Um
diesen Einfluss auf den Scheinwiderstand erkennen zu können, muss eine Messreihe bei verschie denen
Strömen aufgenommen werden. Die gemessenen Ströme werden gegen die Spannungen grafisch
aufgetragen. Aus der Steigung der Ausgleichsgeraden für den Leitwert, die für den Bereich eines noch
linearen Zusammenhangs zwischen Spannung und Strom einzuzeichnen ist, wird dann der Schein widerstand berechnet.
Aufgaben:
2.1 Messen Sie den Wirkwiderstand der Spule mit einem Digitalmultimeter
2.2 Zeichnen Sie die Ersatzschaltbilder (einschließlich der Innenwiderstände) für die beiden Möglich keiten, Volt- und Amperemeter zu schalten, und berechnen Sie damit die jeweiligen Fehler bei der
Messung des Scheinwiderstandes. Welche Schaltung ist besser? Bauen Sie diese Schaltung auf.
2.3 Messen Sie die Abhängigkeit I = I(U) in einer Messreihe für Spannungen Ueff von 1 bis 15 V in
Schritten von 1 V.
2.4 Bestimmen Sie den Scheinwiderstand, wie oben beschrieben.
2.5 Berechnen Sie aus Wirk- und Scheinwiderstand den Blindwiderstand (Imaginärteil des komplexen
Widerstandes, siehe Gl. (1) und daraus die Induktivität der Spule.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
2.2 Wechselstromwiderstand einer Spule
3 Bestimmung nach der Dreivoltmetermethode
Mit der Schaltung nach Abb. 2 kann der komplexe Widerstand eines beliebigen Zweipols Rx bestimmt
werden. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt für die drei komplexen Spannungen:
U 0 = U1  U 2 .
≈
U0
R1
U1
Rx
U2
(2)
U0
U2
φ
U1
Abb. 2: Dreivoltmeter-Methode
Abb. 3: Spannungsdiagramm
Die Beträge dieser komplexen Spannungen sind die Effektivwerte der mit üblichen Multimetern
gemessenen Spannungen. Daraus lässt sich dann in der komplexen Spannungsebene ein Dreieck konstruieren (Abb. 3), aus dem die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung am unbekannten
Zweipol bestimmt werden kann.
Für die Effektivwerte gilt nach dem Kosinussatz mit cos (180 °−φ) = − cosφ die Beziehung
U 02 = U 12 + U 22 + 2 U 1 U 2 cos φ .
(3)
Stellt man R1 so ein, dass U1 = U2 wird, vereinfacht sich dieser Ausdruck, und man erhält
cosφ =
U 20
2
2U 1
− 1
und
sin φ =
2
√ 1 − cos φ =
U0
U1
√
1 −
U 20
2
4 U1
.
(4)
Der Strom durch R1 und den auszumessenden Zweipol beträgt
I =
U1
U2
=
.
R1
∣ Rx ∣
(5)
Da U1 = U2 ist, berechnet sich der Scheinwiderstand Rs des Zweipols zu
R s = ∣ R x ∣ = R1 .
(6)
Im Versuch ist der Zweipol Rx eine reale Spule nach Gl.(1). Für ihren Wirk- und Blindwiderstand erhält
man mit damit
R = R1 cosφ
und
ωL = R1 sin φ .
(7)
Aufgaben:
3.1 Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 2 auf. Als Wechselspannungsquelle dient der Stelltrafo, für R1
wird eine Widerstandsdekade eingesetzt. Da die Spule wegen des Eisenkerns ein nichtlineares Bauelement ist, muss mit möglichst kleinen Wechselspannungen (U0,eff < 1 V) gearbeitet werden.
3.2 Verändern Sie den Widerstand R1 solange bis die Bedingung U1 = U2 erfüllt ist. Lesen Sie die drei
Spannungen ab und konstruieren daraus möglichst groß auf Millimeterpapier mit einem Zirkel das
Spannungsdiagramm (Abb. 3). Lesen Sie den Phasenwinkel φ ab.
3.3 Bestimmen Sie φ auch rechnerisch aus Gl. (4), und berechnen daraus R und L.
2.2 Wechselstromwiderstand einer Spule
Seite 3
4 Messungen bei überlagertem Gleichstrom
Im letzten Teil des Versuchs wird dem Wechselstrom ein Gleichstrom überlagert, um die Abhängigkeit
der Induktivität der Eisenkernspule vom durchfließenden Strom auszumessen. Dazu muss die Schaltung
etwas erweitert werden (Abb. 4). Die Voltmeter werden über Kondensatoren angeschlossen, damit sie
nur die Wechselspannungen anzeigen. Das Gleichstromamperemeter ist dagegen durch einen Konden sator für Wechselströme überbrückt.
V
+
+
U1
-
A
I=
R1
R
230 V~
0..20 V~
Stromquelle
+
+
V
-
+
L
U0
V
U2
30 V
Abb. 4: Versuchsaufbau
Die Wechselspannungsamplitude wird auch wieder so eingestellt, dass U0 etwas unterhalb der maximalen Anzeige im 2 V-Bereich liegt.
Bei der Fehlerabschätzung ist zu beachten, dass sich für L ein von φ abhängiger Fehler ergibt, der bei
kleinen Phasenwinkeln sehr groß wird:
ΔL
2
=
L
tan φ⋅ tan φ/ 2
(
Δ U0 Δ U1
+
U0
U1
)
+
Δ R1
.
R1
(8)
Die Fehlerangaben bei Digitalinstrumenten erfolgen üblicherweise in der Form: „prozentualer Fehler
vom Messwert + n Digits”. Die Digit-Angabe stellt dabei einen auf den Vollausschlag bezogenen Fehler
dar. Ein „Digit” bedeutet immer eine Einheit der letzten angezeigten Stelle. Im Versuch haben die
Messgeräte bei Wechselspannung einen Fehler von 0,5% vom Messwert zuzüglich 2 Digits. Bei einer
Ablesung von 1,234 V im 2 V-Bereich ergibt sich also insgesamt ein absoluter Fehler von
1,234 V ∙ 0,5 % + 0,002 V = 0,008 V, bzw. ein relativer Fehler von 0,5% + 2/1234 = 0,5% + 0,2% =
0,7% (gerundet).
Achtung:
Vor dem Abschalten der Gleichspannung muss der Gleichstrom langsam auf Null zurückgestellt werden
(Warum?).
Aufgaben:
4.1 Die Induktivität L soll für verschiedene Werte des Gleichstroms I= im Bereich 10 bis 80 mA
bestimmt werden. Legen Sie dazu eine Messwertetabelle mit Spalten für I=, ΔI=, U0, ΔU0, U1, ΔU1,
R1, φ, L und ΔL an.
4.2 Verändern Sie I= in 10 mA-Schritten und stellen den Widerstand R1 jeweils so ein, das die
Seite 4
2.2 Wechselstromwiderstand einer Spule
Bedingung U1 = U2 erfüllt wird. Wegen der Überbrückungskondensatoren (siehe Abb. 4) muss dabei
immer ein wenig gewartet werden, bis sich die Spannungen eingependelt haben. Tragen Sie
Messwerte für I=, U0, U1 und R1 in die Tabelle ein.
4.3 Berechnen Sie für jede Einzelmessung nach Gl. (4a) den Phasenwinkel φ und nach Gl. (7b) die
Induktivität L. Tragen Sie die Fehler für die Spannungs- und Strommessungen in die tabelle ein, und
berechnen Sie daraus nach Formel (8) den Fehler von L.
4.4 Tragen Sie L als Funktion von I= grafisch auf, und zeichnen Sie die Fehlerbalken ein.
Literatur:
Meschede
Gerthsen Physik, Kap. 7.2.4 und 7.3
Geräte:
3 Digitalmultimeter
Wechselspannungsmessung:
Fehler = 0,5 % vom Messwert + 2 Digits
Innenwiderstand = 10 MΩ
Wechselstrommessung:
Fehler = 1,0 % vom Messwert + 3 Digits
Spannungsabfall = 0,2 V (d.h. Innenwiderstand = 1 Ω im 200mA-Bereich)
Widerstandsmessung:
Fehler = 0,5 % vom Messwert + 2 Digit
Gleichstromamperemeter mit Überbrückungskondensator (Fehler = 2 % vom Vollausschlag)
Widerstandsdekade (Fehler = 0,2 %)
Gleichstromquelle mit Labornetzgerät
Stelltransformator 0 .. 20 V
Bauelemente:
3 Trennkondensatoren (2,2 μF), Spule
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.3 Kapazität und Dielektrikum
1 Einführung
Bringt man die Ladung Q auf einen elektrischen Leiter, so erhält dieser auf seiner Oberfläche ein elek trisches Potenzial V, das von der Geometrie des Leiters abhängt. Bei einem kugelförmigen Leiter mit dem
Radius R berechnet sich dieses Potenzial zu
V =
Q
.
4 π ε0 R
(1)
In der Elektrizitätslehre ist nun in den meisten Fällen nicht das absolute Potenzial V sondern die
Potenzialdifferenz ΔV gegenüber einem Bezugspotenzial Vref von Bedeutung. Die Potenzialdifferenz wird
dabei auch als elektrische Spannung U = ΔV = V - Vref bezeichnet. Als Bezugspotenzial verwendet man
meistens das Potenzial an der Erdoberfläche. Man nennt es Erdpotenzial oder kurz „Erde”. Die Erde kann
als kugelförmiger Leiter mit dem Radius RE angesehen werden und hat an der Oberfläche dann das Potenzial
V ref =
Q
.
4 π ε0 R E
(2)
Da RE sehr groß gegenüber R ist, kann Vref näherungsweise gleich Null gesetzt werden, und es wird
U = V =
Q
4 π ε0 R
bzw.
Q = 4 π ε 0 R⋅ U .
(3)
Diese Proportionalität zwischen Ladung und Spannung findet man bei allen geladenen Leitern, so dass
allgemein gilt
Q = C⋅U .
(4)
Die Proportionalitätskonstante C wird die elektrische Kapazität genannt, da sie ein Maß für das
Fassungsvermögen für elektrische Ladungen ist. Sie hängt dabei von der Geometrie des Leiters und von den
elektrischen Eigenschaften des isolierenden Materials ab. Letztere Abhängigkeit wird durch die
Dielektrizitätszahl ε (relative Dielektrizitätskonstante) beschrieben. Sie gibt an, um welchen Faktor sich die
Kapazität mit Dielektrikum im Vergleich zum Vakuum erhöht.
Bei einem Plattenkondensator berechnet sich die Kapazität aus der Plattenfläche A und dem
Plattenabstand d:
C =
Q
A
= ε0 ε
.
U
d
(5)
Genaugenommen gilt dieser Zusammenhang nur für großes A und kleines d, da nur dann die an den Plattenrändern auftretenden Abweichungen vom homogenen Feldverlauf zu vernachlässigen sind. Die Gleichung
ermöglicht es, über eine Kapazitätsmessung die Dielektrizitätskonstante des Isolators zu bestimmen. Davon
soll in diesem Versuch Gebrauch gemacht werden.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
2.3 Kapazität und Dielektrikum
2 Kapazitätsmessung
2.1 Verfahren
Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Verfahren zur Kapazitätsmessung:
● Zur ersten Gruppe zählen alle Verfahren, bei denen die Kapazität auf
andere physikalische Größen zurückgeführt wird. Entlädt man zum
Beispiel einen aufgeladenen Kondensator über einen definierten
Widerstand und bestimmt zu zwei Zeitpunkten die dazugehörige
Kondensatorspannung, so lässt sich aufgrund des exponentiellen
Entladevorgangs die Kapazität errechnen. Hierbei wurde die eigentliche Kapazitätsmessung auf eine Zeit- und Spannungsmessung zurückgeführt.
●
RA
RB
≈
Cx
CN
Abb. 1: Prinzip der
Wechselstrombrücke
Die zweite Gruppe der Kapazitätsmessmethoden umfasst die Vergleichsverfahren, bei denen der unbekannte Kapazitätswert mit einem Referenzwert verglichen wird (Brückenmessung).
2.2 Wechselstrombrücke
Die einfachste Brückenanordnung ist die mit Wechselstrom betriebene Wheatstonesche Brücke nach Abb. 1.
Die Abgleichbedingung ist
RA⋅ω C N = RB⋅ ω C x .
(6)
Cx
Für die unbekannte Kapazität Cx folgt daraus
Rs
Rp
Cx
R
C x = A⋅ C N .
RB
(7)
a)
b)
Abb. 2: Ersatzschaltbild eines
verlustbehafteten
In der Praxis sind allerdings alle Kondensatoren verlustbehaftet, d.h. der
Kondensators
Durch Verändern des Widerstands RA kann die Brücke abgeglichen werden.
Widerstand des Dielektrikums ist nicht unendlich groß. Ein solcher realer
Kondensator kann durch ein Ersatzschaltbild beschrieben werden (Abb. 2a), in dem dem Kondensator ein
großer Widerstand parallel geschaltet wird. Unter der Bedingung, dass Rp»1/ωCx ist, kann statt dessen als
Ersatzschaltbild auch die Serienschaltung nach Abb. 2b verwendet werden. Es gilt dann
ω Rs C x =
1
.
ω Rp C x
Wenn ein solcher verlustbehafteter Kondensator an die Messbrücke nach Abb. 1 angeschlossen wird, ist allerdings kein vollständiger Brückenabgleich mehr möglich. Es ergeben sich nämlich
jetzt in den beiden Brückenzweigen unterschiedliche Phasenverschiebungen. Die Brücke muss deshalb mit einem weiteren
veränderbaren Widerstand RV in Serie zu CN ausgestattet werden.
Mit ihm kann dann der Phasenabgleich vorgenommen werden
(siehe Abb. 3).
2.3 Bedienung der RCL-Messbrücke
Das Prinzipschaltbild der im Versuch verwendeten Wechselstrommessbrücke ist in Abb. 3 dargestellt. Sie wird mit einer
(8)
RA
RB
≈
CN
Cx
RV
Abb.3: Prinzip einer
Wechselstrombrücke mit
Phasenabgleich
Rp
2.3 Kapazität und Dielektrikum
Seite 3
Wechselspannung von 1 kHz betrieben. Die Bereichsumschaltung wird mit dem Widerstand RB, der
Brückenabgleich mit den veränderbaren Widerständen RA und RV vorgenommen. Zur Anzeige des Abgleichs
dient ein Zeigerinstrument mit vorgeschaltetem Verstärker und Gleichrichter.
Nach Anschluss des Messobjektes muss zunächst der richtige Bereich gewählt werden. Dazu wird bei gedrückter „SEARCH”-Taste der Bereichsschalter so eingestellt, dass der Zeiger des Anzeigeinstruments in
dem durch „WWWW” gekennzeichneten Bereich steht. Anschließend werden RA (Knopf oben rechts neben
der linearen Skala) und RV (mit „Q D” gekennzeichneter Knopf) solange wechselseitig verändert, bis ein
minimaler Ausschlag am Instrument erreicht ist. Damit ist die Brücke nach Amplitude und Phase
abgeglichen. Theoretisch sollte das Instrument im abgeglichenen Zustand „0“ anzeigen. Praktisch lässt sich
dies nur bei größeren Kapazitäten erreichen. Bei kleinen Kapazitäten wirken sich die Einstreuungen aus der
Umgebung auf den Messaufbau so stark aus, dass auch im abgeglichenen Zustand noch eine Restspannung
angezeigt wird.
Die unbekannte Kapazität Cx liest man dann als Zahl zwischen 0,5 und 10 multipliziert mit einer Zehnerpotenz in Kapazitätseinheiten an der linearen Skala direkt ab. Die Zehnerpotenz ergibt sich aus der Stellung
des Bereichsschalters. Mit ihm wird der Widerstand RB in dekadischen Schritten verändert. CN hat einen
festen Wert von 100 nF.
2.4 Bestimmung des Verlustfaktors mit der RCL-Wechselstrombrücke
Der dimensionslose Verlustfaktor D = tan δ ergibt sich aus (8) zu
D = tan δ = ω Rs C x =
1
.
ω Rp C x
(9)
Der Winkel δ wird als Verlustwinkel bezeichnet und beschreibt die Abweichung von der 90°-Phasenverschiebung eines idealen Kondensators. Verlustwinkel und Verlustfaktor sind damit ein Maß für die Güte
eines Kondensators. Der Verlustfaktor wird an der „Q D”-Skala abgelesen. Je nach Stellung der „D”-Taste
ist der abgelesene Wert noch mit 0,01 (Taste nicht gedrückt) oder 0,1 (Taste gedrückt) zu multiplizieren. Zu
beachten ist, dass bei gedrückter Taste die Betriebsfrequenz der Messbrücke auf 100 Hz umgeschaltet wird.
3 Aufgaben
3.1 Plattenkondensator
3.1.1 Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators (Plattenradius r = 12,8 cm) bei 10
verschiedenen Plattenabständen d im Bereich 0,5 .. 2,0 cm.
3.1.2 Stellen Sie die in Aufgabe 3.3.1 gewählten Abstände d unter Verwendung der Noniusskala ein, und
messen Sie die Kapazitäten mit der Brücke.
3.1.3 Stellen Sie die theoretisch berechneten und die gemessenen Kapazitätswerte in einer Grafik als
Funktion von 1/d dar. Zeichnen Sie die Ausgleichsgeraden. Die Messgerade geht dabei nicht durch
den Nullpunkt. Der Achsenabschnitt stellt eine Zusatzkapazität dar, die auf die Zuleitungen und die
Eingangsschaltung der Messbrücke zurückzuführen ist. Bei weiteren Messungen müssen Sie diesen
Betrag jeweils abziehen.
3.1.4 Die größere Steigung der Messgerade lässt sich durch eine zweite Zusatzkapazität interpretieren,
die proportional 1/d ist. Sie hat ihre Ursache in dem am Rand der Kondensatorplatten auftretenden
Streufeld. Berechnen Sie aus der Steigung den scheinbaren Plattenradius.
Seite 4
2.3 Kapazität und Dielektrikum
3.2 Dielektrika
Bringen Sie die 4 aus unterschiedlichen dielektrischen Materialien bestehenden Scheiben in den Platten kondensator ein, und bestimmen Sie die relativen Dielektrizitätskonstanten und den Verlustfaktor für
3.2.1 Plexiglas,
3.2.2 Trovidur,
3.2.3 Trolitul,
3.2.4 Pertinax.
Die jeweiligen Plattendicken messen Sie mit dem Messschieber aus. Achten Sie auf einen
festen Sitz der Platten im Kondensator.
3.3 Drehkondensator
Abb. 4:
3.3.1 Zeichnen Sie die Ersatzschaltbilder, und berechnen Sie die Kapazität des DrehDrehkondenkondensators bei vollständig eingedrehtem Rotor für die folgenden drei Anschlusssator
möglichkeiten:
a) zwischen den beiden Statorplattenpaketen,
b) zwischen dem Rotor und beiden Statorplattenpaketen,
c) zwischen dem Rotor und einem Statorplattenpaket.
Die Platten haben die Form von Kreisringsektoren (Abb. 4) mit den Radien ri = 3 mm und ra = 9,5
mm. Der Winkel des Sektors beträgt 82°, der Abstand zwischen den einzelnen Platten ist d = 0,3 mm.
Der Rotor enthält 30, der Stator 29 Blätter.
3.3.2 Messen Sie die Kapazität des Drehkondensators für die unter 3.3.1 beschriebenen Anschluss möglichkeiten, und vergleichen Sie die Messwerte mit den theoretisch berechneten Werten.
3.4 RC-Kombinationen
3.4.1 Berechnen Sie anhand der Nominalwerte der Bauelemente die Verlustfaktoren der vier aus
Kondensatoren und Widerständen aufgebauten Messobjekte (A, B, C, D).
3.4.2 Messen Sie die Kapazitäten und Verlustfaktoren, und vergleichen Sie sie mit den berechneten
Werten.
Literatur:
Meschede:
Rohe :
Böger :
Schrüfer:
Gerthsen Physik, Kap. 6.1, 6.2
Elektronik für Physiker, Kap. 1.1.2
Bauelemente der Elektronik und ihre Grundschaltungen, Kap. 6.3
Elektrische Meßtechnik, Kap. 4
Geräte:
1 RCL-Messbrücke, 1 Plattenkondensator, 1 Drehkondensator, 4 RC-Kombinationen, 4 scheibenförmige
Dielektrika, 1 Messschieber
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.4 Erdinduktor mit Helmholtzspule
1 Einführung
Zur Messung von Magnetfeldern gibt es mehrere Möglichkeiten, die auf der Nutzung unterschiedlicher
physikalischer Effekte und Gesetzmäßigkeiten beruhen:
● Messung der Kraftwirkung auf stromführende Leiter (siehe auch Versuch 2.2),
● Messung der in einer Leiterschleife induzierten Spannung,
● Messung auf der Basis galvanomagnetischer Effekte (z.B. Hallsonde, siehe auch Vers. 2.5) und
● Messung auf der Basis von Quanteneffekten (z.B. Kernspinresonanz).
Die in diesem Versuch verwendete Methode zur Messung des Erdmagnetfeldes ist der zweiten Gruppe
zuzuordnen.
An den Enden einer Drahtschlaufe, die sich in einem sich ändernden Magnetfeld befindet, wird nach
Faraday eine Spannung induziert:
U ind = −
dΦ
.
dt
(1)
Φ ist der magnetische Fluss. Er berechnet sich aus der magnetischen Induktion B und
der von der Drahtschlaufe umschlossenen Fläche A. In der Vektorschreibweise lautet
dieser Zusammenhang
Φ = ∫⃗
B⋅ d ⃗A .
(2)
A
Der Flächenvektor zeigt dabei in Richtung der Flächennormalen.
Rsp
IG
RG
Ui
G
Abbildung 1:
Ersatzschaltbild
Die Messung des magnetischen Flusses soll mit einem Induktor, bestehend aus einer Spule und einem
ballistischen Galvanometer, vorgenommen werden. Der maximale Ausschlag α eines Galvanometers ist
proportional der Ladungsmenge Q, die den Ausschlag verursacht. In dem Ersatzschaltbild (Abb. 1) sind Rsp
der Widerstand der Spule und RG der Widerstand des Galvanometers. Man erhält dann den Zusammenhang
t2
α ∼ Q =
∫ IG
t1
1
dt =
Rsp + RG
t2
∫U i
dt .
(3)
t1
Ändert sich nun der magnetische Fluss Φ nur in einem kleinen Zeitabschnitt zwischen t1 und t2, so ergibt
sich bei einer Spule mit n Windungen aus Gl. (1) und (3)
t2
α = K
n
n
⋅∫ U i d t = K
⋅ ( Φ(t 1 ) − Φ (t 2) ) .
Rsp + RG t
Rsp + RG
(4)
1
Der maximale Ausschlag ist also dem magnetischen Fluss proportional, wobei die Apparatekonstante K die
ballistische Stromempfindlichkeit des Galvanometers beschreibt. Eine Änderung des magnetischen Flusses
kann man z.B. dadurch erreichen, dass die Messspule sehr schnell um 180° geschwenkt wird. Dann ist
Φ (t 1 ) = − Φ (t 2 ) .
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
(5)
Seite 2
2.4 Erdinduktor mit Helmholtzspule
2 Kalibrierung des Galvanometers
Zur Kalibrierung, d.h. zur Bestimmung der Apparatekonstanten K, wird durch eine lange zylindrische Spule mit
einer Querschnittsfläche A1, einer Länge l1 und einer
Windungszahl n1 ein definiertes Magnetfeld erzeugt. Auf
dieser Spule ist eine kleinere Sekundärspule mit n2
Windungen aufgebracht. An sie wird das Galvanometer
angeschlossen. Die Flussänderung wird durch Ein- und
Ausschalten des Stroms I durch die Primärspule bewirkt. In
Gl. (4) ist Φ also entweder zur Zeit t1 oder zur Zeit t2 null.
A
I
12V
G
Abbildung 2: Versuchsaufbau
Für den magnetischen Fluss im Inneren der Spule erhält man mit Gl. (2)
Φ = μ0
n1
A I .
l1 1
(6)
Mit dem Widerstand R2 der Sekundärspule ergibt sich dann für den maximalen Ausschlag des
Galvanometers
α = K⋅
n2
n
⋅ μ 0 1 A1 I .
R 2+ R G
l1
(7)
Aufgaben:
2.1 Bauen Sie die Apparatur nach Abb. 2 auf. Der Kondensator dient zur Verbesserung des dynamischen
Verhaltens des Galvanometers (siehe dazu auch Versuch 1.5 aus der Gruppe Mechanik).
2.2 Bestimmen Sie die ballistische Stromempfindlichkeit K. Messen Sie dazu den Ausschlag α beim Einund Ausschalten des Stromes. Es sind Messwerte für Ströme im Bereich von 0 bis 500 mA in Schritten
von 50 mA zu ermitteln. Tragen Sie anschließend ∣α∣ als Funktion von I grafisch auf, und bestimmen
Sie aus der Steigung die Konstante K.
3 Messungen am Erdmagnetfeld
Zur Messung des Erdmagnetfeldes wird die umklappbare Erdinduktorspule mit der Windungszahl n3, der
Querschnittsfläche A3 und dem Widerstand R3 an das Galvanometer angeschlossen. Beim Umklappen der
Spule ergibt sich mit Gl. (5) der Ausschlag
α = 2 ⋅ K⋅
n3
⋅ B A3 .
R3 + R G
(8)
B ist die jeweils senkrecht zur Spulenfläche stehende Komponente des Erdmagnetfeldes. Die Drehachse des
Erdinduktors lässt sich so verstellen, dass entweder die Vertikalkomponente BV oder die Horizontalkomponente BH des Erdmagnetfeldes bestimmt werden können.
Zur Kompensation der Vertikalkomponente des Erdmagnetfeldes wird eine Helmholtzspule verwendet. Für
das Feld im Mittelpunkt dieser Spule in Abhängigkeit des Stromes I gilt:
B = μ0

4
5
3/2
N I
.
r
(9)
N ist die Windungszahl, r der Radius der Helmholtzspule.
Aufgaben:
3.1 Messen Sie die Vertikalkomponente BV des Erdmagnetfeldes. Der Erdinduktor wird hierzu mit horizontaler Drehachse aufgestellt und an das Galvanometer angeschlossen. Die Induktorspule wird mit der
2.4 Erdinduktor mit Helmholtzspule
Kurbel rasch um 180° von einer
horizontalen Lage in die andere gedreht.
Dabei wird der ballistische Ausschlag
gemessen. Zur Kontrolle bestimmt man
auch den entgegengesetzten Ausschlag bei
der anschließenden Rückdrehung um
-180°. Zu Beginn der Messungen muss die
Drehachse des Erdinduktors in Richtung
der 0°-Linie des Messtisches zeigen. Für
jede Messung wird der Erdinduktor dann
um 60° um die vertikale Achse weiter
gedreht, bis die Ausgangsposition wieder
erreicht ist.
Kalibrierspule primär:
sekundär:
Seite 3
n1/l1 = 1 750 m-1
A1 = 2,65∙10-3 m²
n2 = 1 200
R2 = 39 kΩ
Galvanometer:
RG = 5,2 kΩ
C = 47 μF
Erdinduktor:
n3 = 20 000
A3 = 4,28∙10-3 m2
R3 = 39 kΩ
Helmholtzspule:
N = 80
r = 0,35 m
3.2 Lassen Sie durch die Helmholtzspule StröTabelle 1: Daten der verwendeten Komponenten
me zwischen -0,5 und +0,5 A fließen, und
messen Sie jeweils bei horizontaler Erdinduktorachse das B-Feld, das sich aus der Überlagerung des
Erdmagnet- und Helmholtzspulenfeldes ergibt. Tragen Sie B als Funktion von I auf. Es ergibt sich eine
Gerade mit einer Nullstelle bei I0. Berechnen Sie das Helmholtzfeld B(I0), und vergleichen Sie diesen
indirekt erhaltenen Wert für BV mit dem aus Aufgabe 3.1.
3.3 Stellen Sie I0 aus Aufgabe 3.2 ein, um BV zu kompensieren. Messen Sie bei senkrechter Stellung der
Erdinduktordrehachse für 12 Richtungen φ des Induktors gegen 0° im Abstand von jeweils 30° das BFeld. Auch hier empfiehlt sich für jede Einzelmessung eine Schwenkung um +180° und -180°. Tragen
Sie die Messwerte für B grafisch als Funktion von φ auf, und geben Sie den Wert der horizontalen
Erdmagnetfeldkomponente BH an.
3.4 Wie erklärt sich der beobachtete Verlauf von BH(φ)?
3.5 Wie ist die 0°-Linie des Messtisches gegenüber der Nord-Süd-Richtung des Erdmagnetfeldes
ausgerichtet?
3.6 Wie groß ist der Betrag des totalen Erdmagnetfeldes und in welchem Winkel steht es zur Eroberfläche?
Literatur
Meschede:
Küpfmüller, Kohn:
Krötzsch:
Gerthsen Physik, Kap. 6.7.4
Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Kap. 3
Physikalisches Praktikum für Anfänger, Kap. 4.1: Drehspulgalvanometer,
Kap. 4.2: Ballistisches Galvanometer
Geräte
Erdinduktor, Helmholtzspule, Netzgerät, Laserlichtzeiger, Spiegelgalvanometer, Kalibrierspule mit Primärund Sekundärwicklung, Schalter, Dämpfungsschaltung
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.5 Halleffekt
1 Einführung
Der elektrische Strom in Halbleitern und Metallen wird entweder von beweglichen Elektronen mit der
Elementarladung -e0 (e0 = 1,602∙10-19 As) getragen oder von positiven Ladungsträgern mit der Ladung +e0,
die man Löcher oder Defektelektronen nennt. Seine Größe ist zum einen von der Teilchenzahldichte n dieser
Ladungsträger, zum anderen von deren Driftgeschwindigkeit v abhängig. In gut leitenden Metallen liegt die
Dichte in der Größenordnung der Atomzahldichten, bei Halbleitern ist sie um viele Größenordnungen
kleiner.
Die Stromdichte j berechnet sich aus Ladungsträgerdichte n, Elementarladung q = ∓e0 und Driftgeschwinv
digkeit 
⃗j = n⋅q⋅⃗
v.
(1)
E (Ohmsches Gesetz):
Sie ist außerdem proportional der elektrischen Feldstärke 
⃗j = σ⋅⃗
E.
(2)
σ ist die spezifische Leitfähigkeit. Sie ist eine Materialkonstante und berechnet sich zu
v
σ = n⋅q⋅ .
E
(3)
Das Verhältnis von Driftgeschwindigkeit zur elektrischen Feldstärke nennt man auch die Beweglichkeit μ
der Ladungsträger:
μ =
v
.
E
(4)
Die spezifische Leitfähigkeit wird damit
σ = n⋅q⋅μ .
(5)
Mikroskopisch kann man sich den Vorgang der elektrischen Leitung so vorstellen, dass die Ladungsträger
 /m erfahren (m ist die Masse eines
v = q⋅E
im elektrischen Feld die gerichtete Beschleunigung ̇
Ladungsträgers). Bis zum Zusammenstoß mit den Gitteratomen nach der Stoßzeit τ haben sie dann die
 /m erreicht. Wenn man annimmt, dass die Ladungsträger bei diesem
v =  q⋅E
Geschwindigkeit 
elastischen Stoß alle ihre Bewegungsenergie verlieren (zentraler Stoß), wird ihre mittlere Geschwindigkeit
⃗
τ⋅q⋅E
⃗
.
̄v =
2⋅m
(6)
Nach (3) und (4) ergeben sich damit für die spezifische Leitfähigkeit und die Beweglichkeit
σ =
τ n⋅q 2
⋅
,
2 m
μ =
τ q
⋅ .
2 m
(7a,b)
Befindet sich nun ein stromdurchflossener und ruhender elektrischer Leiter in einem Magnetfeld mit der
B , so wirkt auf die bewegten Ladungsträger die Lorentz-Kraft
magnetischen Induktion 
F⃗L = q⋅( ⃗v× ⃗
B) .
v und 
B ein elektrisches Feld, das Hall-Feld
Dadurch entsteht im Leiter senkrecht zu 
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
(8)
Seite 2
2.5 Halleffekt
E⃗H =
F⃗H
q
⇒
F⃗H = q⋅E⃗H .
(9)
Im Gleichgewicht ist die Summe der Kräfte auf einen Ladungsträger gleich 0:
F⃗ L + F⃗H = 0 .
(10)
Durch Einsetzen von (8) und (1) erhält man dann für
1 ⃗ ⃗
E⃗H = −v⃗ × ⃗
B = −
( j× B ) = R H ( ⃗j× ⃗
B ).
n⋅q
(11)
RH ist die materialabhängige Hall-Konstante. Sie kann durch Messung der durch das elektrische Feld in
einem Leiter entstehenden Hall-Spannung bestimmt werden.
Sorgt man dafür, dass Stromrichtung und magnetisches Feld aufeinander senkrecht stehen, können die
Vektoren durch ihre Beträge ersetzt werden. In einem rechteckförmigen Leiter der Dicke d (in Richtung des
Magnetfeldes), der Länge l (in Richtung des Stromes) und der Breite b (in Richtung des Hall-Feldes) fließt
der Strom
I = j⋅A = n⋅q⋅v⋅b⋅d .
(12)
Die Hall-Spannung UH berechnet sich mit (11) und (12) zu
U H = E H⋅b = −v⋅B⋅b = −
I⋅B
.
n⋅q⋅d
(13)
Daraus ergibt sich die Hall-Konstante
RH = −
U ⋅d
1
= − H .
n⋅q
I⋅B
(14)
2 Messungen an Halbleiterproben
Der Versuchsaufbau ist in Abb.1 dargestellt. Zur Stromversorgung dienen zwei Labornetzgeräte; zum
Messen der Hall-Spannung steht ein Digitalvoltmeter zur Verfügung. Für den Zusammenhang zwischen Ma gnetfeld des Eisenkernmagneten uns Spulenstrom gilt näherungsweise der Zusammenhang
(
( ))
0,42⋅I m
I
B
=
⋅ 1,0 − 0,15⋅ m
T
A
A
2
(0⩽I m⩽1 A) .
(15)
Es sollen zwei Germaniumproben mit den Abmessungen d = 1,0 mm, b = 10,0 mm und l = 20,0 mm
ausgemessen werden.
Aufgaben:
2.1 Bestimmen Sie mit dem digitalen Ohmmeter oder durch Strom-Spannungsmessung (I ≤ 2 mA) die
Ohmschen Widerstände der Proben, und berechnen Sie daraus ihre spezifischen Leitfähigkeiten.
2.2 Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 1 auf.
2.3 Messen Sie für jede Probe die Hall-Spannung bei I = 2 mA und verschiedenen Feldstärken. Tragen Sie
UH gegen B grafisch auf.
2.4 Bestimmen Sie aus den Steigungen der Geraden die Hall-Konstanten RH .
2.5 Berechnen Sie
2.5.1 die Ladungsträgerdichten n,
2.5.2 die Beweglichkeiten μ und
2.5.3 die Stoßzeiten τ.
2.5 Halleffekt
Seite 3
3 Messungen an Metallproben
Da hier mit sehr großen Strömen
gearbeitet werden muss, darf dieser
Versuchsteil nur unter direkter Aufsicht
eines Assistenten durchgeführt werden.
Für Silber wird für einige Sekunden ein
Strom von 20 A, für Wolfram von 10 A
eingestellt. Auch ohne Magnetfeld ist
schon eine kleine scheinbare Hall-Spannung erkennbar. Sie hat ihre Ursache
in der nicht idealen Platzierung der HallKontakte. Sobald man am Netzgerät
zügig den Magnetstrom Im = 1 A (B =
0,36 T) eingestellt hat, ändert sich die
scheinbare Hall-Spannung ein wenig. Nur
diese kleine Änderung ist die wahre HallSpannung.
Aufgaben:
3.1 Ersetzen Sie in der Schaltung
nach Abb. 1 Netzgerät, Widerstand und das Milliamperemeter für den Probenstrom I
durch das 30A-Netzgerät.
3.2 Messen Sie für beide Proben
unter Aufsicht die scheinbare
Hall-Spannung
und
deren
Änderung bei Einschalten des
Magnetstroms.
Wiederholen
Sie beide Messungen nach
Umpolen des Magnetstroms.
I
R = 1 kΩ
A
V
UH
+
0..15 V
-
0..1 A
+
Im
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Silber
Wolfram
Spezifische Leitfähigkeit σ
62,5∙106 1/(Ωm)
18,9∙106 1/(Ωm)
Dichte ρ
10,5∙103 kg/m3
19,3∙103 kg/m3
Molgewicht M
0,108 kg/Mol
0,184 kg/Mol
Probendicke d
50 μm
50 μm
universelle Avogadrozahl NA
6,022∙1023 1/Mol
Ruhemasse des Elektrons me 9,1∙10-31 kg
Tabelle 1: Probendaten und physikalische Konstanten
3.3 Bestimmen Sie aus den Messungen und den Daten aus Tab. 1
3.3.1 die Ladungsträgerdichten n,
3.3.2 die Dichten der Metallatome,
3.3.3 die Beweglichkeiten μ der freien Ladungsträger
3.3.4 und die Stoßzeiten τ (siehe auch Aufg. 2.5).
4 Anwendung der Ergebnisse
4.1 Berechnen Sie für alle Proben unter Verwendung der Messergebnisse jeweils für einen Leiter mit
einem Querschnitt von 1 mm2, durch den ein Strom von 1 A fließt die Driftgeschwindigkeiten v und die
elektrischen Längsfeldstärken E.
4.2 Vergleichen Sie die so bestimmten Werte für n, v und E bei den verschiedenen Probenmaterialien.
4.3 Welche der untersuchten Materialien sind Elektronen- und welche Löcherleiter?
Literatur:
Meschede:
Gerthsen Physik, Kap. 6.7.4
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.6 Ferromagnetische Permeabilität
1 Einführung
Der Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke H und der magnetischen Flussdichte bzw.
Induktion B ist im Vakuum durch die Proportionalität
B=µ 0⋅H
(1)
gegeben. Bringt man nun Materie in das Magnetfeld, so läßt sich die dabei auftreten de Veränderung der
Induktion B durch eine ähnliche Gleichung beschreiben:
B=µ r⋅µ 0⋅H .
(2)
Darin ist µr die Permeabilitätszahl oder relative Permeabilität,
die die Materialeigenschaften wiedergibt. Hierbei kann man
drei große Gruppen von Stoffen unterscheiden, nämlich die
diamagnetischen (µr<1), die paramagnetischen (µr>1) und die
ferromagnetischen (µr>>1) Materialien.
µr
Bei den ferromagnetischen Stoffen ist nun jedoch die Permeabilitätszahl µr keine Konstante, sondern hängt in komplizierter
Weise von der magnetischen Feldstärke H ab
µr=µ r H.
H
(3)
Diese Abhängigkeit hat im Prinzip den in Abb. 1 gezeigten Verlauf. Die vollständige Information über die ferromagnetischen
Eigenschaften erhält man aus der Abhängigkeit der magnetischen Induktion B von der magnetischen Feldstärke H (Hysteresiskurve), die in Abb. 2 dargestellt ist.
Bei völlig unmagnetischem Material (Punkt 0) wird als erstes
die Neukurve bis zur Sättigungsinduktion Bs durchlaufen.
Verkleinert man dann die magnetische Feldstärke H, so zeigt
die Induktion B den im oberen Kurventeil dargestellten Verlauf.
Dabei bleibt bei H = 0 noch eine Remanenzflussdichte
(Remanenz) BR übrig, und erst bei einer negativen Feldstärke
(Koerzitivfeldstärke) Hc erreicht die Induktion B den Wert Null.
Bei noch höheren negativen Feldstärken gelangt man ebenfalls
in eine Sättigung (-Bs), von der man auf dem umgekehrten Weg,
der durch den unteren Kurventeil dargestellt wird, wieder in die
positive Sättigung gelangt.
Abb. 1: Permeabilität als Funktion der
Feldstärke
B
Bs
Br
Neukurve
-Hc
Hc
0
H
-Br
-Bs
Abb. 2:Hysteresiskurve
2 Versuchsdurchführung
Zunächst wird die Abhängigkeit der Permeabilität eines ferromagnetischen Materials vom GleichstromMagnetfeld H ausgemessen. Die Hysteresiskurve ergibt sich dann daraus durch Integration über die magnetische Feldstärke H:
H
B( H ) = µ 0 ∫ µ r (H )d H + B0 .
H0
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
(4)
Seite 2
2.6 Ferromagnetische Permeabilität
Oszilloskop
A
Gleichspannungsnetzgerät
Y
- +
Drossel
R
C
≈
Abb. 3:Versuchsaufbau zur Messung der Permeabilität
Das zu untersuchende Material liegt in Form eines Ringkerns mit rechteckigem Querschnitt vor, auf den
zwei verschiedene Wicklungen aufgebracht sind (siehe Abb. 3). Die linke Wicklung, die Erregerwicklung
mit der Windungszahl ne, ist an eine Gleichstromversorgung angeschlossen. Mit ihr wird im Ringkern ein
Gleichstrom-Magnetfeld H erzeugt. Das vormagnetisierende Gleichfeld ergibt sich zu
H =
n e⋅I
,
l
(5)
wobei l der mittlere Umfang des Ringkernes ist.
Die rechte Wicklung, die sog. Messwicklung mit der Windungszahl nm, bildet mit dem Kondensator
C = 33nF einen Parallelschwingkreis. Die Induktivität der Messwicklung ist dabei von der Permeabilitätszahl µr(H) des Ringkerns abhängig und wird durch Bestimmung der Resonanzfrequenz f0 über die ThomsonFormel berechnet. Dazu wird über einen Widerstand R von einem Niederfrequenzgenerator eine kleine
Wechselspannung zugeführt. Die Messung der Resonanzfrequenz erfolgt mit dem Oszilloskop. Die Induktivität L der Messspule hat den Wert
L = µ r ( H )⋅µ0⋅
A⋅n2m
.
l
(6)
A ist dabei der Querschnitt des Ringkerns. Mit Hilfe der Thomson-Formel für die Resonanzfrequenz f0 und
der Gl. (6) ergibt sich der Zusammenhang
µr ( H ) =
K
.
f 20
(7)
Der Ringkern hat den inneren Durchmesser di = 36,5 mm, den äußeren Durchmesser da = 45,0 mm und die
Höhe h = 20,5 mm. Die Windungszahlen sind ne = 200 und nm = 1560 Windungen.
Achtung: Der Versuchsaufbau darf nur unter Anleitung vorgenommen werden.
Aufgaben:
2.1 Berechnen Sie die Konstante K aus Gl.(7).
2.2 Messen Sie die Permeabilität µr als Funktion der Feldstärke H:
a) von der positiven Sättigung bis H = 0:
Wählen Sie das magnetische Gleichfeld zunächst sehr hoch. Reduzieren Sie dann schrittweise das
Magnetfeld bis zum Wert H = 0. Messen Sie dabei jeweils das dazugehörige µr.
2.6 Ferromagnetische Permeabilität
Seite 3
b) Von H = 0 bis zur positiven Sättigung nach vorangegangener negativer Sättigung:
Bringen Sie zunächst mit einem hohen negativen Wert des Gleichfeldes den Kern in die negative
Sättigung. Reduzieren Sie dann das Feld monoton auf Null. Polen Sie jetzt die An schlüsse für das
Magnetfeld um, und messen Sie bei ansteigender Magnetfeldstärke µr,bis in die positive Sättigung.
2.3 Fertigen Sie eine grafische Darstellung der beiden Messreihen µr = µr(H) auf Millimeterpapier an.
Tragen Sie dabei jeden µr-Wert sowohl bei +H als auch bei -H auf.
2.4 Ermitteln Sie aus den in 2.3 aufgetragenen Kurven für die Permeabilität durch grafische Integration die
Hysteresiskurve B = B(H) (siehe Gl.(4)). Es werden dazu die Kästchen unter den Kurven ausgezählt.
Die so ermittelte Hysteresiskurve soll grafisch dargestellt werden.
H0 wird dabei zweckmäßigerweise als ein großer negativer Wert gewählt, bei dem die in 2.2.a und 2.2.b
bestimmten Permeabilitäten übereinstimmen.
Die Integrationskonstante B0 = B(H0), die den Nullpunkt der Skala für B festlegt, ist zunächst noch
unbekannt. Da bei einer Feldstärke H = 0 die Induktion gleich der positiven oder negativen Remanenz
B(0) = ± BR ist, erhält man den Nullpunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Werten für B(0).
2.5 Bestimmen Sie aus der Hysteresiskurve die Remanenz BR (in Tesla = Vs/m2) und die Koerzitivfeldstärke Hc (in A/m). Geben Sie außerdem einen ungefähren Wert für die Sättigungsinduktion Bs
des Ferritmaterials an.
Literatur:
Meschede:
Böger, Kähler, Weigt:
Küpfmüller:
Gerthsen Physik, Kap. 7.2.4
Einführung in die Elektronik, Kap. 7.5, 7.6, 7.7
Einführung in die Theoretische Elektrotechnik, Kap. 24
Geräte:
1 Ferrit-Ringkern mit Mess- und Erregerwicklung, 1 Gleichspannungsnetzgerät, 1 Potentiometer, 1 Drosselspule, 1 Vielfachmessinstrument, 1 Tonfrequenzgenerator, 1 Oszilloskop, 1 Kondensator (33nF), 1 Widerstand (10 kΩ), diverse Kabel
1.2012/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.7 Wechselstrombrücke
1 Einführung
Zum Ausmessen von Kapazitäten und Induktivitäten benutzt man
vorzugsweise Wechselstrommessbrücken. Wie bei allen Brückenmessmethoden ist die Genauigkeit einer solchen Anordnung größer als die
anderer Verfahren, weil das Anzeigeinstrument lediglich zur Nullanzeige
verwendet wird. Die Einstellung des Nullabgleichs erfolgt durch sehr
genaue Widerstandsdekaden.
RD
CD
Cn
Rp
V
Rn
Rs
Im Unterschied zu Gleichstrombrücken wird der abgeglichene Zustand
allerdings hier durch eine komplexe Gleichung beschrieben. Um den
Brückenabgleich herzustellen, müssen also zwei einstellbare Bauelemente
in der Messapparatur vorhanden sein (Abgleich von Real- und Imaginärteil Abb. 1: Prinzipschaltbild für
eine Wechselstrombrücke
oder von Amplitude und Phase).
≈
Zum Ausmessen einer Kapazität eignet sich eine Schaltung nach Abb. 1. CD ist der auszumessende
Kondensator, RD sein Verlustwiderstand. Rp und Rs sind die beiden verstellbaren Widerstände, Cn eine
feste Vergleichskapazität und Rn ein fester Vergleichswiderstand..
2 Messungen an einer Kapazitätsdiode
In dem Versuch soll die Kapazität einer in Sperrrichtung betriebenen Siliziumdiode ausgemessen
werden. Ihre Kapazität ist abhängig von der angelegten Sperrspannung. Sie kann damit also z.B. als
spannungsgesteuertes abstimmbares Element in einem Schwingkreis eingesetzt werden.
Die Messbrücke wird um einen Gleichspannungsteil erweitert (Abb. 2). Die
Sperrspannung Ug wird am Labornetzgerät
zwischen 1 und 12 V eingestellt. Wegen
des Trennkondensators Ct wirkt die angelegte Gleichspannung nur auf die Diode.
Sein Wert wurde so groß gewählt, dass
der Einfluss auf den Brückenabgleich zu
vernachlässigen ist.
Nullanzeige
+
=
Ug
-
Ct
Rv
120k
Rp
0,68µ
Cn
CD
Rn
≈
Tongenerator
Rs
Abb. 2: Versuchsaufbau
Das Nullanzeigeinstrument enthält zur Erhöhung der Empfindlichkeit einen eingebauten Verstärker. Mit
dem Potentiometer (siehe Abb. 3) lässt sich die Empfindlichkeit im nicht abgeglichenen Zustand so weit
reduzieren, dass der Zeigerausschlag am Nullinstrument im ablesbaren Bereich bleibt. Der Widerstand R
bildet mit dem Schwingkreis aus L und C einen frequenzabhängigen Spannungsteiler. Bei der
Resonanzfrequenz wird die Ausgangsspannung maximal.
Die Abgleichbedingung lässt sich anhand von Abb. 1 ableiten. RD ersetzt die Kombination des Widerstands Rv mit den Innenwiderständen von Diode, Spannungsquelle und Voltmeter. Mit Rn = 1000 Ω und
Cn = 1000 pF folgt bei abgeglichener Brücke die einfache Beziehung
CD
R
= s .
pF

Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
(1)
Seite 2
2.7 Wechselstrombrücke
Aufgaben:
2.1 Wie lautet die Abgleichbedingung einer
Wheatstoneschen
Gleichstrombrücke
(Schaltungsskizze)?
2.2 Leiten Sie die Abgleichbedingungen für
die Wechselstrombrücke nach Abb. 1
unter Benutzung der komplexen
Schreibweise ab.
Verstärker
R
Eingang
Anzeige
L
C
2.3 Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 2
Abb. 3: Prinzipschaltbild des Anzeigeverstärkers
auf. Die Ausgangsspannung des Tongenerators sollte auf einen Wert von etwa Ueff = 1 V eingestellt werden.
2.4 Gleichen Sie die Generator-Frequenz mit der Resonanzfrequenz des Anzeigeverstärkers ab.
2.5 Messen Sie mit der Apparatur die Kapazität der Diode für 12 Spannungswerte von 1 bis 12 V und
tragen Sie die Messpunkte grafisch auf (DIN A4 – Querformat).
2.6 Schätzen Sie die Fehler ab und tragen Sie die Fehlerbalken in das Diagramm ein.
2.7 Wie lässt sich die Empfindlichkeit einer Messbrücke steigern?
2.8 Welche Parameter haben Einfluss auf die Genauigkeit dieser Messmethode?
2.9 Welche Aufgabe hat der Schwingkreis im Anzeigeverstärker? Denken Sie dabei an die nichtlineare
Kennlinie der Diode.
Literatur:
Meschede
Gerthsen Physik, Kap. 6.3.4 und 7.3
Geräte:
Tongenerator, Labornetzgerät, Digitalmultimeter (Fehler bei Spannungsmessung: 0,5 % vom Messwert
+ 2 Digits), Nullanzeigeinstrument, Widerstandsdekade (Fehler: 0,3%)
Bauelemente:
Kondensator: Cn = 1000 pF (0,5%), Widerstand: Rn = 1000 Ω (0,2%), Stellwiderstand Rp, Kapazitätsdiode mit Sperrspannungsversorgung (fertig montiert)
8.2009/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 - Elektrizitätslehre
2.8 Messung des Erdmagnetfelds mit einer rotierende Spule
1 Einführung
Wird ein elektrischer Leiter der Länge ds in einem Magnetfeld

B mit der Geschwindigkeit v bewegt, so wird in ihm eine
Spannung dUi induziert:
dU i = [
v×
B ]⋅d s .
z
ω
B
ds
(1)
Erweitert man den Leiter zu einer kreisförmigen Drahtschleife
mit dem Radius r in der x-z-Ebene eines räumlichen Koordinatensystems und lässt diese um die z-Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotieren, erhält man an den Enden der Schleife
eine sinusförmige Induktionsspannung. Der Spitzenwert Ui wird
erreicht, wenn die Schleifenebene in der Magnetfeldrichtung
liegt.
dφ
φ
x
Ui
Zur Berechnung dieser Spannung nehmen wir an, dass das Feld
parallel zur x-Achse ausgerichtet ist (siehe Abb. 1). Die Abbildung 1: Rotierende Drahtschleife im
Magnetfeld
Geschwindigkeit v eines Leiterstücks in y-Richtung und seine
wirksame Länge ds berechnen sich aus dem Winkel φ zu
v  =  r sin
und
d s = r sin  d 
(2)
Durch Einsetzen in (1) erhält man für den Spitzenwert der induzierten Spannung
U i r  =
∫
Schleife

v B d s = 2 r ω B ∫ sin  d  =  r ω B = Ar ω B .
2
2
2
(3)
0
Erweitert man die Drahtschleife zu einer Spule mit N Windungen, so muss die
räumliche Ausdehnung dieser Wicklung (siehe Abb. 2) berücksichtigt werden. Die
in (3) mit Ar bezeichnete, von der Schleife eingeschlossene Fläche muss durch eine
mittlere Windungsfläche A ersetzt werden. In einem Ring der Dicke dr befinden
sich
dN = N
bdr
br a−r i 
b
dr
ri
r
(4)
ra
Windungen. In ihnen wird die Spannung dUs(r) = Ui(r) dN induziert. Durch
Integration erhält man für die in der gesamten Spule induzierte Spannung
ra
 2
2
U s = ∫ U i d N = N ω B  r i r i r a r a  = N ω B A.
3
r
(5)
Abbildung 2: Wirksame
Fläche einer Spule
i
Bei beliebiger Orientierung des Magnetfeldes im Raum bleiben sowohl die der Rotationsachse parallele
Komponente Bz als auch die Richtung von 
B in der x-y-Ebene ohne Einfluss auf Us.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
2.8 Messung des Erdmagnetfelds mit einer rotierende Spule
2 Versuchsdurchführung
Im Versuch wird die Spannung mit einem Digitalmultimeter gemessen, dessen Anzeige in Effektivwerten
geeicht ist. Dabei wird die Spule durch den endlichen Innenwiderstand Ri = 10 MΩ des Multimeters
belastet. Die angezeigte Spannung Um ist
Um =
Ri
1
U .
 2 Rsp Ri s
(6)
Die Drehzahl n wird über ein mitgedrehtes Kreisstrichgitter, eine Lichtschranke und einen Zähler gemessen
und direkt in Umdrehungen/Sekunde angezeigt. Es ist
 = 2  n.
(7)
Für die Auswertung der Messungen können die Gleichungen (5) bis (7) zu
B = K
Um
n
(8)
zusammengefasst werden. Die Konstante K enthält dann alle Apparatekonstanten und wird nur einmal
berechnet. Zur Bestimmung des Magnetfeldes B muss man also jeweils nur eine Spannung und die
dazugehörige Drehzahl messen.
Bei der praktischen Durchführung der Messungen sind die folgenden
Hinweise unbedingt zu beachten:
(1) Bewegen Sie die Rahmen der kardanischen Aufhängungen nur
langsam. Die rotierende Spule besteht aus ca. 6 kg Cu und hat
somit ein großes Trägheitsmoment. Sie tendiert wie jeder Kreisel
zu einer für den Experimentator unerwarteten Bewegung im
rechten Winkel zur angreifenden Kraft.
(2) Halten Sie durch Regulierung der Druckluftzufuhr die Drehzahl
Sekunde.
Anzahl der Windungen N
Innenwiderstand Rsp
Innenradius ri
114 000
170 kΩ
95 mm
Außenradius ra
120 mm
Tabelle 1: Spulendaten
bei max. etwa 12 Umdrehungen/
2.1 Messung der Horizontalkomponente BH des Erdmagnetfeldes
Die Rotationsachse wird dazu lotrecht eingestellt. Da die Vertikalkomponente BV wesentlich größer ist als
BH, muss diese Einstellung sehr sorgfältig vorgenommen werden. Andernfalls wird nämlich ein Teil von BV
mitgemessen.
Aus dieser Messung erhält man allerdings nur den Betrag von BH,
nicht aber seine Richtung. Zur Bestimmung der Richtung wird
mit Hilfe einer Helmholtzspule ein horizontales Magnetfeld
bekannter Richtung und Größe dem Erdmagnetfeld überlagert.
Die beiden Teile der quadratischen Helmholtzspule werden dazu
in Serie geschaltet. Am Ort der rotierenden Spule erzeugen sie ein
vom durchfließenden Strom I abhängiges Feld
Bsp = c⋅I
B2
BH
B1
-cI
+cI
(9) Abbildung 3: Lage der Feldkomponenten
Die Konstante c hat den Wert 2,0∙10-5 T/A. Die Richtung des Feldes steht dabei senkrecht auf den Spulenebenen.
Durch Drehen der Helmholtzspule wird Bsp so eingestellt, dass es genau senkrecht auf BH steht. Solange dies
nicht der Fall ist, ergibt eine Umpolung des Spulenstromes zwei verschiedene Messwerte B1 und B2 (siehe
Abb. 3). Der Unterschied zwischen B1 und B2 gibt einen Hinweis darauf, in welche Richtung die Helmholtzspule zu drehen ist, um Gleichheit zu erzielen. Es gilt dann
2.8 Messung des Erdmagnetfelds mit einer rotierende Spule
B I  = B1 = B 2 =
B
2
H
 c2 I 2 .
Seite 3
(10)
Bei paralleler Ausrichtung von Bsp und BH erhält man
B = BH ± c⋅I .
(11)
Aufgaben:
2.1.1 Berechnen Sie die Konstante K (Gl. (8)).
2.1.2 Bestimmen Sie den Betrag der Horizontalkomponente BH des Erdmagnetfeldes.
2.1.3 Richten Sie die Helmholtzspule nach dem oben beschriebenen Verfahren so aus, dass ihr Feld Bsp
senkrecht auf BH steht. Als Stromstärke wird dabei I = ± 0,8 A eingestellt.
2.1.4 Drehen Sie die Helmholtzspule um 90° aus der so gefundenen Orientierung, so dass Spulen- und
Erdfeld parallel sind. Messen Sie auch hier die Abhängigkeit B(I), und tragen Sie die resultierende
Gerade auf. Da nur der Betrag von B gemessen wird, muss das Vorzeichen von Hand ergänzt werden.
Für kleine Werte von B wird die Messung durch äußere Einstreuungen sehr ungenau. Diese Messwerte dürfen beim Zeichnen der Geraden nicht berücksichtigt werden.
Aus der Grafik erhält man zwei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Aus ihnen ergeben sich
zwei Werte für BH. Ihr Vergleich gibt einen Hinweis auf die Messgenauigkeit.
2.2 Messung der Vertikalkomponente BV des Erdmagnetfeldes
Die Helmholtzspule wird so eingestellt, dass Bsp parallel zu Horizontalkomponente BH des Erdmagnetfeldes
verläuft (siehe Aufgabe 2.1.4). Durch geeignete Einstellung des Spulenstromes I kann BH kompensiert
werden, so dass auf die rotierende Spule nur noch die Vertikalkomponente BV wirkt. Sie kann dann mit der
Apparatur gemessen werden, indem die Rotationsachse der Spule in die waagerechte Ebene gelegt wird.
Aufgaben:
2.2.1 Stellen Sie den Spulenstrom I so ein, dass die Horizontalkomponente BH des Erdmagnetfeldes kompensiert wird (siehe auch 2.1.4).
2.2.2 Drehen Sie die Rotationsachse in die Waagerechte, und messen Sie das Feld B in Abhängigkeit des
Orientierungswinkels α in dieser Ebene für Winkel von 0 bis 360°. Welchen Einfluss sollte dieser
Winkel auf B theoretisch haben, und welchen hat er tatsächlich?
Literatur:
Meschede:
Bergmann-Schaefer, Bd II:
Küpfmüller:
Gerthsen Physik, Kap. 6.9.5, 7.1
Elektrizität und Magnetismus, Kap. 42
Theoretische Elektrotechnik, Kap. III (23)
Geräte:
Messtisch mit Helmholtzspule und rotierender Spule, Dosenlibelle, Druckluftzufuhr, Netzgerät, Drehzahlmesser und Digitalmultimeter (Ri = 10 MΩ)
9.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 2 – Elektrizitätslehre
2.9 Frequenzgänge von Schwingkreisen
1 Einleitung
Wechselspannungen und -ströme sind in der modernen Industriegesellschaft von außerordentlich großer
Bedeutung. In der Signalverarbeitung und Kommunikationstechnik spielen insbesondere sinusförmige
Signale eine wichtige Rolle. Ihre Zeitabhängigkeit wird üblicherweise beschrieben durch
Ut = U 0⋅sin  t bzw. It = I o⋅sin t.
(1)
Legt man eine solche Wechselspannung an einen ohmschen Widerstand oder an ein aus ohmschen Widerständen aufgebautes Netzwerk an, so verhalten sich alle Wechselspannungen und -ströme in der Schaltung
genauso wie man es von Gleichspannungsschaltungen her kennt. Die Zeitabhängigkeit bleibt unverändert,
nur die Amplituden U0 bzw. I0 werden beeinflusst. Ihre Berechnung erfolgt wie beim Gleichstrom unter
Anwendung des Ohmschen Gesetztes und der Kirchhoffschen Regeln.
Sobald in der Schaltung Spulen und Kondensatoren verwendet werden, zeigen die Wechselspannungen und
-ströme jedoch ein anderes Verhalten. Neben den Veränderungen in der Amplitude treten jetzt auch
Phasenverschiebungen zwischen den verschiedenen Spannungen und Strömen auf (φ bzw. ψ). Sowohl
Amplitude als auch Phase hängen darüber hinaus von der Frequenz ω (bzw. f ) ab. Grund dafür ist die
Tatsache, dass die Zusammenhänge zwischen Strom und Spannung an Spule und Kondensator durch Differentialgleichungen beschrieben werden:
d I t 
d U t 
Spule: U t  = L⋅
und Kondensator: I t  = C⋅
.
dt
dt
(2)
Die Schaltungsberechnung wird dadurch sehr schnell kompliziert. Eine wesentliche Vereinfachung der
mathematischen Beschreibung von Wechselstromschaltungen bei sinusförmigen Signalen ergibt sich durch
die Einführung von komplexen Widerständen für diese Bauelemente:
Spule: R L= j L und Kondensator: RC=
1
.
j C
(3)
j ist dabei die imaginäre Einheit. Damit lassen sich dann Amplitude und Phase von Wechselspannungen und
-strömen in der komplexen Ebene als Zeiger darstellen: Ihre Länge entspricht der Amplitude (U0 bzw. I0,
ihre Richtung relativ zur reellen Achse dem Phasenwinkel (φ bzw. ψ , siehe dazu auch: Gehrtsen Physik,
Kap. 4.1.1 und 7.5.3).
Einfache Grundschaltungen, bei denen sich die Abhängigkeiten der Amplitude, bzw. Phasenverschiebung
von der Frequenz besonders gut beobachten lassen, sind die Schwingkreise. Dies sind Wechselstromwiderstände, die aus einer Parallel- oder Serienschaltung von Widerstand R, Spule L und Kondensator C
bestehen (siehe auch Abb.. 4 und 5). Dem entsprechend heißen sie Parallel- bzw. Serienschwingkreis. Im
vorliegenden Versuch sollen nun die Abhängigkeiten des Scheinwiderstands und der Phasenverschiebung
zwischen Strom und Spannung von der Frequenz (Frequenzgänge) untersucht werden und in eine grafische
Darstellung (Bode-Diagramm) übertragen werden.
2 Phasenmessung an Schwingkreisen
Die Messung der Phasenverschiebung zwischen zwei Wechselspannungen gleicher Frequenz lässt sich über
die Darstellung der Lissajous-Figur auf dem Bildschirm eines Oszilloskops im X-Y-Betrieb vornehmen. Die
Spannungen an den beiden Kanälen des Oszilloskops sind
U x t = U x⋅sin  t
und
U y t = U y⋅sin  t
(4)
Durch Überlagerung der beiden Spannungen entsteht auf dem Bildschirm eine Ellipse, an der die
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
2.9 Frequenzgänge von Schwingkreisen
Phasenverschiebung abgelesen werden kann (siehe Abb. 1):
∣∣ = arcsin
U y
U y
(5)
Die dazu erforderliche Schaltung ist an Abb. 2 dargestellt. R kann ein beliebiger Zweipol sein. Im Versuch
wird er in der ersten Aufgabe durch den Parallelschwingkreis, in der zweiten durch den Serienschwingkreis
gebildet. Die Spannung Ux am ohmschen Widerstand R1 = 1 kΩ entspricht dabei in der Phasenlage dem
Strom durch den Zweipol. Uy ist die Spannung am Schwingkreis. φ ist also die Phasenverschiebung
zwischen Strom und Spannung am Schwingkreis.
Der Transformator dient zur galvanischen Trennung von Wechselspannungsquelle (Tongenerator) und
Oszilloskop.
x
U y
Tongenerator
Trenntrafo
U y
x
R1
Ux
R
Uy
≈
Oszilloskop
y
y
Abb. 1: Lissajous-Figur
Abb. 2: Versuchsaufbau
2.1 Phasenmessung am Parallelschwingkreis:
Der Parallelschwingkreis wird aus einer realen Spule L und einem realen Kondensator C aufgebaut. Wegen
des immer vorhandenen ohmschen Widerstands der Spule muss zur Beschreibung das Ersatzschaltbild 1
nach Abb. 3 verwendet werden.
Bei großer Kreisgüte lässt sich das Ersatzschaltbild 1 in der Umgebung der Resonanzfrequenz ω0 = 2π f0 in
das Ersatzschaltbild 2 (Abb. 4) überführen. Für die Güte Q des Schwingkreises gilt dann
Q =
Rp
0 L
=
0 L
Rs
(6)
Damit berechnet sich der ohmsche Widerstand der Spule zu
Rs =
0 L2
Rp
(7)
Die Kreisgüte lässt sich auch aus den Verstimmungsfrequenzen f1 und f2 (Phasenverschiebung +45°, bzw.
-45°) und der Resonanzfrequenz f0 bestimmen:
Q =
f0
f 2− f 1
(8)
Aufgaben:
2.1.1 Das Vorzeichen der Phasenverschiebung lässt sich aus den Lissajous-Figuren nicht bestimmen.
Welches Vorzeichen muss φ aufgrund theoretischer Überlegungen unterhalb und oberhalb der Resonanzfrequenz haben.
2.1.2 Bestimmen Sie aus den Lissajous-Figuren den Betrag der Phasenverschiebung φ in Abhängigkeit
von der Frequenz f im Frequenzbereich 20 ... 1500 Hz. In der Umgebung der Resonanzfrequenz
müssen die Frequenzschritte so klein gewählt werden, dass die Phasenänderungen noch ausreichend
aufgelöst werden können. Tragen Sie den gemessenen Phasengang grafisch auf Millimeterpapier auf.
Die Spannungsamplitude am Schwingkreis sollte etwa zu Uss = 5 V gewählt werden.
2.9 Frequenzgänge von Schwingkreisen
Seite 3
2.1.3 Bestimmen Sie aus der grafischen Darstellung die Resonanzfrequenz und die Verstimmungsfrequenzen. Berechnen Sie daraus nach Formel (8) die Güte Q .
2.1.4 Berechnen Sie aus dem Verhältnis U y /U x der Lissajous-Figur für φ = 0 den Dämpfungswiderstand Rp und daraus nach Formel (6) die Güte und nach Formel (7) den ohmschen Widerstand der
Spule Rs.
L
R
L
L
C
R
C
R
C
Abb.3: Parallelschwingkreis
Abb. 4: Parallelschwingkreis
Ersatzschaltbild 1
Ersatzschaltbild 2
Abb. 5: Serienschwingkreis
2.2 Messungen am Serienschwingkreis:
Aus den gleichen Bauelementen wird ein Serienschwingkreis aufgebaut. Das Ersatzschaltbild ist in Abb. 5
dargestellt.
Aufgaben:
2.2.1 Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz.
2.2.2 Bestimmen Sie den Widerstand Rs aus dem Verhältnis U y /U x der Lissajous-Figur für φ = 0.
3 Messung des Scheinwiderstandes am Parallelschwingkreis
In der Schaltung nach Abb. 2 wird R1 durch einen Widerstand R2 von 100 kΩ ersetzt. Dadurch wird dem
Schwingkreis ein nahezu konstanter Strom zugeführt. Die Spannung über dem Schwingkreis wird an den
1. Kanal des Oszilloskops, die Spannung über dem Widerstand an den 2. Kanal gegeben. Das Oszilloskop
wird in die Betriebsart „Zeitablenkung” umgeschaltet. Aus den auf dem Bildschirm abgelesenen Spannungsamplituden und dem Widerstand R2 kann der Scheinwiderstand bestimmt werden.
Die Verstimmungsfrequenzen f1* und f2* sind hier diejenigen Frequenzen bei denen der Scheinwiderstand
auf das 1/  2 -fache des maximalen Wertes bei der Frequenz f0* abgefallen ist. Die Kreisgüte berechnet
sich zu
*
Q =
f *0
f *2 − f *1
.
(9)
Aufgaben:
3.1 Der Scheinwiderstand ist im Frequenzbereich 20 ... 1500 Hz auszumessen. Im Bereich der Resonanzfrequenz müssen die Frequenzschritte geeignet klein gewählt werden. Tragen Sie den Scheinwiderstand
grafisch gegen f auf. Zeichnen Sie dabei die Kurve auf das gleiche Blatt, wie den Phasengang aus
Aufgabe 2.1.2.
3.2 Geben Sie den maximalen Wert des Scheinwiderstands Rp an.
3.3 Lesen Sie aus der so aufgenommenen Kurve die Verstimmungsfrequenzen ab, und berechnen Sie
daraus nach Formel (9) die Güte Q*.
Literatur:
Meschede:
Gehrtsen Physik, Kap. 4.1.1, 7.3.3 - 4, 7.3.7
Seite 4
2.9 Frequenzgänge von Schwingkreisen
Geräte:
Zweikanal-Oszilloskop, Tongenerator mit Frequenzzähler, Trenntransformator
Bauteile:
Spule: L = 353 mH (1%), Kondensator: C = 95,5 nF (1%), 2 Widerstände: R1 = 1,8 kΩ (1%), R2 = 100 kΩ
(1%)
9.2009/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
Physik mit dem Computer
1 Vorbemerkung
In diesem Teil des Praktikums sollen physikalische Fragestellungen mit Hilfe des Computers untersucht
werden. Der Computer dient zur Steuerung der Experimente, zur Datenerfassung und zur Auswertung und
Visualisierung der Messwerte. Als Software wird die grafische Programmieroberfläche LabView unter
Windows eingesetzt. Als Interface zum Experiment dient ein im Institut entwickeltes mikroprozessor gesteuertes Messsystem (UniMess).
In den Versuchen sollen sich die Teilnehmer zunächst mit dem Programm LabView und dem Messinterface
(UniMess) vertraut machen. Daran an schließen sich Versuche zur Elektrizitätslehre und Mechanik. So
werden z.B. Entladevorgänge an Kondensatoren und Spulen, Frequenzgänge von Wechselspannungen an
Schwingkreisen und Tiefpässen, sowie die Eigenschaften von nicht sinusförmigen Signalen (Fourier analyse)
untersucht. Daneben gibt es einen Versuch zu mechanischen Schwingungen und ein Fall experiment. Wenn
die Zeit reicht, können schließlich noch Versuche zum Thema „Steuern und Regeln“ durchgeführt werden.
2 Computerausstattung und -bedienung
Jeder Arbeitsplatz ist mit einem Mini-PC (Thin-Client) ausgestattet, der als Interface zum Windows Server
2003 fungiert. Die LabView-Software läuft auf dem Server. Ebenso werden dort alle Benutzerdaten abge speichert. Jede Praktikumsgruppe erhält zu Beginn des Praktikums die erforderlichen Anmeldeinformationen (Benutzername und Passwort). Bei der Erstanmeldung wird automatisch ein eigener Speicherbereich
(„Eigene Dateien“) für jedes Konto angelegt. Dort sollten alle erstellten Labview-Programme und Mess daten gespeichert werden. Zum Ausdruck der LabView-Diagramme steht im Praktikumsraum ein Laser drucker zur Verfügung.
Nach dem Einschalten des Mini-PC ist zunächst die Sitzung „A-Praktikum“ zu starten. Nach der Anmeldung
am Server erscheint die bekannte Windows-Benutzeroberfläche. Am Ende des Praktikumstages sollte jeder
Benutzer sich beim Windows-System abmelden und den Mini-PC herunterfahren.
3 Hinweise zum Ablauf
Im Gegensatz zu den anderen Themengruppen des Praktikums werden hier die Versuche von allen
Teilnehmern beginnend mit dem ersten parallel bearbeitet. Außerdem sind die einzelnen Versuche in ihrer
Zeitdauer nicht an die Praktikumstage gebunden. Jede Teilnehmergruppe beginnt mit dem nächsten in der
Reihenfolge vorgegebenen Versuch, wenn der vorangehende abgeschlossen ist und das Laborbuch zum
Abzeichnen abgegeben wurde.
Da nicht bei jedem Versuch ausreichend Geräte für alle Teilnehmer zur Verfügung stehen, kann von der
vorgegebenen Reihenfolge in diesem Fall abgewichen werden. Für die Versuche 3.5 und 3.6 ist z.B. ein vom
Computer steuerbarer Funktionsgenerator erforderlich. Wenn die 4 Geräte alle in Benutzung sind, wird als
Alternativversuch zunächst 3.7 durchgeführt, um anschließend die übersprungenen Versuche nachzuholen
4 Hinweise zu den Protokollen
In den Protokollen sollte in einer kurzen Einführung mit wenigen Sätzen beschrieben werden, was das
Thema des jeweiligen Versuches ist. Anschließend ist jede in den Versuchsanleitungen gestellte Aufgabe
einzeln abzuhandeln.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
Physik mit dem Computer
Die erstellten LabView-Programme werden durch Beifügen von Ausdrucken dokumentiert (Menü: Datei >
Drucken ...). Wurde im Versuch ein neues LabView-Programm erstellt oder ein vorhandenes Programm
erheblich verändert, ist ein vollständiger Ausdruck (Auswahl: Symbol, Beschreibung, Panel und Diagramm)
anzufertigen. Wenn im Versuch ein bereits bestehendes Programm verwendet wird, genügt es einen
Ausdruck des Panels mit dem jeweiligen Messergebnis (z.B. ein mit dem Speicheroszilloskop aufgenommener Zeitverlauf) vorzunehmen.
Messergebnisse müssen je nach erreichbarer Genauigkeit geeignet gerundet werden (siehe dazu die
Beilage „Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung“ in den Praktikumsunterlagen). So weit möglich sind auch
die Anzeigen der LabView-Programme mit einer sinnvollen Anzahl von Nachkommastellen zu versehen.
Die bei den Messungen verwendeten LabView-Anzeigen sind in jedem Fall mit Beschriftungen (am
einfachsten unmittelbar nach der Platzierung einer Komponente) zu versehen. Sie sollte Auskunft über die
angezeigte Messgröße und die verwendeten Einheiten geben. Entsprechendes gilt für die Achsenbeschriftungen in den Grafen.
5 Literatur
Die Grundlagen der Mechanik und der Elektrizitätslehre werden in allen klassischen Lehrbüchern der
Physik dargestellt. Hierzu gehören die schon in Gruppe 1 und 2 erwähnten Bücher:
Meschede:
Demtröder:
Alonso, Finn:
Hering, Martin, Stohrer:
Gehrtsen Physik, Springer, Berlin Heidelberg
Experimentalphysik 1 und 2, Springer, Berlin Heidelberg
Physik, Oldenbourg
Physik für Ingenieure, VDI-Verlag
Auf den Computern des Praktikums steht außerdem das LabView-Handbuch in Form eines PDF-Dokuments
zum Nachschlagen zur Verfügung.
6 Informationsmaterial
Mit den Praktikumsunterlagen werden neben den Versuchsanleitungen folgende Kurzinformationen zur
Verfügung gestellt:
1.
2.
3.
4.
Kurze Einführung in LabView 6
UniMess-Bedienungsanleitung
Physikalische Größen und Einheiten
Einführung in die Fehlerabschätzung und Fehlerrechnung
7 Versuche
Zu jedem Versuch gibt es eine ausführliche Anleitung, in der die Versuchsdurchführung und in kurzer Form
die physikalischen Grundlagen beschrieben, sowie die zu bearbeitenden Aufgaben erläutert werden.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
LabView und serielle Kommunikation
Analog-Digital-Wandlung
Entladung eines Kondensator
Der Wackelschwinger
Resonanzkurve eines Schwingkreises
Elektrische Filter
Speicheroszilloskop
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Spule-Widerstands-Kombination
Gedämpfte Schwingungen
Fallröhre
Fallende Leiter
Fourier-Analyse
Fourier-Synthese
Steuerung einer Ampel
5.10/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
Einführung in LabVIEW 6
1 Einführung
Die Bezeichnung LabVIEW steht für „Laboratory Virtual Instrument Engeneering Workbench“. Es ist ein
Programm, mit dem man auf dem PC „virtuelle Messgeräte“ (VI = Virtual Instrument) zur Erfassung,
Auswertung und Visualisierung von Messdaten bauen kann. Da der Aufbau dieser „Messgeräte“ interaktiv
unter dem Betriebssystem Windows (eine Linux-Version von LabVIEW ist auch verfügbar) erfolgt, sind
kaum Programmierkenntnisse erforderlich.
Zur Anbindung an das eigentliche Experiment benötigt man außerdem ein Interface, das die zu erfassenden
Messgrößen für den Computer aufbereitet. Im Praktikum wird hierfür das UniMess-System verwendet. Eine
ausführliche Beschreibung dieses Geräts befindet sich ebenfalls in den Praktikumsanleitungen.
2 Der LabVIEW-Arbeitsplatz
Nach dem Starten des Programms durch Doppelklick auf das Desktop-Icon wird zunächst ein Begrüßungsfenster angezeigt, in dem man Neues VI wählt. Es werden jetzt zwei Fenster angelegt:
Abb. 1: Frontplatte (Frontpanel)
Abb. 2: Schaltungsdiagramm
Wie bei einem realen Messgerät wird zwischen Frontplatte (linkes Fenster – Frontpanel) und Schaltung
(rechtes Fenster – Diagramm) unterschieden. Auf der Frontplatte werden alle Anzeigen und Bedienungselemente platziert, im Schaltungsdiagramm wird die Verdrahtung und die Ablaufsteuerung programmiert.
Am Anfang sind beide Felder leer, und man befindet man sich in der Betriebsart „Entwurf“. Nachdem alle
benötigten Komponenten (Elemente und Funktionen) in den jeweiligen Fenstern platziert und verdrahtet
sind, schaltet man in die Betriebsart „Ausführen“, um das entworfene „Gerät“ zu testen und um die
Messungen vorzunehmen.
In beiden Fenstern findet man im Menü Datei die Möglichkeit seinen Entwurf zu speichern oder ein bereits
vorhandenes virtuelles Instrument (VI) zu laden. Außerdem können über dieses Menü entworfene Diagramme oder auch grafische Darstellungen von Messdaten ausgedruckt werden.
Die Schaltflächen in der Werkzeugleiste am oberen Rand des Frontplatten- (F) bzw. Diagrammfensters (D)
haben folgende Bedeutung:
Entwurf:
Programm ausführen (F + D)
Programm wiederholt ausführen (F + D)
Stoppt den Programmablauf (im Entwurfsmodus nicht verfügbar) (F + D)
Anhalten / Fortsetzen des Programmablaufs (F + D)
Datenfluss animiert anzeigen (D)
Einzelschrittausführung starten (D)
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
Einführung in LabVIEW 6
Laufzeit:
Anzeige, dass das Programm läuft (F + D)
Wiederholte Ausführung anhalten (F + D)
Abbrechen der Programmausführung (F + D)
Anhalten / Fortsetzen des Programmablaufs (F + D)
Datenfluss animiert anzeigen (D)
Einzelschrittausführung starten (D)
3 Die Werkzeugpalette
Die Bedienung des Programms erfolgt durch Anklicken eines Werkzeugs in der
Werkzeugpalette.
Die Automatische Werkzeugauswahl wird eingeschaltet. Die
Werkzeuge passen sich automatisch den Mausbewegungen an, je
nachdem wo sich der Cursor über einem platzierten Element befindet.
Ändert den Wert eines Bedienelements oder wählt den Text innerhalb
eines Bedienelements.
Positioniert und verändert die Größe von Elementen, Auswahl von
Objekten.
Bearbeitet Text und erstellt freie Beschriftungen.
Abb. 3:
Werkzeugpalette
Verbindet Objekte in einem Blockdiagramm (Verdrahtungswerkzeug).
Stellt die Vordergrund- und Hintergrundfarben ein.
4 Die Elementepalette
Auf der Elementepalette (Abbildung 4) wählt man die auf der Frontplatte
zu platzierenden Anzeigen und Bedienungselemente aus. Nach Klick auf
eine Schaltfläche, die oben rechts mit einem kleinen schwarzen Dreieck
gekennzeichnet ist, öffnet sich ein weiteres Fenster, in dem die in dieser
Gruppe enthaltenen Elemente angezeigt werden. Ein Klick auf den Pfeil
links oben, führt wieder in die übergeordnete Gruppenauswahl zurück.
Folgende Gruppen werden für die Praktikumsversuche benötigt:
Numerisch:
In dieser Gruppe gibt es 17 Elemente, mit denen
numerische Werte eingegeben und angezeigt werden
können. Alle Symbole lassen sich entweder als
Bedienungselemente oder als Anzeigen verwenden.
Die Umschaltung zwischen diesen beiden Möglichkeiten kann nach dem Platzieren auf der Frontplatte
Abb. 4: Elementepalette
über ein lokales Menü erfolgen, das man durch
Rechtsklick auf das Symbol öffnet.
Die Voreinstellung, wie ein Symbol zunächst verwendet wird, leitet sich von der
üblichen Verwendung ab. So ist z. B. ein Vertikaler Schieber nach dem Platzieren ein
Bedienungselement, ein Thermometer eine Anzeige.
Einführung in LabVIEW 6
Boolesch:
Seite 3
In dieser Gruppe gibt es 12 Elemente zur Eingabe und Anzeige von binären Zuständen
(ein/aus). Es handelt sich dabei um verschiedene Arten von Schaltern und LEDAnzeigen. Die Umschaltung zwischen Bedienungselement und Anzeige erfolgt wie
bei den numerischen Symbolen.
String&Pfad: Es gibt 4 Elemente zur Eingabe und Anzeige von Zeichenketten (String) und Pfadangaben, z. B. Dateinamen.
Eigene
In dieser Gruppe befindet sich eine Oszilloskop-Anzeige, die für die Programmierung
des Speicheroszilloskops (Versuch 3.7) benötigt wird.
Informationen zu den weiteren Elementegruppen findet man im LabVIEW-Handbuch [2].
Benutzerdefinierte Elemente:
XY-Anzeige
Dieses Element wird für die Programmierung eines Speicheroszilloskops benötigt.
Seine Funktionen sind identisch mit dem Bibliothekselement XY-Graph, nur das
Erscheinungsbild wurde verändert. Weiterführende Informationen dazu findet man im
Benutzerhandbuch [2].
4 Die Funktionenpalette
Die Funktionspalette (Abbildung 5) enthält alle im Blockdiagramm
einsetzbaren Funktionen. Die Auswahl erfolgt wie bei der Elementepalette gruppenweise in mehreren Ebenen.
Folgende Gruppen werden in den Praktikumsversuchen benutzt:
Strukturen
In dieser Gruppe findet man Funktionen für die
Strukturierung des Programms (z.B. Sequenzen
und Schleifen, siehe weiter unten).
Numerisch
Mit den Funktionen dieser Gruppe können die
Grundrechenarten und die wichtigsten mathematischen Funktionen (Sinus, e-Funktion, etc.)
ausgeführt werden. Außerdem gibt es Funktionen zur Definition von numerischen Konstanten, bzw. zum Abruf von vordefinierten Konstante wie z.B. π.
Boolesch
Mit den Funktionen dieser Gruppe können die
wichtigsten logischen Verknüpfungen ausgeführt
werden. Außerdem gibt es Funktionen zur
Definition von logischen Konstanten.
String
In dieser Gruppe findet man Funktionen zur
Verarbeitung von Textketten (Strings) und
Dateinamen, bzw. Dateipfaden.
Array
In dieser Gruppe findet man Funktionen zur
Verarbeitung von Arrays.
Abb. 5: Funktionenpalette
Cluster
Cluster dienen zur Gruppierung verschiedener Datenelemente ähnlich einem
Kabelbündel.
Vergleich
Hier findet man diverse Funktionen zum Vergleich von numerischen Werten und
Strings.
Seite 4
Einführung in LabVIEW 6
Zeit & Dialog Es gibt zwei Komponenten für einen Eingabedialog, sowie drei Komponenten zum
Programmieren von Verzögerungen und Zeitabläufen.
Instrumenten-I/O In dieser Gruppe befinden sich u.a. die Funktionen zum Ansteuern der seriellen
Schnittstelle.
Eigene
In dieser Gruppe befinden sich die speziell für das Praktikum entwickelten Funktionen zum Betrieb des UniMess und des Funktionsgenerators FD4E (siehe Kap. 6.)
Programmieren von Schleifen (siehe Funktionsgruppe Strukturen):
Es gibt zwei verschiedene Arten von Schleifen:
For-Schleife
Der innerhalb dieser Schleife stehende Code (Subdiagramm)
wird wiederholt, bis ein Schleifenzähler i einen vorgegebenen
Wert n erreicht hat.
While-Schleife
Der innerhalb dieser Schleife stehende Code wird solange
wiederholt, bis eine logische Bedingung erfüllt ist. Gleichzeitig
wird der Schleifenzähler i jeweils um eins erhöht.
Bedingte Anweisungen (siehe Funktionsgruppe Strukturen):
Case-Struktur
In Abhängigkeit von einer Variablen werden verschiedene Programmteile (Subdiagramme) ausgeführt. Die Variable darf
logisch für eine einfache Verzweigung oder numerisch für eine
1:n Verzweigung sein.
Zeitabfolgen (siehe Funktionsgruppe Strukturen):
Sequenz-Struktur
Wie in einem Film werden die Programmteile (Subdiagramme)
nacheinander ausgeführt. Durch Klicken mit der rechten
Maustaste auf den Rahmen wird ein lokales Menü geöffnet, mit
dem sich weitere Sequenzen (Rahmen) einfügen lassen.
Formeln (siehe Funktionsgruppe Strukturen):
Formel-Knoten
Um eigene Berechnungen mit Variablen durchführen zu können,
wird ein Formelknoten in das Diagramm eingefügt. In das
innere Feld kann eine Berechnungsformel in der üblichen
mathematischen Schreibweise eingegeben wird. Durch
Rechtsklick auf den Rand werden die Ein- und Ausgabevariablen
definiert. Jede Formel muss mit einem Semikolon abgeschlossen werden.
Die wichtigsten verwendbaren Operatoren sind:
+,-,*,/ für die Grundrechenarten
** für die Exponentialfunktion (Bsp.: y=2**x)
Achtung: Innerhalb eines Formelknotens muss als Dezimaltrenner der Punkt (nicht
das Komma) verwendet werden.
Zeit-Funktionen (siehe Funktionsgruppe Zeit & Dialog):
Timerwert (ms):
Mit dieser Funktion kann die Zeit der internen Stoppuhr in ms ausgelesen
werden. Durch Differenzbildung zweier solcher Zeitwerte in einer
Programmsequenz kann damit die verstrichene Zeit bestimmt werden.
Einführung in LabVIEW 6
Warten (ms):
Seite 5
Mit dieser Funktion kann in einer Zeitabfolge eine Wartezeit programmiert
werden.
Anschlüsse (siehe Funktionsgruppe Instrumenten-I/O):
Serielle Schnittstelle: Die Funktionen für den Datentransfer über die serielle
Schnittstelle liegen in der
Gruppe Instrumenten-I/O. Die
Abb. 6 zeigt, wo man dort die
benötigten Funktionen findet:
Anzahl der gelesenen Bytes
(N), Zeichenfolge schreiben
(W) und lesen (R), initialisieren (Serial Port).
Diese elementaren I/O-Funktionen werden nur im ersten
Versuch direkt verwendet.
Alle weiteren Versuche verwenden die darauf aufbauenden UniMess-Funktionen.
Abb. 6: Serieller Datentransfer
5 Die Verdrahtung
Nachdem die benötigten Komponenten aus der Funktionspalette platziert sind, kann mit
dem Verdrahten begonnen werden. Man klickt in der Werkzeugleiste die Drahtrolle an
und geht dann mit der Drahtspitze auf die Verbindungspunkte der Komponenten. Der
jeweilige Anschluss beginnt zu blinken. Nach einem Linksklick beginnt man mit der
Verdrahtung (gestrichelte Linie). Knickpunkte werden durch weitere Mausklicks eingefügt. Ein Klick auf
das Ziel schließt die Verbindung ab (z.B. durchgezogene blaue Linie – siehe Abb.).
Da viele Komponenten mehrere Anschlüsse besitzen, sollte man
bei der Verdrahtung das Hilfe-Fenster (Hilfe > Zeige KontextHilfe) einblenden (Abb. 7). Sobald man mit dem Mauscursor eine
platzierte Komponente berührt, werden in diesem Fenster
Bedeutung und Lage der vorhandenen Anschlusspunkte, sowie die
Funktion der Komponente erläutert.
Soll eine Verdrahtung zu einem Anschluss erfolgen, der sich in
einem untergeordneten Programmteil z.B. einer Schleife befindet,
wird beim Überschreiten der „Wand“ dort automatisch ein
Abb. 7: Kontext-Hilfe zu Komponenten
Stützpunkt erzeugt.
Bei der Verdrahtung sind bestimmte Regeln zu beachten. So ist es z.B. nicht gestattet, zwei Ausgänge
miteinander zu verbinden. Solche ungültigen Verbindungen werden als schwarze gestrichelte Linien
angezeigt und können über den Menüpunkt Bearbeiten > Ungültige Verbindungen entfernen oder die
Tastenkombination Strg-B gelöscht werden.
Gültige Verdrahtungen werden je nach Typ verschieden angezeigt. In der Abbildung
sind die Stile der Verbindungen für numerische und logische Anschlüsse, sowie für
Zeichenketten dargestellt. Bei Arrays sind die Linien entsprechend dicker.
Verlegte Leitungen können nachträglich beliebig verschoben werden. Die Verbindungen
bleiben dabei erhalten.
Seite 6
Einführung in LabVIEW 6
Datentypen:
Bei numerischen Werten werden zusätzlich noch verschiedene Typen unterschieden:
ganzzahlige Werte mit und ohne Vorzeichen: I32, I16, I8, U32, U16 und U8 (jeweils 8-, 16- und 32-Bit)
Fließkommawerte: EXT, DBL und SGL (jeweils 128,- 64- und 16-Bit-Genauigkeit)
Geändert wird der Typ mit Rechtsklick auf die jeweilige Funktion über Darstellung.
6 Eigene Bibliotheken
In der Funktionenpalette findet man unter Eigene Bibliotheken einige
Komponenten für die Ansteuerung der Praktikumshardware: Funktionsgenerator FD4E, Ansteuerung der seriellen Schnittstelle und Datenaustausch
mit dem UniMess-Interfaces (siehe dazu auch die UniMess-Bedienungsanleitung).
UniMess-Interface:
Mit diesen Funktionen wird das UniMess-Interface angesteuert. Die verschiedenen Komponenten senden die in der Bedienungsanleitung beschriebenen Befehlscodes an das Gerät und lesen je nach Typ die vom Interface
zurückkommenden Daten ein. Der Reihe nach stehen folgende Funktionen
zur Verfügung:
Init UniMess
Initialisiere die serielle Schnittstelle mit der Standardbaudrate (38400) und wähle das PC-COM-Port (z.B.
COM1 oder COM2).
Set DAW Channel
Wähle einen D/A-Kanal (1 oder 2) aus.
Write DAW 1x
Schreibe einen Wert (0 .. 4095) auf den ausgewählten
D/A-Ausgang.
Relais
Schalte die Relais (1 .. 4) ein oder aus.
Set ADW Channel
Wähle einen A/D-Kanal (1 oder 2) aus.
Set ADW Gain
Stelle die Vorverstärkung für den ausgewählten Kanal ein (0,1,2,3)
Read ADW 1x
Lese eine Wert (0 .. 4095) vom ausgewählten A/D-Kanal ein.
FD4E Frequency
Stellt am Generator eine bestimmte Frequenz ein.
Set ADW Delay
Setze die Wartezeit zwischen zwei Messwertaufnahmen beim Block Modus
Set ADW Trigg
Setze eine Triggerschwelle (0 .. 4095) und den Triggermodus (0 = pos. Flanke,
1 = neg. Flanke, 2 = aus) zum Starten de A/D-Wandlung im Blockmodus.
Read ADW Block
Lese eine Block von 1020 Werten vom ausgewählten A/D-Kanal ein.
Set DIO Direction
Schalte die Digitalports (1 .. 4) als Eingang oder Ausgang
Read IO 1x
Lese den Zustand der als Eingang geschalteten Digitalports ein.
Read IO nx
Zeitmessfunktion an den Digitalports.
Write DIO
Schreibe an die als Ausgang geschalteten Digitalports.
Literatur:
Die Dokumentation zu LabVIEW liegt in Form von PDF-Dateien vor. Eine Verknüpfung zu einer Übersicht
findet sich auf dem Desktop der Praktikumscomputer. Für das Praktikum genügt ein Blick in die folgenden
Dokumente:
[1] Erste Schritte in LabVIEW
[2] Benutzerhandbuch
[3] Referenzkarte
Weitere Informationen findet man in der Online-Hilfe zum Programm (Taste
)
3.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
UniMess-Bedienungsanleitung
1 Allgemeines
UniMess ist ein universelles Messinterface, das die Verbindung zwischen Messapparatur und Com puter herstellt. Es bietet einerseits eine Reihe von direkten Funktionen zur Ein- und Ausgabe von
Daten, kann aber auch selbsttätig ganze Datenreihen aufnehmen.
Die Steuerung erfolgt vom PC über die serielle Schnittstelle. Die Weiterverarbeitung und Visualisierung der Messdaten findet auf dem PC statt. Die Programmierung kann dabei mit jeder gängigen
Programmiersprache erfolgen. Im Praktikum wird hierfür das besonders schnell zu erlernende
LabView eingesetzt (siehe getrennte Beschreibung), für das fertige Bibliotheksmodule zur Ansteue rung von UniMess bereitstehen.
1.1 Funktionsüberblick
•
Kommunikation mit einem PC nach dem seriellen RS-232-Standard
•
Mikroprozessor (PIC16C64) gestütztes System mit 2kB Daten-RAM
•
zwei 12-Bit Analogeingänge (±10V), die bis zu einer Frequenz von ca. 28kHz gelesen werden
können
•
Programmierbarer Vorverstärker für die Analogeingänge: x1, x2, x4, x8
•
zwei 12-Bit Analogausgänge (±5V)
•
vier digitale Ein- und Ausgänge (TTL-Pegel) inklusive Schmitt-Trigger und Verpolungsschutz
•
Steuerung für zwei Schrittmotoren
•
vier Schaltrelais
•
Spannungsversorgungen für +5V, ±12V auf dem Schaltfeld (bis 100mA belastbar)
1.2 Anschlüsse
Frontplatte:
Auf der Frontplatte (siehe Abb. 1) sind alle Anschlüsse für die Verbindung zum Experiment bzw. zur
Messung angebracht. Hierzu zählen im einzelnen
1. die Hilfsspannungen +5V (Buchse rot), –12V (Buchse blau), Masse (Buchse schwarz), +12V
(Buchse rot),
2. die analogen Ein-/Ausgänge, nämlich ADW1 und ADW2 (Buchsen grün) als Eingänge für den
AD-Wandler und DAW1 und DAW2 (Buchsen gelb) als Ausgänge der DA-Wandler,
3. die digitalen Ein-/Ausgänge DIO1 bis DIO4 (Buchsen blau),
4. die Relais-Schaltanschlüsse REL1 bis REL4 entsprechend der bei REL1 angegebenen Verschaltung (Buchsen je gelb/grün/weiß),
5. die Anschlüsse zur Steuerung von zwei Schrittmotoren Motor1 und Motor2 (5-polige DINBuchse, Würfel)
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
UniMess-Bedienungsanleitung
Abbildung 1: Unimess
Abbildung 2: Netzteil
Rückseite:
Auf der Rückseite sind sowohl Anschlüsse zur Spannungsversorgung als auch zur Kommunikation
mit dem PC angebracht:
Die 9-polige SUB-D-Buchse dient zur Aufnahme eines herkömmlichen seriellen Verbindungskabels (kein Nullmodemkabel!). Über sie erfolgt der Anschluss an den PC.
An der 5-poligen DIN-Buchse (180°) wird das Netzgerät (siehe Abb.. 2) angeschlossen. Es dient
zur Stromversorgung der Elektronik des Interfaces (ohne Relais und Schrittmotoren).
Die Schaltrelais und die Schrittmotoren benötigen eine eigene Stromversorgung (12V, mind. 2A)
von einem Labornetzgerät. Dieses wird an der Rückseite an die rote (Pluspol) und schwarze
(Masse) Buchse angeschlossen. Auf diese Weise wird die Betriebsspannung im Interface von den
induktiven Lasten, die die Schaltrelais und die Schrittmotoren darstellen, entkoppelt. Störungen
des Mikrocontrollers werden somit vermieden.
Reset-Taste: Auf der Rückseite ist außerdem ein Minitaster angebracht. Beim Drücken wird der
Prozessor des Interfaces in die Startposition zurückgesetzt, in der er sich gleich nach dem Ein schalten befand. Hiermit ist es möglich, UniMess bei einem eventuellen Systemabsturz neu zu
starten.
1.3 Serielle Schnittstelle
UniMess ist voreingestellt auf bestimmte Kommunikationsparameter. Damit eine Ansteuerung über
die serielle Schnittstelle beispielsweise von einem PC aus funktioniert, muss die RS232-Schnittstelle
des PCs wie folgt konfiguriert werden:
•
•
•
•
•
Baudrate:
Datenbits:
Parität:
Stopbit(s):
Protokoll:
38.400 Bits pro Sekunde
8
keine
1
kein
Wurden diese Parameter korrekt gesetzt, so meldet sich UniMess nach dem Einschalten mit seiner
Bezeichnung inklusive der aktuellen Versionsnummer (aktuell 1.6).
UniMess-Bedienungsanleitung
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Hinweis: Es empfiehlt sich für eine sichere Kommunikation beim Senden von mehreren Zeichen
über die serielle Schnittstelle nach jedem Senden eine Verzögerung (Delay) von ca. 1ms einzufügen.
Andernfalls kann es vorkommen, dass hin und wieder ein Zeichen von UniMess nicht korrekt verstanden wird.
2 Befehlscodes
Die Befehlscodes bestehen aus einem oder zwei ASCII-Zeichen (Buchstaben und Ziffern) und zum
Teil aus Binärcodes, die im Nachfolgenden durch spitze Klammern in der Form „<n>“ gekennzeichnet sind. n kann Werte von 0 .. 255 annehmen (1 Byte). Es gelten folgende Konventionen:
↵
Carriage Return (ASCII-Code: 13 dez.)
x
ASCII-Zeichen der Ziffern von 0 bis 9
8-bit Werte:
Binärwert eines Bytes (0...255)
<n>
16-bit Werte:
<low(#)>
Binärwert des niederwertigen Bytes einer 16-Bit Zahl (0...255)
<high(#)>
Binärwert des hochwertigen Bytes einer 16-Bit Zahl (0...255)
24-bit Werte:
<low(#)>
Binärwert des niederwertigen Bytes einer 24-Bit Zahl (0...255)
<mid(#)>
Binärwert des mittelwertigen Bytes einer 24-Bit Zahl (0...255)
<high(#)>
Binärwert des hochwertigen Bytes einer 24-Bit Zahl (0...255)
Hinweis: Ob das Interface einen Befehl korrekt verarbeitet hat, lässt sich an dem Empfangscode
erkennen. Reagiert UniMess nicht mehr, so ist die Reset-Taste auf der Rückseite zu betätigen.
2.1 Systemfunktionen
Reset/Initialisierung
Dieser Befehl setzt UniMess in den Ausgangszustand zurück. Bei Erfolg antwortet das Interface mit
seiner Kennung.
Sendecode: I
Empfangscode:
VUniMess Version x.x
Versions-Abfrage
Dient zur Erkennung eines angeschlossenen und betriebsbereiten UniMess-Systems.
Sendecode: V
Empfangscode:
VUniMess Version x.x
RAM-Test
Testet den Arbeitsspeicher (2kB-RAM) des UniMess auf korrekte Funktion. Alle dort gespeicherten
Daten gehen verloren.
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UniMess-Bedienungsanleitung
Sendecode: r
Empfangscode:
rOK
falls der Test erfolgreich verlief
rERROR
falls ein Fehler auftrat
2.2 Analog/Digital-Wandler
Wahl des Eingangskanals
Mit dieser Funktion kann einer der beiden Analogeingänge (ADW1 oder ADW2) für die nachfolgenden Operationen ausgewählt werden.
Sendecode: C<n>
n=0 : Kanal 1 entsprechend ADW1
n=1 : Kanal 2 entsprechend ADW2
Empfangscode:
kein
Vorverstärker
Dieser Befehl stellt die Vorverstärkung ein, mit der eine Spannung an den Analogeingängen ADW1
und ADW2 verstärkt wird, bevor sie dem AD-Wandler zugeführt wird.
Sendecode: G<n>
n=0 : Verstärkung x 1
n=1 : Verstärkung x 2
n=2 : Verstärkung x 4
n=3 : Verstärkung x 8
Empfangscode:
kein
Wandlung eines Messwerts
Dieser Befehl startet eine einmalige die AD-Wandlung. Das Interface sendet den resultierenden
Digitalwert zurück. Dabei wird der 12-Bit-Messwert (0...4095) in zwei Bytes in der Reihenfolge
Low-Byte - High-Byte gesendet. Die oberen 4 Bits des High-Byte sind immer Null.
Der Eingangsspannungsbereich beträgt bei einer Vorverstärkung von eins -10V ... +10V (entsprechend den Digitalwerten 0 .. 4095). Der Zusammenhang zwischen dem Digitalwert und der
anliegenden Eingangsspannung ist linear.
Sendecode: A
Empfangscode:
A<low(w)><high(w)>
(Wert = 256*<high(w)>+<low(w)>
Starten der Wandlung von 1020 Messwerten
Mit diesem Befehl werden nacheinander 1020 Werte vom Analogeingang im AD-Wandler gemessen
und im RAM abgespeichert. Die Zeitverzögerung (Delay)zwischen den Wandlungen lässt sich mit
einstellen (siehe unten). Nach Beendigung der Wandlung wird ein vom Interface ein Carriage Return
(↵) zurückgesendet.
Sendecode: BS
Empfangscode:
↵
UniMess-Bedienungsanleitung
Seite 5
Abholen der gemessenen Daten
Mit diesem Befehl werden die im RAM abgelegten Messwerte aus dem Interface ausgelesen. Dabei
werden die 12-Bit-Werte (0...4095) in zwei Bytes in der Reihenfolge erst Low-Byte, dann High-Byte
gesendet. Die oberen 4 Bits des High-Byte sind immer Null (siehe oben).
Sendecode: BT
Empfangscode:
B<low(w0001)><high(w0001)>
<low(w0002)><high(w0002)>
...
<low(w1020)><high(w1020)>
Einstellung der Zeitverzögerung
Hiermit wird die Abtastrate beim Erfassen der 1020 Werte eingestellt. Die Zeitverzögerung zwischen
der AD-Wandlung zweier Einzelwerte ist im Bereich von etwa 20 µs ... 40 ms (entsprechend einer
Abtastfrequenz von ca. 45 kHz ... 25 Hz) einstellbar. Für die Gesamtdauer der Messung ergibt sich
damit eine Zeit von 20 ms ... 40 s.
Sendecode: Z<low(n)><high(n)>
Empfangscode:
n : Schleifenzähler (0...8000)
kein
Die Zeitverzögerung wird im Gerät durch mehrfaches Durchlaufen einer Warteschleife erzeugt. Sie
berechnet sich aus dem Schleifenzähler n nach folgender Formel:
t /µs = a⋅nb
(1)
Die Koeffizienten a und b sind im Versuch zu bestimmen. Zum Abschätzen kann man die
Näherungswerte a = 5 und b = 20 verwenden.
Daneben ist auch noch der alte Befehl T verwendbar, der eine Zeitverzögerung etwa im Bereich 20
µs ... 1500 µ (entsprechend einer Abtastfrequenz von ca. 45 kHz ... 650 Hz) ermöglicht. Für die
Gesamtdauer der Messung ergibt sich damit eine Zeit von 22,5 ms ... 1,6 s.
Sendecode: T<n>
Empfangscode:
n : Schleifenzähler (0...255)
kein
Einstellung einer Triggerfunktion
Die Block-AD-Wandlung des UniMess-Systems kann durch eine Triggerung vom Messsignal
gestartet werden. Triggerflanke und -schwelle können frei gewählt werden. Nach der Initialisierung
ist zunächst kein Trigger eingestellt.
Sendecode: tx<low(t)><high(t)> x = +:
Empfangscode:
kein
Triggerung bei steigender Flanke
x = –:
Triggerung bei fallender Flanke
x = 0:
keine Triggerung
t:
Triggerschwelle (0...4095)
Seite 6
UniMess-Bedienungsanleitung
2.3 Digital/Analog-Wandler
Wahl des Ausgabekanals
Ähnlich wie beim AD-Wandler wird auch beim DA-Wandler einer der Analogausgänge DAW1 oder
DAW2 für die nachfolgenden Operationen ausgewählt. Dabei wird die Ausgangsspannung des
jeweils anderen Kanals nicht verändert.
Sendecode: E<n>
n=0: wählt Ausgang DAW1
n=1: wählt Ausgang DAW2
Empfangscode:
kein
Ausgabe eines Werts
Mit dieser Funktion wird ein in zwei Bytes übergebener 12-Bit-Wert (0...4095) in eine Spannung am
aktuell gewählten Analogausgang umgewandelt.
Der Ausgangsspannungsbereich beträgt –5V ... +5 V * (entsprechend den Digitalwerten 0 ...4095).
Der Zusammenhang zwischen Digitalwert und ausgegebener Spannung ist linear.
Sendecode: D<low><high>
Empfangscode:
kein
2.4 Digitale Ein- und Ausgänge
Definition der Datenrichtung
Die digitalen Ein-/Ausgänge können separat als Ein- oder Ausgang geschaltet werden. Diese Einstel lung erfolgt mit Hilfe eines Bitmusters:
n = 0000bbbb
Datenrichtung DIO1 (0 = Ausgang, 1 = Eingang)
Datenrichtung DIO2 (0 = Ausgang, 1 = Eingang)
Datenrichtung DIO3 (0 = Ausgang, 1 = Eingang)
Datenrichtung DIO4 (0 = Ausgang, 1 = Eingang)
Sendecode: K<n>
Empfangscode:
n:
Bitmuster s.o. (0...15)
kein
Hinweis: Nach dem Einschalten des Interfaces sind alle Datenrichtung auf Ausgang geschaltet.
Schreiben der digitalen Ausgänge
Schaltet die digitalen Ausgänge, sofern sie dafür eingerichtet wurden (siehe oben).
n = 0000bbbb
DIO1 (0 = Aus, 1 = An)
DIO2 (0 = Aus, 1 = An)
DIO3 (0 = Aus, 1 = An)
DIO4 (0 = Aus, 1 = An)
* -10V ... +10V bei UniMess 2
UniMess-Bedienungsanleitung
Sendecode: O<n>
Empfangscode:
n:
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Bitmuster s.o. (0...15)
kein
Lesen der digitalen Eingänge
Mit diesem Befehl werden die Digitaleingänge gelesen, die als Eingang definiert wurden. Die Kodie rung des gelesenen Bytes entspricht der beim Setzen der Ausgänge.
Den Digitaleingängen ist zur Signalentstörung intern ein Schmitt-Trigger vorgeschaltet.
Sendecode: L
Empfangscode:
n:
L<n>
Bitmuster s.o. (0...15)
2.5 Zeitmessfunktion der digitalen Eingänge
Mit diesem Befehl werden die Digitaleingänge auf Pegeländerungen überwacht. Automatisch
werden alle 4 Ports auf Eingang geschaltet. Die Kodierung entspricht der beim Setzen der Aus gänge
angegebenen. Die Timerauflösung liegt bei 2µs.
Messung starten
Startet die Messung für die Dauer t = n · 2µs · 216. Es werden alle Ports gleichzeitig überwacht,
wobei nur maximal die ersten 60 Änderungen berücksichtigt werden.
Sendecode: XS<n>
Empfangscode:
n:
gesamte Messdauer (0...255) gemäß t = n · 131ms
kein
Messung auslesen
Liest eine Messung aus dem Speicher von UniMess.
Sendecode: XT
Empfangscode: X<n>
<p1><low(t1)><mid(t1)><high(t1)>
<p2><low(t2)><mid(t2)><high(t2)>
...
n:
Anzahl der gemessenen Pegeländerungen am Port (muss mit 4 multipliziert
werden, um die Anzahl der nachfolgenden Datenbytes zu ermitteln)
p:
gibt an welcher Port verändert wurde (Bitcode s.o.)
t:
gibt die zugehörige Zeit t des Ereignisses als 24-bit Wert an. Die Zeit berechnet
sich daraus zu
t = (low(t) + mid(t) · 28 + high(t) · 216) · 2µs.
2.6 Schaltrelais
Schalten der Relais
Um die Relais REL1 bis REL4 zu schalten, wird eine Bitmuster-Kodierung ähnlich der bei den
digitalen Ein-/Ausgängen verwendet:
Seite 8
UniMess-Bedienungsanleitung
n = 0000bbbb
Relais 1 (0 = Aus, 1 = An)
Relais 2 (0 = Aus, 1 = An)
Relais 3 (0 = Aus, 1 = An)
Relais 4 (0 = Aus, 1 = An)
Sendecode: R<n>
n = s.o. (0...15)
2.7 Schrittmotorsteuerung
Einschalten der Stromzufuhr für beide Motoren
Dieses Kommando schaltet die Stromzufuhr für beide Motoren ein.
Sendecode: P
Empfangscode:
(großes „P“)
kein
Ausschalten der Stromzufuhr für beide Motoren
Dieses Kommando schaltet die Stromzufuhr für beide Motoren aus.
Sendecode: p
Empfangscode:
(kleines „p“)
kein
Definition der Drehrichtung eines Motors
Diese Funktion dient zur Festlegung des Drehsinns eines Schrittmotors. Die Richtung „links“ bzw.
„rechts“ ist jedoch willkürlich. Nach dem Einschalten von UniMess ist als Richtung „rechts“ vorein gestellt.
Sendecode: d1L
Motor 1, Linkslauf
d1R
Motor 1, Rechtslauf
d2L
Motor 2, Linkslauf
d2R
Motor 2, Rechtslauf
Empfangscode:
kein
Einzelschritt
Dieses Kommando stellt den gewählten Motor um einen Schritt in der gewählten Richtung weiter.
Sendecode: M1
Motor 1, Einzelschritt
M2
Motor 2, Einzelschritt
Empfangscode:
kein
Mehrfachschritt
Dieses Kommando stellt den gewählten Motor um n Schritte (0...255) in der gewählten Richtung
weiter. Die Drehgeschwindigkeit ist dabei von der eingestellten Zeitverzögerung abhängig (s.u.)
Sendecode: S1<n>
Motor 1, n Schritte (0...255)
UniMess-Bedienungsanleitung
S2<n>
Empfangscode:
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Motor 2, n Schritte (0...255)
kein
Einstellung einer Zeitverzögerung
Zur Einstellung einer relativen Zeitverzögerung für jeden Schritt lassen sich mit dieser Funktion Ver zögerungen von n = 0 bis 255 wählen.
Hinweis: Die untere Grenze „0“ ist vom Motortyp abhängig und muss experimentell bestimmt werden. Voreingestellt ist eine Verzögerung von 12.
Sendecode: W<n>
Empfangscode:
n = Verzögerung (0...255)
kein
11.2010/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
Funktionsgenerator MXG-9802A
1 Kurzanleitung
Der Funktionsgenerator wird zur Kalibrierung der Zeitachse im Versuch 3.3 Speicheroszilloskop
verwendet. Das UniMess wird über einen BNC-Adapter an den Ausgang des Generators Output (1e
in der Abbildung) angeschlossen.
Abbildung 1: Bedienungselemente des MXG-9802A
Nach dem Einschalten des Generators am Schalter Power (6) sollte die am Drehknopf (7)
eingestellte Frequenz in der Anzeige (8) erscheinen. Wenn dies nicht der Fall ist, muss die Taste
FCFG (5) gedrückt werden. Die Auflösung der Frequenzanzeige ist von der Messzeit abhängig. An
der Taste GATE (9c) sollte sie zunächst auf 1 s gestellt werden (siehe Anzeige GATE (8e)).
Der Frequenzbereich wird an den Tasten x1 .. x1M (4) ausgewählt, die Form der Ausgangsspannung
an den Tasten Function: (3a) für Sinus, (3b) für Dreieck und (3c) für Rechteck. Die Amplitude der
Ausgangsspannung wird am Knopf AMP (2e) auf ca. ¾ des Maximalwerts eingestellt.
2 Versuchsdurchführung
Für die Kalibrierung des Speicheroszilloskops werden Rechtecksignale mit Frequenzen von 10 ..
100 Hz benötigt. Die Frequenz sollte auf mindestens 3 Stellen abgelesen werden. Dazu muss bei den
kleinen Frequenzen das GATE (9c) auf 10 s umgeschaltet werden, sobald der gewünschte Frequenz­
wert am Knopf (7) eingestellt ist.
Achtung: Warten Sie mindestens 20 s, bevor Sie nach dem Umschalten des Gates die Frequenz
ablesen.
11.2005/Ra
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.1 Einführung in LabView und serielle Kommunikation
1 Erste Versuche mit LabView
Die Bedienung des LabView-Programms ist in der beiliegenden Einführung näher beschrieben. Zum
Kennenlernen soll ein einfaches „virtuelles Gerät“ aufgebaut werden.
Aufgaben:
1.1 Programmieren Sie einen kleinen Rechner für eine Grundrechenart. Benutzen Sie für die Zahlenein- und -ausgabe geeignete Komponenten aus der Elemente-Palette des Frontplattenfensters, und
fügen Sie im Diagramm die Rechenfunktion und die erforderlichen Verbindungen hinzu.
1.2 Fügen Sie eine Anzeige für einen logischen Wert (boolesch) hinzu, an dem man erkennen kann, ob
eine Zahl in einem Bereich zwischen zwei vorgegeben Werten liegt. Sie benötigen dazu im
Diagramm aus der Funktionen-Palette Konstantendefinitionen, Vergleichsfunktionen und logische
Verknüpfungen.
1.3 Machen Sie einige weitere Experimente mit anderen Anzeigeelementen aus der Gruppe Numerisch
der Elemente-Palette.
Abb. 1: Serielle Kommunikation - Rahmen 0
Abb. 2: Serielle Kommunikation - Rahmen 1
2 Serielle Kommunikation mit dem UniMess-Interface
Das UniMess-Interface ist über die serielle Schnittstelle mit dem PC verbunden (siehe auch beiliegende
Beschreibung). Die Kommunikation mit dem Interface erfolgt immer in der Weise, dass der PC (hier
das LabView-Programm) einen Befehl bestehend aus einem oder mehreren Zeichen sendet und auf eine
befehlsabhängige Antwort wartet, diese einliest und auswertet.
In diesem Versuchsteil sollen die Grundzüge dieser Kommunikation erlernt werden. Das UniMess wird,
wie in allen folgenden Versuchen, an die serielle Schnittstelle des Kompakt-PC (immer COM1)
angeschlossen. Nach erfolgter Initialisierung können Befehle an das UniMess gesendet und die
zugehörigen Antworten empfangen werden.
Alle verwendeten Funktionen aus der Gruppe Serielle Kompatibilität benötigen die Angabe des
verwendeten COM-Ports. Zu beachten ist, dass die Zählung hier bei Null beginnt, d.h. die StandardSchnittstelle COM1 hat die Nummer 0. Außerdem besitzt jede Funktion noch einen Fehlercode-
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.1 Einführung in LabView und serielle Kommunikation
Ausgang. Bei einem Fehler (z.B. Auswahl einer falschen Schnittstelle) wird hier ein von Null verschiedener Wert ausgegeben. Über die Funktion Ungleich 0? kann daran eine boolesche Anzeige angeschlossen werden.
Vor dem Lesen der UniMess-Antwort muss ermittelt werden, wieviele Zeichen im Eingangspuffer
angekommen sind. Dazu wird die Funktion Bytes am seriellen Anschluss verwendet.
Aufgaben:
2.1 Programmieren Sie ein LabView-Programm zur Kommunikation mit dem Interface. Die Abbildungen erläutern die Diagrammstruktur. Für den Betrieb der Schnittstelle werden die Funktionen
aus der Gruppe „Serielle Kompatibilität“ (siehe Einführung in LabVIEW 6, S.5) verwendet. Bei der
Initialisierung muss die Schnittstelle (Port = 0) und die Baudrate (Wert = 38400) angegeben
werden.
2.2 Welche Aufgabe hat die Zeitverzögerung im 1. Rahmen?
2.3 Senden Sie eine Versionsabfrage an das UniMess (siehe UniMess-Beschreibung) und zeigen Sie
die Antwort auf dem LabView-Panel an.
2.4 Legen Sie eine Spannung (z.B. 5 V) an den ersten A/D-Eingang des UniMess, und fragen Sie den
Wandler ab. Beachten Sie, dass die Antwort des UniMess unsichtbare Zeichen (Steuercodes aus
dem ASCII-Zeichensatz) enthalten kann.
3 Verwendung der UniMess-Funktionen
In den weiteren Versuchen werden für den Datentransfer die UniMess-Funktionen verwendet. Die dort
bereitgestellte Initialisierung verwendet als Standardeinstellungen COM1 als Schnittstelle und 38400
als Baudrate, so dass diese Angaben nicht mehr erforderlich sind. Am Ausgang der InitialisierungsFunktion wird eine Variable Port-Info bereitgestellt, die mit den entsprechenden Eingängen aller
anderen UniMess-Funktionen verbunden werden muss.
3.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.2 Analog-Digital-Wandlung
1 Einführung
Physikalische Größen können in der Regel jeden beliebigen Wert annehmen. Man nennt solche Größen auch
analoge Größen. Bei einer messtechnischen Erfassung wird die Auflösung zwangsläufig durch das
verwendete Messgerät beschränkt. Üblicherweise geschieht dies durch das Runden beim Ablesen eines
Wertes von dem Gerät. Die erzielbare Auflösung hängt dabei von den Eigenschaften des verwendeten
Messgeräts ab. So kann z.B. eine Länge mit einer Mikrometerschraube sehr viel feiner erfasst werden als
mit einem Lineal. Der Messwert wird dann im Ergebnis als Zahl, d.h. in digitaler Form notiert.
Um physikalische Messwerte mit einem Computer verarbeiten zu können, müssen sie diesem als Zahlen zur
Verfügung gestellt werden. Im einfachsten Fall kann dies durch Eintippen der wie oben erfassten Messwerte
durch den Experimentator erfolgen. Besser ist es natürlich, die Datenerfassung mit einem Gerät vorzunehmen, das die jeweilige physikalische Größe automatisch in einen Digitalwert umwandelt. Die moderne
Technik bietet dies in Form von integrierten Schaltungen unter der Bezeichnung Analog-Digital-Wandler
an. Ein solcher A/D-Wandler ist auch im UniMess-Interface eingebaut.
Bei der Analog-Digitalwandlung von Messwerten sind folgende Gesichtspunkte zu beachten:
•
Die physikalische Messgröße muss als elektrisches Signal vorliegen, um sie mit handelsüblichen A/DWandlern weiterzuverarbeiten. Soll eine nichtelektrische Größe gemessen werden, muss zunächst mit
einem Sensor oder Messwandler eine Umwandlung in ein elektrisches Signal (z.B. eine Spannung oder
einen Widerstand) erfolgen. Beispiele für solche Sensoren sind NTC-Widerstände zur Temperaturmessung und Fotodioden für die Messung von Licht.
•
Der erforderliche Messbereich wird bei der Digitalisierung in eine endliche Anzahl von Stufen zerlegt.
Die Messgröße wird also gequantelt. Die erreichbare Auflösung entspricht genau einer Stufe, d.h.
Änderungen, die kleiner sind, können durch das Digitalsignal nicht mehr dargestellt werden. Da
käufliche A/D-Wandler üblicherweise Binärzahlen ausgeben, ist die Anzahl der Stufen immer eine
Zweierpotenz (z.B. 1024 oder 4096). Man gibt in den Datenblättern dieser ICs als Merkmal für die
Auflösung meist nur die Anzahl der Bits an, die zur Darstellung dieser Zahlen erforderlich sind, d.h. ein
12-Bit-Wandler (wie im UniMess) kann 4096 Stufen unterscheiden.
•
Eine weitere Quantelung erfolgt auf der Zeitachse. Da jeder A/D-Wandler eine gewisse Zeit benötigt,
um den Digitalwert zu bestimmen (je nach Typ zwischen einigen Mikrosekunden und mehreren
Sekunden), kann auch die Zeitabhängigkeit der Messgröße nur begrenzt aufgelöst werden. Bei sich
schnell ändernden Signalen ist diese Problematik besonders zu beachten. Um ein periodisches Signal
einer bestimmten Frequenz aus den Digitalwerten wieder rekonstruieren zu können, ist eine Abtastung
bei der Digitalisierung mit mindestens der doppelten Frequenz erforderlich (Abtasttheorem). Je höher
die Abtastfrequenz ist, um so besser kann das Originalsignal durch die Digitalwerte rekonstruiert
werden (siehe dazu auch Versuch 3.7).
2 LabView-Programm
Um die Programmierung der Kommunikation mit dem UniMess-Interface über die serielle Schnittstelle zu
vereinfachen, stehen in der Bibliothek „UniMess Interface“ vorgefertigte LabView-Komponenten für alle
wichtigen Funktionen zur Verfügung. Für diesen Versuch werden die Komponenten Init UniMess, Set
ADW Channel und Read ADW 1x benötigt. Sie beinhalten jeweils folgende Funktionen:
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Seite 2
3.2 Analog-Digital-Wandlung
•
Initialisierung: Wahl des verwendeten COM-Ports (Vorgabe = 1) und Einstellen der Baudrate auf den
für die Kommunikation mit dem Interface benötigten Wert (Vorgabe = 38400)
•
Kanalwahl: Auswahl des A/D-Eingangskanals (1 oder 2)
•
Auslesen des A/D-Werts: Senden des Befehls zum Wandeln eines Messwerts (Befehl „A“),
Verzögerung, Auslesen des Ergebnisses und Wandeln in eine Zahl (0 .. 4095).
Ähnlich wie im Versuch 1 ist ein bestimmter Zeitablauf zu beachten: Initialisierung, Auswahl des
Eingangskanals und Auslesen der gewandelten Daten.
3 Versuchsaufbau
In diesem Versuch soll der A/D-Wandler des UniMess-Interfaces benutzt werden, um eine Spannung zu
digitalisieren. Die Spannung wird über ein Potentiometer zugeführt, so dass verschiedene Werte einstellbar
sind. Die Spannung am Eingang des UniMess wird gleichzeitig mit einem Digitalmultimeter kontrolliert.
Der zulässige Eingangsspannungsbereich des A/D-Wandlers
reicht von -10 V bis +10 V. Er sollte möglichst nicht
überschritten werden. Die zugehörigen Digitalwerte liegen im
Bereich 0 ... 4095. Der Zusammenhang zwischen Spannung U
und Digitalwert N ist linear:
U/V = m⋅Nb .
+12V
-12V
Digitalmultimeter
UniMess
ADW1
(1)
Abb. 1: Potentiometer
Aufgaben:
3.1 Stecken Sie das Potentiometer in die Buchsen des ADW1 am UniMess, und verbinden Sie die beiden
oberen Klemmen mit den Hilfsspannungen -12 V bzw. +12 V (siehe auch Abb. 1). Schließen Sie an die
anderen Klemmen das Digital-Multimeter (Messbereich 20V) an.
Achtung: Vermeiden Sie dabei Kurzschlüsse durch freiliegende Kabelenden.
3.2 Erstellen Sie ein Labview-Programm, das kontinuierlich die Werte des A/D-Wandlers ausliest und
anzeigt. Drehen Sie am Potentiometer, und prüfen Sie die Funktion Ihres Programms.
3.3 Nehmen Sie für mindestens sieben Punkte, davon zwei in der Nähe der beiden Endwerte (z.B. 20
und 4080) und einer bei Null, die Digitalwerte auf. Messen Sie gleichzeitig die zugehörigen
Spannungen mit dem Digitalmultimeter, und notiren alle Werte in einer Tabelle. Berechnen Sie daraus
über eine lineare Regression die Koeffizienten m und b in Formel (1). Sie können dazu das auf Ihrem
PC installierte Programm DataPlot benutzen. Die Messwerte sollten nur geringe Abweichungen von
der Ausgleichsgeraden aufweisen. Legen Sie Ausdrucke der Messwertetabelle und des Regressionsdiagramms Ihrem Protokoll bei.
3.4 Ergänzen Sie Ihr LabView-Programm durch die so ermittelten Koeffizienten für die Umrechnungsformel (1), um eine Anzeige der Spannung in den üblichen physikalischen Einheiten (Volt) zu
erhalten. Für die Umrechnung wird die LabView-Komponente Formelknoten aus der Funktionsgruppe
Strukturen verwendet. Beachten Sie dabei, dass im Formelknoten der Punkt (und nicht das Komma) als
Dezimaltrenner verwendet werden muss.
3.5 Überprüfen Sie durch einige Probemessungen die Funktion Ihrer Umrechnung und die Richtigkeit der
ermittelten Koeffizienten m und b.
3.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.3 Entladung eines Kondensators
1 Einführung
Die Ladungsmenge Q, die auf einem Kondensator der Kapazität C untergebracht werden kann, ist proportional zur angelegten Spannung U:
I
Q = C⋅U .
(1) U0
Verbindet man den auf die Spannung U0 aufgeladenen Kondensator mit einem
=
Widerstand R (siehe Abb. 1), fließt die Ladung aus dem Kondensator ab. Die zuvor
im Kondensator gespeicherte Energie wird am Widerstand in Wärme umgesetzt.
C
U
R
Der Entladestrom I ist dabei nicht konstant, sondern eine Funktion der Zeit. Aus
Abb. 1:
Prinzipschaltbild
Gl. (1) ergibt sich in Verbindung mit dem Ohmschen Gesetz eine lineare Differentialgleichung, die die Änderung der Spannung U(t) am Kondensator beschreibt. Die Lösung dieser
Differentialgleichung ist eine abklingende e-Funktion. Als Maß für die „Geschwindigkeit“ dieses Abklingens gibt man üblicherweise die Zeitkonstante τ an. Es ist die Zeit, in der die Amplitude auf den e-ten
Teil abgefallen ist (auf ca. 37%). Bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand ist:
 = R⋅C .
(2)
Aufgaben:
1.1 Stellen Sie die Differentialgleichung für die Spannung U(t) am Kondensator beim Entladevorgang auf.
1.2 Geben Sie die spezielle Lösung für U(t) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung U(0) = U0 an,
und verifizieren Sie Gl. (2).
2 Labview-Programm
Zur Darstellung der Entladekurve des Kondensators soll mit LabView ein Programm erstellt werden, das
automatisch eine bestimmte Anzahl von Spannungswerten aufzeichnet und anzeigt. Bei den vorgegebenen
Bauteilen beträgt die zur Beobachtung erforderliche Zeit mehrere Sekunden.
•
•
•
•
•
•
•
•
Im Frontplattenfenster:
Eingabe (Digitales Bedienungselement - U16) für die Anzahl der Messwerte,
Anzeigen (Digitales Anzeigeelement - U16) für Laufindex und A/D-Wert ,
Anzeigen (Digitales Anzeigeelement - DBL) für Gesamtdauer in s und Spannung in V,
grafische Anzeige (XY-Anzeige mit Cursor in Benutzerdef. Elemente) für den Zeitverlauf,
Im Diagrammfenster:
Initialisierung des UniMess-Interfaces (Init UniMess),
Programmabfolge (Sequence):
• Rahmen 0: Auswahl des A/D-Kanals 1 oder 2 (Set ADW Channel) und kurze Wartezeit (ca.
100 ms),
• Rahmen 1: Festhalten der Startzeit (Timerwert in ms),
• Rahmen 2: Aufnahme der Messwerte:
• Schleife (For-Schleife) für die Aufnahmeder Messwerte:
• Abfrage eines Einzelwertes vom ADW des UniMess-Interfaces (Read ADW 1x) in der Schleife,
• Anzeigen für den Schleifenzähler (Index) und für die Messwerte in Form des A/D-Wert und als
Spannungswert,
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.3 Entladung eines Kondensators
Zeitverzögerung von 30 ms zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen (Warten (ms)),
Zusammenfassen der Werte für x (Index) und y (Spannung) (Elemente bündeln)
• Grafische Anzeige für die aufgenommenen Spannungswerte (XY-Anzeige),
• 4. Frame: Festhalten der Endzeit (Timerwert in ms),
• Anzeige der Differenz zwischen End- und Anfangszeit (Gesamtmesszeit TM).
•
•
Die Zeitverzögerung zwischen der Erfassung
der einzelnen Messwerte kann systembedingt
nicht kleiner als 30 ms gewählt werden. Die
erforderliche Gesamtmesszeit hängt von der
Kapazität des ausgewählten Kondensators ab
(siehe Aufgabe 3.1). Die Anzahl der aufzunehmenden Messwerte wird entsprechend
angepasst.
Aufgabe:
2.1 Erstellen Sie das LabView-Programm
nach den oben genannten Vorgaben.
+ aufladen
UNIMESS
UniversalMeßinterface
Hilfsspannungen
+5V
-12V
GND
+12V
Schrittmotor / Relais / BMW
Motor 1
Motor 2
BMW
(C)1997, L. Wolter
Institut für
Experimentalphysik
Universität Kiel
je max. 100mA
Digital I/O
Analog I/O
ADW 1
+
ADW 2
DAW 1
REL 1 REL 2
REL 3
REL 4
IO4
DAW 2
IO3
IO2
je max. 5A / 250V / 50W
IO1
entladen
Abb. 2: Auf- und Entladen des Kondensators
3 Messungen am Kondensator
Als Kondensator C wird ein Typ mit einer Kapazität von ca. 3,3 µF ausgewählt. Der Entladewiderstand R
wird durch den Eingangswiderstand des ADW1-Anschlusses des UniMess gebildet und beträgt 1 MΩ. Zum
Aufladen wird der Kondensator kurz an die Buchsen mit der Versorgungsspannung (+12V und GND, siehe
Abb. 2) gelegt. Anschließend wird der Kondensator auf den Eingang ADW1 gesteckt und gleichzeitig das
LabView-Programm gestartet.
Wenn das Programm richtig arbeitet, sollten die Anzeigen für Schleifenzähler, A/D-Wert und Spannung sich
ändernde Werte anzeigen. Nach Ablauf der eingestellten Zeit (siehe 2.) wird dann auch die grafische
Darstellung aktualisiert. Auf der x-Achse (Zeitachse) ist der Schleifenzähler aufgetragen.
Die in den nachfolgenden Aufgaben geforderte Ablesung von Messwerten auf der Kurve erfolgt unter
Verwendung der Cursorfunktionen der Anzeige. Es werden zwei Cursormarkierungen benötigt. Zur
Bedienungsvereinfachung können sie an den Kurvenverlauf angekoppelt werden (Klick auf das kleine
Vorhängeschloss und Auswahl der Option Fixiert auf Kurve). Die zugehörigen x- und y-Messwerte (Index
n1 und n2 sowie Spannung U1 und U2 ) werden in der Cursorsteuerung angezeigt.
Aufgaben:
3.1 Berechnen Sie den Wert der Zeitkonstante, wie er sich aus den Nennwerten von R und C ergibt. Geben
Sie an, wie viele Zeitkonstanten verstreichen müssen, damit die Spannung auf etwa 1% des Anfangs wertes abgefallen ist, und wählen Sie dem entsprechend die Anzahl der Messungen.
3.2 Führen Sie eine Messung der Entladung, wie oben beschrieben, durch und markieren Sie zwei nicht zu
nahe beieinander liegende Punkte.
3.3 Bestimmen Sie aus der Gesamtmesszeit TM die genaue Zeit TS für eine Einzelmessung. Zusammen mit
dem Abstand Δn und dem Verhältnis der Spannungen ergibt sich daraus die Zeitkonstante τ.
3.4 Betrachten Sie die Entladekurve nach Ändern der Skalierung für die y-Achse von lin auf log. Bei
starker Vergrößerung (Zoom in der Cursorsteuerung) erkennt jetzt man bei kleinen Spannungen
Treppenstufen in der Entladekurve. Was sind die Ursachen dafür? Wodurch ist die Höhe und wodurch
die Breite der Stufen bestimmt?
5.2010/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.4 Der Wackelschwinger
1 Einführung
In diesem Versuch soll ein mechanischer Schwinger untersucht werden. Der Zeitverlauf der Bewegung wird
mit dem Computer aufgezeichnet und als Zeitdiagramm angezeigt. Dazu ist es erforderlich, die mechanische
Bewegung in ein elektrisches Signal umzuwandeln. Als „Sensor“ werden zwei Spulen und ein Magnet
benutzt. Der Magnet ist am Schwinger angebracht und induziert in den Spulen eine Spannung. Diese kann
mit dem UniMess-Interface erfasst und an den Computer zur Weiterverarbeitung übermittelt werden.
Aus der Einführungsvorlesung und aus dem Praktikum (siehe Versuch 1.5 aus der Gruppe „Mechanik“) sind
Systeme bekannt, die gedämpfte harmonische Schwingungen ausführen. Die Bewegung dieser Systeme wird
durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben. Beim Wackelschwinger ist der Bewegungsverlauf deutlich anders. Die theoretische Beschreibung ist recht kompliziert und soll hier nicht weiter
behandelt werden.
Aufgabe:
1.1 Durch welche Funktion wird eine gedämpfte harmonische Schwingung (z.B. die eines Feder-MasseSystems mit Dämpfung) beschrieben.
2 Labview-Programm
Für die Aufzeichnung der Schwingungen wird das in Vers. 3.3 erstellte LabView-Programm ver wendet. Da
das Signal von den Spulen verhältnismäßig klein ist, ist es erforderlich, den Vorverstärker des UniMessInterface auf den Faktor 8 einzustellen.
Aufgabe:
2.1 Ergänzen Sie das LabView-Programm aus Versuch 3.3 um eine Einstellmöglichkeit der Vorverstärkung, und passen Sie Ihre Umrechnungsformel so an, dass der eingestellte Faktor bei der Berech nung des Spannungswertes berücksichtigt wird.
2.2 Stellen Sie die Anzahl der aufzunehmenden Messwerte so ein, dass mind. 10 Schwingungen dargestellt
werden (Probemessung).
3 Versuchsdurchführung
Die beiden Spulen werden in Serie geschaltet und an den Eingang des UniMess angeschlossen. Parallel zu
den Eingangsbuchsen ist zur Glättung des Messsignals ein Kondensator von 220 nF zu legen. Zur Messung
wird der Magnet auf dem Brettchen von Hand ausgelenkt und losgelassen. Gleichzeitig wird das LabViewProgramm gestartet.
Aufgaben:
3.1 Zeichnen Sie den Schwingungsverlauf mit dem LabView-Programm auf.
3.2 Bei welchen Positionen des Magnets wird die gemessene Spannung null und maximal (Begründung)?
3.3 Beschreiben Sie mindestens drei wesentliche Unterschiede des Schwingungsverlaufs im Vergleich zu
gedämpften harmonischen Schwingungen.
2.2012/Ra
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.5 Resonanzkurve eines Schwingkreises
1 Einführung
Wird an einen Serienschwingkreis bestehend aus einer Spule L, einem Kondensator C und einem
Widerstand R eine sinusförmige Wechselspannung gelegt, so fließt durch die Bauelemente ein Strom, der
von der Frequenz der angelegten Spannung abhängig ist (siehe auch Versuch 2.9). Bei einer bestimmten
Frequenz, der Resonanzfrequenz f0, nimmt dieser Strom ein Maximum an. Das Maximum ist um so stärker
ausgeprägt, je kleiner der Widerstand R ist.
Als Maßzahl für die „Breite“ der Resonanzkurve werden die Bandbreite B oder die Güte Q angegeben.
Dabei gelten die Zusammenhänge:
Q =
f
f0
= 0.
f vo− f vu
B
fvo und fvu sind die obere bzw. untere Verstimmungsfrequenz. Bei diesen Frequenzen ist
die Amplitude jeweils auf den Faktor 1/ 2 des Maximums abgefallen.
(1)
L
RL
Da jede reale Spule aus Draht gewickelt wird, besitzt sie neben der Induktivität L
Abb. 1:
immer einen nicht zu vernachlässigenden ohmschen Widerstand RL. Sie muss daher für
Ersatzschaltbild
die Berechnung der Schaltungseigenschaften durch ein Ersatzschaltbild (Serien- einer realen Spule
schaltung von RL und L – siehe Abb. 1) dargestellt werden.
Eine übliche Anwendung für einen Schwingkreis ist das Herausfiltern von sinusförmigen Signalen aus
einem Signalgemisch unterschiedlicher Frequenzen, z.B. zum Abstimmen eines Radioempfängers auf einen
bestimmten Sender.
Ein solches „Frequenzgemisch“ liegt auch vor, wenn man ein nicht sinusförmiges periodisches Signal
betrachtet. Dieses lässt sich nämlich als Fourierreihe (Summe von sinusförmigen Anteilen) darstellen:
∞
U t = U 0∑ U n⋅sinn 0 t n
(2)
n=1
ω0 ist dabei die Frequenz des periodischen Signals, die sog. Grundwelle. Daneben gibt es noch Ober wellen,
das sind ganzzahlige Vielfach der Grundwelle. Ihre Amplituden nehmen in der Regel mit zunehmender
Frequenz ab.
2 Versuchsaufbau
Als Wechselspannungsquelle wird ein programmierbarer Funktionsgenerator vom Typ FD4E verwendet. Er
wird zwischen die serielle Schnittstelle des PC und das UniMess-Interface geschaltet. Auf der Rückseite des
Funktionsgenerators muss dabei der Schnittstellenadapter aufgesteckt sein (Hinweis: Der Datentransfer zum
und vom UniMess funktioniert nur bei eingeschaltetem Generator).
Der Wechselstromwiderstand des Schwingkreises ist verhältnismäßig klein, so dass eine sehr niederohmige
Spannungsquelle benötigt wird. Da der normale Ausgang des Generators hierfür nicht geeignet ist, muss der
eingebaute Leistungsverstärker nachgeschaltet werden.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
3.5 Resonanzkurve eines Schwingkreises
Die Betriebsspannung für den Gleichrichter (±12 V)
wird von den Hilfsspannungsbuchsen des UniMess
abgenommen.
C
L
≈
Präzisionsgleichrichter
RL
+12V
-12V
ADW1
R
UR
UniMess
Die Spannung UR am Widerstand R ist ein Maß für den
Strom durch den Schwingkreis. Für die Auswertung ist
nur eine Bestimmung der Amplitude dieser Wechselspannung erforderlich. Dazu wird zwischen Widerstand
und UniMess-Eingang ein Präzisionsgleichrichter eingefügt wird. Seine Ausgangsspannung ist ein Maß für
Amplitude.
Generator
Seite 2
Masse
Abb. 2: Versuchsaufbau
3 LabView-Programm
Aufgabe des LabView-Programms ist es, die Abhängigkeit der Amplitude der Spannung UR von der
Frequenz f zu erfassen und als Diagramm darzustellen. Dazu wird während der Messung die Frequenz des
Generators in einem einstellbaren Bereich schrittweise verändert und der jeweils zugehörige Amplituden wert mit dem A/D-Wandler erfasst.
Für die Steuerung des Generators verwenden Sie die dazu bereitgestellte Bibliotheksfunktion, die Messwert erfassung erfolgt ähnlich, wie in den vorangegangenen Versuchen.
Für das Programm sind folgende Komponenten erforderlich:
• Im Frontplattenfenster:
• Eingaben (Digitales Bedienungselement - U16) für Anfangs- und Endfrequenz, sowie Schrittweite,
• Anzeigen (Digitales Anzeigeelement - U16) für aktuelle Frequenz und A/D-Wert,
• Anzeige (Digitales Anzeigeelement - DBL) für die Spannung in V,
• Anzeige (XY-Anzeige mit Cursor in Benutzerdef. Elemente) für den Frequenzgang.
•
Im Diagrammfenster:
• Initialisierung des UniMess (Init UniMess),
• Berechnung der Anzahl der Frequenzstufen aus Anfangs-, Endfrequenz und Schrittweite
• Programmabfolge (Sequenz):
• Rahmen 0: Auswahl des Kanals (Set ADW Channel)
• Rahmen 1: Einstellen der Vorverstärkung (Set ADW Gain)
• Rahmen 2:
• Schleife (For-Schleife) für die Messwerteaufnahme
• Berechnung und Anzeige der Messfrequenz
• Programmabfolge (Sequenz):
• Rahmen 0: Ausgabe der Messfrequenz an den Funktionsgenerator (FD4E Frequenz) und
Zeitverzögerung von 200 ms (Warten (ms)),
• Rahmen 1: Abfrage eines Einzelwertes vom ADW des UniMess-Interfaces (Read ADW 1x) und
Umrechnung in Volt, Anzeige von A/D-Wert und Spannung,
• Zusammenfassen der Werte für x (Frequenz) und y (Spannung) (Elemente bündeln)
• Grafische Anzeige für die aufgenommenen Spannungswerte (XY-Anzeige).
Aufgabe:
3.1 Erstellen Sie nach den Vorgaben ein LabView-Programm zur Aufnahme der Resonanzkurve. Der
Frequenzbereich und die Schrittweite (z.B. 5 Hz) sollten einstellbar sein.
3.5 Resonanzkurve eines Schwingkreises
Seite 3
4 Versuchsdurchführung
Zunächst muss am Funktionsgenerator die richtige Betriebsart (Sinus-Signal) und die Einstellung „Mitten freq. wobbeln“ gewählt werden. Die Amplitude wird am Verstärker auf etwa 5 V eingestellt .
Aufgaben:
4.1 Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 2 auf. Verwenden Sie dabei folgende Komponenten:
R = 2,7 Ω, C = 0,22 µF und L = 35 mH.
4.2 Nehmen Sie mit dem LabView-Programm die Resonanzkurve im Bereich 1000 Hz bis 2500 Hz auf.
Wählen Sie dabei eine geeignete Vorverstärkung.
4.3 Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz, Bandbreite und Güte aus dem Diagramm.
4.4 Erweitern Sie den Frequenzbereich nach unten auf ca. 100 Hz, und stellen Sie den Generator auf ein
rechteckförmiges Ausgangssignal um. Nehmen Sie erneut den Frequenzgang auf.
4.5 Welche Frequenzen und welche Amplituden haben die Oberwellen des Rechtecksignals?
4.6 Bei welchen Frequenzen sind die zusätzlichen Peaks zu beobachten? Wie hängen die Peak-Frequenzen
mit der Resonanzfrequenz des Schwingkreises zusammen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen
ihrer Höhe und ihrer Frequenz?
5.2010/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.6 Elektrische Filter
1 Einführung
Ein elektrisches Filter ist eine Schaltung, die bestimmte Frequenzbereiche unverändert durchlässt,
andere dagegen dämpft. Je nachdem welche Frequenzbereiche dies sind, spricht man von einem
Ia
Ie
wenn Frequenzen unterhalb einer Eckfrequenz durchgelassen werden, einem
Hochpass, wenn Frequenzen oberhalb einer Eckfrequenz durchUa
Ue
Vierpol
gelassen werden oder einem
Bandpass, wenn Frequenzen zwischen zwei Eckfrequenzen durchgelassen werden.
Abbildung 1: Schematische
Darstellung eines Vierpols
Filter lassen sich durch Vierpolschaltungen aus Widerständen,
Kondensatoren
und
Spulen
realisieren.
Die
mathematische
Beschreibung
der
Übertragungseigenschaften erfolgt durch eine komplexe Vierpolmatrix. Im Leerlauf (Ia = 0) genügt zur
Beschreibung das komplexe Spannungsübertragungsverhalten A(jω):
Tiefpass,
A  j  =
Ua
= ∣A∣⋅e j  .
Ue
(1)
Eine anschauliche grafische Darstellung der Frequenzabhängigkeit von A kann entweder in Form der
Ortskurve oder in Form des Bode-Diagramms erfolgen:
|
•
Die Ortskurve erhält man durch Eintragen der Werte von A für alle ω
A|
1
in die komplexe Ebene.
•
Das Bode-Diagramm stellt in zwei Teildarstellungen die
Abhängigkeiten der Amplitude (Betrages des Übertragungsverhaltens)
f
∣A∣ und der Phasenverschiebung φ zwischen Ue und Ua jeweils von der
fg
Frequenz ω dar. Betrags- und Frequenzachse haben dabei in der Regel
Abbildung 2:
logarithmische Maßstäbe.
Amplitudenfrequenzgang
Bei Filtern ist besonders das Amplituden-Diagramm für einen schnellen eines idealen Tiefpasses
Überblick über das Frequenzverhalten geeignet. Ein idealer Tiefpass sollte z.B. einen
Amplitudenfrequenzgang wie in Abb. 2 haben, d.h. unterhalb der Eckfrequenz fg wird die Eingangsspannung unverändert durchgelassen, oberhalb vollständig gesperrt. Mit praktisch realisierbaren
Schaltungen kann dieser Verlauf allerdings nur angenähert erreicht werden.
In der Praxis finden Tiefpassfilter eine wichtige Anwendung bei der Analog-Digital-Wandlung. Um bei
unbekannten Signalen Aliasing-Effekte (siehe Vers. 3.7) zu vermeiden, schaltet man dem
Analogeingang eines A/D-Wandlers ein geeignetes, möglichst steilflankiges (d.h. dem Ideal in Abb. 2
möglichst nahe kommendes) Tiefpassfilter vor. So erreicht man, dass bei der A/D-Wandlung
Signalanteile mit Frequenzen oberhalb der halben Abtastfrequenz unterdrückt werden.
Im Versuch sollen verschiedene Filterschaltungen auf ihre Amplitudenfrequenzgänge untersucht
werden. Diese werden mit dem gleichen Versuchsaufbau wie in Vers. 3.3 über ein LabView-Programm
automatisch aufgezeichnet.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.6 Elektrische Filter
2 LabView-Programm
Da die Darstellung der Frequenz- und der Amplitudenachse logarithmisch erfolgen soll, sind einige
kleine Änderungen an dem Programm aus Versuch 3.5 vorzunehmen. Die Erhöhung der Frequenz darf
nicht mehr in festen Schritten (Inkrementen) erfolgen, sondern wird durch einen einstellbaren
Multiplikator k vorgenommen:
i
(2)
f i = k f a.
fa ist die Anfangsfrequenz. Die Anzahl n der erforderlichen Schritte bis zur Endfrequenz fe berechnet
sich zu
lg  f e / f a 
1 .
lg k
Für die erforderlichen Berechnungen werden im LabView-Programm Formelknoten eingesetzt.
(3)
n =
Aufgabe:
2.1 Ändern Sie im LabView-Programm aus Versuch 3.5 die Maßstäbe der Anzeige auf logarithmisch.
2.2 Der auszumessende Frequenzbereich soll von 100 Hz bis 10 kHz gehen.
2.3 Die Frequenzänderung erfolgt mit einem Faktor von 1,05.
3 Tiefpass 1. Ordnung
R
Ua
Die einfachste Form eines Tiefpasses wird wie in Abb. 3 aus einem Ue
C
Kondensator und einem Widerstand aufgebaut. R und C bilden einen
frequenzabhängigen Spannungsteiler. Das komplexe Übertragungsverhalten Abbildung 3: Tiefpass 1.
Ordnung
A für diesen Tiefpass ist:
AT  j =
1
.
1  j  RC
(4)
Daraus ergeben sich für Betrag und Phase:
∣AT ∣ = A =
1
und
 1   R C2
 = −arctan  R C .
(5)
Für die Grenz- oder Eckfrequenz ωg = 1/RC wird A(ωg) = 1/√2 und φ = -45° (siehe Abb. 4 und 5)
A
φ
0,01
0,1
1
1
10
100
f/fg
0,1
-45°
0,01
f/fg
0,01
0,1
1
10
100
Abbildung 4: Amplitudenfrequenzgang beim
Tiefpass 1. Ordnung
-90°
Abbildung 5: Phasenfrequenzgang beim
Tiefpass 1. Ordnung
Da die Darstellung mit logarithmischen Maßstäben erfolgt, lässt sich schreiben:
1
1
lg A = − lg  1   R C 2 = − lg  1   /  g 2 .
2
2
(6)
3.6 Elektrische Filter
Seite 3
Für kleine Frequenzen geht A also gegen 1, für große Frequenzen nähert es sich einer Asymptote mit
der Steigung -1 an:
lg A ≈ −lg / g 
für   ∞
(7)
Aufgaben:
3.1 Ersetzen Sie in dem Versuchsaufbau aus 3.5 den Schwingkreis durch den Tiefpass nach Abb. 3
bestehend aus R = 400 Ω (Widerstandsdekade) und C = 0,22 µF. Die Ausgangsspannung des
Generators wird mit Hilfe eines Multimeters auf 10 V, der Gleichrichter auf 1:10 und die
Vorverstärkung am UniMess auf den Faktor 2 eingestellt.
3.2 Skizzieren Sie den Versuchsaufbau.
3.3 Berechnen Sie die Grenzfrequenz fg des Tiefpasses.
3.4 Zeichnen Sie mit dem LabView-Programm den Frequenzgang auf.
4 Tiefpass 2. Ordnung
Um dem idealen Tiefpass aus Abb. 2 näher zu kommen, benötigt man
eine Schaltung, die einen steileren Abfall der Amplitude bei hohen
Frequenzen bewirkt. Ein Verbesserung stellt die Schaltung in Abb. 6
dar. Es handelt sich dabei um einen Tiefpass 2. Ordnung. Sein
Übertragungsverhalten ist
R
L
Ua
C
Abbildung 6: Tiefpass 2.
Ordnung
1
.
(8)
1− LC j RC
Mit der Ordnung eines Tiefpasses beschreibt man, in welcher Potenz die Frequenz im Nenner maximal
vorkommt, bei 2. Ordnung also quadratisch. Der Amplitudenabfall ist bei hohen Frequenzen dann im
logarithmischen Maßstab doppelt so steil wie bei einem Tiefpass 1.Ordnung. Je höherer Ordnung ein
Tiefpass ist, um so näher kommt er also dem Ideal.
A =
2
Die Schaltung Abb. 6 enthält im Prinzip einen Schwingkreis, der durch den Widerstand R mehr oder
weniger stark gedämpft wird (siehe dazu auch Vers. 3.9). L und C bestimmen dabei die Eckfrequenz.
Welchen Einfluss der Widerstand R auf die Eigenschaften des Filters hat soll im Versuch näher
untersucht werden.
Durch folgende Substitution lässt sich (8) etwas übersichtlicher gestalteten:

1
1
C
und D =
= R
.
(9)
Q
L
 LC
Eck- und Resonanzfrequenz sind hier identisch. D ist ein Maß für die Dämpfung und entspricht dem
Kehrwert der Güte Q (siehe auch Vers. 3.3. und 3.9). Aus (8) wird dann
 g = 0 =
A =
1
 

1−
0
2
.

j D
0
(10)
Seite 4
3.6 Elektrische Filter
Für die Amplitude erhält man daraus
A = ∣A∣ =
1


0

4
 
 D 2−2

0
.
2
(11)
1
Der Einfluss der Dämpfung D lässt sich am mittleren Term im Nenner abschätzen. Ist D 2 kann
der Nenner bei bestimmten Frequenzen kleiner als 1, und A damit größer als 1 werden. Die
Ausgangsspannung des Tiefpasses ist in diesem Fall also größer als die Eingangsspannung. Der Fall
optimaler Dämpfung ist erreicht, wenn der mittlere Term verschwindet, d.h. D= 2 wird.
Aufgaben:
4.1 Erweitern Sie die Schaltung aus Aufgabe 3.1 durch eine Spule (L = 35 mH) zu einem Tiefpass
2. Ordnung (siehe Abb. 6).
4.2 Berechnen Sie den Widerstand RD für den Fall optimaler Dämpfung und die Grenzfrequenz fg.
4.3 Nehmen Sie den Amplitudenfrequenzgang für verschiedene Werte von R (siehe
Tab. 1) auf. Dabei ist zu beachten, dass die Spule bereits einen ohmschen
Widerstand von 12 Ω mitbringt, der in Serie zum Dämpfungswiderstand R liegt.
Die anderen Einstellungen sind wie in Aufgabe 3.1 zu wählen.
4.4 Vergleichen Sie die Steigung der Asymptote bei hohen Frequenzen für RD(opt.)
mit der Steigung beim Tiefpass 1. Ordnung
R+RL
a
b
c
100 Ω
RD (opt.)
1000 Ω
Tabelle 1:
Dämpfungswiderstände
Literatur:
Meschede:
Gerthsen Physik, Kap. 7.3
Küpfmüller:
Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Kap. 36
außerdem in den Praktikumsunterlagen:
Einführung in die komplexe Berechnung von Netzwerken
11.2009/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
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3.7 Speicheroszilloskop
1 Einleitung
Zur Untersuchung von schnellen Zeitvorgängen verwendet man im Labor das Speicheroszilloskop. Das
Messsignal wird von diesem Gerät in einstellbaren Zeitintervallen abgetastet, d.h. der sich ändernde
Messwert wird zu den vorgegeben Zeitpunkten kurzzeitig festgehalten und jeweils in einen Digitalwert
gewandelt. Diese Zeitfolge von Werten wird gespeichert. Von dem ursprünglichen Messsignal hat man also
nur noch eine regelmäßige Folge von Einzelwerten, aus dem z.B. durch Interpolation das Signal näherungs weise wieder hergestellt werden kann. Dies funktioniert um so besser, je kürzer man die Zeitintervalle
zwischen den Abtastungen wählt. Entsprechend steigt natürlich auch die Menge der zu speichernden Daten.
Die Abtastfrequenz ist dabei unbedingt dem jeweiligen Messsignal
anzupassen. Wenn die höchste im Signal vorkommende Frequenz fmax
ist, muss die Abtastfrequenz mindestens doppelt so groß wie diese
Frequenz sein (siehe dazu auch das Abtasttheorem von Nyquist und
Shannon). Dies kann bei unbekannten Signalen nur durch eine
Bandbreitenbegrenzung gewährleistet werden. Dazu wird dem A/DWandler meist ein steilflankiger Tiefpass vorgeschaltet.
Tastet man ein Signal mit zu niedrigen Frequenz ab, so weist das
digitalisierte Signal Merkmale auf, die im Original nicht vorhanden
Abb. 1: Aliasing-Effekt bei
sind. Diese Effekte sind unter der Bezeichnung Aliasing bekannt und Abtastung mit zu kleiner Frequenz
stellen ein grundsätzliches, immer zu beachtendes Problem bei der
digitalen Abtastung von Messwerten dar. Ein Beispiel für die daraus resultierenden Effekte zeigt die Abb. 1.
Hier ist dargestellt, was aus einem sinusförmigen Signal von 760 Hz wird, wenn man es mit 500 Hz abtastet.
Die oben genannte Frequenz stellt also das absolute Minimum für die Abtastung dar. Um die Signalform
möglichst gut darzustellen, ist eine deutlich höhere Abtastfrequenz erforderlich. In den Praktikumsversuchen
wird jeweils darauf hingewiesen, wie die Abtastung einzustellen ist.
Im Vers. 3.3 wurde bereits ein einfaches Speicheroszilloskop programmiert. Dies ist jedoch nicht für die
Aufzeichnung von schnellen Vorgängen, wie sie in den nachfolgenden Versuchen zu untersuchen sind,
geeignet. In diesem Versuch wird daher zunächst ein universell verwendbares Speicheroszilloskop mit
folgenden Eigenschaften in LabView programmiert und kalibriert:
•
•
•
•
Einstellbare Verstärkung und einstellbarer Kanal,
Einstellbares Abtastintervall (Zeitverzögerung),
Einstellbare Amplituden-Triggerung,
Anzeige der Messwerte in einem U-t-Diagramm (Spannung gegen Zeit).
2 Aufbau und Kalibrierung
Das UniMess-Interface stellt eine Funktion bereit, mit der 1020 Messwerte mit einer einstellbaren
Abtastrate in einem Block aufgenommen und zwischengespeichert werden (siehe dazu auch die
Bedienungsanleitung S. 4-5). Nach Ende der Messung werden diese Daten an den PC übertragen. Die
Abtastfrequenz kann durch Einstellen einer Verzögerungszeit zwischen den einzelnen AD-Wandlungen im
Bereich von etwa 25 Hz bis 45 kHz eingestellt werden.
Der Zusammenhang zwischen dem am UniMess einstellbaren Schleifenzähler n für die Messwerte-AufInstitut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.7 Speicheroszilloskop
nahme und dem daraus resultierenden Abtast-Zeitintervall ΔT ist durch eine lineare Funktion gegeben:
T
a⋅nb
=
.
ms
1000
(1)
Als Erstes sollen im Versuch die Koeffizienten a und b bestimmt werden. Auf der horizontalen Achse des
LabView-Graphen wird daher zunächst der Laufindex der abgetasteten Werte (0..999) aufgetragen.
Zur Kalibrierung der Zeitbasis wird an den Eingang ADW1 ein Sinussignal bekannter Frequenz gelegt. Über
die Cursor-Funktion der LabView-X-Y-Anzeige kann der horizontale Abstand zweier Punkte gleicher
Amplituden auf der dargestellten Sinuskurve ausgemessen werden. Dieser Abstand entspricht der
Periodendauer des Signals, bzw. einem ganzen Vielfachen davon, wenn mehrere Perioden für die Messung
benutzt werden.
Da in dem für die Kalibrierung benötigten Frequenzbereich (ca. 1 .. 100 Hz) die Frequenzanzeige am
Generator zu ungenau ist, muss das LabView-Programm außerdem eine Periodendauermessung durch führen. Das UniMess stellt mit Read IO nx eine Funktion bereit, die zu diesem Zweck eingesetzt werden
kann. Sie liefert als Messergebnis ein Array mit den Zeiten der Nulldurchgänge des Signals an einem der
digitalen Eingänge (z.B. IO 1) von L (Low) nach H (High). Die Differenz zweier aufeinanderfolgender
Messwerte liefert also die Periodendauer des Generatorsignals.
Für das Programm sind damit folgende Komponenten erforderlich:
•
Im Frontplattenfenster:
Eingaben (Digitales Bedienungselement - U16) für Kanal, Vorverstärkung, Triggermodus und den
Wert des Schleifenzählers (Bereich 0 .. 500),
• Eingabe (Digitales Bedienungselement- DBL) für die Triggerschwelle in Volt,
• Anzeige (Digitales Anzeigeelement - DBL) für die Periodendauer in ms,
• Anzeige (XY-Anzeige mit Cursor in Benutzerdef. Elemente) für das Zeitdiagramm.
•
•
•
•
•
•
Im Diagrammfenster:
Initialisierung des UniMess (Init UniMess),
Berechnung des Vorverstärkungsfaktors (Formelknoten),
Umrechnung von n in ΔT (zunächst ΔT = 1, später wie Formel (1))
Programmabfolge (Sequenz): - siehe auch Abb. 2 und 3
• Rahmen 0: Auswahl des Kanals 1 oder 2 (Set ADW Channel)
• Rahmen 1: Einstellung der Verstärkung (Set ADW Gain)
• Rahmen 2: Messung der Peridodendauer (Read IO nx)
• Rahmen 3: Einstellung der Zeitverzögerung über den Schleifenzähler n (Set ADW Delay)
• Rahmen 4: Einstellen der Triggerschwelle (Set ADW Trigger) mit Umrechnung der Spannung in
einen Digitalwert
• Rahmen 5:
• Wandeln und Einlesen von 1000 Werten (Read ADW Block),
• Wiederholungsschleife (For-Schleife):
• Umrechnen der Digitalwerte in Spannungswerte (Formelknoten),
• Zusammenfassen der x- und y-Werte (Elemente bündeln) für die Anzeige im Diagramm.
In den Abbildungen 2 und 3 sind die wichtigsten Teile der Programmsequenz dargestellt. In der Abb. 2 ist
das komplette Diagramm mit dem Rahmen 5 zu sehen. Hier erfolgt das Einlesen der Spannungswerte und
die Umrechnung für die Anzeige. Die Abb. 3 zeigt oben den Rahmen 2, in dem die Messung der
Periodendauer erfolgt, unten die Einstellung der Triggerschwelle.
3.7 Speicheroszilloskop
Abbildung 2: Diagramm mit Rahmen 5
Seite 3
Abbildung 3: Rahmen 2 und 4
Aufgaben:
2.1 Da die Programmierung relativ zeitaufwändig ist, dürfen Sie in diesem Versuch ein bereitgestelltes
virtuelles Instrument verwenden. Sie finden es auf dem Praktikumscomputer unter:
E:\Praktikum\LabView-VI\Speicher-Oszi.vi.
2.2 Prüfen Sie die Funktion des Programms. An den Eingang ADW 1 des UniMess wird dazu der Ausgang
des Funktionsgenerators (MXG-9802A) angeschlossen. Stellen Sie dort ein Sinussignal von ca. 100 Hz
ein. Beobachten Sie die Anzeige bei verschiedenen Einstellungen des Schleifenzählers.
2.3 Schließen Sie den TTL-Ausgang des Generators an den Eingang IO1 an. Überprüfen Sie die Periodendaueranzeige durch Vergleich mit der am Generator abgelesenen Frequenz.
2.4 Legen Sie eine Wertetabelle mit Spalten für folgende Größen an:
•
n : Am UniMess eingestellter Schleifenzähler (Set ADW Delay)
•
T : Gemessene Periodendauer in ms (aus Read IO nx)
•
i1 : x-Wert der 1. Cursorposition
•
i2 : x-Wert der 2. Cursorposition
•
p : Anzahl der dazugehörenden Perioden
•
ΔT=pT/(i2–i1) : Berechnete Verzögerungszeit (siehe Formel (1))
2.5 Für verschiedene Werte von n (0, 1, 2, 10, 20, 50, 100, 200) wird die Signalfrequenz des Generators
jeweils so eingestellt, dass auf der X-Y-Anzeige im Frontplattenfenster zwischen 1 und 3 Perioden
dargestellt werden. Markieren Sie mit dem ersten Cursor einen Punkt am Anfang der Kurve in der
Nähe des Nulldurchgangs. Der zweite Cursor wird möglichst weit rechts auf einen Punkt gleicher
Amplitude und Flanke eingestellt. Nehmen Sie dazu die Pfeil-Knöpfe der Anzeige zur Hilfe. Lesen Sie
jeweils die dazugehörigen Cursorpositionen und die von UniMess ermittelte Periodendauer ab, und
tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. Berechnen Sie ΔT.
2.6 Für die Funktion ΔT = f (n) wird eine lineare Regression durchgeführt, um die Koeffizienten a und b
aus Formel (1) zu bestimmen. Verwenden Sie dazu das auf Ihrem PC installierte Programm DataPlot.
Die Messwerte sollten mit guter Genauigkeit auf einer Geraden liegen. Wenn sich insbesondere bei
großen Werten von n sichtbare Abweichungen ergeben, sollten diese Messpunkte überprüft werden.
Ein einzelner fehlerhafter Punkt kann notfalls auch ganz gestrichen werden. Die vom Programm
berechnete Standardabweichung (Sigma) sollte bei 10-3 liegen.
Seite 4
3.7 Speicheroszilloskop
3 Ergänzung durch eine kalibrierte Zeitachse
Die horizontale Achse im X-Y-Diagramm soll die Zeit in ms anzeigen. Dazu muss im LabView-Programm
in den zugehörigen Formelknoten (siehe Abb. 2) die Formel (1) mit den in Aufgabe 2.6 ermittelten
Koeffizienten eingesetzt werden und die Achsenbeschriftung angepasst.
Aufgaben:
3.1 Entfernen Sie die Anzeige und den Programmteil (Rahmen 2) für die Perioden dauermessung. Für die
weiteren Versuche wird er nicht mehr benötigt.
3.2 Fügen Sie im Formelknoten für die x-Achse die Formel (1) mit den in Aufgabe 2.6 bestimmten
Koeffizienten ein, so dass auf der horizontalen Achse die Zeit in ms angezeigt wird.
3.3 Fügen Sie auf der Frontplatte eine Anzeige für die Abtastzeit ΔT in ms hinzu.
3.4 Fügen Sie in die Formelknoten für die Umrechnung Spannung-Digitalwert (Triggerschwelle in Rahmen
3) und Digitalwert-Spannung (Anzeige in Rahmen 4) Ihre in Versuch 2 bestimmten Koeffizienten ein.
3.5 Überprüfen Sie die Kalibrierung der Zeitachse mit dem Funktionsgenerator bei einer Frequenz von ca.
100 Hz.
5.2011/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.8 Spule-Widerstands-Kombination
1 Einführung
Im Versuch 3.4 wurde die Entladung eines Kondensators C über einen Widerstand
R untersucht. Die im Kondensator gespeichert Energie wird dabei im Widerstand
in Wärme umgesetzt. Auch eine Spule kann in ihrem Magnetfeld Energie
speichern. Schließt man ihr einen Widerstand R parallel, so fließt die Energie in
den Widerstand und wird dort als Wärme abgegeben. Der zeitliche Verlauf des
Stromes wird durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung beschrieben, deren
Lösungsfunktion eine abklingenden e-Funktion ist:
L
RL
Abb. 1:
Ersatzschaltbild
einer realen Spule
I t = I 0⋅e−t /  .
(1)
Die Zeitkonstante τ berechnet sich hier zu:
L
.
R L R
 =
(2)
Dabei sind L die Induktivität, RL der ohmsche Widerstand der Spule (siehe dazu Abb. 1) und R der
zugeschaltete Widerstand (siehe Abb.2).
Die Zeitkonstante kann aus zwei Punkten I1 = I(t1) und I2 = I(t2) auf der Kurve (1) nach der Formel
 =
t 2−t 1
.
lnI 1 /I 2
(3)
bestimmt werden.
Aufgaben:
1.1 Stellen Sie die Differentialgleichung für den Strom I(t) auf, der im durch Widerstand und Spule
gebildeten geschlossenen Kreis fließt (Schaltungsskizze).
1.2 Berechnen Sie über die Momentanleistung P(t) die in der Spule am Anfang gespeicherte Energie.
UNIMESS
UniversalMeßinterface
Hilfsspannungen
+5V
Rv
-12V
GND
+12V
Schrittmotor / Relais / BMW
Motor 1
Motor 2
BMW
(C)1997, L. Wolter
Institut für
Experimentalphysik
Universität Kiel
je max. 100mA
Digital I/O
L
12 V
Analog I/O
ADW 1
R
ADW 2
DAW 1
REL 1 REL 2
REL 3
REL 4
IO4
DAW 2
IO3
IO2
je max. 5A / 250V / 50W
IO1
Abb. 2: Versuchsaufbau – Rv = 8,2 Ω (20 W), R = 2,7 Ω (5 W), L = 35 mH (RL = 12 Ω)
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.8 Spule-Widerstands-Kombination
2 LabView-Programm
Mit den im Versuch vorgegebenen Bauelementen ergibt sich eine Zeitkonstante von wenigen Millisekunden. Entsprechend kurz ist die Zeitverzögerung für das Speicheroszilloskop aus Versuch 3.7 zu
wählen.
Aufgaben:
2.1 Welcher Zeitverlauf ist zu erwarten (Skizze)?
2.2 Wie groß sind der Strom I0 und die sich daraus ergebende Spannung U0 am Eingang des UniMess?
2.3 Wie sind die Einstellungen für Verstärkung, Triggerschwelle und -modus zu wählen?
2.4 Berechnen Sie den Wert der Zeitkonstanten nach (2) unter Berücksichtigung der verwendeten
Bauteile. Die Beobachtungsdauer sollte etwa das 5-fache der Zeitkonstanten betragen. Welches
Abtastintervall muss hierfür eingestellt werden?
3 Messungen an der Spule
In der Abb. 1 ist der Versuchsaufbau skizziert. Verwenden Sie unbedingt ein Netzgerät mit elektronischer Strombegrenzung. Wegen der kleinen Widerstände fließen verhältnismäßig große Ströme.
Schließen Sie deshalb die Schaltung nur kurzzeitig am Netzgerät an. Beachten Sie, dass die
Widerstände heiß werden. Verwenden Sie möglichst kurze Leitungen.
Aufgaben:
3.1 Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 1 auf.
3.2 Starten Sie das Programm, und verbinden Sie Enden der Serienschaltung von Spule L und Widerstand R für kurze Zeit mit einem Laborkabel. Wenn die Triggereinstellungen des Programms
richtig gewählt wurden, sollte der Zeitverlauf im Diagramm angezeigt werden.
3.3 Wählen Sie mit der Cursor-Funktion zwei Punkte auf der Kurve. Bestimmen Sie aus den von
LabView angezeigten Messwerten an den Cursor-Positionen die Zeitkonstante τ unter Verwendung
der Formel (3).
3.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.9 Gedämpfte Schwingungen
1 Einführung
Im Versuch 3.3 wurde die in einem Kondensator gespeicherte Energie bei der Entladung über einen
Widerstand abgeführt. Der Zeitverlauf der Spannung wird dabei durch eine abklingende e-Funktion
beschrieben. Ersetzt man den Widerstand durch eine Spule, so hat man in der Schaltung einen zweiten
Energiespeicher. Die am Anfang im Kondensator vorhandene Energie kann jetzt zwischen den beiden
Bauelementen hin- und herpendeln. Es ergeben sich Schwingungen. Die Schaltung bezeichnet man
daher als Schwingkreis.
R
Da in einer realen Spule immer ein ohmscher Widerstand vorhanden ist (siehe
I
auch Abb. 1 in Versuch 3.8), wird diesem Schwingungsprozess über den Wider- C
U
stand ständig etwas Energie entzogen, so dass sich in der Praxis gedämpfte
Schwingungen ergeben.
L
Abb. 1: Schwingkreis
Die mathematische Beschreibung dieser Anordnung (Abb. 1) erfolgt durch eine
lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (siehe dazu auch die Praktikumsversuche 1.5 und 2.9):
2
Ü (t)+ 2 ρ U̇ (t)+ ω0 U (t) = 0
R
1
mit ρ=
und ω20 =
.
2L
LC
(1)
ρ ist die Dämpfung, ω0 die Resonanzfrequenz. Für den Schwingfall 2  20 ergibt sich daraus für den
Spannungsverlauf am Kondensator, wenn dieser zu Beginn der Beobachtung auf die Spannung U0
aufgeladen wurde:
U (t ) = U 0 e−ρ t cos ( √ ω20 − ρ2 t+ φ).
(2)
Die Dämpfung ρ kann aus den Amplituden und Zeiten U1(t1) und U2(t2) zweier Maxima bestimmt
werden:
ρ =
ln (U 1 /U 2 )
.
t 2−t 1
(3)
Die Güte des Schwingkreises wird durch Zusammenhang
Q =
beschrieben.
1
R
√
ω
L
= 0
C
2ρ
(4)
Aufgaben:
1.1 Leiten Sie die Gl. (1) her.
1.2 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Gl. (1) mit einem geeigneten Lösungsansatz.
1.3 Welche Fallunterscheidungen lassen sich daraus ableiten?
1.4 Die noch unbekannten Koeffizienten in der allgemeinen Lösung berechnen sich aus den Anfangs bedingungen für U 0 und U̇ 0 . Wie lauten diese für die Schaltung in Abb. 1?
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.9 Gedämpfte Schwingungen
2 Versuchsaufbau
Die Schaltung ist in Abb. 2 wiedergegeben. Taster und Aufladewiderstand Rv sind in einem kleinen
schwarzen Kästchen zusammengefasst. Der Kondensator wird auf dieses Kästchen aufgesteckt, die
beiden Spulen (L ≈ 5 mH) und der Widerstand werden über
+12 V ADW 1 GND
Kabel angeschlossen:
•
•
Spule 1 enthält einen Eisenkern .
Spule 2 hat keinen Eisenkern
Rv
R
Die Buchsen sind wie folgt anzuschließen:
•
•
•
•
•
gelb:
Kondensator C (3,3 µF),
blau:
Spule und Widerstand
rot:
12 V-Versorgungsspannung des UniMess,
schwarz: Masse des UniMess,
grün:
Eingang ADW 1 des UniMess.
Taster
C
RL
RL
L
L
Abb. 2: Schaltungsaufbau
3 LabView-Programm
Es wieder das Speicheroszilloskop aus Versuch 3.7 verwendet. Die Schwingungsfrequenz sollte mit den
vorgegebenen Bauteilen etwa 1,2 kHz betragen. Beim kleinsten einstellbaren Abtastintervall sind dann
ca. 20 .. 25 Schwingungen sichtbar.
4 Versuchsdurchführung
Bauen Sie zunächst eine Schaltung mit der Eisenkernspule ohne Zusatzwiderstand auf.
Stellen Sie in Ihrem LabView-Programm den Trigger auf ca. 9 V bei pos. Flanke, und starten Sie die
Datenaufzeichnung. Sobald der Taster gedrückt wird, beginnt die Entladung und damit auch die
Datenaufzeichnung. Achten Sie darauf, dass auch am Anfang die Schwingungen sauber zu erkennen
sind. Andernfalls sollte die Entladung wiederholt werden, bis dies der Fall ist.
Aufgaben:
4.1 Wählen Sie mit der Cursor-Funktion zwei weit auseinander liegende Maxima auf dem angezeigten
Schwingungszug. Bestimmen Sie unter Verwendung der Formel (3) aus den in LabView
angezeigten Messwerten an den Cursor-Positionen die Dämpfung ρ. Berechnen Sie daraus die
Größe des Spulenwiderstands RL und die Güte Q des Schwingkreises.
4.2 Schalten Sie in Serie zur Spule einen Widerstand von 4,7 Ω, und wiederholen Sie die Messung.
Berechnen Sie ρ und Q wie in Aufgabe 4.1.
4.3 Entfernen Sie den Zusatzwiderstand und ersetzen Sie Eisenkernspule durch die Spule ohne
Eisenkern. Bestimmen Sie wie in Aufgabe 4.1 die Dämpfung ρ, den Spulenwiderstand RL und die
Güte Q.
4.4 Warum hat der Schwingkreis mit der Eisenkernspule bei etwa gleicher Resonanzfrequenz eine
wesentlich höhere Güte?
3.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.10 Die Fallröhre
1 Einführung
In diesem Versuch soll der freie Fall eines Körpers näher untersucht
werden. Für die Aufzeichnung des schnell ablaufenden einmaligen
Vorgangs wird das LabView-Programm für das schnelle Speicheroszilloskop aus Versuch 3.7 eingesetzt.
N
S
Zur Erfassung der Fallbewegung wird ein Rohr verwendet, um das
in gleichmäßigen Abständen (siehe Abb. 1) Spulen gelegt sind.
Lässt man oben einen kleinen Magneten in das Rohr hineinfallen,
induziert dieser bei der Vorbeibewegung an einer Spule dort eine
Spannung. Die in Reihe geschalteten Spulen werden an den ADWEingang des UniMess angeschlossen, so dass jedes Mal, wenn der
Magnet eine Spule passiert, ein Peak registriert wird.
19
Beim freien Fall handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung.
Die Abhängigkeit der vom Loslassen des Magneten bis zur jeweiligen Spule zurückgelegten Fallstrecke s von der Zeit t des entsprechenden Peaks berechnet sich nach
st =
g 2
⋅t .
2
1
(1)
Da nur die Abstände Δs zwischen den Spulen und die zugehörigen
Laufzeiten tn erfasst werden können, ergibt sich als Zusammenhang
zwischen Ort und Zeit an der Spule n:
g
sn = s0n−1⋅ s = t nt0 2 , n=1,.. ,6..
(2)
2
s0 ist der unbekannte Abstand zwischen Abwurfpunkt und erster
Spule, t0 die Laufzeit vom Start bis zur ersten Spule. Dieser Zusammenhang zwischen Weg und Zeit stellt ein Polynom 2. Grades
(Parabel) dar:
2
sn = a2⋅t na1⋅t na0
n=1,.. ,6.
(3)
Durch Bestimmung von a2 = g/2 kann daraus die Fallbeschleunigung ermittelt werden.
Aufgaben:
1.1 Wie ändert sich die Geschwindigkeit?
1.2 Welche Kurvenform ist für die Spannungs-Peaks zu erwarten?
ADW
220
Abb. 1: Fallröhre
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.10 Die Fallröhre
2 Versuchsdurchführung
Schließen Sie die Fallröhre an das UniMess an. Zur Dämpfung von höherfrequenten Störsignalen wird
dem Eingang ein Kondensator von 220 nF parallel geschaltet.
Hinweise:
● Die Fallröhre muss möglichst lotrecht stehen.
● Der Magnet sollte so fallen gelassen werden, dass er keine Berührung mit der Röhre bekommt.
● Fangen Sie den Magneten am unteren Ende der Fallröhre weich auf.
Aufgaben:
2.1 Schätzen Sie die Gesamtfallzeit ab, und stellen Sie danach die Abtastfrequenz für das schnelle
Speicheroszilloskop ein.
2.2 Nehmen Sie den Spannungsverlauf an den Spulen beim Fall des Magneten auf.
2.3 Wovon hängt die maximale Amplitude eines Peaks ab?
2.4 Wie unterscheiden sich die Flächen der positiven und negativen Anteile der einzelnen Peaks.?
2.5 Wie unterscheiden sich die Gesamtflächen innerhalb der einzelnen Peaks voneinander?
2.6 Bestimmen Sie die Zeiten tn für die Nulldurchgänge in den einzelnen Peaks unter Verwendung der
Cursor-Funktion von LabView, und notieren Sie diese in einer Wertetabelle.
3 Auswertung
Zur Auswertung des Zusammenhangs (3) steht das Hilfsprogramm DataPlot auf Ihrem Computer zur
Verfügung. Mit ihm können die Koeffizienten einer quadratische Näherung berechnet werden. Die
unter 2.6 bestimmten Messdaten müssen dafür zusammen mit den zugehörigen Weglängen von Hand in
dieses Programm eingegeben werden.
3.1 Übertragen Sie die gemessenen Zeiten als x-Werte und die Abstände der einzelnen Spulen von der
ersten als y-Werte in das Programm DataPlot.
3.2 Geben Sie für die beiden Achsen die Messgrößen als Beschriftung und die zugehörigen Einheiten
in den entsprechenden Feldern im Dialog „Achsen-Skalierung“ ein.
3.3 Lassen Sie das Programm eine Polynomapproximation 2. Grades rechnen (Ausdruck). Berechnen
Sie aus dem so vom Programm ermittelten Koeffizienten a2 die Erdbeschleunigung g.
3.4 Was sind die wesentlichen Ursachen für die Abweichung dieses gemessenen Wertes vom
Sollwert?
11.2006/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.11 Die fallende Leiter
1 Einführung
In diesem Versuch soll die Fallbeschleunigung g an der
Erdoberfläche bestimmt werden. Es wird dazu die Zeitmessfunktion des UniMess benutzt. Die Triggersignale
werden von einer Lichtschranke, durch die eine kleine
Leiter hindurchfällt, erzeugt (Abb. 1). Die Aufnahme
der Messwerte erfolgt durch die LabView-Funktion
Read IO nx.
IO1
(bl)
Fotodiode
GND
LED
+5
V
220 Ohm
An der Lichtschranke (Abb. 2) wird ein rechteckförmiges Signal erzeugt. Die H-Signale stehen für die
Sprossen der Leiter (TD), die L-Signale für die Fenster
(TH). Von der LabView-Funktion Read IO nx werden
nur die Pegeländerungen von L nach H, d.h. die Übergängen von hell nach dunkel registriert (Abb. 3) .
IO1
(sw)
Td
GND
+5
V
Th
T
Abbildung 3: Signale
IO1
(sw)
IO1
(bl)
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Aus den Zeitunterschieden zweier aufeinander folgender Messwerte kann die Geschwindigkeit der
Leiter in der Mitte des jeweiligen Zeitintervalls bestimmt werden. Da es sich beim freien Fall um eine
gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt, muss der Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit linear sein. Die Steigung dieser Geradenfunktion ist die Fallbeschleunigung.
2 LabView-Programm
Aufgabe des Programms ist es, aus den vom UniMess ermittelten Zeiten die Fallbeschleunigung g zu
berechnen und anzuzeigen. Die dazu erforderlich Programmteile sind in Abb. 4 schematisch dargestellt.
2.1 Datenaufnahme
Zur Datenaufnahme wird die LabView-Funktion Read IO nx verwendet. Sie benötigt die übliche
UniMess-Initialisierung (Init UniMess) und die Vorgabe einer Messzeit. Diese sollte einstellbar sein,
um sie bei der Versuchsdurchführung geeignet anpassen zu können.
Die Funktion Read IO nx liefert als Ausgabe zum Einen die Anzahl n der gemessenen Hell-Dunkelübergänge und als Array die dazugehörigen Zeiten (ti).
2.2 Berechnung der Intervallmitten
Für die Berechnung der Zeiten der n-1 Intervallmitten wird der erste Hell-Dunkelübergang als Referenz
verwendet. Der Zugriff auf die einzelnen Array-Komponenten erfolgt über die LabView-Funktion
Array indizieren aus der Funktionenpalettengruppe Array.
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.11 Die fallende Leiter
2.3 Berechnung der Geschwindigkeiten
Die Geschwindigkeiten zu den unter 2.2 berechneten Zeitpunkten ergeben sich aus dem Sprossen abstand (d = 4 cm) und den jeweiligen Zeitintervallen.
-1
Anzahl
n
t i =
t i1  t i
− t0
2
Zeiten
Read
IO nx
lin. Regr.
i = 0, .. , n-2
n -1
x
y
v=a ∙ t + b
t0
Fallbeschleunigung
g=a
graf. Anz.
t1
i = 0, .. , n-2
..
tn-1
i t  =
0,04 m
t i1 − t i
bündeln
x
y
}
v=f
(t)
Abbildung 4: Schematische Programmstruktur
2.4 Grafische Darstellung
Für die grafische Darstellung müssen die x- und y-Werte gebündelt (Funktion Elemente bündeln) und an
das Element XY-Anzeige gegeben werden.
2.5 Lineare Regression
Für die lineare Regression gibt es eine Funktion in der Palette unter der Gruppe Eigene Bibliotheken >
Berechnungen. Sie erfordert die Eingabe der Anzahl der Wertepaare n-1 und der Arrays für x und y.
3 Versuchsdurchführung
Aufgaben:
3.1 Befestigen Sie die Gabellichtschranke mit einer Klemme an der Tischkante, so dass sie horizontal
über die Kante hinausragt. Schließen Sie die rote (Pluspol) und schwarze Klemme der InfrarotLeuchtdiode an die 5 V-Hilfsspannung am UniMess an. Die Fotodiode wird an die Klemmen des
Digitaleingangs I/O 1angeschlossen.
3.2 Schätzen Sie die ungefähre Fallzeit der Leiter ab. Die Messzeit sollte wegen der zu berück sichtigenden Reaktionszeiten deutlich länger gewählt werden.
3.3 Überprüfen Sie die Funktion des LabView-Programm. Halten Sie dazu die Leiter so, dass sich die
Unterkante etwa 5 cm über der Lichtschranke befindet. Starten Sie das Programm, und lassen Sie
die Leiter fallen.
3.4 Wenn alles richtig funktioniert, führen Sie die Messung mehrfach (mindestens 5 Mal) bei unter schiedlichen Fallhöhen (5 cm, 10 cm, 15 cm und 20 cm) aus. Bestimmen Sie Mittelwert und
Standardabweichung der Fallbeschleunigung g. Für die Berechnungen kann das auf dem Praktikums-PC installierte OpenOffice Calc verwendet werden.
6.2010/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.12 Fourier-Analyse
1 Einführung
Wie bereits in Versuch 3.5 erwähnt, kann jedes periodisches Signal x(t) nach dem Satz von Fourier als
Überlagerung von sinus- bzw. cosinusförmigen Anteilen dargestellt werden:
xt =
a0

2
= A0 
∞
∞
ak⋅cos k t  ∑ b k⋅sink  t
∑
k=1
k=1
(1)
∞
Ak⋅sink  t k .
∑
k=1
Dabei berechnen sich die Koeffizienten ak und bk zu
T
2
T
∫ xt⋅cos k  t d t
k=0,1 ,2 ,3 ,...
2
bk =
T
∫ xt⋅sink t d t
k=1,2 ,3 ,...
ak =
0
T
mitT =
2
.

(2)
0
und Ak und φk zu
a0
2
Ak =  a2k b2k k=1,2 ,3 ,...
a
 k = arctan k .
bk
A0 =
(3)
T ist die Periodendauer des Signals x(t). Die zugehörige Frequenz ω heißt Grundwelle. Daneben gibt es
sog. Oberwellen. Das sind immer ganzzahlige Vielfache der Grundwelle.
Aus diesen Überlegungen ergeben sich für das Signal zwei mögliche Darstellungsformen: als Zeitsignal
x(t) und als Frequenzspektrum X(ω).
bk
x(t)
t
k
1
3
5
7
9
11
Abb. 1: Rechtecksignal: links als Zeitsignal, rechts als Spektrum
Die Abbildung zeigt als Beispiel ein rechteckförmiges Signal. Im Frequenzspektrum gibt es hier neben
der Grundwelle (k = 1) nur ungeradzahlige Vielfache davon als Oberwellen (k = 3,5,..). Die zugehörigen
Koeffizienten ak sind alle 0, die bk sind proportional zu 1/n.
Dieses Prinzip lässt sich auch auf nichtperiodische Signale erweitern. Die Fourier-Reihe wird dann
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
Seite 2
3.12 Fourier-Analyse
ersetzt durch das Fourier-Integral, bzw. die Fourier- oder die Laplace-Transformation. Man erhält damit
ein sehr leistungsfähiges Werkzeug für die Theorie der Signalverarbeitung in linearen Systemen. Da die
genannten Transformationen in beiden Richtungen definiert sind, ergibt sich eine grundsätzliche
Äquivalenz zwischen der Darstellung im Zeit- und im Frequenzbereich.
Im vorliegenden Versuch sollen die Möglichkeiten von LabView benutzt werden, um einen kleinen
Einblick in Darstellung von periodischen Signalen im Frequenzbereich zu erhalten.
2 Versuchsdurchführung
Für diesen Versuch gibt es ein fertiges Programm F-Analys.vi im Unterverzeichnis Fourier. Es lassen
sich damit verschiedene Grundtypen für die Zeitfunktion (Sinus, Rechteck, Dreieck, Sägezahn)
auswählen. Grundfrequenz und Tastverhältnis beim Rechtecksignal sind einstellbar. Das Programm
berechnet für jede Zeitfunktion das zugehörige Linienspektrum (siehe auch Abb. 1). Es werden dabei
nur die Koeffizienten Ak (siehe Formel (1) und (3)) angezeigt.
Es wird empfohlen, bei der Versuchsdurchführung das LabView-Programm im kontinuierlichen Modus
zu betreiben. Alle Änderungen an den Einstellungen werden so sofort sichtbar.
Aufgaben:
2.1 Stellen Sie nacheinander die verschiedenen Signalformen ein, und betrachten Sie die sich
ergebenden Spektren (Ausdrucke). Welche Oberwellen mit welchen Amplituden findet man beim
2.1.1 sinusförmigen Signal,
2.1.2 beim rechteckförmigen Signal (Tastverhältnis 50%),
2.1.3 beim Dreicksignal,
2.1.4 und beim Sägezahnsignal.
2.2 Warum fehlen beim Rechtecksignal die geradzahligen Oberwellen, und warum sind alle
Koeffizienten ak immer 0?
2.3 Berechnen Sie die Koeffizienten b1 und b3 der Fourier-Reihe nach (2) für das Rechteck- und das
Dreiecksignal..
2.4 Stellen Sie ein Rechtecksignal mit einem Tastverhältnis von 75% ein. Welche Oberwellen fehlen
im Spektrum?
2.5 Erhöhen Sie das Tastverhältnis schrittweise bis auf 99%, und beobachten Sie die sich ergebenden
Spektren. Bei welchen Tastverhältnissen verschwinden einzelne Oberwellen?
2.6 Stellen Sie das Tastverhältnis wieder auf 50% und erhöhen jetzt die Anzahl der Perioden im
Zeitfenster. Welchen Einfluss hat dies auf die Spektren?
6.2008/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.13 Fourier-Synthese
1 Einführung
Im vorangegangenen Versuch 3.10 wurde untersucht, wie sich periodische Signale auf Basis des Satzes
von Fourier in sinusförmige Anteile zerlegen lassen. In diesem Versuch soll nun der umgekehrte Weg
beschritten werden. Einige einfache periodische Funktionen (Rechteck, Dreieck und Sägezahn) sollen
schrittweise durch Hinzufügen einzelner Oberwellen zu einer Grundwelle ω angenähert werden. Für die
Beispielfunktionen sind nachfolgend die Koeffizienten der Fourier-Reihen angegeben:
1.1 Rechteck-Funktion (Abb. 1 links)
x t
2
= x 0 für 0≤t T /2 mit T =
−x 0 für T /2≤tT

4⋅x0
1
1
1
=
⋅ sin  t  sin 3  t  sin 5  t  sin 7  t ...
3
5
7

∞
∞
4⋅x0
1
=
⋅sin  2k−1 t  = ∑ bn sin n  t 
∑
 k =1 2k−1
n=1
{
}


(1)
1.2 Dreieck-Funktion (Abb. 1 Mitte)
x t
{
t
4x 0⋅
T
1 t
= 4x 0⋅ −
2 T
t 3
4x 0⋅ −
T 4
 
 
T
4
T
3T
für
≤t
4
4
3T
für
≤tT
4
für 0≤t
}
mit T =
2

(2)
8⋅x0
1
1
1
⋅ sin  t − 2 sin 3  t  2 sin 5  t − 2⋅sin 7  t ...
2

3
5
7
k −1
∞
∞
8⋅x0
−1
=
∑
2
2 ⋅sin  2k −1  t  = ∑ bn sin n  t
 k= 1 2k −1
n=1

=

1.3 Sägezahn (Abb. 1 rechts)
x  t
 

= 2x0⋅
1 t
−
2 T
für 0≤tT mit T =
2

2x0
1
1
1
⋅ sin t sin2  t  sin 3  t  sin  4  t...
2
3
4

∞
2x0 ∞ 1
=
∑ sin n  t  = ∑ b n sinn  t 
 n=1 n
n=1
=

Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel
(3)
Seite 2
3.13 Fourier-Synthese
x(t)
x0
x(t)
x0
x(t)
x0
t
-x0
t
-x0
T
t
-x0
T
T
Abb. 1: Rechteckfunktion, Dreieckfunktion und Sägezahnfunktion
2 Versuchsdurchführung
Für diesen Versuch gibt es ein fertiges Programm F-Synth.vi im Unterverzeichnis Fourier. Das
Programm erzeugt die erforderlichen Sinussignale, multipliziert sie mit einstellbaren Koefffizienten und
stellt die Summe als Diagramm dar. Für die oben genannten Beispielfunktionen sind alle Koeffizienten
an = 0. Die Koeffizienten bn ergeben sich aus den Formeln (1) bis (3).
Vor der Durchführung der einzelnen Aufgaben sollten zunächst b1 auf 1 und alle anderen Koeffizienten
bn auf 0 gesetzt werden. Anschließend wird das LabView-Programm im kontinuierlichen Modus
gestartet. Die einzelnen Koeffizienten können jetzt eingegeben werden, wobei gleichzeitig die
Auswirkung auf das zusammengesetzte Signal sichtbar wird.
Aufgaben:
2.1 Berechnen Sie die Koeffizienten der oben genannten Beispielfunktionen nach den Formeln (1) bis
(3) für n = 1 ,..., 9, und stellen Sie sie in Form einer Tabelle dar. Für die Berechnung kann auch das
auf allen Praktikums-PCs vorhandene Tabellenkalkulationsprogramm OpenOffice Calc verwendet
werden.
2.2 Stellen Sie nacheinander die einzelnen Koeffizienten für die Rechteckfunktion im LabViewProgramm ein, und betrachten Sie das sich ergebende Signal. Was fällt Ihnen dabei auf?
2.3 Wiederholen Sie dieses Verfahren für die Dreieckfunktion. Warum ist die Annäherung an die
Sollfunktion hier wesentlich besser als beim Rechteck?
2.4 Geben Sie die Koeffizienten für den Sägezahn ein, und beschreiben Sie das Ergebnis. Was passiert,
wenn Sie den Koeffizienten a0 verändern?
Hinweis: Das Endergebnis ist jeweils auszudrucken und dem Protokoll beizulegen.
6.2010/Ra
Physikalisches Praktikum für Anfänger (Hauptfach) – Teil 2
Gruppe 3 – Physik mit dem Computer
3.14 Eine einfache Ampelsteuerung
1 Einführung
In der Industrie hat die automatische Steuerung von Prozessen eine große Bedeutung. Als Einführung in
diesen Themenkreis soll mit dem Computer die Ablaufsteuerung für eine Verkehrsampel programmiert
werden.
Im Gegensatz zu dieser einfachen Aufgabe mit fest vorgegebenem Ablauf sind Prozesssteuerungen in
der Industrie meist wesentlich komplexer. Hier haben auch Rückmeldungen vom Prozess Einfluss auf
den Ablauf. Man spricht dann von einem System mit Regelung.
Netzgerät
UNIMESS
UniversalMeßinterface
Hilfsspannungen
+5V
-12V
GND
+12V
(C)1997, L. Wolter
Institut für
Experimentalphysik
Universität Kiel
+
Schrittmotor / Relais / BMW
Motor 1
Motor 2
BMW
12 V
-
je max. 100mA
Digital I/O
Analog I/O
ADW 1
ADW 2
DAW 1
REL 1 REL 2
REL 3
REL 4
IO4
DAW 2
rot
IO3
IO2
je max. 5A / 250V / 50W
IO1
gelb
grün
Abb. 1: Schaltung der Ampelsteuerung
2 Versuchsdurchführung
Für den Betrieb der Lampen in dem Ampelmodell werden die im UniMess eingebauten Relais
verwendet. Für ihren Betrieb ist der Anschluss eines externen Labornetzgeräts (12 V) an die hinteren
Buchsen des Interfaces erforderlich. Beachten Sie dabei die richtige Polung.
Aufgaben:
2.1 Schließen Sie das Ampelmodell wie in Abb. 1 beschrieben an das UniMess-Interface an.
2.2 Erstellen Sie ein Flussdiagramm für die Steuerung einer Verkehrsampel.
2.3 Leiten Sie daraus die für das Schalten der UniMess-Relais erforderlichen Bitmuster ab.
2.4 Programmieren Sie mit LabView die Steuerung für die Ampel.
2.5 Zusatzaufgabe: Erweitern Sie Ihr LabView-Programm mit einer Kontrollanzeige für die Ampelphasen (farbige LED-Anzeigen) auf der LabView-Frontplatte.
5.2006/Ra
Institut für Experimentelle und Angewandte Physik der Universität Kiel