Vorgehen beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung

Stephan Tschöpe
Mathematik/Statistik
SCHWEIZERISCHE FACHSCHULE
Eidg. anerkannte Technikerschule TS
3011 Bern
11. Januar 2010
Vorgehen beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung (I)
Wichtig ist zu erkennen, dass wir einen ganz klaren Ablauf beim Lösen einer Gleichung oder Ungleichung haben. Solange wir beim
Lösen einer solchen Aufgabe uns klar werden, dass der Hergang immer der ein und der selbe ist, erleichtert uns dies das Lösen einer
solchen Aufgabe. Es ist egal, ob wir eine Gleichung/Ungleichung mit Brüchen oder Formvariablen haben, der Lösungsweg ist der
Gleiche.
Ich zeige den Lösungsweg anhand der Aufgabe 10 a Seite 115.
Die Aufgabe lautet:
G=Q
(x + a)/(x - b) + (x + b)/(x - a) = 2
1. Wenn sich im Nenner die Lösungsvariable x befindet, so müssen wir den Definitionsbereich festlegen.
D = Q\{a, b}, da x  a, bzw. x  b
Wenn sich im Nenner eine Formvariable (a, b, ...) befindet, die alleine da steht (bsp. x/a) müssen wir definieren,
welchen Wert die Formvariable nicht annehmen darf, da sonst durch Null dividiert wird.
In diesem Beispiel nicht vorhanden.
2. Wir definieren den Hauptnenner, damit wir die Brüche wegmultiplizieren können.
HN: (x - a) (x - b)
3. Wir beginnen mit den Rechenschritten. Bei einer Gleichung / Ungleichung wie folgt:
1a Mit Hauptnenner multiplizieren und die Brüche kürzen (nur bei Gleichungen mit Brüchen nötig!)
1b Klammern auflösen / ausmultiplizieren
2 Terme zusammenfassen
3. Nach x auflösen (was bedeutet, dass wir x auf die eine Seite bringen und «den Rest» auf die andere Seite.
4. Lösung in Form von L = {x «Bedingung»} notieren.
ACHTUNG: Bei Ungleichungen ist darauf zu achten, dass beim Dividieren oder Multiplizieren von negativen Zahlen,
das Ungleichheitszeichen gekehrt werden muss!!
1a.
2.
(x + a) (x - a) (x - b) /(x - b) + (x + b) (x - a) (x - b) /(x - a) = 2 (x - a) (x - b)
(x + a) (x - a) + (x + b) (x - b) = 2 (x - a) (x - b)
(x2 - a2) + (x2 - b2) = 2x2 - 2ax - 2bx + 2ab
x2 - a2 + x2 - b2 = 2x2 -2ax - 2bx + 2ab
2x2 - a2 - b2 = 2x2 - 2ax - 2bx + 2ab
3.
2x2 - a2 - b2 = 2x2 - 2ax - 2bx + 2ab
 - 2x2
-a2 - b2 = -2ax - 2bx + 2ab
 + 2ax + 2bx
-a2
 + a2 + b2
1b.
-
b2
+ 2ax + 2bx = + 2ab
2ax + 2bx = a2 + 2ab + b2
2x(a + b) =
a2
+ 2ab +
b2
x = (a + b) (a + b) / (2(a + b))
x = (a + b)/2
4.
 x ausklammern
 : 2(a + b) -> 2(a + b)  0 -> (a + b)  0
 kürzen
L = {x x = (a + b)/2}
MERKE: Beim Auflösen von Gleichungen müssen wir immer darauf achten, dass wir systematisch vorgehen. Die Schritte sind immer
gleich, was sich ändern kann, ist die Ausgangslage. Manchmal haben wir Ungleichungen und manchmal Brüche. Das Ziel ist
es die Gleichung / Ungleichung so umzuformulieren, dass wir zum Punkt 3 kommen, sind wir erst einmal an diesem Punkt
angelangt, dann haben wir die Aufgabe faktisch schon gelöst.