A. Natürliche Zahlen B. Ganze Zahlen

A. Natürliche Zahlen
Das sind die Zahlen 1,2,3,4,..., also diejenigen, die jeder zum Zählen braucht.
Wissenswertes dazu
1. Manchmal zählt man auch die Null zu den natürlichen Zahlen, für die meisten Autoren ist aber 1
die erste natürliche Zahl.
2. Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder
eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht.
3. Obwohl es die einfachsten Zahlen sind, gibt es dazu viele schwierige, zum Teil noch offene
Probleme. Ein eigenes Gebiet entstand aus der Beschäftigung mit natürlichen Zahlen, die so
genannte Zahlentheorie.
4. Will man als Mathematiker präzise mit den natürlichen Zahlen arbeiten, so führt man sie
axiomatisch ein: Die natürlichen Zahlen sind dann eine Menge, in der es die 1 gibt und zu jedem
Element x einen Nachfolger x'; heimlich ist x' die Zahl x+1. Und dann fordert man die PeanoAxiome:
- Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
- Jede Zahl außer 1 ist Nachfolger einer Zahl, 1 ist ausdrücklich nicht ein Nachfolger.
- Es gilt das Induktionsaxiom: Hat 1 irgendeine Eigenschaft und gilt diese Eigenschaft jedesmal
auch für x', wenn sie für x gilt, so haben alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft.
Dieses Axiomensystem ist die Grundlage von allem, was man über Zahlen weiß.
B. Ganze Zahlen
Hier nimmt man zu den natürlichen Zahlen die 0 und die Zahlen -1, -2, -3,... dazu.
Also: Die ganzen Zahlen bestehen aus
...,-2, -1,0,1,2,3,...,
wobei die Pünktchen andeuten, dass es in beiden Richtungen immer weiter geht (-1234572 und
239900 sind also auch Beispiele ganzer Zahlen).
Wissenswertes dazu
1. Ganze Zahlen kann man addieren, subtrahieren, man kann sie multiplizieren: Immer wieder
entstehen ganze Zahlen. Addition und Multiplikation haben viele Eigenschaften, an die man sich im
Lauf der Schulzeit gewöhnt: Es gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz, die 0
bzw. die 1 sind neutral bezüglich der Addition bzw. bezüglich der Multiplikation.
Quotienten ganzer Zahlen müssen nicht ganzzahlig sein.
2. Natürliche Zahlen sind spezielle Beispiele für ganze Zahlen.
C. Rationale Zahlen
Das ist die Menge aller Brüche der Form m/n, wobei m eine ganze und n eine natürliche Zahl ist:
So sind 4/87 und -345/777 Beispiele rationaler Zahlen.
Wissenswertes dazu
1. Jede ganze Zahl m kann doch als m/1 geschrieben werden, und deswegen ist jede ganze Zahl
auch ein Beispiel für eine rationale Zahl. Es gibt natürlich rationale Zahlen, die nicht ganz sind:
1/2, -7/19,...
2. Im Bereich der rationalen Zahlen ist alles erlaubt: Durch addieren, subtrahieren, multiplizieren
und dividieren (außer durch 0) erhält man aus rationalen Zahlen immer wieder rationale Zahlen.
Gleichzeitig gelten die ,,schönen'' Eigenschaften des Zahlenrechnens: das Kommutativ-, das
Assoziativ- und das Distributivgesetz.
D. Reelle Zahlen
Das ist ein etwas schwierigerer Punkt, wirklich hat es auch sehr lange in der Geschichte der
Mathematik - bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts - gedauert, bis die Mathematiker in
wünschenswert präziser Weise mit reellen Zahlen arbeiten konnten.
Hier wollen wir uns das Leben etwas einfacher machen: Reelle Zahlen sind einfach diejenigen
Zahlen, die man in einer (möglicherweise abbrechenden) Dezimalentwicklung darstellen kann:
13.1212121212..., oder 4.5, oder -896626.4142..., oder ...
Das sind praktisch alle Zahlen, die man in der Schule und in den Anwendungen braucht. Die Zahl
, die fünfte Wurzel aus 323, die Eulersche Zahl e, all das sind reelle Zahlen.
Wissenswertes dazu
1. Jede rationale Zahl hat eine (abbrechende oder periodische) Dezimalentwicklung. Deswegen sind
rationale Zahlen spezielle Beispiele für reelle Zahlen.
2. Es ist gar nicht so einfach zu sehen, dass es überhaupt reelle Zahlen gibt, die nicht schon
rational sind. Das berühmteste Beispiel dazu ist sicher diejenige Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist,
also die Wurzel aus 2.
Das ist übrigens ein Beispiel, das einem schon bei elementaren geometrischen Situationen
begegnet: Nach dem Satz des Pythagoras hat die Diagonale des Einheitsquadrates genau diese
Länge.
3. Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational. Eben wurde bemerkt, dass die Wurzel
aus 2 irrational ist.
ANMERKUNG
Rechengesetze
Seien
a, b, c ∈ IR, dann gelten für „+“ und „.“ folgende Gesetze:
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
a+b = b+a
a ⋅b = b⋅a
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
(a + b ) + c = a + (b + c )
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c