4. Logarithmen, Beispiele und Definition

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4. Logarithmen, Beispiele und Definition
Logarithmieren ist eine Umkehrung des Potenzierens.
Unterscheide die beiden folgenden Probleme:
Das Problem, die Gleichung x3 = 8 nach der Basis aufzulösen, führt auf das Wurzelziehen
1
oder Radizieren mit der Lösung x
3
8
83
Das Problem, die Exponentialgleichung 2x = 8 nach dem Exponenten aufzulösen, führt auf die
sogenannten Logarithmen.
Wir führen eine neue Sprechweise ein:
Statt zu sagen : Der zu 8 gehörige Exponent bezüglich der Basis 2 ist 3 (23 = 8)
sagen wir: Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3 und schreiben dafür log2 8 = 3
Definition: x = loga b
ax = b
a
R+ \{1}, b
R
Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss
um b zu erhalten. Logarithmen sind also Exponenten bezüglich einer vorgegebenen Basis.
Es kann gezeigt werden, dass dieser Logarithmus eindeutig bestimmt ist.
historisch:
Jost Bürgi (1552 – 1632), Lord Neper (1614), Harry Briggs Zehnerlogarithmen
Beispiele:
Die Exponentialgleichung 7x = 5 hat die Lösung x = log7 5
log3 81 = 4 denn 34 = 81
1
1
log 4
3 denn 4 3
64
64
4
34
log 2 8
log 2 2
log 2 2 12
12
4
3
4
3
log5 (-0.02) ist nicht definiert
log 2 3 16
log 2 2
Löse die folgenden Gleichungen
logx 8 = 3
x=2
1
log 3 x
2 x
9
log81 27 = x 81x = 27
34x = 33
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Aus der Gleichheit der Exponenten folgt: x = 3/4
7
allg.
loga a= 1
denn a1 = a
loga 1 = 0
loga 0 ist nicht definiert, denn die Gleichung ax = 0 hat für a
loga ak = k
1
log a a
2
1
2
log a 3 2
3
a
Häufig verwendete Basen:
Basis 10
lg x = log10 x
Basis 2
lb x = log2 x
Basis e = 2.718281828459045... ln x = loge x
Beispiele:
lg 0.0001
lb (4
2)
0 keine reelle Lösung.
Zehnerlogarithmen
Zweierlogarithmus, (binärer Logarithmus)
natürlicher Logarithmus (Vorzugsbasis)
4
lb(2
2
1
2
2 )
ln e = 1, ln e2 = 2, ln
lb2
1
e
5
2
5
2
1 , ln e
1
2
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:
x log b a
bx a
b log b a a
Beispiele:
lb 8 = 3 ist gleichbedeutend mit 23 = 8 also gilt 2lb8 = 8
3log3 7 7
e ln 5 5
ln e 3 3
Löse die Gleichung: 10 2 lg x 25
(10lg x ) 2 x 2 25
x = 5 (x muss positiv sein!)
101
lg x
1 x
101 10lg x
10 x
1 x
x
1
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Zusammenfassung
Sind in der Gleichung a k b
a > 0 und k R gegeben, so ergibt sich b durch Potenzieren
1
b > 0 und k
R+ \{1} gegeben, so ergibt sich a durch Radizieren: a
a R+ \{1} und b > 0 gegeben, so ergibt sich der Exponent k durch
Logarithmieren k log a b
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k
b
bk
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Zur Existenz dieser Logarithmen
Wie das folgende Beispiel zeigt, können Logarithmen durch eine Intervallschachtelung
definiert werden. Bei der Verwendung von Logarithmen war man früher auf Tabellen
angewiesen werden. Heute übernimmt diese Rolle der TR. Im Schwerpunktfach werden
Reihenentwicklungen hergeleitet ( FuT).
log10 2
10 x
102x
104 x
108 x
1016 x
...
x ist gleichbedeutend mit 10 x
2
22 4
2 4 16 102
28 256 103
216 65536 105
2
0 x 1
100 1 10x 101
0
2x
1
0 x ½
10 1 10
10
1
4x
2
10 10 10
10 1/4 x ½
1
/4 x 3 /8
102 108 x 103
1
/4 x 5/16
104 1016 x 105
Die Logarithmen sind in der Regel irrationale Zahlen
B. log10 2 Q
Beweis indirekt:
p
Annahme. 10 q 2 mit p,q ≠ 0
dann würde gelten:
10 p 2q oder 2 p 5 p 2 q bzw. 5 p 2 q p
im Widerspruch zur eindeutigen Primzahlzerlegung.
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