Blatt1

Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik
Blatt 1
Aufgabe 1: (2 + 4 + 4 Punkte)
In einem Zufallsexperiment würfeln Sie fünfmal hintereinander mit einem sechsseitigen Würfel.
Wir nehmen an, dass jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments dieselbe Wahrscheinlichkeit
besitzt, der Würfel ist also fair und die Würfe sind unabhängig voneinander.
1. Geben Sie einen passenden Grundraum Ω an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
der einzelnen Elemente ω ∈ Ω.
2. Formulieren Sie folgende Ereignisse als Mengen in Ω:
A1 : Keine der Augenzahlen kommt doppelt vor.
A2 : Das Produkt der Augenzahlen ist gerade.
A3 : Sie würfeln insgesamt drei Einsen und zwei Sechsen.
A4 : Die höchste Augenzahl ist eine Vier.
A5 : Sie würfeln mindestens vier Fünfen.
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(A1 ), P(A2 ),P(A3 ), P(A4 ) und P(A5 ).
Aufgabe 2: (2 + 2 Punkte)
Seien Ω und Ω̃ zwei Grundräume, F : Ω̃ → Ω eine Abbildung von Ω̃ nach Ω und I eine beliebige
Indexmenge. Für jedes i ∈ I sei Ai ⊆ Ω eine Teilmenge von Ω.
1. Beweisen Sie:
F −1
[
i∈I
Ai
=
[
F −1 (Ai ),
F −1
i∈I
\
i∈I
Ai
=
\
F −1 (Ai )
i∈I
Hinweis: Das Urbild F −1 (A) ist definiert durch F −1 (A) := {b ∈ Ω̃ : F (b) ∈ A}.
2. Seien B ⊆ Ω̃ und C ⊆ Ω̃ zwei beliebige Teilmengen von Ω̃. Welche der folgenden Relationen
sind im Allgemeinen richtig ?
F (B ∩ C) ⊇ F (B) ∩ F (C),
Beweisen Sie bzw. geben Sie ein Gegenbeispiel.
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F (B ∩ C) ⊆ F (B) ∩ F (C)
Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Aufgabe 3: (2 + 2 + 2 Punkte)
Sei Ω ein Grundraum und (An )n∈N eine Folge von Teilmengen. Sei weiter:
A := {ω ∈ Ω : ω ∈ An für unendliche viele n ∈ N}
B := {ω ∈ Ω : ω ∈ An ab einen gewissen k ≥ 0}
Zeigen Sie:
1. A =
T S
An
,B =
k∈N n≥k
S T
An .
k∈N n≥k
2. 1A = lim supn→∞ 1An ,
1B = lim inf n→∞ 1An .
3. B { = {w ∈ Ω : w ∈ A{n für unendliche viele n}.
Hinweis: Für eine beliebige Menge A ⊆ Ω ist die Indikatorfunktion 1A definiert durch
1A (ω) := 0, falls ω ∈ A{ .
1A (ω) := 1, falls ω ∈ A,
Abgabe: Freitag, 30.10.15, 10 Uhr, Zettelkästen im 4. Stock, Staudingerweg 9
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